考點鞏固卷04指對累函數(shù)(六大考點)

原考堂先亮

考點01：指數(shù)基礎(chǔ)運算及特殊運算

亮為顯弦巧及考點利稼

考點01:指數(shù)基礎(chǔ)運算及特殊運算

1、有理數(shù)指數(shù)塞的分類

⑴正整數(shù)指數(shù)累”

a=aaaaa…a\neN)

⑵零指數(shù)幕a°=l(a/0)

⑶負整數(shù)指數(shù)事成"='("0,〃eN*)

a

(4)0的正分數(shù)指數(shù)幕等于0,0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義.

2、有理數(shù)指數(shù)嘉的性質(zhì)

mnm+n

Wa-a=a[a>0,m,nG2)

mn

⑵卜呼=a(a>0,m,neQ)

(3)(aZ?)m=ambm(a>0,Z?>0,me2)

__m

⑷Vo?-=a"(a〉0,m,n&Q)

3、根式的定義

一般地，如果x"=a，那么x叫做a的〃次根式，其中(n〉l』eN*)或■叫做根式，〃叫做根指數(shù),

a叫做開方數(shù).

4、對于根式加，要注意以下幾點

⑴〃wN且〃>1；

⑵當〃為奇數(shù)時，也，=a；當〃為偶數(shù)時，V^=|a|=a,a~°.

[~a,a<0

⑶負數(shù)沒有偶次方根；

⑷0的任何次方根都是0

5、多重根號問題，首先先寫成指數(shù)形式

6、指數(shù)的逆運算過程

11r1

特殊運算：形如X+%T=Q,求下列各種形式的值的思路.

/11、2

]]——

(1),-2;根據(jù)X2+X2=x+x-i+2計算即可；

九I八

(2)X2+X-2；根據(jù)(1+九一1)2=%2+/+2計算即可；

(3)x".由于X—5T=±J(*一無=±{(X+XT)2—4,進而根據(jù)工2一%-2=(%+%-1)卜一天-1)即

可求解.

(4)x1—%-1;1艮據(jù)尤=±'(尤_*-1)=±'(*+/)—4計算即可

(5)短+%-3根據(jù)(為2+%-2乂%+%-1)=尤3+%-3+%+婷計算即可

（6）X5一%-3根據(jù)（V+*-2乂*一無-1）=%3一元-3—尤+尤-1計算即可

1.下列各式正確的是（）

1la

A-°F

C.；XD.2x，-2x^^1=1--

aza4a=a24y（2Jx

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)，準確計算，即可求解.

11

【詳解】對于A,由指數(shù)幕的運算性質(zhì)，可得°5=亡=獷，所以A錯誤；

對于B,由指數(shù)累的運算性質(zhì)，可得療=/，所以B錯誤；

對于C由指數(shù)暴的運算性質(zhì)，可得（-―/*%小_/,所以C錯誤；

_1<11_111_1_2

對于D,由指數(shù)幕的運算性質(zhì)，可得2尤35爐一2彳3=2x3尤3-2尤3.2尤3

（2）2

_1+1-1-24

=X33_4x33=1_2,所以D正確.

X

故選：D.

2.用分數(shù)指數(shù)幕的形式表示d.G（a>0）的結(jié)果是（）

57,3

A.B.滔C.aD.

【答案】B

【分析】根據(jù)根式與分數(shù)指數(shù)幕的互化原則直接化簡即可.

117

【詳解】.6=〃3.々2=J?=〃2.

故選；B.

3.化簡（加<0）的結(jié)果為（）

A.my[mB.m^-m

C.-my[mD.

【答案】D

【分析】利用根式的運算性質(zhì)即可得出答案.

[詳解]m<0,=｛（—mj=—my[—m.

故選：D

4.計算2彳+姿+3PA/(L。,結(jié)果是()

i

A.1B.2A/2C.y/2D.2-2

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)累的運算及根式的意義計算作答.

I詳解】2'+（/+—=------｛（I-出）0=~1=+—y=+（5^+1）-1=2^2.

V2V2-1YA/2A/2

故選：B

17]-1

4,不B?詼C.4D-訪

【答案】B

【分析】把函數(shù)化為分數(shù)指數(shù)幕，根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式可求出結(jié)果.

77--7

【詳解】尸爐，則了=/8=訪?

故選：B

（_j_Y_iV_iv_i\

6.化簡1+211+2一而1+2。1+2嗎1+2-5的結(jié)果為（）

\八八八A

1--1--

A.-1-232B.-1-232

221

C.卜+2-1D.I

【答案】B

【分析】利用平方差公式化簡即可.

（_j_Y_j_v_iv_iy_i\

【詳解】1+2-方1+2一記1+2“1+221+2-2

\八八八八7

71+21—2一記

八

rXV_xV_iV二、,二、,--

=1-2^1+2=l+2-il+2-41+2一萬,1—2一萬

=1-2力1+2力1+2H+2力Jl—2三

j_Y_iv（1

1-21+291+2萬+1—2一記

）\八7k

二_J_A（1

1-211+23+1-2至

八7\

故選：B

3_3

mm

7.已知J+-1-4'則\~1的值是（）

m2-m2

A.15B.12C.16D.25

【答案】A

【分析】利用分數(shù)指數(shù)幕的運算即可求出結(jié)果.

【詳解】因為〉+--41

fibI/At-f

所以zn+m-1=）?—2=16—2=14，

3_3_L1_1

又由立方差公式，牛工=包上牛貯盧±心=根+1+"、15,

m2-m2m2-m2

故選：A.

8.化簡（＞“）/音的結(jié)果是（）

A.Na-1B.-^/a-1C.D.

【答案】B

【分析】先分析。的取值范圍，再進行根式化簡.

【詳解】由題意得，。一1>0,即

所以"臉占廠水H

(a-IP

故選：B

9.下列各式中成立的是(

m

B.

n

C?也3+y3=(x+y)D.曬

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)可判斷AC選項；根據(jù)根式與指數(shù)幕的互化可判斷BD選項.

【詳解】對于A選項，]7；=(""一1=加一,A選項錯誤；

對于B選項，歡4]=尊'=3后=3§=%二與，B選項錯誤；

對于C選項，a+y?=y(x+?H尤3+,3,C選項錯誤；

對于D選項,=*=里>，D選項正確.

故選：D.

10.設(shè)awR,y(x)=a-2+a_2(xeR),〃x)為奇函數(shù)，貝！I。的值為.

2X+1

【答案】1

【分析】先化簡已知函數(shù)，再由函數(shù)為奇函數(shù)可得/("+/(-”=0，由此式可解a的值.

【詳解】要使〃x)為奇函數(shù)，；xeR,.?.需〃x)+〃T)=0,

222%+]

fx\a------,f\=a-------=a-------，

八(1=-2*+-1('-x7--2一"-+1-2X+1-

-----------FCI-----------二0，得2a---------=0,「?Q=1.

2X+12X+12"+1

故答案為：1.

考點02:對數(shù)基礎(chǔ)運算

1、對數(shù)運算法則

①外和內(nèi)乘：log〃（肱V）=logaM+logaN②外差內(nèi)除：log4HJ=log”M-log〃N

③提公次方法：logmb"=—logab（m,neR）④特殊對數(shù)：log。1=0

am

iobb

⑤指中有對，沒心沒肺，真數(shù)為幾，直接取幾：a^=b,\oSaa=b

2、對數(shù)的定義

一般地，如果優(yōu)=N（a〉0,awl）,那么數(shù)了叫做以a為底N的對數(shù)，記x=bg〃N,其中a叫做對數(shù)的底

數(shù)，N叫做對數(shù)的真數(shù)（N〉0）

3、換底公式

①常用換底log0b=獸上②倒數(shù)原理log“6=丁」一

logsalog"a

③約分技巧log06?log/,c=用X等="=logflc④具體數(shù)字歸一處理：1g2+1g5=1

IgaIgbIga

11.下列等式正確的是()

22

A.(Ig5)+21g2-(lg2)=lB.log35-log32-log59=3

-----------------12

C.log^2A/2+eln2+V(7t-5)2=?tD.J6-+^0.0625-[(0.0643)-25]5=1

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)幕與對數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)，逐項計算，即可求解.

【詳解】對于A中，由(lg5)2+21g2-(lg2)2=(l-lg2)2+21g2-(lg2)2=l,所以A正確；

對于B中，由log35Jog32Jog59=^?管?魯力3,所以B錯誤；

lg3lg3lg5

對于C中，由log用+e'n~+J(?r-5)~=10g78+2+5-兀rIT,所以C錯誤；

對于D中，由/61+師礪?[(0.0643)-5^=3+」x(0.4)T=3+』*3片1,所以口錯誤.

V422222

故選：A

12.若實數(shù)m,n,f滿足夕=7"=￡且,+1=2,則/=()

mn

A.2后B.12C.y/5D.y/35

【答案】D

【分析】根據(jù)指對數(shù)的互化可得加=log5t，W=log7f,代入工+工=2,即可計算得到t的值.

mn

【詳解】因為5"'=7"=f且,+工=2,易知”0且蹤1,

mn

所以〃xlogst,n=log71,

所以'=log,5,-=log,7,

mn

所以,+工=1。8,5+108,7=108,35=2,則/=屈.

mn

故選：D.

13.工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進行排放，廢氣中污染物含量，（單位：mg/L）與過濾時間f

小時的關(guān)系為y=%e"（%,a均為正的常數(shù)）.已知前5小時過濾掉了10%污染物，那么當污染物過濾

掉50%還需要經(jīng)過（）（最終結(jié)果精確到lh,參考數(shù)據(jù)：lg2=0.301,lg3”0.477）

A.43hB.38hC.33hD.28h

【答案】D

【分析】先確定廢氣中初始污染物含量，由題意求出常數(shù)。，即可解出.

【詳解】?廢氣中污染物含量》與過濾時間/小時的關(guān)系為y=，

令r=0,得廢氣中初始污染物含量為y=%,

又：前5小時過濾掉了10%污染物，

m2ln12

(l-10%)y=ye-5\

00則a109

5

當污染物過濾掉50%時，（1-50%）%="一”,

ln-

In25In251g251g2

則”，=?33h

—Cla?10110l-21g3

In——1g——

99

當污染物過濾掉50%還需要經(jīng)過33-5=28h.

故選：D.

14.若。=log35,5"=6,則"—1(^2=()

A.1B.-1C.2D.12

【答案】A

【分析】本題考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算法則、換底公式的應(yīng)用.

【詳解】由5〃=6nb=bgs6,

所以"-logs?=log5-log6-log2=log5--log2=log6-log2=log,=log3=1

3533logs2)33323

故選：A

15.^log23=3p,log35=^,則lg5=()

A.p2+q2B.~(3p+2q)C.「乎D.PQ

51+3pq

【答案】C

【分析】利用換底公式可得3Pq=獸，結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)分析求解.

lg2

【詳解】根據(jù)換底公式有3P=1223=粵，q=獸，

lg2lg3

a_幽_嗟_聯(lián)3

可得網(wǎng)一應(yīng)一”一匚運，整理得聯(lián)=苦一.

故C正確，檢驗可知其他選項均不符合.

故選：C.

16.已知定義在R上的奇函數(shù)AM滿足〃2-x)=f(x),當OVxVl時，/(x)=2f-l,則〃logJ2)=()

A.—B.—C.-D.g

3432

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)/*)的周期，再利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性及指對數(shù)運算計算即得.

【詳解】在R上的奇函數(shù)的x)滿足/(2-x)=/Qr),則/(?-2),

于是/'(x)=-『(x-2)=-[-/(x-4)]=/(x-4),即函數(shù)/(x)的周期為4,

而8<12<16,則3<log212<4,-l<log212-4<0,又當OVE時,/(x)=2'-1,

1O82

所以外鳴⑵=/(log212-4)=/(log21)=-/(log21)=-(2^-1)=-1.

故選：A

17.已知log23=a,2*=7,用a,b表示log^G為()

A"33bb+33b

A.-----B.C.D.

a+ba+b〃+。+1a+b+1

【答案】C

【分析】由外=7指對互化得匕=1。827,再把log,?56利用換底公式計算可得答案.

【詳解】因為2,=7,所以6=logz7,

1一crlog56log7+log8_log7+31og2

[°gzT7DO—2—22—22

log242log27+log26log27+log22+log23

b+3

Z?+a+1

故選：C.

18.(log43+log83)(log32+log92)=

【答案】t

4

【分析】根據(jù)給定條件，利用換底公式及對數(shù)運算性質(zhì)計算即得.

【詳解】(1°&43+log83)(log32+log92)=(^-+

,lg3,1g3wlg2,Ig2、51g3、,31g2_5

21g231g2lg321g361g221g34'

故答案為：!

4

19.方程臚3+尤瓜4=尤瓜5的正實數(shù)解為

【答案】j

【分析】運用對數(shù)的運算性質(zhì)先證a,OfoC=c晦"，可得原方程為3lnx+4Mx=5Mx,x>0,可得弓嚴+《嚴=1,

再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到方程的解.

【詳解】先證"°g"=d°gi(a>0且awl,b>OS.b^l,c>0且crl),

令d°g"=〃7,*g"=〃，兩邊取6為底的對數(shù)，

1086

可得log〃機=log；,。嗨°=log/Jog%a,logAn=log6c°=log^a-logAc,

所以log/w=logb〃，所以根=〃，即…

則彳地+尤瓜4=/5(x>0)即為31nx+41nx=glut(%>Q),

由于y=lnx在(0,+e)上單調(diào)遞增，尸展［，y=在R上單調(diào)遞減,

所以y=1|「，y=在(。，+8)上單調(diào)遞減，

可得廣出在（。,+動上單調(diào)遞減,

又lnx=2時，即x=e?時，有=1,

則原方程的解有且只有一個為尤=『.

故答案為：3

115

20.已知。＞1,.--------------7=--,貝ij"=

log8alog“42

【答案】64

【分析】將log8。，log04利用換底公式轉(zhuǎn)化成log2a來表示即可求解.

11315

【詳解】由題居-------=-------------log?a=—整理得(log2a)?-5log?a-6=0,

log,,4log2a2------------2

nlog2a=T或log20=6,又a>l,

所以log2a=6=log?26,故a=26=64

故答案為：64.

考點03:指對數(shù)函數(shù)底數(shù)大小的比較

形如：y====d*

圖象如下：

先畫一條％=1的直線，明確交點，由下至上底數(shù)越來越大.

形如：y=logflx,y=10gzix,y=logcx,y=log,x確定a,6,c,d大小關(guān)系

先畫一條y=l的直線，明確交點，由左至右底數(shù)越來越大.故c<d<a<b

21.圖中曲線分別表示'=108“羽、=108爐,〉=108產(chǎn),丁=108,］的圖像，a,b,c,d,的關(guān)系是（）

A.0<a<b<l<d<cB.0<b<a<l<c<d

C.0<c<d<l<a<bD.0<c<d<l<b<a

解：如圖所不：

當y=1時，=c,x2=d,x3=a,x4=b,因為0<玉<x2<1<x3<x4,

所以O(shè)vcvdvlvavZ;故選：C

22.圖中曲線分別表示y=log”％,y=logb%,y=logcx,y=logd%的圖象，。力,c,d的關(guān)系是()

丸

.尸/o&x

-YyTo&x

：Jy=lo&x

y=log^

A.a<b<d<cB.b<a<c<d

C.d<c<a<bD.c<d<a<b

解：如圖所示,在第一象限中，隨著底數(shù)的增大，函數(shù)的圖象向x軸靠近,

可知OVcVdVIVaVb,故選：D.

23.如圖，曲線c2,c3,C4分別對應(yīng)函數(shù)丁=iog。產(chǎn)，y=iog%x，y=iog〃x，y=iog“/的圖

A.a4>a3>1>a2>>0B.a3>a4>1>>a2>0

C.a2>>1>a4>a3>0D.?]>a2>1>tz3>?4>0

解：作直線它與各曲線

y=i,Ci,c2c3,C4的交點的橫坐標就是各對數(shù)的底數(shù)，由此可判斷出各底數(shù)

的大小必有：％〉。3>1>。2>4>°?故選：A

24.如圖所示的曲線G，。2，G，。4分別是函數(shù)y=log.x,y=log"X,y=log,.x,y=log,/的圖象,

則a,b,c,d的大小關(guān)系是（

A.d<c<b<aB.c<d<a<b

C.b<a<c<dD.c<d<b<a

解：作直線y=l,分別與這四條曲線交于點ABC。，如下圖所示

由log/:=l,解得xlog/=l,解得x=b；logcx=1,解得x=c；log^x=1,解得x=d則

A(c,l),C(〃,1),。(伍1)由圖象可知，對應(yīng)的底數(shù)為c<d<a<b.

故選：B

25、如圖是指數(shù)函數(shù)①y="；②y=Z/；③y=/；④y=d"的圖象,則。,AGd與l的大小關(guān)系是()

A.a<b<l<c<dB.b<a<l<d<cC.\<a<b<c<dD.a<b<l<d<c

解：根據(jù)函數(shù)圖象可知函數(shù)①y=/；②y;〃為減函數(shù)，且尤=1時，②丁=加<①>=

所以Z?VQ<1,

根據(jù)函數(shù)圖象可知函數(shù)③y=c"；④y=d”為增函數(shù)，且1=1時，③>=o1>@丁=』，

所以c>d>l故選：B

26.已知在同一坐標系下，指數(shù)函數(shù)>=優(yōu)和>=//的圖象如圖，則下列關(guān)系中正確的是()

考點04:指對數(shù)函數(shù)過定點問題

指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=axy=ax

a>l0<a<l

尸穴「

/)=(i'

圖象__y=l

oj_i_*o|~i__*

最特殊點優(yōu)="即工=1,丁=4圖象都過(1,?)

①定義域R值域(0，+8)

性質(zhì)②出=1即當x=0,y=l圖象都過定點(0,1),

③即不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

對數(shù)④當%>0時，y>l；當x<0時，0<y<l④當％<0時，y>l；當x>0時，0<y<l函數(shù)

的圖象與

⑤在(一00,+oo)上是增函數(shù)⑤在(一00,+◎上是減函數(shù)

性質(zhì)

由于對數(shù)圖象是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所以對數(shù)函數(shù)的圖象只需由相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于y=x對稱即可,

當然也分a>1和0<a<1兩種情況討論，討論如下

a>\0<<2<1

y

|；=1尸log小A=1

K（i,o）

圖象

0心0）"O

1尸log/

①定義域：(0，+℃)

②值域：R

性質(zhì)③當％=1時，y=0,即過定點(1,0)

④當x>\時，y>0；當0Vx<1時，y<0④當x>l時，y<0；當0Vx<1時，y>0

⑤在(0,+8)上是增函數(shù)⑤在(0,+◎上是減函數(shù)

27.函數(shù)〃尤)=罐+2-3的圖象過定點A,且定點A的坐標滿足方程皿+0+2=0,其中機>0,〃>0,則

上1+24的最小值為()

mn

A.6+4&B.9C.5+20D.8

【答案】B

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出定點A的坐標，即可得到〃7+〃=1,再由乘T法及基本不等式計算可得.

【詳解】對于函數(shù)/(x)=a"2-3,令x+2=0,即x=—2時〃一2)=1+2一3=—2,

所以函數(shù)/("=優(yōu)+2-3的圖象恒過定點A(-2,-2),

又定點A的坐標滿足方程?nx+"y+2=0,所以-2根-2〃+2=0,BPm+n=l,

又根>0,〃>0,所以——F—=(m+n)——F—=5H---1--->5+2.------=9,

mn\mn)mn\mn

當且僅當」ri=叫4H?，即1機2時取等號，

mn33

14

—1■—的最小值為9.

mn

故選：B.

28.已知函數(shù)/（》）=2+/1（〃＞0且a*1）的圖象恒過定點尸，則p點的坐標為（）.

A.（0,2）B.（2,3）

C.（2,4）D.（4,0）

【答案】B

【分析】

由指數(shù)型函數(shù)所過的定點求解即可.

【詳解】令2x—4=0,解得x=2,貝1」/（2）=2+/*2-4=2+?！?3,即過定點（2,3）.

故選：B

29.函數(shù)〃x）=2a'T—且恒過定點（）

A.（1,-1）B.（1,1）C.（0,1）D.（0,-1）

【答案】B

【分析】

根據(jù)/=1（。＞0,且aX1）求出x的值，代入/⑴求出對應(yīng)的函數(shù)值即可得出函數(shù)恒過定點的坐標.

【詳解】由已知得/⑴=2/—1=1,

由此可知函數(shù)“X）恒過定點。,1）,

故選：B.

30.函數(shù)“xbYi+Ka＞。且。工1）的圖象恒過定點加，則加為（）

A.g,21B.（0,2）C.（0,1）D.gj

【答案】A

【分析】令"上的指數(shù)為。即可得到答案.

【詳解】對于函數(shù)〃x）,令2%-1=0,可得x=g,則d￡|=a°+l=2,

所以，函數(shù)+1（。＞0且aw1）的圖象恒過定點坐標為（3,.

故選：A

31.已知函數(shù)，=2+108.{%-1)3>0且。片1)的圖象恒過定點人，且A點在直線儂:一>+〃=0(7%”>0)上，

則的最小值是()

A.472B.20C.2D.三

【答案】B

【分析】函數(shù)y=log〃(xT)+2的圖象恒過定點A(2,2),進而可得2〃?+凡=2,結(jié)合基本不等式和指數(shù)的運

算性質(zhì)進而得到答案.

【詳解】當x=2時，loga(x-l)+2=2,

故函數(shù)y=log“(x-1)+2的圖象恒過定點A(2,2),

由點A(2,2)在直線如-y+w=O匕，貝IJ2機+〃=2,

故Z.+lg)"=2.+2己2=20'

當且僅當〃?=￡=g等號成立，故2"，+(后)”的最小值是272.

故選：B

32.函數(shù)y=-2(。>0,。/1)的圖象恒過定點A,且點A的坐標滿足方程爾+"y+l=O,其中m>0,n>0,

9I

則1■—的最小值為()

mn

A.7B.6C.3+2后D.2+夜

【答案】C

【分析】先利用必過定點確定A的坐標，后利用基本不等式T的代換處理即可.

【詳角軍】在丁=。向一2(。>0,。工1)中，當x=-l時，>=一1,故4一1,-1),

將A(-L-l)代入直線方程中，化簡得加+九=1,

故(租+")(2+,)=2+1+空+竺23+2、/0?‘=3+2應(yīng),

mnmn\mn

當且僅當‘蘇=2"，時取等，即二+上的最小值為3+2夜.

mn

故選：C

33.當a>0且分1時，函數(shù)/(*)=/2。23+2023恒過定點()

A.(2022,2023)B.(2023,2024)C.(2024,2025)D.(2025,2026)

【答案】B

【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

）

【詳解】當x=2023時，/（2023）=笛23-2023+2023=2024,與。無關(guān)，

則函數(shù)〃x）恒過定點（2023,2024）.

故選：B.

22

34.已知函數(shù)〃力=1。8”（3X-2）+石（“>0,"1）圖象恒過的定點在雙曲線二-匕=1的一條漸近線上，雙

2m

曲線離心率為e,貝曠〃-e等于（）.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】先利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)“X）的圖象恒過定點（1,6）,代入雙曲線的漸近線方程，求得

m=6,結(jié)合離心率的定義，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/"（x）=log“（3x-2）+6（a>0,awl）,

令%-2=1,可得x=l,且/⑴=石，所以函數(shù)〃x）的圖象恒過定點（1,0），

又由雙曲線二-亡=1的一條漸近線方程為y=坐x,

2mJ2

Vm

將點（1,6）代入漸近線方程，可得道=解得機=6,

所以雙曲線的離心率為0=￡=與1=2,所以〃z-e=4.

a<2

故選：C.

22

35.若函數(shù)y=loga（x—2）+l（a>。，且。wl）的圖象所過定點恰好在橢圓上+匕=1（m>0,〃>0）上，則m+〃

mn

的最小值為（）

A.6B.12C.16D.18

【答案】C

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出定點，根據(jù)定點在橢圓上，將定點代入橢圓方程，得到m與n的等量關(guān)系，

再利用基本不等式即可求解.

【詳解】由題意得，函數(shù)y=log/x—2）+l（a>0,且。片1）的圖象所過定點為（3,1）,貝亡+工=1,

mn

所以機+〃=（機+〃）——F—=10H---1——>10+2./-----=16,

I機n）mn\mn

Qnm

當且僅當"二生，即加=12/=4時等號成立.

mn

故選：C.

36.函數(shù)/(x)=loga(4%-3)(〃>0且awl)的圖象所過的定點為()

A.(1,0)B.臣］C.(1,1)1，”

【答案】A

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】因為函數(shù)〃x)=log”(4x—3)(a>0且"1),

令以一3=1,解得x=l,貝ij/(l)=logal=。，

所以〃x)的圖象所過的定點為。,0),

故選：A.

考點05:涉及指對數(shù)分段函數(shù)判斷參數(shù)的取值范圍

/\f"1),x<m

形如：G(x)=7

g\x\x>m

①如果G(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，滿足：F(x)為遞增函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù)，

②如果G(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，滿足：/(X)為遞減函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，

③如果G(x)由最大值，滿足：/(X)為遞增函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，g(m)<f(m).

④如果G(x)由最小值，滿足：f(x)為遞減函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù)，g(m)>f(m).

/\"(%),x<m

形如：G(x)=，(’

g\x\x>m

①如果G(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，滿足：f(x)為遞增函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù)，

②如果G(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，滿足：/(X)為遞減函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，g(m)</(m).

③如果G(x)由最大值，滿足：/'⑺為遞增函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，

④如果G(x)由最小值，滿足：/(X)為遞減函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù)，g(m)>f(m).

2

logfl(tzx-4x+4),x>l

在（一8,+8）上滿足>0,則匕的取值范圍為

37.已知/(%)=<1（々）―/（西）

(3-a)x+Z?,x<1

x2-Xx

()

A.-oo,0)B.[l,+oo)C.(-1,1)D.7,1)

/(々A"xj

解:第一步：因為/（x）在（口，+8）上滿足>0,即函數(shù)/（%）在（-8,收）上單調(diào)遞增,

-X]

x2

a

第二步：所以〈a>l恒成立，即2Wa<3且bWa—2恒成立，即匕的取值范圍為（—8,1）,故

logaa>3-a+b

3—〃〉0

選D.

（1-2。）工+〃，x<2

38.函數(shù)/（%）=，7/八、。在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

〔/ogQT），x>2

(0,1)12

A.B.一,一C.!2D.

232,3

(l-2a)x+a,x<2

解:第一步:函數(shù)/（尤）=<在2在R上單調(diào)遞減，

loga(x-l1

1—2a<0

12

第二步：需《0<tz<l,解得一<。<一.故選:B.

23

2-3tz>0一

log］（3—x）U

39.若函數(shù)/(%)=<2的值域為R,則小的取值范圍為（）

x2-6x+m,x..1

B.(0,j9]

A.(0,8]C.[-,8]D.(-8,-l]O(0,-]

22

解：第一步：①若根>0時，則當X<1時，/（*）=/°8|（3一X）"'單調(diào)遞增,

2

當x..l時，/(1)=%2-6%+根=(%-3)2+根-9在(3,+00)上單調(diào)遞增,

在U，3）上單調(diào)遞減,

若函數(shù)值域為尺則需〃3-”3-1）—解得。<，1

第二步：②若才，0時,則當了<1時，/（幻=小1（3一X）'”單調(diào)遞減，

2

當X..1時，/（%）=%2—6%+機=（》—3）2+根—9在（3,+8）上單調(diào)遞增，在[1,3）上單調(diào)遞減，不滿足函

數(shù)值域為R,不符合題意，舍去，

綜上：機的取值范圍為（0,1],

故選：B

.\flog,；x-3a,x>l

40.已知函數(shù)/（x）=6,在R上單調(diào)，則。的取值范圍為（）

—x+％V1

、

,1D.[1,+co）

解：/（%）={°又，當時,/（%）=—x+a是單調(diào)遞減函數(shù)

—X+a,%<1

???丁（無）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)根據(jù)分段函數(shù)的在定義域單調(diào)遞減，即要保證每段函數(shù)上單調(diào)遞減,也要保

證在分界點上單調(diào)遞減可得:

0<。<1

第二步:解得：故選:A.

2ax+1,X〉0

41.已知函數(shù)/(x)=L,21、c的值域為E，則實數(shù)a的取值范圍是(

)

log,(x2+-),x<0

、22

A.(0,:)B.(0,—]C.(—,+oo)D.[―,+oo)

4444

解：由題，當xWO時+1>1JiJ/(x)=log1Ix2+g]〈log，=l,

222v2>22

因為的值域為R,則當X>0時，需滿足"x*<1,即（辦2-%+l）minW0,且/（x'xfy，當

a=0吐=23%（0,2）,舍去；

當a>0時，設(shè)/=依2一x+i,則對稱軸為/=_L〉o,則八=1—4。20,即?！豆ぃ?/p>

2a4

當4<0時,/（%）有最大值，故舍去綜上,0<a<；故選：B

2、+a+2(%<1)

42、設(shè)函數(shù)F(x)=<,,，有最大值，則實數(shù)。的取值范圍為