2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊期末高分秘籍

（專題03解答題）

目錄

考點一二次根式..................................................................1

考點二勾股定理.................................................................9

考點三平行四邊形...............................................................27

考點四一次函數(shù)................................................................45

考點五數(shù)據(jù)分析.................................................................69

考點一二次根式

L計算：

(1)_6x&_(也—1)

⑵(3+2匈(3-2碼-A+后

【答案】⑴-注-3

2

⑵-2

【分析】本題考查實數(shù)計算，二次根式計算，平方差公式等，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)

鍵.

（1）先將二次根式化簡，再去括號合并同類項即可；

（2）先利用平方差公式計算，再計算除法，最后計算減法即可.

【詳解】（1）解：—Gx痛—（形—

第1頁共82頁

(2)解：(3+2A/2)(3-2A/2)-754-76

=32—邪

=9-8-3

=—2?

(11、根2—m

2.先化簡，再求值：--+--…七〉其中相=五.

I加+1m—m-2m+1

9

【答案】——--272-2

m+1

【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，分母有理化，先把小括號內(nèi)的式子通分化簡，再把

除法變成乘法后約分化簡，最后代值計算即可得到答案.

(11)m1—m

【詳解】解:-------1---------

I加+1m—1)m2—2m+1

m-1m+1m2-m

-------------1--------------4------------

(m++m2-2m+1

2mm(m-l)

(m+l)(m-l)(m-1)2

2m(m-1)2

2

m+1

2x(72-1)

原式=3=2A/2-2

當(dāng)相=叵時,=2&-2.

^A/2+1)x-])2-1

3.已知y=J2x-6+J6-2%+4,求(x-y)"”的值.

【答案】-1

【分析】本題考查代數(shù)式求值.熟練掌握二次根式有意義的條件，是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)求出x的值，進(jìn)而求出y的值，然后代入代數(shù)式計算解題.

2x-6>0

【詳解】解:由已知可得＜

6-2x>0

第2頁共82頁

解得x=3.

則y=J2x3—6+J6—2義3+4=4.

0A：-y=3-4=-l.

則(％_y)2°25=(—1)2025=_1.

4.已知a=2+g,b=2-6,求/方+必2的值.

【答案】4

【分析】本題考查了二次根式的化簡求值.先對所求的代數(shù)式進(jìn)行因式分解，然后代入求值.

【詳解】解：0a=2+V3,6=2-石，

回曲=(2+百)(2-@=4-3=1,

。+匕=2+0+2-石=4,

回a2b+ab2

=ab(a+b)

=1x4=4?

5.已知7%=2百—3,n=45.

(1)求zwz+3”的值；

⑵求加1-6mn+9n2的值.

【答案】⑴10

(2)14+6A/5

【分析】本題考查二次根式的運算，代數(shù)式求值，完全平方式，熟練掌握二次根式的運算法則

是解題的關(guān)鍵.

(1)直接將加=2喬-3,"=近代入式子計算即可；

(2)先利用完全平方式將加2—6加八+9/變形為(機(jī)-3〃)2,再代入進(jìn)行計算即可.

【詳解】(1)解：mn+3n

第3頁共82頁

=(275-3)75+375

=10-345+345

=10；

(2)解：m2—6mn+9n2

=(m-3n)2

=(2A/5-3-3A/5)2

=9+6火+5

=14+675.

6.已知x=2—y=2+.

⑴求丁一肛+/的值；

⑵若了的小數(shù)部分為b,求6的值.

【答案】(1)13

(2)73-1

【分析】本題考查了二次根式的混合運算、無理數(shù)的大小估計、利用完全平方公式變形求值,

熟練掌握二次根式的運算法則是解題關(guān)鍵.

ci)先求出x+y,孫的值，再利用完全平方公式變形求值即可得；

(2)根據(jù)1(百<2可得3<><4,由此即可得.

【詳解】(1)解：回x=2—旨,>=2+石，

回x+>=2-y/3+2+5/3=4,xy=^2-,\/3+A/3j=4—3=1,

回-孫+y2=%2+2孫+y2-3xy

=(x+y)--3xy

=42-3xl

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=13.

(2)解：01<3<4,

回1<如<2,

回y=2+A/3,

回3<><4,

回y的小數(shù)部分為人，

0/?=2+73-3=^-1.

7.已知a=3+J7,Z?=3-J7,求下列各式的值：

(^crb+ab2;

⑵片―尸

【答案】⑴12

(2)12手

【分析】本題主要考查了二次根式混合運算，因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根

式混合運算法則.

(1)先求出。+/?=3+4+3—近=6,a-b=3+幣-3+幣=2幣,

"=(3+J7)(3—J7)=3?—(77)2=2,再整體代入求值即可；

(2)根據(jù)平方差公式，結(jié)合1+6=3+近+3—4=6,a—6=3+4一3+近=2夕，求

出結(jié)果即可.

【詳解】(1)解：?.?a=3+J7*=3—J7,

tz+Z?=3+A/TL+3--X/T-=6>

a-b=3+幣-3+近=2幣,

ab=(3+⑺(3—⑺=32—(近了=2,

^\a2b+ab2=ab(a+Z?)=2x6=12；

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(2)解：a2-b2=(?+Z?)(?-Z?)=6X2^=12A/7.

8.如圖，為推進(jìn)綠色亞運城市建設(shè)，廣州市某低碳大廈在矩形屋頂中安裝了兩塊正方形的光

伏發(fā)電板4B,兩塊光伏板沿屋頂長邊恰好并排排列，其面積分別為18m2和32m2.

⑴光伏板45的邊長分別為m,m；（用最簡二次根式表示）

⑵計算屋頂中未利用區(qū)域（陰影部分）的面積.

【答案】⑴3&，4^/2;

（2）6m2

【分析】（1）根據(jù)正方形的面積根式以及最簡二次根式的定義進(jìn)行解題即可；

（2）根據(jù)圖形進(jìn)行列式計算即可.

本題考查二次根式的應(yīng)用、最簡二次根式，熟練掌握相關(guān)的知識點是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：由題可知，

設(shè)A正方形的邊長為何，3正方形的邊長為沖1,

則%2=18>y2=32,

解得％=30，y=4A/2（負(fù)數(shù)舍去）.

故答案為：3&，4A/2；

（2）解：由題可知，陰影部分的面積為：

3后x（4Vi-3忘）=3應(yīng)x應(yīng)=6.

答：屋頂中未利用區(qū)域（陰影部分）的面積為6m2.

9.觀察下列各式及其驗證過程：

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⑴按照上述兩個等式及驗證過程的基本思路，猜想第（3）個式子的變形結(jié)果并進(jìn)行驗證;

⑵針對上述各式反映的規(guī)律，直接寫出第〃個式子（八22的整數(shù)）.

,、I'n+1/八I~77+1

（2）n+1-i------；——=（w+l）I-----：——.

[（n+l）2-lI7（n+l）2—l

【分析】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)化簡，分解因式的應(yīng)用，異分母分式的加減，解題關(guān)

鍵是將根號內(nèi)通分.

（1）先將根號內(nèi)通分，再利用二次根式的性質(zhì)化簡；

（2）先將根號的分式內(nèi)通分，再將分子分解因式，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡.

⑵解:、附+^^=卜詠〃+以4"1

V5+1)2-1("+1)2—1

(n+1)(w+1)"-1+1

=（〃+1）

10.觀察下列運算:

由(血+1)(0-1)=1,1

得—=A/2-1;

V2+1

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由(6+夜)(6-夜)=1,得尋&=6-8；

由（"+網(wǎng)6）=i,得]=a-有；

1

⑴通過觀察得

J〃+1+yfn

1111

(2)利用(1)中你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：T耳瓦T'/cccuIccca?

Vr2-+1J~3fr+J72J4+J3J2025+J2024

【答案】(1)yjn+l-y/n

⑵44

【分析】(1)觀察題目所給的式子得到規(guī)律即可得到答案；

(2)根據(jù)萬一『=+1-G對原式進(jìn)行裂項，得到

7n+1+，〃

(V2-1)+(V3-V2)+(74-73)+---+(72022-72021)+(72023-72022),由此求解即

可.

【詳解】(1)解：0+]=1；

]

A/3-V2;

,\/3+A/2

號

1

團(tuán)可以得到規(guī)律I—7=

7n+1+7n

故答案為：y/n+1—y/'n；

（2）解：0+1—y/ri,

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1111

團(tuán)--------J-----------j---------—|—???—|------------------

.V2+1V3+A/2A/4+A/3,2025+>2024

=^^/2—ij—\/2^+^^4—A/3j+???+(J2025-J2024)

=^/2—1+—\/2+—^/3H-----\-J2025—J2024

=72025-1

=44.

【點睛】本題主要考查了運用平方差公式進(jìn)行分母有理化，解題的關(guān)鍵在于正確理解題意找到

規(guī)律求解.

考點二勾股定理

11.如圖，CD為斜邊上的高，NA4C的平分線分別交CO,BC于點E,F,

/G1A4垂足為點G.

C

⑴求證：CE=FG?,

(2)已知AC=12,CE=4,BF=5.求的面積.

【答案】⑴見解析

⑵30

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積，熟練掌握它們的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出廠C=/G,ZCAF=ZDAE=-ABAC,再證

2

ZAED=ZAFC,由對頂角相等可知NAEZ)=NC即，故可得出NCEF=NAFC,那么

CE=CF,由此可得出結(jié)論；

(2)先證八7=中=。石=4,再得出BC=毋'+/C=9,根據(jù)勾股定理得出

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鈿=*2+叱=15,最后根據(jù)三角形的面積公式即可解答.

【詳解】（1）證明：回AF是/BAC的平分線，ZACB=9G°,FG1AB,

國FC=FG,ZCAF=ZDAE=-ABAC,

2

ZCAF+ZCFA=90°,ZDAE+ZAED=90°,

^\ZAED=ZAFC,

?ZAED=NCEF,

?/CEF=ZAFC,

回CE=CF,

mCE=FG.

（2）解：回CE=4,

⑦FG=CF=CE=4,

0BF=5,

aBC=BF+FC=9,

0AC=12,

回AB=yjAC2+BC2=A/122+92-15，

回SAABF=；X15X4=30.

12.八年2班數(shù)學(xué)課外活動小組的同學(xué)測量學(xué)校旗桿A5的高度時，發(fā)現(xiàn)升旗的繩子（無彈性）

長度比旗桿多1米，當(dāng)他們把繩子拉直，繩子末端。剛好接觸地面時，此時繩子末端。與旗

桿的距離為5米，求旗桿A5的高度.

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【答案】12米

【分析】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵；

將旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用勾股定理即可解答.

【詳解】解：設(shè)旗桿的高度為X米，則繩子的長度為（X+1）米（X＞。）.

在RtZkABC中，?B90?

根據(jù)勾股定理得AB2+BC2=AC2.

x2+52=（%+1）2

解得：x=12

答：旗桿的高度為12米.

13.如圖，在RtZVLBC中，ZC=90°,ZA=60°,。為邊5C上一點，CD=10,過。作

DE，AB千E,DE=4.

A

⑴求AC的長；

⑵求四邊形ACD石的面積.

【答案】（1）AC=6G

（2）466

【分析】本題考查了勾股定理，30°角直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各知識點并靈活運用是解

題的關(guān)鍵.

（1）可得N5=90°—NA=30°,先根據(jù)30。角直角三角形的性質(zhì)求出友）=2。石=8,

AB^lAC,再對Rt^ABC運用勾股定理求解；

（2）先由勾股定理求出座，再由四邊形ACQE的面積=S』BC-S更DE求解.

【詳解】（1）解：0ZC=9O°,ZA=60°,

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0ZS=9O°-ZA=3O°,

^DEJ.AB,

0BD=2D￡=2x4=8,

0JBC=CD+BD=1O+8=18,

^AC-+BC-=ABr,

0AC2+182=(2AC?，

解得：AC=±66(舍負(fù))；

(2)解：回BD=8,DE=4,DEJ.AB,

國BE=NB?-DE?=4百，

回四邊形ACDE的面積=S^c-S△皿=36百xl8-34x4a=46百?

14.在VA5C中，AB=AC=10,3C=16,點。是5C的中點，點E是線段上的動點,

過點E作跖，即交A5于點R連接A石，若NAEF=NB.

⑵求。石的長.

【答案】⑴見解析

(2)4.5

【分析】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知勾股定理是解

題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到4=NC,證明NEAC=90。，根據(jù)垂直的定義即可得證;

(2)根據(jù)勾股定理可得/1￡2+4。2=?！?,再由三線合一定理得到AOiBC,則可利用勾

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股定理求出AO的長，進(jìn)而得到4石2=402+。石2=62+。石2,據(jù)此建立方程求解即可.

【詳解】(1)證明：?,?AB=AC,

:./B=/C,

EF±BD,

:.ZAEF+ZAED=90°,

\-ZAEF=ZB,NB=NC,

:.ZC+ZAED=90°,

:.ZEAC=90°,

:.AE±AC；

(2)解：4c=90。，

AE-+AC2=CE2,

???4B=AC,點。是3C的中點，

.-.BD=DC=-xl6=8,ADIBC,

2

AD=<AC2-5=7102-82=6，

?:CE=CD+DE=DE+8,

2

AE=CE?_AC2=(。石+8)2—I。？，

22

在RGAD石中，AE=AD-+DE=62+DE2,

.-.(DE+8)2-1O2=62+DE2,

解得：DE=4.5.

15.如圖，在四邊形ABC。中，AB=BC=2,CD=3,DA=1,且ABL5C于點8,求

/BAD的度數(shù).

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D

【答案】135°

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握勾股定理的逆定理.

連接AC,由題意知？690?,48=6。=2,利用勾股定理可求4。，并可求44。=45°,

而CO=3,DA=1,AC2+DA2=CD2,可證△ACD是直角三角形，ZC4D=90°,從

而求/AAD的度數(shù);

【詳解】解：如圖所示，連接AC,

?.?/B=90°,AB=BC=2,

回△回（?為等腰直角三角形，

AC=7AB2+BC2=242>ZBAC=45°,

又?.?8=3,DA=1,

AC2+DA2=8+1=9,CD2=9-

AC2+=CD1,

「.△AC。是直角三角形,

:.ZCAD=90°,

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.-.ZZMB=45°+90°=135°.

故ZDW的度數(shù)為135°.

16.如圖，在VABC和△/)石尸中，ZACB=ZDFE=90°,AB=DE,EF=BC.

⑴求證：AABCmADEF.

⑵若。石=10,=6,5尸=1,求C。的長.

【答案】⑴證明見解析

(2)CD=3

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與勾股定理，確定用HL定理進(jìn)行證明是關(guān)鍵.

(1)由題意可知VA5c和ADEF為直角三角形，根據(jù)HL定理證明即可；

(2)由石F=BC可知跖=6,在Rt^DEF中，根據(jù)勾股定理可得DF=8,再根據(jù)線段的

和差計算即可.

【詳解】(1)證明：回NACB=ND尸石=90°,

回VABC和QEF為直角三角形，

AB=DE

在RtAABC和RtADEF中，〈，

EF=BC

0AABC^ADEF(HL).

(2)解：05C=6,EF=BC,

0EF=6,

在RtADEF中，DF=\lDE2-EF2=A/102-62=8，

0BC=6,BF=1,

回6F=BC—BF=b,

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0CD=DF—CF=3.

17.如圖所示，八式方和△E'CD都是等腰直角三角形，ZACB^ZECD=90°,。為A3邊上

-*占

八、、.

(2)若9=8,￡。=10,求的長.

【答案】⑴見解析

⑵6

【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理：

(1)已知△ACB和△石CD都是等腰直角三角形，ZACB=NECD=90。,則

DC=EC,AC=BC,ZACB=ZECD,又因為兩角有一個公共的角NACO,所以

/BCD=ZACE,根據(jù)SAS得出/XACE^/\BCD.

(2)由(1)的論證結(jié)果得出NDAE=90。，利用勾股定理得出答案即可.

【詳解】(1)證明：回ZkACB和△ECO都是等腰直角三角形，

回AC=BC,EC=DC,/ECD=ZACB=90°,

^\ZECD-ZACD=ZACB-ZACD,即/石C4=NDCB

在AACE7和ABCD中，

AC=BC

<ZECA=ZDCB,

EC=DC

0AACE^ABCD(SAS)；

(2)解：回AACB是等腰直角三角形

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0ZS=Z5AC=45°,

由(1)得：^ACE^BCD,

0ZEAC=/B=45°,AE=BD=8,

0ZEAD=ZEAC+ZBAC=90°,即△AED為直角三角形，

回RtAA即中，AD=y]ED2-AE2=V102-82=6-

18.在Rt^ABC中，ZC=90°,。為AB中點，點石、廠分別在邊AC、5C上，且DELQ/L

(1)如圖1,如果。L=C5,求證：CE=BF；

⑵在(1)的條件下，猜想線段A石、BF和斯之間的數(shù)量關(guān)系是；

⑶如圖2,如果。LwCB,(2)中A石、BF和斯之間的關(guān)系還成立嗎？若成立，請證明：

若不成立，請說明理由.

【答案】⑴見解析

(2)AE2+BF2=EF2

⑶結(jié)論：隹2+5下2=石/2還成立.理由見解析

【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平

分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識.掌握三角形全等的判定條件和正確的作出輔助線構(gòu)造全

等三角形是解題關(guān)鍵.

(1)連接C。，禾煙"ASA"證明△OCE必△DB尸，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得證；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可知5尸=。石，結(jié)合題意可求出A^=C廠.在Rt^CEF中，再由

勾股定理，可得出答案；

(3)延長FD至點使DM=DF,連接A",EM.易證&4。0也。。下行人5),得出

AM=BF,ZMAD=ZB,從而判斷即證明NM4E=NACB=90°.再根據(jù)

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線段垂直平分線的判定和性質(zhì)可知所=EM.最后在RtAAEM中，由勾股定理，得

AE2+AM2=EM2>即得出AE2+BF2=EF2.

【詳解】（1）證明：如圖，連接C。,

C

瓦一

ADB

.?.△A4C是等腰直角三角形.

???點。是A6的中點，

:.AD=BD,CD±AB,

:.ZDCE=ZDBF=45°,ZCDB=90°,CD=BD.

又YDELDF，

ZEDF=ZCDB=90°,

?/ZCDE=ZEDF-Z.CDF,ZBDF=ZCDB-ZCDF,

:.NCDE=ZBDF.

在ADCE與.DBF中,

/DCE=Z.DBF

<CD=BD

ZCDE=ZBDF

.?.△DCE^ADBF(ASA),

:.CE=BF,

(2)猜想：AE2+BF2=EF2-

證明：由(1)可知△「€：￡：名△DBF,

BF=CE,

:CA=CB,

:.CA-CE=CB-BF,即AE=CF.

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在Rtz^CE廠中，由勾股定理，^CF2+CE2=EF2,

AE2+BF2=EF2^

(3)結(jié)論：A石2+6/2=.2還成立.

理由如下：

如圖，延長￡0至點M,使DM=DF,連接

/,點。為中點，

A、、、、、\/'DB

M

AD=BD，

\-ZADM=ZBDF,DM=DF,

.??AADM^ABDF(SAS),

:.AM=BF,ZMAD=ZB,

:.AM//BC

:.ZMAE=ZACB=90°.

又?:DELDF，DM=DF,

.?.D石是月0的垂直平分線，

:.EF=EM,

在Rt/Vl石M中，由勾股定理，得AB?+.2=有2,

AE2+BF2=EF2-

19.如圖，將長方形A4CO沿AC折疊，使VABC落在△AEC的位置，且CE與AD相交于

點、F.

B

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⑴求證：EF=DF；

⑵若AB=2百，BC-6,求AF.

【答案】⑴見詳解

(2)AF=4

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)得到ZE=ZB=90°,易證

RMAEFWRMCDF(AAS),即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)(1)易得FC=FA,設(shè)E4=x,則尸C=%,FD=6-x,在RtZiCD廠中利用

勾股定理得到關(guān)于x的方程，=(2j§y+(6-X)2,解方程求出X,即可作答.

本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，也考查了長方形

的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)以及勾股定理；利用長方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)以及

勾股定理進(jìn)行正確計算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)證明：...長方形A8CQ沿對角線AC對折，使VABC落在石。的位置，

:,AE=AB,ZE=ZB=ZD=90°,

又?.?四邊形ABC。為長方形，

AB=CD,

AE=DC,

而NAFE=NDFC,

在AAFE與中：

ZAFE=ZDFC

<ZE=ZD

AE=CD

Rt^AEF=^RtACDF(AAS)

:.EF=DF；

(2)解：回四邊形ABCD為長方形,

：.AD=BC=6,CD=AB=2A/3,

第20頁共82頁

,/Rt^AEF=Rt^CDF,

:.FC=FA,

設(shè)FA=x,

則尸。=%,FD=6-x,

在如△口)尸中，CF2=CD~+DF~,

即x2=(2G『H6—4,

解得x=4.

20.如圖，在VA8C中，ZBAC=90°.以點5為圓心，以任意長為半徑作弧交區(qū)4,5C于

點、M,N,以點X,N為圓心，以大于的長為半徑分別作弧，兩弧交于點P.連接取并

2

延長交AC于點D

⑴判斷：NABD與ZCBD的數(shù)量關(guān)系是二

(2)若A5=8,AC=6,求A。的長.

【答案】⑴NABD=NCBZ)

【分析】本題考查尺規(guī)作圖一作角平分線，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握三角形全等的判定方法.

(1)根據(jù)作圖得到平分NA4C,即可得出結(jié)果；

⑵過點。作。石_L于點E,證明△ABD^EBD(AAS),BA=BE,DA=DE.根

據(jù)勾股定理求出=，82+62=io.設(shè)A。=%,則。石=%,。。=6-％.根

第21頁共82頁

據(jù)勾股定理得出*+(10—8)2=(6—x)2,求出X的值，即可得出答案.

【詳解】(1)解：由作圖可知：平分NA4C,

?NABD=/CBD；

(2)解：如圖，過點。作。石，于點石,

ZDEB=ZDEC=ZA=90°.

ZABD=ZCBD,

又?；BD=BD,

AAS),

:.BA=BE,DA=DE.

在中，

由勾股定理得BC=VAB2+AC2=A/82+62=10-

設(shè)AD=%,則￡>￡=%,.

在HMCD石中，

DE1+CE2=CD2,

x2+(10-8)2=(6-x)2,

Q

解得X=§,

Q

二?AO的長為1.

21.如圖，等腰Rt^ABC中，AB=AC,NB4C=90°.點。，石是5。上兩動點，且

ZDAE=45°,若K4=叢ZFAD=45°.

第22頁共82頁

A

⑴求證：AAEBgAAFC.

(2)當(dāng)BE=3,CE=7時，求。石的長;

【答案】⑴詳見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、用勾股定理解三角形，等腰三角形的性質(zhì)等知

識點.

(1)先證明NE4X=NC4尸，結(jié)合AB=AC,AF=AE,從而可得結(jié)論；

(2)設(shè)DE=x,則CD=7-x,證明注△AED(SAS),可得DE=DF=x,再

利用勾股定理計算即可.

【詳解】(1)證明：回ND1E=45°,ZFAD=45°,

:.^EAF=90°=^BAC,

.-.ZBAE=ZCAF,

-.-AB^AC,AF=AE,

.AAEB^=AAFC；

(2)解：BE=3,CE=y,

設(shè)DE=x,則CD=7-x.

AB=AC,NBA。=90°,

:.ZB=ZACB=45°,

FA=EA,^FAD=45°,AAEB^AAFC,

:.ZABE=ZACF=45°,CF=BE=3,

第23頁共82頁

:.ZDCF=90°,

-：AE=AF,ZDAE=ZDAF=45°,AD=AD,

..△AED2△AFD(SAS),

:.DE=DF=x,

在RLDCF中，

,■DF2=CD2+CF2,

...J=(7—域+32,

2Q

解得%=y,

DE=—29

7

22.三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手.將一對直角三角板如圖放置，點。在尸。的延長線上,

點8在石。上，AB//CF,ZF=ZACB^90°,ZE=45°,ZA=60°,AC=10.

⑴求5C的長;

⑵求CD的長.

【答案】⑴10君

(2)15-573

【分析】本題考查了勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì),

根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求出5C的長度;

(2)過點3作碗，￡。于點由平行線的性質(zhì)求得N5Q0=NABC=3O°,利用直角

第24頁共82頁

三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得5M=56，CM=15,在△￡?口中可求出NEDF=45。，進(jìn)

而可得出答案.

【詳解】（1）解：在八4。3中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=10,

:.ZABC=30°,

.-.AB=2AC=20.

2222

BC=7AB-AC=A/20-10=10A/3；

(2)解：過點8作頗，小)于點M,

IICF,

??.NBCM=ZABC=30。,

:.BM=^BC=5y/3,CM=SIBC2-BM2=15>

在△石萬。中，N/=90°,N石=45°,

二.NED尸=45°,

MD=BM=56,

:.CD=CM-MD=15-5y/3.

23.如圖，C是線段AB的中點，ZA=ZECB,CD//BE.

⑴求證：△DAg^ECB；

⑵連接。石，若AB=16,求。石的長.

第25頁共82頁

【答案】⑴詳見解析

(2)8

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)判定定

理和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：

(1)中點得到AC=BC,平行線的性質(zhì)，得至UZACD=ZB,利用ASA證明△DA8AECB

即可；

(2)根據(jù)也△石CB,得到CD=BE,進(jìn)而得到四邊形CB即為平行四邊形，進(jìn)而得

到D石=BC,即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：:C是線段AB的中點，

：.AC^CB=-AB.

2

-,-CD//BE,

:.ZDCA^ZB.

在△ZMC和△石CB中，

/A=ZECB,

<AC=CB,

ZDCA=ZB,

.-.△DAC^AECB(ASA).

(2)\-AB=16,

0BC=—AB=8.

2

-.'ADAC^AECB,

CD=BE.

又TCD//BE,

回四邊形BCDE是平行四邊形，

:.DE^BC^8.

第26頁共82頁

考點三平行四邊形

24.如圖，在平行四邊形ABC。中，E,廠是直線5。上的兩點，DE=BF.

⑴求證：四邊形A石CF是平行四邊形；

⑵若AB=10,BC=6,且石F—AF=4,求。石的長.

【答案】⑴見解析

(2)2A/7

【分析】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是得到VAD石式VCB廠.

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD〃BC,AD=BC,從而/ADB=/CBD,則

ZADE=ZCBF,易證VAD石絲VCB尸，得至UAE\\CF,根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形，

即可證明四邊形人尸CE是平行四邊形；

(2)根據(jù)勾股定理求出的長度，連接AC交EF于0,求得。0根

2

據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到石。=。尸=；所，設(shè)。石=6尸=%,根據(jù)勾股定理列方程即可得解.

【詳解】(1)證明：???四邊形A5CO是平行四邊形，

.-.AD//BC,AD=BC.

:.ZADB=ZCBD.

:.ZADE=ZCBF.

在VAD￡和VCB尸中，

第27頁共82頁

AD=BC

<NADE=ZCBF,

DE=BF

AADE絲△CBF(SAS).

；.AE=CF,/AFP=ZCBF.

:.AE//CF,

???四邊形ANCE是平行四邊形；

(2)解：?.?BDLAD,AB=10,BCAD=6,

BD=AB1-AD2=V102-62=8，

連接AC交EF于O,

4,

???四邊形A石C廠是平行四邊形,

：.EO=OF=~EF,

2

DE=BF,

設(shè)DE=BF=x,

EF=2x+8,

\-EF-AF=4,

AF=2x+4,

AF2=AD2+DF2，

.-.(2x+4)2=62+(8+x)2,

%=2A/7(負(fù)值舍去)，

二。石的長為2近.

第28頁共82頁

25.如圖1,在平行四邊形A4CZ)中，點石，廠在對角線AC上，且AX=C尸，連接。石，BF.

⑴求證：DE=BF；

⑵如圖2,連接求證：四邊形6灰加是平行四邊形.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形

的判的性質(zhì)是關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明△AD￡0\CB/(SAS),即可求解；

(2)根據(jù)題意得到〃跖，DE=BF,根據(jù)平行四邊形的判定方法即可求解.

【詳解】(1)證明：.??四邊形A4c。是平行四邊形，

:.AD=BC,AD//BC,

:.ZDAE=ZBCF,

又,：AE=CF,

.-.△ADE^ACBF(SAS),

DE=BF；

(2)證明：由(1)得VADE爾CBF,

:.ZAED=ZCFB,

180°-ZAED=180°-ZCFB,即ZD石C=NB用，

:.DE11BF,

?：DE=BF,

四邊形6石ZM是平行四邊形.

第29頁共82頁

26.在回ABC。中，AC,5。相交于點。，過點A作于點￡,在上取點廠,

連接。方，使/DCF=/BAE.連接AKCE.

⑴求證：四邊形A石CF是平行四邊形;

⑵若AF=10,EF=8,BE=4,則口A5C。的面積為.

【答案】⑴見詳解

⑵96

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟記各

性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定得出。尸=BE,再根據(jù)對角線互相平分的四

邊形是平行四邊形進(jìn)行證明即可；

(2)根據(jù)勾股定理求出AE=CF=6,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)證明：.??四邊形A5c。是平行四邊形,

■.OA=OC,OB=OD,BA=CD,AB\\CD,

@ZABD=/CDF,

m/DCF=/BAE,

0ADCF^ABAE(ASA),

^\DF=BE,

:.OB-BE=OD-DF,

:.OE=OF,

又?.?Q4=OC,

???四邊形A石CF是平行四邊形;

第30頁共82頁

(2)解：回

^ZAEB=ZAED=90°,

由(1)得NDFC=NAEB=90°,

在Rt^AEF中，由勾股定理得，AE2+EF2=AF2-即AE2+82=102

.-.AE=CF=6,

回6￡=4,

^DF=BE=4,

^\BD=BE+EF+DF=16

回SeCD=2S/BD=2xJAE50=2x3x6x16=96

故答案為：96

27.如圖，在平行四邊形A4c。中，A5=A。，點￡、方分別在A。、5C上，沿斯折疊

平行四邊形，使點A、?；ハ嘀睾希c3落在點G的位置.

G

⑴連接G廠，CE,求證：△CEDZ/kCFG；

⑵若NBCD=130。，求—4￡F的度數(shù).

【答案】⑴見詳解

⑵40°

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定等知識，

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明N3CD=NGCE,CD=CG,/D=/G,

即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意可得NACB=/B=50。，得到NA4C=50。，再根據(jù)點A與點C重合，得到

AC±EF,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)果；

第31頁共82頁

【詳解】(1)證明：回四邊形ABCD是平行四邊形,

?AB=CD,/BAD=/BCD,ZB=ZD,

由折疊的性質(zhì)可得，AB=CG,/B=/G,ZBAD=ZGCE,

?ZBCD=NGCE,CD=CG,ND=NG,

0NECD+NBCE=ZBCD,ZBCE+ZFCG=ZGCE,

?NECD=NFCG,

0AC￡D^ACFG；

(2)0ZBCD=13O°,四邊形ABCD是平行四邊形，

0ZB=5O°,AD//BC,

0AB=AC,

0ZACB=ZB=50°,

^\AD//BC,

0ZZMC=ZACB=50°,

回所為折痕，點A與點C重合，

0AC±EF,

回NAO石=90。，

0ZAEF=180°-ZDAC-ZAOE=40°.

28.如圖，在VA5C中，AB=AC,AD1BC于點。，延長。。到點E,使CE=CD.過

點E作印〃AD交AC的延長線于點R連接A石，DF.

⑴求證：四邊形皿石是平行四邊形;

(2)若BD=2,AE=6,求AF的長.

【答案】⑴證明見解析

第32頁共82頁

(2)4A/6

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識,

熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)先證出VR%絲VACO,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得即="，再根據(jù)平行四邊形的

判定即可得證；

(2)先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得CD=BD=2,從而可得?！?4,再利用勾股定理

求出AC的長，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可得.

【詳解】(1)證明：回石反〃AD,

m/FEC=ZADC.

在△尸。石和△ACD中，

/FEC=ZADC

<CE=CD,

ZFCE=ZACD

0AFC￡^AACD(ASA),

^\EF=AD,

又回

回四邊形AD/芯是平行四邊形.

(2)解：回AB=AC,AD1BC,BD=2,

回CD=BD=2,

團(tuán)CE=CD9

團(tuán)CE=CD-2,

0DE=CD+CE=4.

0AE=6,

團(tuán)在RjADE中，4￡>2=4石2—。石2=62—42=20.

回在RtAACD中，AC=VAD2+DC2=A/20+22=2灰-

第33頁共82頁

由（1）已證：四邊形皿州是平行四邊形，

0AC=CF,

0AF=AC+CF=2AC=4A/6.

29.如圖，在VA5C中，點。是邊5。的中點，A石平分/BAC,CELAE,EF//BC.

⑴求證：四邊形6D所是平行四邊形；

⑵若AB=10,AC=4,求正的長.

【答案】⑴見解析；

（2）3.

【分析】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線

定理，題目綜合性較強(qiáng)，證明G￡=石C,再利用三角形中位線定理證明。石〃鈣是解決問

題的關(guān)鍵.

（1）證明AAG石也A4CE（ASA）,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到G￡=EC,再利用三角形

的中位線定理證明。石〃鉆，再加上條件EF//BC可證出結(jié)論；

（2）先證明5尸=OG=,5G,再證明AG=AC=4,可得到

2

BF=^AB-AG）=^（AB-AC）,即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖，延長CE交A5于點G,

第34頁共82頁

0ZAEG=ZAEC=90°,

回A石平分NBA。，

^\ZGAE=ZCAE,

在△A￡G和ZkA石。中，

ZGAE=ACAE

<AE=AE,

/AEG=NAEC

0AAGE^AACE(ASA).

^GE=EC,即點￡是。&的中點，

回點。是邊5C的中點，

回。石為△CG5的中位線，

^DE//AB.

^\EF//BC,

回四邊形瓦湖是平行四邊形.

(2)解：回四邊形灰)所是平行四邊形，

國BF=DE.

回。石為△CG5的中位線，

^\DE=-BG,

2

^\BF=-BG,

2

回^AGE=/^ACE,

0AG=AC,

0AB=1O,AC=4,

0BF=1(AB-AG)=1(AB-AC)=1x(10-4)=3.

30.如圖，在VABC中，點。是BC的中點，點￡在AD上，點尸在AD延長線上，且B石〃CF.

第35頁共82頁

A

⑴求證：四邊形5ECF是平行四邊形；

⑵當(dāng)VABC滿足什么條件時，四邊形BECF是菱形？并說明理由.

【答案】⑴見解析

(2)AB=AC,理由見解析

【分析】此題主要考查了菱形的判定、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線

的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

(1)由已知條件，據(jù)AAS證得切且△。方D(AAS),則可證得。石尸，繼而證得四

邊形6ECF是平行四邊形；

(2)由=BD=CD,得到石然后根據(jù)菱形的判定，可得四邊形BECF是

菱形.

【詳解】(1)證明：在VABC中，。是6C邊的中點，

BD=CD,

國BE〃CF,

:.ZCFD=ZBED,

在△CTO和△班D中，

ZCFD=/BED

<CD=BD,

ZFDC=ZEDB

.?.△CED也△BED(AAS),

:.DF=DE,

???四邊形班CF是平行四邊形；

(2)解：滿足條件AB=A。時四邊形班CF為菱形.

第36頁共82頁

理由：若A4=A。時，VA5C為等腰三角形，

回點。是5C的中點，

即AD為中線，

:.AD±BC,

即

???四邊形班CF為菱形.

31.如圖，在口A5CD中，BE平分/ABC交AD于點、E,EF〃AB交BC于點、F.

⑴求證：四邊形A比芯是菱形；

⑵若AB=10,BE=16,AG±BC,求AG的長.

【答案】⑴見解析

⑵AG的長為孩48

【分析】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理；

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AQ〃BC結(jié)合￡F〃AB,得出四邊形ABET是平行四邊形,

進(jìn)而根據(jù)角平分線以及平行線的性質(zhì)得出ZAEB=NABE則A3=46，即可得證；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，勾股定理，求得菱形的面積，進(jìn)而根據(jù)S菱形ABFE=10AG即可求解.

【詳解】（1）證明：回四邊形ABCD為平行四邊形，

.-.AD//BC,

?.?班平分NA5C交AD于點瓦跖〃A5交5C于點尸

AE//BF,

回四邊形A班后為平行四邊形，

-.?ZAEB=ZCBE,ZABE=ZCBE,

第37頁共82頁

:.ZAEB=ZABE,

：.AB=AE.

國四邊形ABEE是菱形；

（2）解：連接AF交班于點〃,

回四邊形ABC。是菱形，AB=10,BE=16,

.-.BF=AB=10,AF±BE,BH=EH=-BE=S,AH=FH,

2

:.ZAHB=90°,

22

AH=^AB-BH=A/102-82=6，

:.AF=2AH=12,

AGIBC,

S菱形ABFE=10AG=]X16x12,

.人生

5

AG的長為.

32.如圖，點E,F,G,X分別是四邊形ABC。的邊AB,BC,CD,ZM的中點，對角線

AC,BD互相垂直,垂足為O.

A

H

D

BFC

第38頁共82頁

⑴求證：四邊形石FGH為矩形;

⑵若四邊形石FG