第2講解三角形、幾何中的應(yīng)用題專題七

應(yīng)用題板塊三專題突破核心考點(diǎn)[考情考向分析]和三角形有關(guān)的應(yīng)用題，可以利用正弦定理、余弦定理解三角形，進(jìn)而解決實(shí)際問題；和幾何圖形有關(guān)的應(yīng)用題，可以利用平面幾何知識(shí)或者建立平面直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化成解析幾何問題，利用直線或者曲線方程解決.熱點(diǎn)分類突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點(diǎn)分類突破例1如圖所示，在某東西公交路線的南側(cè)有一個(gè)臨時(shí)?？空九_(tái)，為了方便乘客，打算在站臺(tái)的一面東西方向的長(zhǎng)方形墻體ABHG上用AB＝5m，BC＝1m的矩形角鋼焊接成一個(gè)簡(jiǎn)易的遮陽(yáng)棚(將AB放在墻上).當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線的夾角θ分別滿足下列情況時(shí)，要使此時(shí)遮陽(yáng)棚的遮陰面積最大，應(yīng)將遮陽(yáng)棚ABCD所在的平面與矩形HEFG所在的路面所成的α設(shè)置為多大角度？熱點(diǎn)一和解三角形有關(guān)的應(yīng)用題解答(1)θ＝90°；解如圖1，當(dāng)θ＝90°時(shí)，太陽(yáng)光線垂直于地面，遮陽(yáng)棚只有與地面平行時(shí)，遮陰面積最大，故遮陽(yáng)棚ABCD所在的平面與水平面所成角α＝0°.(2)θ＝80°.解答解如圖2，在平面CBHE內(nèi)，過點(diǎn)C作直線IJ，與直線HE交于I，與直線HB的延長(zhǎng)線交于J，并使得∠CIH＝80°，由題意可知，∠CBH＝α＋90°.欲使得HI取到最大值，只需HB＋BJ取到最大值，而站臺(tái)高HB為定長(zhǎng)，故只需BJ取到最大值即可.在△BCJ中，∠BJC＝10°，∠BCJ＝α＋80°，由正弦定理得，故當(dāng)α＝10°時(shí)，BJ取到最大值，此時(shí)HI也取到最大值，又S陰＝GH×HI＝5HI，所以此時(shí)遮陽(yáng)棚的遮陰面積最大.用正、余弦定理去解決具體設(shè)計(jì)問題時(shí)，應(yīng)關(guān)注圖形的特點(diǎn)，找出已知量及所求的量，轉(zhuǎn)化為三角形的邊角，再利用正弦、余弦定理構(gòu)造方程或三角函數(shù)式求解.思維升華解答跟蹤演練1如圖，某公園有三條觀光大道AB，BC，AC圍成直角三角形，其中直角邊BC＝200m，斜邊AB＝400m.現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC，AC大道上嬉戲，所在位置分別記為點(diǎn)D，E，F(xiàn).(1)若甲、乙都以每分鐘100m的速度從點(diǎn)B出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一端時(shí)即停，乙比甲晚2分鐘出發(fā)，當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后，求此時(shí)甲、乙兩人之間的距離；解依題意得BD＝300m，BE＝100m，在△BDE中，由余弦定理，得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE·cosB解答(2)設(shè)∠CEF＝θ，乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且∠DEF＝

，請(qǐng)將甲、乙之間的距離y表示為θ的函數(shù)，并求甲、乙之間的最小距離.解由題意得EF＝2DE＝2y，∠BDE＝∠CEF＝θ，在Rt△CEF中，CE＝EF·cos∠CEF＝2ycosθ，熱點(diǎn)二和立體幾何有關(guān)的應(yīng)用題例2

(2018·淮安四市模擬)某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾，如圖1.為了便于設(shè)計(jì)，可將該禮品看成是由圓O及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊BC上的高所在直線AO旋轉(zhuǎn)180°而成，如圖2.已知圓O的半徑為10cm，設(shè)∠BAO＝θ，0<θ<，圓錐的側(cè)面積為Scm2.(1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；解答解設(shè)AO的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，過O作OE⊥AB，垂足為E，在△AOE中，AE＝10cosθ，AB＝2AE＝20cosθ，在△ABD中，BD＝AB·sin

θ＝20cosθ·sin

θ，解答(2)為了達(dá)到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積S最大.求S取得最大值時(shí)腰AB的長(zhǎng)度.解要使側(cè)面積最大，由(1)得S＝400πsinθcos2θ＝400π(sinθ－sin3θ)令x＝sinθ，所以得f(x)＝x－x3，此時(shí)等腰三角形的腰長(zhǎng)和立體幾何有關(guān)的應(yīng)用題，主要通過研究空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征和面積、體積的計(jì)算解決實(shí)際問題，解題的關(guān)鍵是抓住物體的幾何特征，將實(shí)際中的物體抽象成立體幾何中的柱、錐、臺(tái)、球等規(guī)則幾何體.思維升華解答跟蹤演練2

(2018·南通等六市模擬)將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計(jì)、面積為100dm2的矩形薄鐵皮(如圖)，并沿虛線l1，l2裁剪成A，B，C三個(gè)矩形(B，C全等)，用來制成一個(gè)柱體.現(xiàn)有兩種方案：方案①：以l1為母線，將A作為圓柱的側(cè)面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個(gè)圓形作為圓柱的兩個(gè)底面；方案②：以l1為側(cè)棱，將A作為正四棱柱的側(cè)面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個(gè)正方形(各邊分別與l1或l2垂直)作為正四棱柱的兩個(gè)底面.(1)設(shè)B，C都是正方形，且其內(nèi)切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面，求底面半徑；解設(shè)所得圓柱的半徑為rdm，則(2πr＋2r)×4r＝100，解答(2)設(shè)l1的長(zhǎng)為xdm，則當(dāng)x為多少時(shí)，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大？解設(shè)所得正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為adm，則熱點(diǎn)三和解析幾何有關(guān)的應(yīng)用題解答例3如圖所示，某街道居委會(huì)擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個(gè)活動(dòng)中心，其中AE＝30米.活動(dòng)中心東西走向，與居民樓平行.從東向西看活動(dòng)中心的截面圖的下部分是長(zhǎng)方形ABCD，上部分是以DC為直徑的半圓.為了保證居民樓住戶的采光要求，活動(dòng)中心在與半圓相切的太陽(yáng)光線照射下落在居民樓上的影長(zhǎng)GE不超過2.5米，其中該太陽(yáng)光線與水平線的夾角θ滿足tanθ＝.(1)若設(shè)計(jì)AB＝18米，AD＝6米，問能否保證上述采光要求？解如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)锳B＝18米，AD＝6米，所以半圓的圓心為H(9,6)，半徑r＝9.令x＝30，得EG＝1.5＜2.5.所以此時(shí)能保證上述采光要求.解答(2)在保證上述采光要求的前提下，如何設(shè)計(jì)AB與AD的長(zhǎng)度，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大？(注：計(jì)算中π取3)解設(shè)AD＝h米，AB＝2r米，則半圓的圓心為H(r，h)，半徑為r.即3x＋4y－4b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)r＝10時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)AB＝20米且AD＝5米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大.方法二欲使活動(dòng)中心內(nèi)部空間盡可能大，則影長(zhǎng)EG恰為2.5米，則此時(shí)點(diǎn)G為(30,2.5)，設(shè)過點(diǎn)G的上述太陽(yáng)光線為l1，即3x＋4y－100＝0.而點(diǎn)H(r，h)在直線l1的下方，則3r＋4h－100＜0，所以當(dāng)AB＝20米且AD＝5米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大.以解析幾何為背景的應(yīng)用題，一般要建立坐標(biāo)系，然后轉(zhuǎn)化為三角知識(shí)或二次函數(shù)或用基本不等式來求解.解析幾何型應(yīng)用題是高考的冷點(diǎn)，但在復(fù)習(xí)時(shí)要引起重視.思維升華解答跟蹤演練3如圖是一塊地皮OAB，其中OA，AB是直線段，曲線段OB是拋物線的一部分，且點(diǎn)O是該拋物線的頂點(diǎn)，OA所在的直線是該拋物線的對(duì)稱軸.經(jīng)測(cè)量，OA＝2km，AB＝km，∠OAB＝.現(xiàn)要從這塊地皮中劃一個(gè)矩形CDEF來建造草坪，其中點(diǎn)C在曲線段OB上，點(diǎn)D，E在直線段OA上，點(diǎn)F在直線段AB上，設(shè)CD＝akm，矩形草坪CDEF的面積為f(a)km2.(1)求f(a)，并寫出定義域；解以O(shè)為原點(diǎn)，OA邊所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)B作BG⊥OA于點(diǎn)G，所以AG＝BG＝1，又因?yàn)镺A＝2，所以O(shè)G＝1，則B(1,1)，設(shè)拋物線OCB的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)，所以拋物線的方程為y2＝x.因?yàn)镃D＝a，所以AE＝EF＝a，則DE＝2－a－a2，所以f(a)＝a(2－a－a2)＝－a3－a2＋2a，定義域?yàn)?0,1).解答(2)當(dāng)a為多少時(shí)，矩形草坪CDEF的面積最大？解由(1)可知，f(a)＝－a3－a2＋2a，真題押題精練解答1.(2016·江蘇)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部分的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱錐的高PO1的4倍.(1)若AB＝6m，PO1＝2m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？解答解設(shè)PO1＝x，∴＝2(62－x2)，又由題意可得下面正四棱柱的高為4x.2.(2017·江蘇)如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺(tái)形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對(duì)角線AC的長(zhǎng)為cm，容器Ⅱ的兩底面對(duì)角線EG，E1G1的長(zhǎng)分別為14cm和62cm.分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長(zhǎng)度為40cm(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)).解答(1)將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱CC1上，求l沒入水中部分的長(zhǎng)度；解由正四棱柱的定義可知，CC1⊥平面ABCD，所以平面A1ACC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，①如圖①，記玻璃棒的另一端落在CC1上點(diǎn)M處.記AM與水面的交點(diǎn)為P1，過P1作P1Q1⊥AC，Q1為垂足，則P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1＝12cm，答玻璃棒l沒入水中部分的長(zhǎng)度為16cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為24cm)解答(2)將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求l沒入水中部分的長(zhǎng)度.解方法一如圖②，O，O1是正棱臺(tái)的兩底面中心.由正棱臺(tái)的定義可知，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.記玻璃棒的另一端落在GG1上的點(diǎn)N處.過G作GK⊥E1G1，K為垂足，則GK＝OO1＝32cm.因?yàn)镋G＝14cm，E1G1＝62cm，②設(shè)∠EGG1＝α，∠ENG＝β，于是sin∠NEG＝sin(π－α－β)＝sin(α＋β)記EN與水面的交點(diǎn)為P2，過P2作P2Q2⊥EG，Q2為垂足，則P2Q2⊥平面EFGH，答玻璃棒l沒入水中部分的長(zhǎng)度為20cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20cm)方法二記玻璃棒的另一端落在GG1上點(diǎn)N處，EN與水面的交點(diǎn)為P，過G1作G1H′⊥EG，垂足為H′，易知G1H′＝32cm，GH′＝24cm，可得GG1＝40cm.由余弦定理得EN2＝EG2＋GN2－2EG·GN·cos∠NGE，設(shè)GN＝xcm，上述方程整理得(x－30)(5x＋234)＝0，x＝30.過點(diǎn)N作NK⊥EG，垂足為K，過點(diǎn)P作PQ⊥EG，垂足為Q.答玻璃棒l沒入水中部分的長(zhǎng)度為20cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20cm)方法三記玻璃棒的另一端落在GG1上點(diǎn)N處，EN與水面的交點(diǎn)為P，過G1作G1H′⊥EG，H′為垂足，過N作NK⊥EG，K為垂足，過P作PQ⊥EG，Q為垂足.易知G1H′＝32cm，GH′＝24cm，在Rt△EKN中，由勾股定理得(14＋3x)2＋16x2＝402，因式分解得(x－6)(25x＋234)＝0，解得x＝6，KN＝24cm，答玻璃棒l沒入水中部分的長(zhǎng)度為20cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20cm)3.(2018·江蘇揚(yáng)州樹人學(xué)校模擬)某市為改善市民出行，準(zhǔn)備規(guī)劃道路建設(shè)，規(guī)劃中的道路M－N－P如圖所示，已知A，B是東西方向主干道邊兩個(gè)景點(diǎn)，且它們距離城市中心O的距離均為

，C是正北方向主干道邊上的一個(gè)景點(diǎn)，且距離城市中心O的距離為4km，線路MN段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)A的距離比到景點(diǎn)B的距離都多16km，其中道路起點(diǎn)M到東西方向主干道的距離為6km，線路NP段上的任意一點(diǎn)到O的距離都相等.以O(shè)為原點(diǎn)、線路AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.解答(1)求道路M－N－P的曲線方程；解因?yàn)榫€路MN段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)A的距離比到景點(diǎn)B的距離都多16km，所以線路MN段所在曲線是以點(diǎn)A，B為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右上支，則其方程為x2－y2＝64(8≤x≤10,0≤y≤6).因?yàn)榫€路NP段上的任意一點(diǎn)到O的距離都相等，所以線路NP段所在曲線是以O(shè)為圓心、以O(shè)N長(zhǎng)為半徑的圓，由線路MN段所在曲線方程可求得N(8,0)，則其方程為x2＋y2＝64(y≤0)，綜上得線路示意圖所在曲線的方程為MN段：x2－y2＝64(8≤x≤10,0≤y≤6)，NP段：