廣東省揭陽市2024-2025學年高一下學期期末教學質(zhì)量測試數(shù)

學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知全集。="€仇,》<6},4={2,3,4},8={1,3,5},則（轉(zhuǎn)）1A=（）

A.{1,2}B.{2,4}C.{L2,4}D.{2,4,5}

2.若x,yeR,則“龍〉y”的一個充分不必要條件可以是（）

?X

A.x-y>lB.x-y>0C.->1D.I^Alyl

y

3.有下列一組數(shù)據(jù)：2,17,33,15,11,42,34,13,22,則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是（）

A.11B.13C.22D.33

4.已知偶函數(shù)在區(qū)間。+8）上單調(diào)遞增，則滿足/。+1）</（2）的X的取值范圍是（）

A.（-oo,l）B.（-U）C.（-3,1）D.（—4]

2

5.已知正三棱柱ABC-AgG的棱長均為了。為441的中點，則四面體A38的體積為（）

AV3R2后6N2A/3

81812727

11,1

6.已知函數(shù)/（尤）=2￡+無一5,80）=炮工+無一5，〃（尤）=/+_1-5的零點分別為°,瓦（?，貝I]

。，瓦c的大小關系為（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

7.已知命題P：±eR,亦2+2辦+3NO為真命題，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.RB.{a|a>0}C.{4。<0或a>3}D.{*>3}

8.在2025揭陽馬拉松比賽活動中，四位志愿者A,B,C,D被隨機分配到四個物資發(fā)放點（站

點1-4）,每人原屬站點分別為Afl,Bf2,Cf3,Df4.規(guī)定每人不能分配到原屬站點，

則志愿者A被分配到站點4的概率是（）

二、多選題

9.如圖，在平行四邊形ABC。中，E,E分別是。邊上的兩個三等分點，則下列選項正確

的有()

A.EF=-ABB.AF=-AD+-ACC.BE=CB-CE

333?

D.AD+DC=AB+BC

10.設函數(shù)/(x)=cosx-指sinx,則下列結論正確的是()

A.-2兀是的一個周期B./(x)的圖象關于直線x=9對稱

6

TTD.在區(qū)間[小j上單調(diào)遞減

c./(X+兀)的一個零點為x=/

0

11.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù),/(無+D是偶函數(shù)，當xe[0,l]時，/(x)=77+

x,則下列說法中正確的有()

A.4是/(x)的一個周期B./(無)的圖象關于直線尤=2對稱

2025

c.*(i)=2D.方程方幻=叩引恰有8不同的實數(shù)根

三、填空題

12.已知隨機事件A8,C,A和3互斥，3和C對立，且尸(A+3)=0.7,尸(A)=0.3,貝|

P(O=.

13.已知函數(shù)/(元)J1**/，若g(無)=〃》)/只有一個零點，則％的取值范圍

[-2+Inx,x>0,

是.

14.已知A民C￡>四點都在體積為學兀的球。的表面上，若是球。的直徑，且BC=3,

ZBAC=150°,則三棱錐A-8CD體積的最大值為.

四、解答題

15.已知VABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,有余弦定理:

a?=b2+c2-2Z?ccosA,

試卷第2頁，共4頁

b2=a2+c2-2accosB,

c2=a1+b2—labcosC■

(1)在上面三個等式中，任選一個等式進行證明；

(2)若4==，b=6，asinA=5A/3sinB-2sinC,求VABC的面積.

16.潮汕英歌舞以其動作剛勁有力，節(jié)奏感強的特色，備受人們喜愛.某校組織英歌隊進行

訓練并作了匯報表演，為了解訓練成果，做了一次問卷調(diào)查，問卷所涉及的問題均量化成對

應的分數(shù)(滿分100分)，從所有答卷中隨機抽取100份的分數(shù)作為樣本，將樣本的分數(shù)(成

績均為不低于50分的整數(shù)且在組內(nèi)均勻分布)分成五段：[50,60),[60,70),..,[90,100],得

到如下所示的頻數(shù)分布表.

樣本分數(shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)10a303010

頻率0.1b0.30.30.1

(1)求頻數(shù)分布表中。和6的值，并估計樣本成績的平均數(shù)；

(2)經(jīng)計算，樣本中分數(shù)在區(qū)間[50,60)內(nèi)的平均數(shù)為56,方差為7；在區(qū)間[60,70)內(nèi)

的平均數(shù)為65,方差為4,求兩組成績的總平均數(shù)彳和總方差d.

17.如圖，已知A8是圓柱下底面圓的直徑，點C是下底面圓周上異于A,B的動點，CD,

BE是圓柱的兩條母線.

E

B

(1)求證：平面ACD_L平面BCOE；

(2)若A3=5,8C=2,圓柱的母線長為2后，求平面ADE與平面ABC夾角的余弦值.

18.已知函數(shù)/(x)=cos(4x+^J+cos卜x-^J+sin4x+”的最大值為1.

⑴求常數(shù)。的值；

⑵求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(3)設為,無2為函數(shù)f(x)的兩個相異零點，求卜-引的最小值.

19.通過平面直角坐標系，我們可以用有序?qū)崝?shù)對表示向量.類似的，我們可以把有序復數(shù)

對(Z1，Z2)(Z”Z2€C)看作一個向量，記。=(Z],Z2),稱。為復向量.類比平面向量的相關運

J

算法則，XtFa=(z1,z2),Z2=(z3,z4),z1,z2,z3,z4,2eC,我們有如下運算法則：①

a+Z?=(z1+z3,z2+z4),a-Z7=(z1-z3,z2-z4)；(2)Aa=(/Lz1,Az2');(§)a-b=zlz3+z2z4；④

|a|=1a-a-

(l)iSa=(1,2—i),Z>=(1+i,1—2i),求a.6和Ia+:|;

⑵類比平面向量數(shù)量積滿足的運算律，得出復向量的一個相關結論：a\b+c)=a-b+a-c,

判斷上述結論是否正確，并說明理由；

(3)設a=(3+3i,3),集合。="2=(z”Z2),Z2=Z]+3,Z],Z2，求|q-b|的最小值，

并證明當|a-b|取最小值時，對于任意的ceQ,(a-Z?)-(/?-c)=0.

試卷第4頁，共4頁

《廣東省揭陽市2024-2025學年高一下學期期末教學質(zhì)量測試數(shù)學試卷》參考答案

題號12345678910

答案BADCABABABDAC

題號11

答案ACD

1.B

【分析】根據(jù)題意先求出自2,再根據(jù)交集的定義即可求得（句3）A的答案.

【詳解】依題意。=口，2,3,4,5},所以”={2,4},所以&B）cA={2,4}.

故選：B.

2.A

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義逐一判斷即可.

【詳解】對于A,因為尤->>1,所以x>y+l>y,即

當龍〉y時，取x=2.5,y=2,貝Ijx-ycl,

所以“無->>1”是“x>y”的一個充分不必要條件，故A正確；

對于B,x-y>0即x>y,"x-y>0”是“x>y”的充要條件，故B錯誤；

%

對于C,由一>1,取光=-2?=-1,則xvy,

y

由元〉y,取％=l,y=—2,則一<1,

y

Y

所以“7>i”是“x>y”的既不充分也不必要條件，故c錯誤；

對于D,由取x=-2,y=l,貝!|x<y,

由x>y,取x=l,y=-2,則|x|<|y|,

所以“IxAlvl”是“x>y”的既不充分也不必要條件，故D錯誤.

故選：A.

3.D

【分析】根據(jù)題意，由百分位數(shù)定義計算即可求解.

【詳解】該組數(shù)據(jù)從小到大排列為2,11,13,15,17,22,33,34,42,共有9個數(shù)據(jù),

由題意且9x0.75=6.75,

則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是從小到大排列的第7個數(shù)，即33.故D正確.

故選:D.

4.C

答案第1頁，共10頁

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的單調(diào)性列絕對值不等式求解即可.

【詳解】因為/（X）為偶函數(shù)，且在區(qū)間［0,+8）上單調(diào)遞增，則f（x）在區(qū)間（-8,0］上單調(diào)遞

減，

而〃尤+1）</（2）,則|r+l|<2,所以—3<x<l.

故選：C.

5.A

【分析】根據(jù)棱錐及棱柱的體積公式計算求解.

2

【詳解】如圖所示，幾何體A5C-AAG為正三棱柱，且所有棱長均為：，

則匕棱錐令58=咚棱柱ABC-AB1G-%棱鴨-84GC一Z棱錐DTBC

12A/32122A/3112A/3173

=—X—X-------X-------------X—X—X----------------X—X—X--------X—=--------.

233333333233381

故選:A.

6.B

【分析】根據(jù)題意分別作出函數(shù)y=2',y=lgx,y=x3及y=-x+；的圖象，即可求解.

【詳解】在同一平面直角坐標系中分別作出函數(shù)y=2*,y=lg尤,y=/及>=_天+；的圖象,

如圖所示.

由圖象可知故B正確.

故選:B.

答案第2頁，共10頁

7.A

【分析】對實數(shù)。的取值進行分類討論，當〃=0或。〉0時，直接驗證即可；當。<。時，結

合二次不等式能成立可得出關于實數(shù)，的不等式，解之即可.

【詳解】當。=0時，3>0成立；

當。>0時，拋物線>=〃%2+2以+3開口向上，成立；

當avO時，由A=46—12a>0,得或a>3,所以avO.

綜上所述，acR.

故選：A.

8.B

【分析】A必然在站點2,3,4中的某一個的機會均等，可求得志愿者A被分配到站點4的

概率.

【詳解1A被分配到站點4與被分配到站點2和站點3的機會是相等的，且A必然在站點2,

3,4中的某一個，則A在站點2,3,4中的概率都是g.

故選：B.

9.ABD

【分析】根據(jù)向量的線性關系及加減法計算求解判斷各個選項即可.

【詳解】對于A,由題意知，E,尸分別是C。邊上的兩個三等分點，且石尸與AB方向相同，

則跖故A正確；

對于B,AF=AD+DF=AD+-DC=AD+-(AC-AD)=-AD+-AC,故B正確；

33、'33

對于C,CB-CE=EB,故C錯誤；

對于D,AD+DC=AC,AB+BC=AC,所以A￡>+DC=AB+，故D正確.

故選:ABD.

10.AC

【分析】化簡f(x)的解析，根據(jù)三角函數(shù)的周期性、對稱性、零點、單調(diào)性等知識求得正

確答案.

【詳解】因為函數(shù)7(x)=cosx-6sinx=2cos[+m],所以它的一個周期為-2無，故A正

確；

答案第3頁，共10頁

令X=j求得〃X)=。，故B錯誤；

6

/(x+7l)=2COS[x+兀+=_2cos(x+方),令x=瑩,

求得了([+兀)=—2cos[m+g]=0,故/。+兀)的一個零點為％=3,故C正確；

63/6

當xe(方兀)時，而函數(shù)y=cosx在[二,無]上單調(diào)遞減，

在[節(jié)上單調(diào)遞增，所以在[卜]上沒有單調(diào)性，故D錯誤.

故選：AC.

11.ACD

【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性結合奇偶性計算求解周期判斷A,應用對稱中心定義判斷B,應

用周期性求函數(shù)值判斷C,畫出圖象結合數(shù)形結合判斷交點判斷D.

【詳解】對于A,因為g(x)=/(x+D是偶函數(shù)，所以g(-x)=g(x),即〃1一同=〃1+尤)，

/(2+x)=/(1-(1+%))=/(-%)=-/(%),/(x+4)=-f(x+2)=-(-/(%))=/(%),

即/(尤)的周期T=4,故A正確；

對于B,由A得以4-x)=/(-x)=-f(x),函數(shù)/(x)的圖象關于點(2,0)對稱，故B錯誤；

對于C,因為的周期7=4,"0)=0,貝1/(4)=0

當xe[0,l]時，/(x)=?+x,則/(1)=2,

由/(f)=/(x+2),令x=0則"2)=0,令片1則〃3)=/(_1)=_/(1)=_2,

2025

所以￡/(0=506[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(I)=2,故C正確；

Z=1

對于D,作出函數(shù)＞=/(元)與函數(shù)、=山忖的圖象，如圖.

所以曲線＞=/(尤)與y=ln|x|有8個交點，故D正確.

故選:ACD.

3

12.0.6/-

5

答案第4頁，共10頁

【分析】利用互斥事件和對立事件的概率公式求解即可.

【詳解】隨機事件A和8互斥，，P(A+8)=P(A)+尸(8),則尸(B)=0.7-0.3=0.4.

X-B和C對立，，P(C)=1-P(B)=0.6.

故答案為：06

13.(-00,-4)

【分析】問題化為函數(shù)y=f(x)和＞=左，作出＞=/(幻與了=上的圖象，數(shù)形結合確定參數(shù)

范圍即可.

【詳解】函數(shù)g(無)=/(尤)-后只有一個零點，則函數(shù)^=/(尤)和、=左只有一個交點，

作出、=/(＞)與，=上的圖象，如圖所示.由圖象可知，

當g(x)=f{x)-k只有一個零點時，實數(shù)上的取值范圍為(-8,-4).

故答案為：(-8,-4).

14.6(2-73)

【分析】設VABC的外接圓半徑為廣，圓心為?！父鶕?jù)正弦定理可求廣，根據(jù)幾何關系可求

O到平面A8C的距離為定值，當VABC面積最大時，三棱錐A-BCD體積最大，利用余弦

定理、基本不等式、三角形面積公式可求VABC面積的最大值，即可得解.

【詳解】設球。的半徑為R,因為球。的體積為學無，故乎無=?兀&,解得R=5,

BC=3,ABAC=150°,設VABC的外接圓半徑為r,圓心為。1，

3

根據(jù)正弦定理知，——7=2r,即r=3,

sin150

222

OOX='OB2_O\B=V5-3=4,

AD是球。的直徑，。是A。的中點，

點D到平面ABC的距離為20a=8,

答案第5頁，共10頁

在NABC中，根據(jù)余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC,

即9=AB2+AC2+-J3AB-AC>2AB-AC+^AB-AC,

AB-AC<9（2-y/3）,當且僅當AB=AC時，等號成立，

ABC的面積5.鉆0=；42.40，$皿/2404：*9（2-6?|=\（2-逝）,

，三棱錐A—3c。體積的最大值V=gx：（2-括）x8=6（2-百）.

故答案為：6（2-73）.

15.（1）證明見解析

⑵6

【分析】（1）設A2=c，AC=b-2C=a，根據(jù)平面向量的減法可得出a=6-c，再結合

平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可證得結論成立；

（2）由正弦定理結合余弦定理可得出關于c的方程，解出c的值，再結合三角形的面積公

式可求得VABC的面積.

【詳解】（1）如圖，在VABC中，設AB=c，AC=b,Bt=a，則a=6-c，

所以q2=(b-c)=Z?2+c2-2Z?-c=|/>|+|c|2-2|z?|-|c|cosA,即/=/_26ccosA.

同理可得b2—a2+c2—2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.

(2)由asinA=54sin8-2sinC及正弦定理得/=5屈-2c,所以〃=15-2c.

由余弦定理得a2=b2+c2-2Z?ccosA=3+c2-3c,

聯(lián)立方程組整理，^c2-c-12=0,所以c=4或c=-3(舍去).

答案第6頁，共10頁

所以S/VIBC=gbcsinA=；x6x4x^^=道.

16.(l)a=20,6=0.2；76；

(2)總平均數(shù)是62,總方差是23.

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，求得。力，結合平均數(shù)的計算公式，即可求解；

(2)根據(jù)分層抽樣的分法，得到分數(shù)在[50,60)和[60,70)的人數(shù)，結合分層抽樣的方差的

計算方法，即可求解.

【詳解】(1)由10+4+30+30+10=100,

角牟得a=20,則6=0.2,

平均數(shù)的估計值為55x0.1+65x0.2+75*0.3+85*0.3+95*0.1=76.

(2)由表可知，分數(shù)在區(qū)間[50,60)內(nèi)的頻數(shù)為10,在區(qū)間[60,70)內(nèi)的頻數(shù)為20,

故兩組成績的總平均數(shù)z=—x56+-^―x65=62,

10+2010+20

兩組成績的總方差r=—^—[7+(56-62)2]+[4+(65-62)2]=23.

_LV/IZJ\JJ.I

所以兩組成績的總平均數(shù)是62,總方差是23.

17.(1)證明見解析

⑵耳

【分析】(1)先證明線面垂直，通過線面垂直得到線線垂直，再證線面垂直，最后得到面面

垂直即可；

(2)先作出底面的垂線，再由垂足作兩個面的交線的垂線，最后連接交線的垂足與斜足構

成二面角的平面角求解即可.

【詳解】(1)因為AB是底面圓的一條直徑，C是下底面圓周上異于A,B的動點，

所以AC_LBC,

又因為。是圓柱的一條母線，所以CD底面ABC,

而ACu底面ABC,所以CD_LAC,

因為CDu平面8C￡>E,8Cu平面BCDE,且CDc3C=C,

所以AC_L平面BCDE,

又因為ACu平面AC。，所以平面ACD_L平面8CDE.

(2)如圖所示，過點A作圓柱的母線AM,連接。M,EM.

答案第7頁，共10頁

D

因為底面ABC〃底面DME,所以即求平面AOE與平面QME的夾角.

因為M,E在底面ABC的射影為A,B,且AB為下底面圓的直徑，

所以為上底面圓的直徑，

因為AM是圓柱的母線，所以平面0WE,

因為。Eu平面。ME,所以

又因為為上底面圓的直徑，所以ME>_LDE,

因為平面AAQ,A〃cO"=M,所以。E_L平面AM。，

因為ADu平面AMD,所以DE1AD,又因為平面ADE平面DME=DE,

所以NMZM為平面ADE與平面DME的夾角,

又因為O在底面ABC的射影為C,所以OE=BC=2,ME=AB=5,

所以AM=萬一于=01，又因為母線長為2石，所以AM=2A/L

又因為A〃_L平面DWE.DMU平面QME,所以

所以AD=J(2拘2+(庖>=733,

所以ccs/MDA=%=也,

V3311

即平面AOE與平面ABC夾角的余弦值為顯.

11

18.⑴a=—1

【分析】(1)先應用兩角和差的余弦公式結合輔助角公式計算化簡，再結合值域列式求參;

(2)應用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間列式計算求解；

(3)根據(jù)已知零點個數(shù)結合特殊值列式，再根據(jù)不等式性質(zhì)求解最小值.

答案第8頁，共10頁

[詳解](1)fM-cos14x+6)+cos[4X—6]+sin4x+a

=2cos4xcos瑩+sin4x+a=V3cos4x+sin4x+a

=2sin4x+—+Q.

I3j

因為/(X)max=2+Q=l,所以々=-1.

(2)由(1)知，/(x)=2sin^4x+|j-l,

TTTT37r

令一+2hi<4x+—<-----1-2kn,keZ,

232

kjt77Lkit

解得上+——<x<-------1-------,kwZ

2242

jrKTT77TKIT

所以函數(shù)〃元)的單調(diào)遞減區(qū)間為—+—伏eZ).

(3)^>/(x)=2sinf4x+yj-l=0,得sin[4x+]J=；,

￡

因為再,馬為/(X)的兩個相異零點，所以sin］你+升

2

7L7L7C7C

①4玉H———F2左]兀,4々———F2左2兀,k],kz￡Z,且勺w內(nèi),

3636

_.兀57r-j.7i57r_77,_,7.

4X|H——--F2^|71,——----F2&兀,k，卜2wZ,目-k1豐k?,

3636

此時|石—Z|，丁二耳?

/7171~，71571CT,R

(2)4玉H———F2k[7i,k]GZ,49—=---F2左2兀k2wZ,

3636

71CT[J71cT