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文檔簡介
行星模型
【模型特點(diǎn)】
1.衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律
r越大,v越小
r越大,◎越小
r越大,T越大
r越大,。越小
”由=警綱(近地時)fGM=gRl
2.極地衛(wèi)星、近地衛(wèi)星
(1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時每圈都經(jīng)過南北兩極,由于地球自轉(zhuǎn),極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋.
(2)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動的衛(wèi)星,其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球
的半徑,其運(yùn)行線速度約為7.9km/s.
繞地球做勻速圓周運(yùn)動的人造衛(wèi)星的最大線速度和最小周期:
v=y/gR=7.9xl03m/s
7=27—=5.06xl03s=84.3min
Ng
(3)兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心.
深化拓展:
(1)衛(wèi)星的。、V、。、T是相互聯(lián)系的,如果一個量發(fā)生變化,其他量也隨之發(fā)生變化;這些量與衛(wèi)星的
質(zhì)量無關(guān),它們由軌道半徑和中心天體的質(zhì)量共同決定.
(2)衛(wèi)星的能量與軌道半徑的關(guān)系:同一顆衛(wèi)星,軌道半徑越大,動能越小,勢能越大,機(jī)械能越大.
3.同步衛(wèi)星(通信衛(wèi)星均為同步衛(wèi)星)
“同步”的含義就是和地球保持相對靜止(又叫靜止軌道衛(wèi)星)
(1)周期等于地球自轉(zhuǎn)周期,既T=24h
(2)軌道半徑是唯一確定的,離地面的高度為/z=3.6x107加合5.6R地
(3)該軌道必須在地球赤道的正上方
(4)衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)方向必須是由西向東
【模型解題】
1、衛(wèi)星變軌問題分析
當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因速度突然改變時(開啟或關(guān)閉發(fā)動機(jī)或空氣阻力作用),萬有引力不再等于向心力,衛(wèi)星
將變軌運(yùn)行:
Mmv2
(1)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然增大時,即萬有引力不足以提供向心力,衛(wèi)星將做離心運(yùn)動,脫離
rr
\GM
原來的圓軌道,軌道半徑變大,當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道穩(wěn)定運(yùn)行時由v=上巴可知其運(yùn)行速度比原軌道時
r
減小.
Mmv2
(2)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然減小時,G—〉加一;即萬有引力大于所需要的向心力,衛(wèi)星將做近心運(yùn)動,脫離
rr
\GM
原來的圓軌道,軌道半徑變小,當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道穩(wěn)定運(yùn)行時由n=—可知其運(yùn)行速度比原軌道時
r
增大.
衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用這一原理.
2、雙星系統(tǒng)模型問題的分析與計(jì)算
宇宙中往往會有相距較近,質(zhì)量可以相比的兩顆星球,它們離其它星球都較遠(yuǎn),因此其它星球?qū)λ鼈兊娜f
有引力可以忽略不計(jì)。在這種情況下,它們將圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)做同周期的勻速圓周運(yùn)動。這
種結(jié)構(gòu)叫做雙星。
[特點(diǎn)]
(1)各自需要的向心力由彼此間的萬有引力相互提供,即縹也=叫電2小乜
(2)兩顆星的周期及角速度都相同,即7]=7^,例=g
⑶兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為:r^r2=L
⑷兩顆星到圓心的距離…2與星體質(zhì)量成反比,即〉彳
(5)雙星的運(yùn)動周期7=2%.
加2)
(6)雙星的總質(zhì)量公式加i+加2
12T2G
△雙星系統(tǒng)問題的誤區(qū)
(1)不能區(qū)分星體間距與軌道半徑:萬有引力定律中的r為兩星體間距離,向心力公式中的r為所研究星球
做圓周運(yùn)動的軌道半徑.
(2)找不準(zhǔn)物理現(xiàn)象的對應(yīng)規(guī)律.
【模型訓(xùn)練】
【例1】某人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動,其軌道半徑為月球繞地球運(yùn)動半徑的設(shè)月球繞地球運(yùn)
動的周期為27天,則此衛(wèi)星的運(yùn)行周期為()
1T1TTT
A.§天B.§天C.1天D.9天
變式L1已知地球半徑為尺,同步衛(wèi)星到地心的距離約為6.6凡某人造衛(wèi)星在離地球表面的距離為1.2R的
軌道上做勻速圓周運(yùn)動,則該衛(wèi)星運(yùn)動的周期約為()
A.0.5天B.0.2天C.5.2天D.9天
變式1.2我國的第一顆衛(wèi)星“東方紅一號”于1970年4月24日在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心由長征一號運(yùn)載火箭送入
工作軌道(近地點(diǎn)距地球表面的距離位=441km、遠(yuǎn)地點(diǎn)距地球表面的距離供=2368km),它開創(chuàng)了中國
航天史的新紀(jì)元。1984年,“東方紅二號”衛(wèi)星發(fā)射成功,這是一顆地球同步衛(wèi)星,距離地心大約々=42164km。
已知地球半徑為尺地=6371km,可以估算“東方紅一號”衛(wèi)星的周期約為()
A.80分鐘B.102分鐘C.114分鐘D.120分鐘
【例2】2021年4月28日,國際行星防御大會召開,我國代表介紹了正在論證的小行星探測任務(wù)。關(guān)于行
星運(yùn)動規(guī)律下列說法正確的是()
A.第谷根據(jù)多年的觀測總結(jié)揭示了行星的運(yùn)動規(guī)律,為萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)
B.牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律后,開普勒整理牛頓的觀測數(shù)據(jù)后,發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動的規(guī)律
3
C.開普勒第三定律表達(dá)式為A=k,月亮圍繞地球運(yùn)動的k值與人造衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)動的k值相同
D.行星繞太陽運(yùn)動時、線速度方向時刻在變,大小始終不變
變式2.1關(guān)于開普勒行星運(yùn)動定律,下列說法中正確的是()
*
A.開普勒通過自己的長期觀測,記錄了大量數(shù)據(jù),通過對數(shù)據(jù)的研究總結(jié)出了行星運(yùn)動定律
B.根據(jù)開普勒第一定律,行星圍繞太陽運(yùn)動的軌道是橢圓,太陽處于橢圓的一個焦點(diǎn)上
C.根據(jù)開普勒第二定律,行星繞太陽運(yùn)動時,線速度大小始終不變
D.根據(jù)開普勒第三定律,所有行星軌道的半長軸的二次方跟公轉(zhuǎn)周期的三次方的比值都相等
變式2.2人類對太陽系中行星運(yùn)動規(guī)律的探索過程中,曾有擅長觀測的科學(xué)家通過長期觀測記錄了各行星
環(huán)繞太陽運(yùn)動(公轉(zhuǎn))的大量數(shù)據(jù),在此基礎(chǔ)上有位擅長數(shù)學(xué)推理的科學(xué)家,認(rèn)為行星公轉(zhuǎn)軌道應(yīng)該是橢
圓,然后通過數(shù)學(xué)推理,發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動三大定律,揭示了行星運(yùn)動的規(guī)律。觀測記錄行星公轉(zhuǎn)的大量數(shù)
據(jù)以及發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動三大定律的科學(xué)家分別是()
A.托勒密、第谷B.第谷、開普勒C.哥白尼、托勒密D.哥白尼、開普勒
【例3】在利用探測器探測石油的過程中,遇到空腔或者其他物質(zhì)時,引力會發(fā)生變化,引起該區(qū)域重力加
速度的大小和方向發(fā)生微小的變化,以此來探尋石油區(qū)域的位置。簡化模型如圖所示,一個質(zhì)量均勻分布
的半徑為尺的球體對球外質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力為R如果在球體中央挖去半徑為,的一部分球體,且,咚
則原球體剩余部分對質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力變?yōu)椋ǎ?/p>
FF7FF
A.—B.—C.----D.—
2884
變式3.1如圖所示,一個質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體對球外質(zhì)點(diǎn)尸的萬有引力為凡如果在球體中央
D
挖去半徑為〃的一部分球體,且尸£,則原球體剩余部分對質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力大小變?yōu)椋ǎ?/p>
2
4884
變式3.2有一質(zhì)量為M、半徑為尺、密度均勻的球體,在距離球心。為2R的地方有一質(zhì)量為加的質(zhì)點(diǎn)?,F(xiàn)
將川中挖去半徑為》的球體,如圖所示,則剩余部分對利的萬有引力大小為()
2R
-27Mm
B.G-------彳
1007?2
C°衣
[例4]2023年9月5日傍晚5點(diǎn)30分左右,一顆命名為“合肥高新一號”的衛(wèi)星,從海上發(fā)射基地飛向太
空,成為中國低軌衛(wèi)星物聯(lián)網(wǎng)的一部分。假設(shè)此衛(wèi)星在赤道平面內(nèi)繞地球做圓周運(yùn)動,離地面高度等于地
球半徑尺,運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同。已知地球自轉(zhuǎn)周期為",地球兩極處重力加速度為g,萬有引力
常量用G表示。下列說法正確的是()
37r
A.地球的平均密度為中■
2萬2
C.赤道表面的重力加速度為g-kR
D.若赤道上有一衛(wèi)星測控站,忽略衛(wèi)星信號傳輸時間,衛(wèi)星與測控站能連續(xù)通信的最長時間為
變式4.12021年2月,執(zhí)行我國火星探測任務(wù)的“天問一號”探測器在成功實(shí)施三次近火制動后進(jìn)入運(yùn)行周期
為T的橢圓形停泊軌道(如圖所示),近火點(diǎn)A到火星中心。的距離為a,已知火星的半徑為R在火星上
以為的速度豎直上拋物體,經(jīng)過/時間后物體回到原處,萬有引力常量為G,忽略火星自轉(zhuǎn)。以下說法正確
的是()
A.火星的質(zhì)量為我與
GT2
B.火星的密度為棄片
Gt兀R
C.火星的第一宇宙速度為坪
D.遠(yuǎn)火點(diǎn)B到火星中心。的距離為噠算-a
V2/
變式4.2地球資源衛(wèi)星“04星”繞地球做勻速圓周運(yùn)動的角速度為。,地球相對“04星”的張角為0,如圖所
示。引力常量為G,則地球的密度為()
04星
3#302G
3?2口3(o~G
A4兀Gsm〃B.4s小
71Hi4兀Gsin'。4jtsin39
22
【例5】在劉慈欣的科幻小說《帶上她的眼睛》里演繹了這樣一個故事:“落日六號”地層飛船深入地球內(nèi)部
進(jìn)行探險(xiǎn),在航行中失事后下沉到船上只剩下一名年輕的女領(lǐng)航員,她只能在封閉的地心度過余生。已知
地球可視為半徑為及、質(zhì)量分布均勻的球體,且均勻球殼對殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的引力為零。若地球表面的重力加速度
為g,當(dāng)“落日六號”位于地面以下深0.5R處時,該處的重力加速度大小為()
A.0.25gB.0.5gC.0.75gD.g
變式5.1已知“祝融號”火星車在地球表面受到的重力大小為Gi,在火星表面受到的重力大小為G2;地球與
火星均可視為質(zhì)量分布均勻的球體,其半徑分別為處、若不考慮自轉(zhuǎn)的影響且火星車的質(zhì)量不變,則
地球與火星的密度之比為()
,皿G聞
R2D.
'G出G禺'G四G就
變式5.2中子星是除黑洞外密度最大的星體,恒星演化到末期,經(jīng)由重力崩潰發(fā)生超新星爆炸之后,可能
成為的少數(shù)終點(diǎn)之一,其密度比地球上任何物質(zhì)密度大相當(dāng)多倍。設(shè)某中子星的質(zhì)量是太陽的50倍,自轉(zhuǎn)
周期是0.01s,半徑是地球繞太陽運(yùn)動的軌道半徑的IO"倍,已知地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑為
1.5x108km,太陽質(zhì)量為2.0xl()30kg,則該中子星赤道表面的重力加速度大小為()
A.3xlOnm/s2B.2.4xlOnm/s2C.1.2xlOnm/s2D.6xlOlom/s2
【例6】中科院紫金山天文臺在2023年1月9日首次發(fā)現(xiàn)了一顆新彗星,目前,該彗星正朝著近日點(diǎn)運(yùn)動,
明年有望成為肉眼可見的大彗星。如圖所示,II為該彗星繞太陽運(yùn)行的橢圓軌道,I為某行星繞太陽做勻速
圓周運(yùn)動的軌道,兩軌道相切于2點(diǎn)。/為彗星運(yùn)動的遠(yuǎn)日點(diǎn),3為彗星運(yùn)動的近日點(diǎn)。下列說法正確的是
()
A.彗星運(yùn)行到A點(diǎn)的速度小于行星運(yùn)行到B點(diǎn)的速度
B.彗星運(yùn)行到A點(diǎn)的速度大于彗星運(yùn)行到B點(diǎn)的速度
C.彗星運(yùn)行的周期小于行星運(yùn)行的周期
D.彗星運(yùn)行到B點(diǎn)的加速度大于行星運(yùn)行到B點(diǎn)的加速度
變式6.12021年2月,“天問一號”探測器成功被火星捕獲,成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星,實(shí)現(xiàn)“繞、著、
巡”目標(biāo)的第一步。如圖,為“天問一號”被火星捕獲的簡易圖,其中1為橢圓軌道,2為圓軌道。則下列
說法正確的是()
地火轉(zhuǎn)移軌道
A.“天問一號”在軌道2運(yùn)行的周期大于在軌道1運(yùn)行的周期
B.“天問一號”沿軌道1運(yùn)行時在尸點(diǎn)的加速度大于在。點(diǎn)的加速度
C.“天問一號”由軌道1進(jìn)入軌道2,在。點(diǎn)的噴氣方向與速度方向相反
D.“天問一號”在軌道1由。點(diǎn)向P點(diǎn)運(yùn)動的過程中,速度減小
變式6.2如圖所示為“天問一號”探測器圍繞火星多次變軌的簡化圖景。軌道I、III為橢圓,軌道II為圓,O
點(diǎn)是這三個軌道的相切點(diǎn),。、。分別是遠(yuǎn)火星點(diǎn)和近火星點(diǎn),。、尸、。三點(diǎn)連線經(jīng)過火星中心,已知火
星的半徑為R,。。=4及,探測器在軌道H上經(jīng)過。點(diǎn)時的速度為V。下列說法正確的是()
A.在多次變軌過程中,探測器與火星中心的連線經(jīng)過相等時間掃過的面積都相等
2
B.探測器在軌道II上運(yùn)動時,經(jīng)過。點(diǎn)的加速度等于上
3R
C.探測器在軌道I上運(yùn)動時,經(jīng)過。點(diǎn)的速度小于v
D.探測器在軌道n和ni上運(yùn)動的周期之比是3:2
【例7】如圖所示,2022年7月15日,由清華大學(xué)天文系某教授牽頭的國際團(tuán)隊(duì)近日宣布在宇宙中發(fā)現(xiàn)了
兩個罕見的恒星系統(tǒng)。該系統(tǒng)均由兩顆互相繞行的中央恒星組成,被氣體和塵埃盤包圍。且該盤與中央恒
星的軌道成一定角度,呈現(xiàn)出“霧繞雙星”的奇幻效果。若其中一個系統(tǒng)簡化模型如圖所示,質(zhì)量不等的恒星
A和B繞兩者連線上某一定點(diǎn)。做勻速圓周運(yùn)動,由天文觀察測得其運(yùn)動周期為T,恒星A到。點(diǎn)的距離
為4,恒星A和B間的距離為r,已知引力常量為G。則恒星A的質(zhì)量為()
4萬14//4萬2/44萬2/(一外)
'GT2'GT-'GT1'GF
變式7.1中國天眼FAST已發(fā)現(xiàn)約500顆脈沖星,成為世界上發(fā)現(xiàn)脈沖星效率最高的設(shè)備,如在球狀星團(tuán)
M92第一次探測到“紅背蜘蛛”脈沖雙星。如圖,距離為L的A、B雙星繞它們連線上的某點(diǎn)。在二者萬有
引力作用下做勻速圓周運(yùn)動,運(yùn)動周期為7,萬有引力常量為G,則雙星總質(zhì)量為()
AoB
Q_______________二_-_O
A.竺B.與C.注D.a
GI}4TT2T2GT2
變式7.2如圖甲所示,河外星系中兩黑洞A、B的質(zhì)量分別為和AG,它們以連線上的某一點(diǎn)為圓心做
勻速圓周運(yùn)動。為研究方便簡化為如圖所示的示意圖,黑洞A和黑洞B均可看成球體,OA>OB,且黑洞
A的半徑大于黑洞B的半徑,下列說法正確的是()
AOB
--------------->—
M2
A.黑洞A的向心力大于黑洞B的向心力
B.若兩黑洞間的距離一定,把黑洞A上的物質(zhì)移到黑洞B上,它們運(yùn)行的角速度變大
C.若兩黑洞間的距離一定,把黑洞A上的物質(zhì)移到黑洞B上,A運(yùn)行的線速度變大
D.人類把宇航器發(fā)射到距黑洞A較近的區(qū)域進(jìn)行探索,發(fā)射速度不大于第三宇宙速度
【例8】“鵲橋”衛(wèi)星是地球與位于月球背面的“嫦娥四號”月球探測器實(shí)現(xiàn)信號傳輸?shù)闹欣^站。如圖,£是地
月連線上的一個“拉格朗日點(diǎn)”,處在該點(diǎn)的物體會與月球一起繞地球同步公轉(zhuǎn)。已知在地月引力共同作用下,
“鵲橋”衛(wèi)星在軌道平面與地月連線垂直的“Halo軌道”上繞L做勻速圓周運(yùn)動,同時隨月球一起繞地球同步
觀測數(shù)據(jù):
地-月距離:384400km
月距離:64500km
Hab軌道半徑:3500km
月球公轉(zhuǎn)周期:27.3天
引力常審:6.67xl0"Nm2/kg2
A.“鵲橋”衛(wèi)星繞地球公轉(zhuǎn)的向心加速度小于月球公轉(zhuǎn)的向心加速度
B.根據(jù)觀測數(shù)據(jù)能計(jì)算出地球、月球和“鵲橋”衛(wèi)星的質(zhì)量
C.根據(jù)觀測數(shù)據(jù)能計(jì)算出“鵲橋”衛(wèi)星在“Halo軌道”上的運(yùn)動周期
D.若將“鵲橋”衛(wèi)星直接發(fā)射到£點(diǎn),能量消耗最小,能更好地為地-月通信提供支持
變式8.1如圖所示,地球和月球組成雙星系統(tǒng),它們共同繞某點(diǎn)。轉(zhuǎn)動且角速度相同??凇?、L3、L4、Ls
稱為拉格朗日點(diǎn),在這些位置上的航天器也繞。點(diǎn)轉(zhuǎn)動且相對地月系統(tǒng)不動,則下列說法正確的是()
A.地月系統(tǒng)中,。點(diǎn)更靠近月球
B.在五個拉格朗日點(diǎn)中,0位置上的航天器向心加速度最大
C.在五個拉格朗日點(diǎn)中,七位置上的航天器所需向心力僅由地球引力提供
D.在地面附近給航天器一初速度vo,不考慮月球?qū)教炱鞯囊Γ教炱餮貦E圓軌道運(yùn)動至乙處,則
vo>7.9km/s
變式8.2探月工程嫦娥四號任務(wù)“鵲橋”中繼星成為世界首顆成功進(jìn)入地月拉格朗日4點(diǎn)的Halo使命軌道的
衛(wèi)星,為地月信息聯(lián)通搭建“天橋”。如圖所示,該4點(diǎn)位于地球與月球連線的延長線上,“鵲橋”位于該點(diǎn),
在幾乎不消耗燃料的情況下與月球同步繞地球做圓周運(yùn)動。已知地球、月球和“鵲橋”的質(zhì)量分別為AG、
m,地球和月球之間的平均距離為我,4點(diǎn)離月球的距離為工,不計(jì)“鵲橋”對月球的影響,則()
A.“鵲橋”的線速度等于月球的線速度
B.“鵲橋”的向心加速度小于月球的向心加速度
C.x滿足Ur*啜(…
Me
D.+x
X滿足而7十
行星模型
【模型特點(diǎn)】
2.衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律
r越大,v越小
越
高r越大,越小
下越
慢r越大,7越大
r越大,。越小
1mg=1g近地豺)-GM=gR)42
2.極地衛(wèi)星、近地衛(wèi)星
(1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時每圈都經(jīng)過南北兩極,由于地球自轉(zhuǎn),極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋.
(3)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動的衛(wèi)星,其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球
的半徑,其運(yùn)行線速度約為7.9km/s.
繞地球做勻速圓周運(yùn)動的人造衛(wèi)星的最大線速度和最小周期:
v=y/gR=7.9xl03m/s
7=2萬F-=5.06xl035=84.3min
Ng
(3)兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心.
深化拓展:
(3)衛(wèi)星的。、V、。、T是相互聯(lián)系的,如果一個量發(fā)生變化,其他量也隨之發(fā)生變化;這些量與衛(wèi)星的
質(zhì)量無關(guān),它們由軌道半徑和中心天體的質(zhì)量共同決定.
(4)衛(wèi)星的能量與軌道半徑的關(guān)系:同一顆衛(wèi)星,軌道半徑越大,動能越小,勢能越大,機(jī)械能越大.
3.同步衛(wèi)星(通信衛(wèi)星均為同步衛(wèi)星)
“同步”的含義就是和地球保持相對靜止(又叫靜止軌道衛(wèi)星)
(1)周期等于地球自轉(zhuǎn)周期,既T=24h
(2)軌道半徑是唯一確定的,離地面的高度為/z=3.6x107加合5.6R地
(3)該軌道必須在地球赤道的正上方
(4)衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)方向必須是由西向東
【模型解題】
3、衛(wèi)星變軌問題分析
當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因速度突然改變時(開啟或關(guān)閉發(fā)動機(jī)或空氣阻力作用),萬有引力不再等于向心力,衛(wèi)星
將變軌運(yùn)行:
Mmv2
(1)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然增大時,G一<m—,即萬有引力不足以提供向心力,衛(wèi)星將做離心運(yùn)動,脫離
rr
\GM
原來的圓軌道,軌道半徑變大,當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道穩(wěn)定運(yùn)行時由v=吆可知其運(yùn)行速度比原軌道時
r
減小.
Mtnv2
(2)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然減小時,G—>加一;即萬有引力大于所需要的向心力,衛(wèi)星將做近心運(yùn)動,脫離
r
\GM
原來的圓軌道,軌道半徑變小,當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道穩(wěn)定運(yùn)行時由v=上巴可知其運(yùn)行速度比原軌道時
r
增大.
衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用這一原理.
4、雙星系統(tǒng)模型問題的分析與計(jì)算
宇宙中往往會有相距較近,質(zhì)量可以相比的兩顆星球,它們離其它星球都較遠(yuǎn),因此其它星球?qū)λ鼈兊娜f
有引力可以忽略不計(jì)。在這種情況下,它們將圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)做同周期的勻速圓周運(yùn)動。這
種結(jié)構(gòu)叫做雙星。
[特點(diǎn)]
⑴各自需要的向心力由彼此間的萬有引力相互提供,即色詈竺=叫用2(,寫匕=%。2尢
(2)兩顆星的周期及角速度都相同,即7]=4,電=。2
(3)兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為:勺+弓=£
⑷兩顆星到圓心的距離勺、弓與星體質(zhì)量成反比,即必=豆
m2rx
(5)雙星的運(yùn)動周期7=2%
4"
⑹雙星的總質(zhì)量公式加1+m=
2T2G
△雙星系統(tǒng)問題的誤區(qū)
(1)不能區(qū)分星體間距與軌道半徑:萬有引力定律中的r為兩星體間距離,向心力公式中的r為所研究星球
做圓周運(yùn)動的軌道半徑.
(2)找不準(zhǔn)物理現(xiàn)象的對應(yīng)規(guī)律.
【模型訓(xùn)練】
【例1】某人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動,其軌道半徑為月球繞地球運(yùn)動半徑的設(shè)月球繞地球運(yùn)
動的周期為27天,則此衛(wèi)星的運(yùn)行周期為()
A.§天B.§天C.1天D.9天
【答案】C
【詳解】由于作=g廠月,北=27天,由開普勒第三定律可得
穌=1天
故選C。
變式1.1已知地球半徑為尺,同步衛(wèi)星到地心的距離約為6.67?,某人造衛(wèi)星在離地球表面的距離為1.2R的
軌道上做勻速圓周運(yùn)動,則該衛(wèi)星運(yùn)動的周期約為()
A.0.5天B.0.2天C.5.2天D.9天
【答案】B
【詳解】根據(jù)開普勒第三定律,人造衛(wèi)星的周期
(6.67?)3_7g
(2.2R)k以
代入數(shù)據(jù)解得
故選B。
變式1.2我國的第一顆衛(wèi)星“東方紅一號”于1970年4月24日在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心由長征一號運(yùn)載火箭送入
工作軌道(近地點(diǎn)距地球表面的距離金=441km、遠(yuǎn)地點(diǎn)距地球表面的距離年=2368km),它開創(chuàng)了中國
航天史的新紀(jì)元。1984年,“東方紅二號”衛(wèi)星發(fā)射成功,這是一顆地球同步衛(wèi)星,距離地心大約2=42164km。
已知地球半徑為尺地=6371km,可以估算“東方紅一號”衛(wèi)星的周期約為()
A.80分鐘B.102分鐘C.114分鐘D.120分鐘
【答案】C
【詳解】設(shè)“東方紅一號”衛(wèi)星周期為4,其半長軸為
,_2尺地+生+常
1-2
,-3
“東方紅二號"衛(wèi)星周期6=24h,工作軌道半徑弓=42164km,根據(jù)開普勒第三定律'=左,可得
rx
代入數(shù)據(jù)解得
T、21.9鼠=114向11=114分鐘
ABD錯誤,C正確。
故選C。
【例2】2021年4月28日,國際行星防御大會召開,我國代表介紹了正在論證的小行星探測任務(wù)。關(guān)于行
星運(yùn)動規(guī)律下列說法正確的是()
A.第谷根據(jù)多年的觀測總結(jié)揭示了行星的運(yùn)動規(guī)律,為萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)
B.牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律后,開普勒整理牛頓的觀測數(shù)據(jù)后,發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動的規(guī)律
3
C.開普勒第三定律表達(dá)式為言=k,月亮圍繞地球運(yùn)動的k值與人造衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)動的k值相同
D.行星繞太陽運(yùn)動時、線速度方向時刻在變,大小始終不變
【答案】C
【詳解】AB.開普勒根據(jù)第谷多年的觀測總結(jié)揭示了行星的運(yùn)動規(guī)律,為萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ),
故AB錯誤;
C.開普勒第三定律中的左值只與中心天體有關(guān),故C正確;
D.行星繞太陽運(yùn)動時、軌道是橢圓,所以線速度方向時刻在變,大小也在改變,故D錯誤。
故選Co
變式2.1關(guān)于開普勒行星運(yùn)動定律,下列說法中正確的是()
A.開普勒通過自己的長期觀測,記錄了大量數(shù)據(jù),通過對數(shù)據(jù)的研究總結(jié)出了行星運(yùn)動定律
B.根據(jù)開普勒第一定律,行星圍繞太陽運(yùn)動的軌道是橢圓,太陽處于橢圓的一個焦點(diǎn)上
C.根據(jù)開普勒第二定律,行星繞太陽運(yùn)動時,線速度大小始終不變
D.根據(jù)開普勒第三定律,所有行星軌道的半長軸的二次方跟公轉(zhuǎn)周期的三次方的比值都相等
【答案】B
【詳解】A.第谷進(jìn)行了長期觀測,記錄了大量數(shù)據(jù),開普勒通過對數(shù)據(jù)研究總結(jié)出了開普勒行星運(yùn)動定律,
故A錯誤;
B.根據(jù)開普勒第一定律,行星圍繞太陽運(yùn)動的軌道是橢圓,太陽處在橢圓的一個焦點(diǎn)上,故B正確;
C.由開普勒第二定律可知,太陽行星連線相同時間內(nèi)掃過的面積相等,行星繞太陽在橢圓軌道上運(yùn)動時,
線速度大小在變化,越靠近太陽,線速度越大,反之,則越小,故C錯誤;
D.所有行星的軌道半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等,故D錯誤。
故選B?
變式2.2人類對太陽系中行星運(yùn)動規(guī)律的探索過程中,曾有擅長觀測的科學(xué)家通過長期觀測記錄了各行星
環(huán)繞太陽運(yùn)動(公轉(zhuǎn))的大量數(shù)據(jù),在此基礎(chǔ)上有位擅長數(shù)學(xué)推理的科學(xué)家,認(rèn)為行星公轉(zhuǎn)軌道應(yīng)該是橢
圓,然后通過數(shù)學(xué)推理,發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動三大定律,揭示了行星運(yùn)動的規(guī)律。觀測記錄行星公轉(zhuǎn)的大量數(shù)
據(jù)以及發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動三大定律的科學(xué)家分別是()
A.托勒密、第谷B.第谷、開普勒C.哥白尼、托勒密D.哥白尼、開普勒
【答案】B
【詳解】第谷通過長期觀測記錄了各行星環(huán)繞太陽運(yùn)動(公轉(zhuǎn))的大量數(shù)據(jù),開普勒認(rèn)為行星公轉(zhuǎn)軌道應(yīng)
該是橢圓,然后通過數(shù)學(xué)推理,發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動三定律。
故選B。
【例3】在利用探測器探測石油的過程中,遇到空腔或者其他物質(zhì)時,引力會發(fā)生變化,引起該區(qū)域重力加
速度的大小和方向發(fā)生微小的變化,以此來探尋石油區(qū)域的位置。簡化模型如圖所示,一個質(zhì)量均勻分布
的半徑為尺的球體對球外質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力為R如果在球體中央挖去半徑為,的一部分球體,且「哼
則原球體剩余部分對質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力變?yōu)椋ǎ?/p>
【答案】C
【詳解】設(shè)質(zhì)點(diǎn)與原球體球心相距/,萬有引力為R則
在球體中央挖去半徑為r的一部分球體后,質(zhì)點(diǎn)與原球體剩余部分之間的萬有引力
故選C。
變式3.1如圖所示,一個質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體對球外質(zhì)點(diǎn)尸的萬有引力為凡如果在球體中央
D
挖去半徑為r的一部分球體,且尸2,則原球體剩余部分對質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力大小變?yōu)椋ǎ?/p>
2
D.-F
4
【答案】C
【詳解】設(shè)原球體的質(zhì)量為“,質(zhì)點(diǎn)尸的質(zhì)量為根。,球心與質(zhì)點(diǎn)尸的距離為工。根據(jù)
4
m=—p7tr
知,挖去部分的小球的質(zhì)量
m=-M
8
沒挖去前,原球體對質(zhì)點(diǎn)尸的引力
F=G四
Z2
挖去的部分對質(zhì)點(diǎn)尸的引力
F,=Gmm0=]_F
1}8
則剩余部分對質(zhì)點(diǎn)尸的引力
7
F”=F—F、=-F
8
故選Co
變式3.2有一質(zhì)量為"、半徑為尺、密度均勻的球體,在距離球心。為2尺的地方有一質(zhì)量為用的質(zhì)點(diǎn)?,F(xiàn)
將“中挖去半徑為/的球體,如圖所示,則剩余部分對加的萬有引力大小為(
)
23Mm
A.G
1007?2
—7Mm
C.G叫D-G.
32H2
【答案】A
【詳解】挖去之前球體與質(zhì)點(diǎn)之間的萬有引力為
Mm
G=Gw
挖去部分的小球體與質(zhì)點(diǎn)之間的萬有引力為
M'm
F=G
2:氏+24
由于球體密度均勻,則有
M'M
剩余部分與m之間的萬有引力大小為
F3=F「F°
解得
l「23Mm
F.=G------丁
3100R2
故選Ao
[例4]2023年9月5日傍晚5點(diǎn)30分左右,一顆命名為“合肥高新一號”的衛(wèi)星,從海上發(fā)射基地飛向太
空,成為中國低軌衛(wèi)星物聯(lián)網(wǎng)的一部分。假設(shè)此衛(wèi)星在赤道平面內(nèi)繞地球做圓周運(yùn)動,離地面高度等于地
球半徑尺,運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同。已知地球自轉(zhuǎn)周期為絲,地球兩極處重力加速度為g,萬有引力
常量用G表示。下列說法正確的是()
37r
A.地球的平均密度為彳
B.衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的周期為2萬
2/
C.赤道表面的重力加速度為g-三尺
D.若赤道上有一衛(wèi)星測控站,忽略衛(wèi)星信號傳輸時間,衛(wèi)星與測控站能連續(xù)通信的最長時間為
【答案】D
【詳解】A.。=焉中周期T為貼近地面運(yùn)行衛(wèi)星的周期,而非地球自轉(zhuǎn)周期為4,故A錯誤;
CrT
B.設(shè)地球質(zhì)量為衛(wèi)星A的質(zhì)量為加,根據(jù)萬有引力提供向心力,有
Mm喑套R
G
解得
2R
T=4萬
g
故B錯誤;
C.兩極處有
赤道處有
故C錯誤;
D.如圖所示,衛(wèi)星的通訊信號視為沿直線傳播,由于地球遮擋,使衛(wèi)星A和地面測控站B不能一直保持
直接通訊,設(shè)無遮擋時間為/,則它們轉(zhuǎn)過的角度之差最多為20時就不能通訊
故D正確。
故選D。
變式4.12021年2月,執(zhí)行我國火星探測任務(wù)的“天問一號”探測器在成功實(shí)施三次近火制動后進(jìn)入運(yùn)行周期
為T的橢圓形停泊軌道(如圖所示),近火點(diǎn)A到火星中心。的距離為a,已知火星的半徑為R,在火星上
以V。的速度豎直上拋物體,經(jīng)過;時間后物體回到原處,萬有引力常量為G,忽略火星自轉(zhuǎn)。以下說法正確
的是()
A.火星的質(zhì)量為場£
火星的密度為燕
B.
C.火星的第一宇宙速度為
遠(yuǎn)火點(diǎn)B到火星中心O的距離為2』即可-a
D.
\252
【答案】D
【詳解】A.由題意知,火星表面的加速度為
O
設(shè)火星的質(zhì)量為火星表面質(zhì)量為根的物體在火星表面物體受到的萬有引力等于物體的重力,故
GMm
解得
若用7,則應(yīng)用橢圓的半長軸,不應(yīng)用我代入公式,故A錯誤;
B.根據(jù)密度的計(jì)算公式
M
夕;4—
-TIR3
3
解得
故B錯誤;
C.第一宇宙速度為
2%穴
故C錯誤;
D.設(shè)質(zhì)量為仙的衛(wèi)星繞火星表面做勻速圓周運(yùn)動的周期為乃,由萬有引力提供向心力有
GMm.c4/
k=/不
解得
R3_GM
在火星表面物體受到的萬有引力等于物體的重力,故
GMm,
二嗎g
設(shè)遠(yuǎn)火點(diǎn)B到火星中心。的距離為b,則由開普勒第三定律可得
a+b
一(3
T;T2
解得
7整-。
故D正確。
故選D?
變式4.2地球資源衛(wèi)星“04星”繞地球做勻速圓周運(yùn)動的角速度為。,地球相對“04星”的張角為。,如圖所
示。引力常量為G,則地球的密度為(
04星
3a)2G
C3。2D302G
A'47iGsin3—B.
471sm—47cGsin304TIsin30
22
【答案】A
【詳解】“04星”繞地球做勻速圓周運(yùn)動,萬有引力提供向心力,有
G嗎5后r
r
設(shè)地球半徑為五,則由題圖知
R=rsm-
2
又
M=p皿
3
聯(lián)立解得
3G2
P-Z-
471Gsii?一
2
故選Ao
【例5】在劉慈欣的科幻小說《帶上她的眼睛》里演繹了這樣一個故事:“落日六號”地層飛船深入地球內(nèi)部
進(jìn)行探險(xiǎn),在航行中失事后下沉到船上只剩下一名年輕的女領(lǐng)航員,她只能在封閉的地心度過余生。已知
地球可視為半徑為尺、質(zhì)量分布均勻的球體,且均勻球殼對殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的引力為零。若地球表面的重力加速度
為g,當(dāng)“落日六號”位于地面以下深0.5R處時,該處的重力加速度大小為()
A.0.25gB.0.5gC.0.75gD.g
【答案】B
【詳解】在地球表面有
「Mm
G-^=mg
設(shè)地球的密度為2,則地球的總質(zhì)量為
4兀pK
M=怦=——
地面以下深0.5R處地球的質(zhì)量為
,,,4即(0.5火)31“
M=——------=-M
38
地面以下深0.5R處有
CM'm,
G=mg
(0.5&295
位于地面以下深0.5尺處時,該處的重力加速度大小為
g'=0.5g
故選B。
變式5.1已知“祝融號”火星車在地球表面受到的重力大小為G/,在火星表面受到的重力大小為G?;地球與
火星均可視為質(zhì)量分布均勻的球體,其半徑分別為處、若不考慮自轉(zhuǎn)的影響且火星車的質(zhì)量不變,則
地球與火星的密度之比為()
*-6尼
AB
-G2R2-GR'G禺'GR
【答案】B
【詳解】在星球表面,萬有引力近似等于重力,有
G節(jié)=G,
G2=G2
又
4
匕=尸
4,
V1=~^R1
p'=~
p一也
匕
聯(lián)立解得
Pi=G&
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