專題03復(fù)數(shù)

考卜點(diǎn)二聚焦

1J\J、\

一、知識(shí)聚焦

形如a+bi（a,bW&的數(shù)叫做，，。為實(shí)部，b為虛部

（虛&單位

把平方等于1的數(shù)用i表示，r=-1

Vgm全體復(fù)我所成的集合，用W示

復(fù)數(shù)的相關(guān)概念

承、超、

a+bi與c+圜的充要條件是a=也3=d

I實(shí)部—而點(diǎn)部互為相反數(shù)

復(fù)平面海為實(shí)軸，.1軸為點(diǎn)軸

復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)、復(fù)平面的內(nèi)的點(diǎn)、平面向量—對(duì)應(yīng)

\套出模―

(1)加去：&+0=(。?歷)+(c+di)=(a+G+e+d)y

1/~(2)減去：zi-u=(a+^i)-(c*di)=(a-c)+(^-rf)iJ

復(fù)數(shù)<3）套去：zrh=（。+-Xc?/）=（?-

:a^bi（0?歷Xc-雄）ac?bdbc^ad,,小

<$）除法：一二一）

?‘c—a一&E）c-ac??

題的運(yùn)制去貝L加法、減法.乘法可直接按照例運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算

■B竣玨算心是實(shí)現(xiàn)S溝-物化.

復(fù)數(shù)的運(yùn)算角改運(yùn)算的幾個(gè)重要結(jié)論

虎數(shù)單位i的乘方周期性：沙=1,沙J=i,?*-2=-1,沖一,

復(fù)數(shù)方程的解

舞段的三角形式z=r(cos6+isin6)

復(fù)數(shù)的三角形式輔角主值

乘法：觸相乘，轉(zhuǎn)角相加

整乘摘領(lǐng)三角表示

除法：承相除，轉(zhuǎn)角相痘

二、題型聚焦

:題型1復(fù)數(shù)的相關(guān)概念應(yīng)用題型6復(fù)數(shù)高次幕的周期性應(yīng)用）

（題型2復(fù)數(shù)相等及應(yīng)用卜?彳*題型7共輾復(fù)數(shù)及辨析:

（題型3復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用）一題器納—（題型8復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解方程:

（題型4復(fù)數(shù)的模長相關(guān)計(jì)算卜，/\、、｛題型9與復(fù)數(shù)模有關(guān)的最值問題:

’題型5復(fù)數(shù)四則混合運(yùn)算題型io復(fù)數(shù)三角形式的應(yīng)用］

\_________________________7k___________________________）

知識(shí)點(diǎn)1:復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

1、復(fù)數(shù)的定義：形如a+bi（a,bGR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，實(shí)部是。，虛部是b.

2、虛數(shù)單位：把平方等于一1的數(shù)用符號(hào)i表示，規(guī)定i2=—1,我們把i叫作虛數(shù)單位.

3、復(fù)數(shù)集：①定義：全體復(fù)數(shù)所成的集合.②表示：通常用大寫字母C表示.

4、復(fù)數(shù)的分類：任意一個(gè)復(fù)數(shù)都由它的實(shí)部與虛部唯一確定，虛部為0的復(fù)數(shù)實(shí)際上是一個(gè)實(shí)數(shù).

實(shí)數(shù)3=0)

（1）純虛數(shù)（。=0）

虛數(shù)370A

非純虛數(shù)（。手0）

（2）復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系

5、復(fù)數(shù)相等：a+bi與c+di相等的充要條件是。=c且6=d.

6、共輾復(fù)數(shù)：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共輾復(fù)數(shù).

復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)用z表示，即當(dāng)z=a+歷（a,6GR）時(shí)，z=a—bi.

知識(shí)點(diǎn)2：復(fù)數(shù)的幾何意義

1、復(fù)平面：當(dāng)用直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)時(shí)，稱這個(gè)直角坐標(biāo)系為復(fù)平面，x軸為實(shí)軸，y軸為虛軸.

復(fù)平面

1

(1)任一個(gè)復(fù)數(shù)z=〃+/?i(mZ?￡R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(〃，。)是一一對(duì)應(yīng)的.

(2)一個(gè)復(fù)數(shù)z=〃+歷(〃，/?￡R)與復(fù)平面內(nèi)的向量被=(見5)是---對(duì)應(yīng)的.

【注意】實(shí)軸、虛軸上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0,0),它所確

定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0,表示的是實(shí)數(shù).

3、復(fù)數(shù)的模

(1)定義：向量的模廠叫做復(fù)數(shù)z=〃+歷3,b￡R)的?；蚪^對(duì)值.

(2)記法：復(fù)數(shù)z=〃+歷的模記為團(tuán)或|〃+歷

(3)公式：\z\=\a+bi\=r=y/a2+b2(r>0,r^R).

知識(shí)點(diǎn)3：復(fù)數(shù)的運(yùn)算

1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則

設(shè)Z]=Q+bi,z2=c+di(〃，b,c,d￡R),則:

(1)加法：zi+z2=(〃+歷)+(c+di)=(a+c)+(8+菊i;

(2)減法：zi—Z2=(〃+hi)—(c+di)=(〃-c)+(b—

(3)乘法：zi-Z2=(?+bi)(c-\-di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

4a+bi(a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad

⑷除法：裂中……+i(c+diw0)

c1+d2c2+d2

2、復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾個(gè)重要結(jié)論

(1)|Z1+Z2F+|Z1—Z2|2=2(|Z1F+|Z2|2);(2)Z.z=|z|2=|zI2.

(3)若Z為虛數(shù)，則|z|2先2.(4)(l±i)2=±2i.

1.

3、虛數(shù)單位i的乘方

計(jì)算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，i"有如下性質(zhì)：

i1=i,i2=-1,i3=i-i2=—i,i4=i3-i=—i-i=l,

從而對(duì)于任何“GN二都有i4n+1=i4"-i=(i4)"-i=i>

同理可證i4"2=—1,i4"+3=-i,i4n+4=l.

這就是說，如果“CN+,那么有i4"+i=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4n+4=l.

由此可進(jìn)一步得(l+i>=2i,(1-i)2=-2i,=7,^=-i.

4、復(fù)數(shù)方程的解

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)一元二次方程a/+°久+c=0(a豐0)的求解方法：

(1)求根公式法：

①當(dāng)△2()時(shí)，x=gic②當(dāng)△<()時(shí)，乂=山正亙

2a2a

(2)利用復(fù)數(shù)相等的定義求解，設(shè)方程的根為x=m+ni(m,n€R),

將此代入方程a/+bx+c=0(a^0),化簡(jiǎn)后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解.

知識(shí)點(diǎn)4：復(fù)數(shù)的三角形式

1、復(fù)數(shù)的三角形式：任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成z=r(cos?+is譏。)的形式，其中r是復(fù)數(shù)的模，。是復(fù)數(shù)

的輔角.

【注意】復(fù)數(shù)的三角形式必須滿足：模非負(fù)，角相同，余正弦，加號(hào)連.

2、輔角主值

(1)輔角的定義：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi的對(duì)應(yīng)向量為近，以久軸的非負(fù)半軸為始邊，向量被所在的射線(射

線。Z)為終邊的角。，叫做復(fù)數(shù)z的輔角.

(2)輔角的主值：根據(jù)輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)輔角有無限多個(gè)值，且這

些值相差2兀的整數(shù)倍.

規(guī)定：其中在0W8<2兀范圍內(nèi)的輔角。的值為輔角的主值，通常記作argz

【注意】因?yàn)閺?fù)數(shù)0對(duì)應(yīng)零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輔角是任意的.

3、復(fù)數(shù)乘、除法的三角表示：己知Zi=々(cos。］+z2=r2(cos02+isin02)>

(1)乘法:ZiZi=r1r2［cos(01+02)+isin(01+02)］>即模數(shù)相乘，輔角相加.

(2)除法：迫=當(dāng)經(jīng)產(chǎn)嚶=且［?！?％—4)+15譏(%—。2)］，即模數(shù)相除，輔角相減.

z2r2(cos02+isin02)r2

?題型歸納

【題型i復(fù)數(shù)的相關(guān)概念應(yīng)用】

滿分技法

1、判斷復(fù)數(shù)。+歷的實(shí)部、虛部的關(guān)鍵

（1）看形式：看復(fù)數(shù)的表示是否是。+歷的形式;

（2）看屬性：看6是否都是實(shí)數(shù)；

（3）看符號(hào)：復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的符號(hào)是易錯(cuò)點(diǎn).

2、復(fù)數(shù)的分類：對(duì)于復(fù)數(shù)。+歷，

（1）當(dāng)且僅當(dāng)6=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；

（2）當(dāng)且僅當(dāng)。=6=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；

（3）當(dāng)厚0時(shí)，叫做虛數(shù)；

（4）當(dāng)a=0且以0時(shí)，叫做純虛數(shù).

1.（23-24高一下?湖南常德?月考）復(fù)數(shù)l-5i的虛部是（）

A.5B.-5C.5iD.-5i

【答案】B

【解析】復(fù)數(shù)1-5i的虛部為-5.故選：B.

2.（23-24高一下?甘肅白銀?期中）復(fù)數(shù)i+7i?的實(shí)部與虛部之和為（）

A.-8B.-6C.8D.6

【答案】B

【解析】因?yàn)閕+7i2=-7+i,所以i+7i?的實(shí)部與虛部之和為-7+1=-6.故選：B.

3.（23-24高一下.四川成都.期中）若純虛數(shù)z="—l+（a+l）i,則々=.

【答案】1

fa2-l=0

【解析】由題意可知，，八，得a=L

（2+1^0

4.（23-24高一^■下?安徽?月考）復(fù)數(shù)z=—6a—7+—4a—21）i,其中aeR.

（1）若復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，求。的值；

（2）若復(fù)數(shù)z為虛數(shù)，求。的取值范圍；

（3）若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求a的值

【答案】（1）a=7或。=—3；（2）QH7且aH—3；（3）a=-1

【解析】（1）由復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，得，-4a-21=0,解得。=7或。=一3

（2）由復(fù)數(shù)z為虛數(shù)，得/一4。一2130,解得"7且"一3

⑶由復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，得仁;：；；［，解得—

【題型2復(fù)數(shù)相等及應(yīng)用】

滿分技法

求解復(fù)數(shù)相等問題的步驟：（1）等號(hào)兩側(cè)都寫成復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；（2）根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件列

出方程（組）；（3）解方程（組）.

5.（23-24高一下?浙江金華?期中）設(shè)x,yeR,若x+（y—l）i=3+T,其中i是虛數(shù)單位，則x+y=

【答案】7

【解析】因?yàn)閤+（y-l）i=3+xi,

所以尤=3,y-l=x,即x=3,y=4,所以x+y=7,

6.（23-24高一下.安徽?月考）己知x+（2x+7y）i=l—5i,其中x,yeR,i為虛數(shù)單位.則實(shí)數(shù)彳=

,=.

【答案】1-1

【解析】由題意x+（2x+7y）i=l-5i,得.\<，解得?

\2x+iy=-2=T

）

7.（23-24高一下?河南鄭州?期中）已知復(fù)數(shù)4=根+（4-機(jī)2］（小￡2,z2=2cos^+（2+3sin<9）i（2,6GR）,

并且Z]=Z2,貝ij/lw

9

【答案】-五，7

lo

【解析】由題意m=2cos6,4-/=X+3sine,所以（ZcosOj+x+3sin9=4,

（

從而zl=4sin26—3sin6=4sin6—1I

注意至Usin。的取值范圍是［-1』,

所以；1=4卜n6—|j-2的取值范圍是-

116L

8.(23-24高一下?云南保山?期中)(多選)已知〃，Z?GR,2a-l+(Z?-l)i=0,z=(l+i)2'/+/,,則()

2.

A.a=lB.b=lC.z-z=4D.—=i

z

【答案】BC

【解析】對(duì)于A、B,由2a-l+S-l)i=。，解得"=5,故A錯(cuò)誤，B正確.

b=l

對(duì)于C,z=(l+i)2"'=(l+i)2=2i,z-z=-4i2=4,故C正確；

22

對(duì)于D,-==故D錯(cuò)誤.故選：BC.

z21

【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用】

滿分技法

(1)任一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+歷(a,bGR)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z(a,b)是---對(duì)應(yīng)的.

(2)一個(gè)復(fù)數(shù)2=。+歷(a,beR)與復(fù)平面內(nèi)的向量下=(a,6)是---對(duì)應(yīng)的.

9.(23-24高一下?四川眉山?月考)設(shè)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2+3i和3-i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,則向量旗表示

的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】由復(fù)數(shù)的幾何意義知，A(2,3),B(3,-1),故前=(一4),

所以塞表示的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1,T)位于第四象限.故選：D

10.(23-24高一下.安徽?月考)復(fù)數(shù)z=-2023+2024i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】復(fù)數(shù)z=-2023+2024i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2023,2024),位于第二象限.故選：B.

11.(23-24高一下?山東泰安?期中)當(dāng)根＜1時(shí)，復(fù)數(shù)z=3m-l+(m-l)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】因?yàn)?＜根＜1,所以3帆-1＞0,根一1＜0,

所以復(fù)數(shù)z=31+（m-l）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.

12.（23-24高一下?四川成都?期中）復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=8%+15）+（蘇-5利-14）i的點(diǎn)位于四象限時(shí),

實(shí)數(shù)用的取值范圍是（）

A.（-2,7）B.（-2,3）U（5,7）C.（3,5）D.（5,7）

【答案】B

【解析】由已知復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=（汴-8m+15）+（/-5%-14）i的點(diǎn)位于四象限，

r」〃/-8〃Z+15>0卜72<3或加5z…

貝"2uC，1即3rlI11r，即anme（—2,3）U（5,7）,故選：B.

[m2-5m-14<0[-2<根<7'，'"

【題型4復(fù)數(shù)的模長相關(guān)計(jì)算】

滿分技法

計(jì)算復(fù)數(shù)的模時(shí)，應(yīng)先找出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，然后再利用復(fù)數(shù)的模的公式進(jìn)行計(jì)算.兩個(gè)虛數(shù)不能比較大

小，但它們的?？梢员容^大小.

13.（23-24高一下.福建廈門?月考）復(fù)數(shù)z=l-3i,其中i為虛數(shù)單位，則目=（）

A.72B.2C.V10D.5

【答案】C

【解析】因?yàn)閦=l-3i,則目=#+（_3）2=病故選:C

14.（23-24高一下?湖北?期中）（多選）已知復(fù)數(shù)z滿足z+l=|z|-3i,則（）

A.z=4-3iB.z=-4-3iC.|z|=5D.z2=25-24i

【答案】AC

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+歷,eR,由z+l=^-3i,得“+歷+i=&+/.3],

b=-3,b=-3,

所以一12解得

a+1=yja+b,a=4,

所以z=4—3i,貝ljW=4+3i,|z|=5,z2=7—24i.故選：AC

15.（2024?河南商丘?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z和z?滿足㈤=|Z「Z2|=1，L+Z/=6,則歸=（）

A.1B.V2C.也D.2

【答案】A

【解析】設(shè)Zi="+歷"2=c+di,(〃,"c,dER)

因?yàn)殚h=1,所以行了=1，即/+〃=1,①

又|z「z」=l,所以Jg_c)2+(bT)2=1,即(a—cp+S-d)2=l,②

又卜+z2|=,所以+c)~+伍+d)~=，即(a+c)+(b+d)=3,③

②+③可得2(〃2+。2+02+屋)=4,④

把①代入④可得02+f=1,

所以㈤=J。?+唐=1,故A正確；故選：A.

16.（23-24高一下?陜西西安?月考）若復(fù)數(shù)z滿足回=5,且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，寫出一

個(gè)符合條件的復(fù)數(shù)z=.

【答案】3-4i（不唯一，符合題意即可）

【解析】設(shè)2=々+歷，a,beR,因?yàn)殁?5,所以42+52=25,

因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，所以z可以為3-4i.

【題型5復(fù)數(shù)四則混合運(yùn)算】

滿分技法

解決復(fù)數(shù)四則運(yùn)算問題的思路：

1、復(fù)數(shù)的加減法：實(shí)部與虛部相加減，虛部與虛部相加減分別作為結(jié)果的實(shí)部與虛部。把i看作字母，類

比多項(xiàng)式加減法中的合并同類項(xiàng)；

2、復(fù)數(shù)的乘法可以按照多項(xiàng)式的乘法計(jì)算，只是在結(jié)果中要將I?換成-1,并將實(shí)部、虛部分別合并.多項(xiàng)

式展開中的一些重要公式仍適用于復(fù)數(shù)，常用公式有（。+歷）（a—?dú)v）="+/,（a+bi）2=a2-b2+2abi,

（a土歷了=a3-3ab2+（2a2b-b3）i.

2、復(fù)數(shù)的除法法則在實(shí)際操作中不方便適用，一般將除法寫成分式形式，采用“分母實(shí)數(shù)化”的方法，即

將分子、分母同乘分母的共兜復(fù)數(shù)，使分母成為實(shí)數(shù)，再計(jì)算.

17.（23-24高一下.河南濮陽?月考）設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（3,-2）,貝4號(hào)=（）

A34.34.34.34-

A.1B.—I—1C.------1D.1—1

55555555

【答案】C

【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（3,-2）,所以z=3-2i,

z-23-2i-2l-2i(l-2i)2-3-4i34

所以=一二一不?故選:C.

l+2il+2il+2i-(l+2i)(l-2i)--5~

18.(23-24高一下?河南駐馬店?月考)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足-i.z=2+7i,則2=)

A.-7+2iB.-7-2iC.7+2iD.7-2i

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，-i-z=2+7i,貝心="^=(2+75=-7+21故選：A

—1

19.(23-24高一下.黑龍江佳木斯?期中)設(shè)aeR,(a+i)(l-ai)=2,則a等于.

【答案】1

【解析】因?yàn)?a+i)(l—ai)=a—a'+i—擄2=2a+(l—a2)i,

,、/、[2a=2

又awR,(a+i)(l-ai)=2,所以＜2,解得a=l.

[1—a=(J

20.(23-24高一下.河南鄭州.期中)計(jì)算(1)(2+3i)(2-3i)；(2)(1+i)2；(3)器

17

【答案】(1)13；(2)2i(3)--+-i

【解析】(1)(2+3i)(2—3i)=22—(3i)2=4+9=13；

(2)(l+i)2=l+2i+i2=2i；

l+2i_(l+2i)(3+4i)_3+8-+4i+6i_-5+10i__12.

⑶3-4i-(3-4i)(3+4i)-32-(4i)2--25—1+不—

【題型6復(fù)數(shù)高次幕的周期性應(yīng)用】

滿分技法

計(jì)算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，i"有如下性質(zhì)：

F=i,i2=-1,i3=ij2=—i,i4=i3-i=—i-i=l,

從而對(duì)于任何"GN+,都有i4n+1=i4,,-i=(i4),!-i=i?

同理可證i4"+2=—1,i4?+3=-i,i4?+4=l.

這就是說，如果"GN+,那么有i4"+i=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4n+4=l.

由此可進(jìn)一步得(l+i)2=2i,(1—i)2=—2i,J7j4=—1,1=—i.

21.(23-24高一下?江西?月考)已知復(fù)數(shù)z滿足力3=1+%9,貝"z|=()

A.1B.V2C.73D.V5

【答案】D

【解析】???z=^^=9=^^=-2+i,.1z|=J(_2)2+F=^.故選:D.

i-i-ixi

22.（23-24高一下?河南?期中）i+i?+i3+i4+L+12。24=（）

A.0B.iC.1D.-i

【答案】A

【解析】因?yàn)閕2=-l，i3=T，i，=l，j5=i…，所以具有周期性，周期為4,

所以i+i2+i3+i4=0,所以1+12m3M4+...+謬《=0.故選：A

23.（22-23高一下?廣東廣州?期中）已知i是虛數(shù)單位，則

【答案】-1

24.（23-24高一下?山東濱州?月考）

【答案】T

【解析】因?yàn)樨癓/(I：］、="所以(Hi『"=i2°23=1505x4+3=j3=

l-i(l-i)(l+i)U-iJ

【題型7共輾復(fù)數(shù)及辨析】

滿分技法

共輾復(fù)數(shù)問題的求解技巧：

1、若復(fù)數(shù)z的代數(shù)式已知，則根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的定義，可以寫出I,再進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.

2、已知關(guān)于z和三的方程，而復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式位置，求解z.

解決此類問題的常規(guī)思路是：設(shè)2=4+歷（a,beR）,則［=。-歷，代入所給等式，利用復(fù)數(shù)相等的充要

條件，轉(zhuǎn)化為方程（組）求解.

2+4i

25.⑵-24高一下.河南商丘?月考）設(shè).不’則,的虛部是（）

A.1B.-1C.-iD.i

【答案】B

(2+4i)(l+3i)-10+10i

【解析】依題意,z=-----------------=--------=-----l+i,

(l-3i)(l+3i)10

則』=T_i，所以彳的虛部是-1.故選：B

26.（23-24高一下?天津河西?期中）復(fù)數(shù)學(xué)半的共輾復(fù)數(shù)是（）

31-1

A.-l-3iB.l-3iC.-l+3iD.l+3i

【答案】C

【解析】因?yàn)閨6+8i|=,62+82=10,

|6+8i|

所以

3i-l

所以復(fù)數(shù)*的共軌復(fù)數(shù)是-l+3i.故選：C

27.（2024?福建莆田?三模）（多選）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.若z+3=0,則三=iB.若z?5=2忖，則忖=2

z

C.若Z]=z,則Z]=zD.若|z+zJ=O,則4七+卜『=0

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A,由z+I=0,得三=-1,則A錯(cuò)誤.

z

對(duì)于B,因?yàn)閦七=，，所以|z「=2|z|,解得閆=2或忖=0（舍去），則B正確.

對(duì)于C,設(shè)2=々+次（Q,bwR,且abwO）,

則Z[=z=a-bi,所以Z[=a+Z?i=z,則C正確.

對(duì)于D,由|z+zJ=O,得4=—z.

設(shè)z=a+藥（a,beR,且而w0）,則4?z=-z?z=-（儲(chǔ)+/）,

222

|z|=a+bf從而Zi?一+，=0,則D正確.故選：BCD

28.（23-24高一下?江蘇南京?月考）已知虛數(shù)z滿足：z+工為實(shí)數(shù)，貝丘.彳=.

Z

【答案】1

【解析】設(shè)z=〃+歷則彳二〃一歷（a,Z?￡R,Z?w。），

z+-=a+bi+—^—=（a+A+[b--為實(shí)數(shù)，

z〃+biIa+bJIa+b）

于是=。,即〃+心1,故Z.i+M歷）…2=1.

【題型8復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解方程】

滿分技法

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)一元二次方程a%?+力％+。=o（aW0）的求解方法：

（1）求根公式法：

①當(dāng)心0時(shí)，%=也竺王②當(dāng)△<0時(shí)，X=但正（bic）i

2a2a

（2）利用復(fù)數(shù)相等的定義求解，設(shè)方程的根為x=m+ni（m,ne/?）,

將此代入方程a/+法+c=0（a40）,化簡(jiǎn)后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解.

29.（23-24高一下?湖南岳陽?期中）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程（x+4乂d+4）=0的解集為

【答案】{-2i,-4,2i}

【解析】由（x+4）（尤?+4）=。，得x=T或彳2=-4,即x=T或尤=±2i.

30.（23-24高一下.河南安陽?月考）已知p,q為實(shí)數(shù)，2i-3是關(guān)于x的方程2/+px+q=0的一個(gè)根，則

的值為（）

A.14B.-14C.38D.—38

【答案】C

［解析］由題意2（2i—3）~+p（2i_3）+q=0,即（2p_24）i+10_3p+q=0,

2P-24=0fp=12

］0-3p+q=0=0'解得］q=26所以p+q=38.故選：C

31.（23-24高一下?天津河西?期中）已知士,三是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程好一4元+5=0的兩個(gè)虛根，則

M+I吐

+x2

【答案】好

2

【解析】因?yàn)椋?_4X+5=0,即（％—2）2=—l=（±i）2,

所以項(xiàng)=2—i,%2=2+i,

貝Ij=I'|=，2之+12=0,玉+々=2—i+2+i=4,

國+國=2百二6

所以

%+942

32.（23-24高一下?吉林?期中）（多選）設(shè)方程d+x+l=O在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根分別為z”Z2,則下列關(guān)于

4,Z2的說法正確的有（）

A.=z2B.z；-z：=OC.z；-z；=0D.ztz2=1

【答案】ABD

【解析】對(duì)A,由實(shí)系數(shù)一元二次方程求根公式知4=」+且5=」-避4,

122222

則z；=一g+=（與40順序無關(guān)），故A正確；

對(duì)B,因?yàn)閐=4=1,所以zJ-Zz'O,故B正確；

2

對(duì)C,由A,z/-z2=z2-Zi0,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,由韋達(dá)定理可得NV=1,故D正確.故選：ABD

【題型9與復(fù)數(shù)模有關(guān)的最值問題】

滿分技法

1、求復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合表示的圖形時(shí)，常用的方法是通過化簡(jiǎn)得到關(guān)于復(fù)數(shù)模的最簡(jiǎn)等式或不

等式，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的模的幾何意義直接判斷圖形的形狀.

2、復(fù)數(shù)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式，

若z=x+yi,則|z-（a+bi）|表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)（x,y）與點(diǎn)（a,b）之間的距離，

則|z-（a+bi）\=r表示以（a,b）為圓心，以r為半徑的圓上的點(diǎn).

33.（23-24高一下.河北石家莊.期中）當(dāng)復(fù)數(shù)z滿足|z-（3+4i）|=l時(shí)，則目的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】設(shè)2=工+”，復(fù)數(shù)z滿足|z-（3+4i）|=l,

所以（x-3）2+（y-4）2=1,表示（X,y）到點(diǎn)（3,4）的距離為1,

所以（羽N）到原點(diǎn)的距離的最小值為反百-1=4，即目的最小值是4.故選：B

34.（23-24高一下?福建?期中）已知復(fù)數(shù)z滿足|z-l+2i|=l,貝！||z|的最小值為.

【答案】V5-1

【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，Iz-l+2i|=l表示復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)i_2i對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)間的距離為1,

所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是以點(diǎn)（1,-2）為圓心，1為半徑的圓，如圖，

目表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,

由圖可知，目的最小值為J『+（_2）2-1=近一1.

35.（23-24高一下?浙江杭州?期中）復(fù)數(shù)2滿足目=1,i是虛數(shù)單位，則|z+i|的最大值為

【答案】2

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+6i（a8eR）,

22

因?yàn)槟?1,所以=i，gpa+￡>=1,

所以|z+i|=|a+（6+l）i|=荷+僅+1）2=.+"+爐=.優(yōu)+1）,

因?yàn)?+〃=1,所以-iwbwi,

當(dāng)6=1時(shí)，|z+i|最大，即|z+i|的最大值為2.

36.（22-23高一下?廣東廣州?期中）已知zeC,且|z+3i|=l,i為虛數(shù)單位，則Iz-l+2i|的最小值是

【答案】V2-1

【解析】令2=%+處（無,yeR）,貝（IJd+U+By2=1,

所以，等價(jià)于坐標(biāo)系中點(diǎn)C（x,y）到定點(diǎn)3（0,-3）的距離恒為1,

即動(dòng)點(diǎn)C在以B為圓心，半徑為1的圓上，如下圖：

又|z-1+2i|表示動(dòng)點(diǎn)C到定點(diǎn)A（l,-2）的距離，而B與A的距離為近,

所以萬-1W|AC|<V2+1,

C在A,3之間且共線，左側(cè)等號(hào)成立；3在AC之間且共線，右側(cè)等號(hào)成立;

所以|z-l+2i|的最小值是血_1.

【題型10復(fù)數(shù)三角形式的應(yīng)用】

滿分技法

1、將復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)化為三角形式z=r(cos。+isin。)時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：

(1)r=Va2+b2,

(2)cos3=sin3=\其中。終邊所在象限與點(diǎn)(a,b)所在象限相同，當(dāng)a=0,b>0時(shí)，argz=|

2、每一個(gè)不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輔角的主值，并且由它的模與輔角的主值唯一確定。因此，兩個(gè)非

零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輔角的主值分別相等。

37.（2023高三?全國?專題練習(xí)）復(fù)數(shù)—工+/4的三角形式是（）

22

A.cos60°+isin60°B.-cos60°+isin60°

C.cosl20°+isin60°D.cosl20°+isinl20°

【答案】D

【解析】依題意，令z=-g+—4=r（cose+isine）（r＞0,0°we＜360°）,

[41

cos6=——

2

則/=|z|=l,所以《廣，

si.n夕"=——＜3

12

因?yàn)?°＜夕＜360°,所以6=120°,

所以一工+走，的三角形式是cosl20°+isinl20°.故選：D.

22

38.(23-24高一下?全國?專題練習(xí))設(shè)復(fù)數(shù)5+6i的輻角的主值是凡則12-10i的輻角的主值為()

c371c

A.-0B..D.—+0

2

【答案】D

12-10i（12-10i）（5-6i）

【解析】因?yàn)?-2i=2|cos—+isin—

5+6i（5+6i）（5-6i）I22J

所以12-10i的輻角的王值為］■+6.故選：D.

39.(23-24高一下?河南安陽?月考)法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：［r(cos6+isin。)］“=rn(cosnd+isinnO^nGZ),

我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理，則(1+丁024=()

A.1B.21012C.-21012D.21012i

【答案】B

【解析】（l+i）2024=01cos：+isi用=2皿2"型|如+1$.寫力=2叫故選：B

40.（23-24高一下.全國?專題練習(xí)）計(jì)算下列各式，并用三角形式表示:

(2)3cos—+isin—x7cos-----Fisin——

I66{44

⑶2c巧+isi吟

【解析】⑴原式=&cos［導(dǎo)當(dāng)+isin忙+?

k12o)\12o

4兀..4兀

(3)原式=2cos-----Fisin——

33

?過關(guān)檢測(cè)

一、單選題

1.（23-24高一下.河南駐馬店?月考）已知復(fù)數(shù)4=2-泊/2=》-1+公，（〃,尻1<,1為虛數(shù)單位），且4=z2,

貝I（）

A.〃=—l,b=lB.a=2,b=—3

C.a=2,b=3D.〃=—2/=3

【答案】D

【解析】由復(fù)數(shù)4=2-=b-l+2i,（a/￡R,i為虛數(shù)單位）,

[2=6—1

因?yàn)?=z2,可得2—ai=b—l+2i,貝"，解得〃=-2/=3.故選：D.

一\-a=2

2.（23-24高一下?浙江?期中）若復(fù)數(shù)z滿足（3+4i）z=|4+3i|,貝心的虛部為（）

44.

A.-4B.C.-4iD.——1

55

【答案】B

【解析】因?yàn)?3+因)z=|4+3i|="2+32=5,

55(3-4i)=34.

所以z=3+4i-(3+4i)(3-4i)-5-51

4

所以z的虛部為-亍故選：B

3.⑵-24高一下?浙江?月考）已知復(fù)數(shù)2=占-干&為虛數(shù)單位）’則z的虛部為（

)

A.-1B.；C.--iD.-i

2222

【答案】B

i；2024_i。—i)(■；4\506_l+i[506l+i11I?一!.故選:B.

【解析】z==-------1=-----F—i,所以Jmz二

l+i(l+i)(l-i)、'l-(T)2222

4.（23-24高一下.安徽?月考）若復(fù)數(shù)z滿足3iz=3+i,貝Uz2=

810

B.-3C.D.

99~9

【答案】D

【解析】因?yàn)?iz=3+i,

3+i(3+i)i-l+3i1.

所以=-----1

3T-3i2--33

則z?彳=+=(g).故選:D.

5.（23-24高一下?福建福州?期中）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=2,則|z+3+4i|最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】|z[=2是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)。為圓心，2為半徑的圓，

|2+3+旬=|2-（-3-旬|是上述圓上的點(diǎn)到復(fù)數(shù)—3-4，對(duì)應(yīng)點(diǎn)4-3,-4）的距離，

而|Q4|=V?了不=5>2，所以lz+3+4i|的最小值是|。4|-2=3.故選：A

6.（23-24高一下?安徽安慶?月考）已知4*2都是復(fù)數(shù)，其共軻復(fù)數(shù)分別為z，Z2,則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.4+Z2=Z]+Z2B.2尼卜㈤㈤

C.若|z