第6節(jié)空間向量與線面位置關(guān)系

考試要求1.了解空間向量的概念、空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向

量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空

間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.4.理解

直線的方向向量及平面的法向量.5.能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的平行和

垂直關(guān)系.6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理.

■知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.空間向量的有關(guān)概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反且模相等的向量

共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合

(或平行向量)的向量

共面向量平行于同一個(gè)平面的向量

2.空間向量的有關(guān)定理

(1)共線向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a,a〃辦的充要條件是存在實(shí)數(shù)

九使得

(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,8不共線，那么向量p與向量a,力共面的充

要條件是存在唯二的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使

(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

P，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,Z),使得上+zc,其中，｛a,b,c｝叫做

空間的一個(gè)基底.

3.空間向量的數(shù)量積

(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)0,作為=a,OB=

b,則NA03叫做向量a與8的夾角，記作＜a,b),其范圍是「0,兀］,若〈a,b)

jr

=會(huì)則稱a與〃互相垂直,記作小尻

⑵兩向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a,b,則⑷依|cos〈a,b)叫做a,的數(shù)

量積，記作ab,即a-/>=|a|囹cos〈a,b).

⑶空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律

①結(jié)合律：(Ad)b=A(a-b)；

②交換律：ab=ba-,

③分配律：a(J)+c)=ab+a-c.

4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)a=(ai,。2,。3),b=(bi,bi,fe).

向量表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a-b〃血+〃2岳+〃3歷

共線°=勸(*0,2￡R)ai=2Z7l,〃2=2力2,=

垂直a協(xié)=0(aW0,bW。)〃仍1+〃2歷+〃3,3=0

模\a\q屏+港+海

/、。仍1+。2歷+。363

夾角(a,b)(aWO,bWO)co、\a,b/++屏+加+房

5.直線的方向向量和平面的法向量

(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線/平行或重

合，則稱此向量a為直線/的方向向量.

(2)平面的法向量：直線取直線/的方向向量a,則向量a叫做平面a的法

向量.

6.空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

直線/1,/2的方向向量分h//hUI//〃2=〃1=丸〃2

別為〃1,U2h±hU1J_〃2=町?〃2=0

直線/的方向向量為“，l//au.Ln^>un=O

平面a的法向量為"l-Lau//〃=〃=%〃

平面a,4的法向量分別a///3n\//

為m,ma邛n\J_可〃2=0

［常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒］

1.空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算可類比平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算.

2.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和坐標(biāo)原點(diǎn)的選取無(wú)關(guān).

3.實(shí)數(shù)0和任意向量相乘都為零向量.

4.實(shí)數(shù)與空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算.

5.在利用疚=用+萩證明〃平面ABC時(shí)，必須說(shuō)明〃點(diǎn)或N點(diǎn)不在平面

ABC內(nèi).

【診斷自測(cè)】

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“?”或“X”)

(1)直線的方向向量是唯一確定的.()

(2)若直線。的方向向量和平面a的法向量平行，則?！╝.()

(3)若｛a,b,c｝是空間的一個(gè)基底，則a,b,c中至多有一個(gè)零向量.()

(4)若a仍＜0,則〈a,b)是鈍角.()

(5)若兩平面的法向量平行，則不重合的兩平面平行.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X(5)V

解析(1)直線的方向向量不是唯一的，有無(wú)數(shù)多個(gè).(2)a_La.(3)若a,仇c中有一

個(gè)是0,則a,b,c共面，不能構(gòu)成空間一個(gè)基底.(4)若〈a,b〉=n,則a仍＜0,

故(4)不正確.

2.(選修一P12例1改編)如圖，”是四面體0A3C的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段

13

0M上，點(diǎn)P在線段A7V上，且MN=^ON,AP=^AN,則OP=(用向量近，

OB,沆表示).

答案|OA+^OB+^OC

3

解析&P=OA+AP=OA+^AN

333

=OA+"兩一OA)=OA+^(W~^OA

=|dA+|[|(9B+10C)

=^OA+^OB+^OC.

3.(選修一P22T2改編)已知a=(2,—1,3),方=(—4,2,x),且a±b,則x=.

答案與

解析因?yàn)閍±b,

所以ab=-8-2+3x=0,

解得x=學(xué).

4.正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,E,R分別為BC,AD的中點(diǎn)，則ER的長(zhǎng)為.

答案y[2

解析因?yàn)閨函2=加=(比+疝+兩2

=於+9+而2+2(比.⑦+比歷+①的

=12+22+12+2(1X2XCOS120°+0+2X1XCOS120°)=2,

所以防=隹

所以EF的長(zhǎng)為也.

［聚焦突破

考點(diǎn)一空間向量的運(yùn)算及共線、共面定理

例1(1)(2023?北京海淀區(qū)質(zhì)檢)在三棱柱ALBICI—A3C中，。是四邊形331C1C的

中心，且筋i=a,AB=b,AC=c,則笳力等于()

1,1,111,1

A.呼十叩十呼B./a—R十呼

1,111,1,1

C.7a十D.-Tfl+To+nC

答案D

解析Ad)=A^A+AB+BD

=-AAi+AB+1(BBi+BQ

=-AAi+AB+]A4i+](AC—AB)

=—1AAI+^AB+^AC

（2）（多選）下列說(shuō)法中正確的是（）

A.|a|—|A|=|a+b|是a,b共線的充要條件

B.若油，前共線，則A3〃CD

Q11

C.A,B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)0,若凌=彳以+不/+不慶，則P,A,

B,C四點(diǎn)共面

D.若尸，A,B,C為空間四點(diǎn)，且有戌=7而+〃無(wú)（而，反:不共線），則2+〃=1

是A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件

答案CD

解析由⑷一步|=|a+臼，可得向量a,b的方向相反，此時(shí)向量a,b共線，反之，

當(dāng)向量a,8同向時(shí)，不能得到⑷一步|=|a+",所以A不正確；

若油，詼共線，則AB〃CD或A,B,C,。四點(diǎn)共線，所以B不正確；

由A,B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)。，若。力=彳而+京百+五沆，因?yàn)獒?

OO4

1+1=1,可得尸，A,B,C四點(diǎn)共面，所以C正確；

OO

若尸，A,B,C為空間四點(diǎn)，且有戌=2而+〃苗（麗，亞不共線），

當(dāng)丸+〃=1時(shí)，即〃=1一九可得戌一病=晨麗+次），即場(chǎng)=7宓，

所以A,B,C三點(diǎn)共線，反之也成立，即丸+〃=1是A,B,C三點(diǎn)共線的充要

條件，所以D正確.

感悟提升1.（1）選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向

量，是用向量解決立體幾何問(wèn)題的基本要求.

⑵解題時(shí)應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾

何意義，靈活運(yùn)用三角形法則及平行四邊形法則，就近表示所需向量.

2.⑴對(duì)空間任一點(diǎn)。，OP=xOA+ydB,若x+y=l,則點(diǎn)P,A,3共線.

(2)已知說(shuō)1,而不共線，證明空間四點(diǎn)P,M,A,3共面的方法.

①加『瘋+y曲.

②對(duì)空間任一點(diǎn)0,由=5法施或而+y為+z訪(x+y+z=l)

即可.

③麗■〃協(xié)(或成〃而或麗〃前.

訓(xùn)練1已知A,B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面A3C外的任一點(diǎn)0,若點(diǎn)M滿足曲=

|(OA+dB+OC).

(1)判斷法1,MB,慶三個(gè)向量是否共面；

(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).

解⑴由已知為+B+沅=3痂，

所以為一勵(lì)=(痂―油)+(血一沆).

即加1=屬什加=一施一流，

所以說(shuō)1,MB,慶共面.

(2)法一由(1)知說(shuō)1,MB,慶共面且過(guò)同一點(diǎn)

所以四點(diǎn)M,A,B,C共面，

從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).

法二因?yàn)檠?/為+宿+沆)

=^OA+1dB+|oC,

又因?yàn)間+g+g=l,

所以M,A,B,C四點(diǎn)共面，

從而M在平面ABC內(nèi).

考點(diǎn)二空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

例2如圖，正四面體ABCD（所有棱長(zhǎng)均相等）的棱長(zhǎng)為1,E,F,G,H分別是正

四面體A3CD中各棱的中點(diǎn)，設(shè)誦=a,AC=b,AD=c,試采用向量法解決下列

問(wèn)題：

求：（1）律的模長(zhǎng)；

（2）而，曲的夾角.

解（1）因?yàn)檎拿骟wA5CD的棱長(zhǎng)為1,E,F,G,H分別是正四面體A3CD中

各棱的中點(diǎn)，

AB=a,AC=b,AD=c,

所以或=3比=3（屐'—協(xié)）=/"一"），

AF=^AI）=^c,

所以前=旗+蔭+酢

所以|函2=/c—a—力2

=^(c2+a2+Z>2—2ac+2aZ>—2/>c)

=1(1+1+1-2X1X1XCOS60°+2X1X1XCOS600-2X1X1Xcos60°)=1,

故防=喙

(2)在正四面體A3CD中，

EF=^c—a—b),|EF|="^.

同理，GH=^b+c-a),1而二坐.

所以cos<EF,GH)=EFGH

mGH\

2(c——a——b)?2(力+c——a)

=

也X至

2X2

=|[(c-a)2-Z>2]

=^(c2+a2—2ca—b2)

=|(1+1-2X1X1XCOS60°-l)=0,

所以而與血的夾角為90。.

感悟提升由向量數(shù)量積的定義知，要求a與方的數(shù)量積，需已知⑷，固和〈a,

b),a與8的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a。

計(jì)算準(zhǔn)確.

訓(xùn)練2如圖所示，四棱柱A3CD—ALBCLDI中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為

端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1,且兩兩夾角為60。.

求：(l)ACi的長(zhǎng);

(2)BDi與AC夾角的余弦值.

解⑴記協(xié)=a,AD=b,AA\=c,

則|a|=|Z>|=|c|=l,

〈a,b〉—〈b,c)=〈c,a)=60°,

.,,1

??ab=bc=ca=亍

|ACi|2=(a+6+c)2

=a2+Z>2+c2+2(a-6+6-c+c-a)

=l+l+l+2xg+；+J=6,

A|ACI|=V6,即AG的長(zhǎng)為冊(cè).

(2)*.*BDi—b~\~c—a,AC=a+辦,

：.\BDi\=y/29|AC|=V3,

BDi-AC=(b~\-c—a)(a+辦)

=b2—a1+ac+bc=1,

.-.cos（防1,AC）=BDiAC=^.

-A-AO

\BDi\\AC\

：.AC與BDi夾角的余弦值為斗.

考點(diǎn)三利用空間向量證明平行與垂直

例3如圖，在直三棱柱ABC—ALBICI中，ZABC=90°,BC=2,CCi=4,點(diǎn)E

在線段331上，且E3i=l,D,F,G分別為CCi,C1B1,C1A1的中點(diǎn).

求證：（1）平面ALBLD,平面ABD；

（2）平面EGR〃平面ABD.

證明以3為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,BC,351所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則3(0,0,0),D(0,2,2),Bi(0,0,4),E(0,0,3),F(0,1,4).

設(shè)B4=a,則A(a,0,0),G(J,1,4；

(1)因?yàn)橥?(a,0,0),BD=(0,2,2),由力=(0,2,-2),

所以瓦力?威;0,Bd)Bb=Q.

所以由力，或，Bd)±BD,

即BxDLBA,BiD±BD.

又BACBD=B,BA,3Du平面ABD,

所以Bi。，平面ABD.

因?yàn)锽LDU平面AILD,

所以平面ALBLD_L平面ABD.

(2)法一因?yàn)榉?g,1,1),EF=(O,1,1),歷力=(0,2,-2),

所以由力茴:0,BTDEF=O.

所以B1DLEG,B]D±EF.

因?yàn)镋GCEF=E,EG,ERu平面EGR,

所以瓦0,平面EGF.

又由(1)知BLD，平面AB。，

所以平面EGR〃平面A3D

法二因?yàn)榍?[—/0,0),

所以游'=一掘，所以GR〃癡，

又GRt平面ABD,ABu平面ABD,

所以GR〃平面ABD,

同理ER〃平面ABD,

又GFCEF=F,GF,EFu平面EGF,

所以平面EGR〃平面A3D

感悟提升1.利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能

利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及直線、平面的要素).

2.向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開(kāi)立體

幾何的有關(guān)定理.

訓(xùn)I練3如圖，已知AAi，平面ABC,BBi〃A4i,AB=AC=3,BC=24,AAi=巾,

33i=2S，點(diǎn)石和歹分別為3c和AC的中點(diǎn).

求證：(1)￡「〃平面A1BA4；

(2)平面AE41，平面BCBi.

證明(1)由AB=AC,E為的中點(diǎn),

則AEL3C,而平面ABC,AAi//BBx,

過(guò)E作平行于331的垂線為z軸，EC,EA所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)锳3=3,BE=y[5,所以AE=2,

所以E（0,0,0）,C卓,0,0）,A（0,2,0）,B（f,0,0）,Bi（f,0,2幣）,

4（0,2,?。?

槌」,孝

所以前=,1,，筋=（一小，-2,0）,筋i=（0,0,巾）.

設(shè)平面AIBLBA的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n-AB=—y[5x—2y=0,

則

n-AA\=y[lz=0,

若無(wú)=—2,所以〃=（—2,小，0）,

而而?〃=?X（—2）+lX小+乎xo=o,

所以匠U",

又ERt平面AiBiBA,

所以ER〃平面AiBBA.

(2)因?yàn)镋C，平面AEAi,則比=(小，0,0)為平面AEAi的一個(gè)法向量.

又EA,平面5cs1,則或=(0,2,0)為平面3cBi的一個(gè)法向量.

因?yàn)楸?淡=0,故反:，血，

故平面AEAi,平面BCB\.

■課時(shí)[分層精練

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

1.已知a=(2,1,-3),8=(0,-3,2),c=(—2,1,2),則a.@+c)等于()

A.18B-18C.3y/2D-372

答案B

解析因?yàn)閎-hc=(-2,-2,4),

所以a-(b+c)=-4-2-12=-18.

2.已知空間向量a=(l,0,1),b=(l,1,ri),且a仍=3,則向量a與方的夾角為

()

八兀e兀2兀5兀

A-6B-3CTD1

答案A

解析由題意，a-Z>=1+0+H=3,解得〃=2,

又同=^/12+02+12=^2,

1。1=、1+1+4=倔

心”/eb3仍

所以cos〈a,b)一麗—而命—2'

7T

又〈a,b)G[0,n],所以a與方的夾角為《

3.如圖，在平行六面體ABCD—ALBCLDI中，AC與3。的交點(diǎn)為點(diǎn)M,設(shè)通=a,

AD=b,AAi=c,則下列向量中與&〃相等的向量是()

D,C,

B

B

A.—B.%+%+c

C.—%一—cD.15—T"+c

答案c

4.(2024?亳州質(zhì)檢)已知平面a內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1),5(0,—1,0),C(—1,0,1),

直線/的方向向量是a=(—1,—1,-1),則直線/與平面a的位置關(guān)系是()

A.相交B.平行

C.在平面內(nèi)D.平行或在平面內(nèi)

答案D

解析因?yàn)锳(0,0,1),3(0,-1,0),C(-l,0,1),

所以協(xié)=(0,-1,-1),AC=(-1,0,0).

設(shè)平面a的法向量為〃=(無(wú)，y,z),

n-AB=0,—y—z=0,

則即1

「

n-AC=0,x=0,

令z=l,則〃=(0,—1,1).

因?yàn)閍n=l—1=0,

所以直線/可能在平面a內(nèi)，或者與平面a平行.故選D.

5.已知a=(2,1,一3),Z>=(—L2,3),c=(7,6,A),若a,b,c三向量共面,

則7=()

A.9B.-9C.-3D.3

答案B

解析由題意知。=刈+丁兒

即(7,6,儲(chǔ)=尤(2,1,-3)+y(-l,2,3),

f2x-y=7,

：.<x+2y=6,解得％=—9.

I—3x+3y=7,

6.如圖，在一個(gè)120。的二面角的棱上有兩點(diǎn)A,B,線段AG分別在這個(gè)二面

角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且均與棱A3垂直，若AB=#AC=1,BD=2,則CD的

解析'：CD=CA+AB+BD,

：.CD2=CA2+AB2+BD2+2CAAB+

2CABD+2^BD,

'JCALAB,BDLAB,

：.CAAB=0,BDAB=Q,

CA-BZ）=|CA||5b|cos（1800-1200）

=|xiX2=l.

ACD2=1+2+44-2X1=9,：.\CD\=3.

7.（多選）（2024.荷澤模擬）如圖，八面體的每一個(gè)面都是正三角形，且A,B,C,D

四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AE〃平面CDF

B.平面A3E〃平面CDF

CABLDE

D.平面ACE，平面BDF

答案ABD

解析由題意知，此八面體為正八面體,

如圖，。為正八面體的中心，

連接OC,0E,以。為原點(diǎn)，直線OC,0E分別為x,y,z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

設(shè)正八面體的棱長(zhǎng)為2,

則A（0,一啦，0）,E（0,0,啦），C（0,啦，0）,

D（-巾,0,0）,F（0,0,一的，

所以施=（0,啦，啦），CD=（-y[2,0）,

CF=（0,一啦，-y/2）.

設(shè)平面CDF的法向量為"=（x,y,z）,

CDn=-y/2x—y/2y=0,

則j-

^CF-n=—yf2y—yl2z=0,

令x=l,則n=（l,—1,1）,

又顯"=一表+鏡=0,所以施_L",

因?yàn)锳E?平面CDF,

所以AE〃平面CDFA正確；

因?yàn)锳B〃CD,ABC平面CDFCDu平面CDR,所以AB〃平面CD凡

又A3AAE=A,AE,ABu平面ABE,

所以平面ABE〃平面CDR,B正確；

因?yàn)锽（、R,0,0）,所以屈=（6，y/2,0）,

又讀=（爽，0,啦），所以油?讀=2,

所以A3與DE不垂直，C錯(cuò)誤；

易知平面ACE的一個(gè)法向量為如=(1,0,0),平面瓦加的一個(gè)法向量為m2=

(0,1,0),

因?yàn)榉?加2=0,所以平面ACE,平面BDF,D正確.故選ABD.

8.若空間中三點(diǎn)A(l,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q)共線，則p+q=.

答案7

解析因?yàn)榭臻g中三點(diǎn)A(l,5,-2),BQ,4,1),C(p,3,q)共線，所以協(xié)〃病，

所以協(xié)=(1,-1,3),AC=(p-l,-2,q+2),

“iP—1-2q+2“，口

所以-j-=_]=~-，解仔p=3,g=4,

所以p+q=7.

jr

9.如圖所示，已知空間四邊形OABC,OB=OC,且NA08=NA0C=w，貝Icos

<0A,BC)的值為.

答案0

解析設(shè)為=a,OB—b,OC=c,

JT

由已知條件得(a,b)=〈a,c〉=1,且也|=|c|,

OABC=a\c—b')=ac—ab

=||a||c|-1|a||6|=0,

所以以，反：，所以cos(OA,BC)=0.

io.已知v為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且儂=VB=vc=vr>,VP=1VC,VM

=|vB,函=|而.則明與平面PMN的位置關(guān)系是.

答案儂〃平面PMN

解析如圖，設(shè)函=a,VB=b,VC=c,

則歷=a+c—Z>,

由題意知可/=乎一下,

PN=^VD-^VC

=鏟2一2頭+1/

因此函=］3屈+］3的，

??.達(dá)，PM,所共面.

又LW平面PMN,...以〃平面PMN.

11.已知。=(1,-3,2),b=(~2,1,1),A(—3,-1,4),5(—2,—2,2).

⑴求|2a+》|；

(2)在直線AB上是否存在一點(diǎn)E,使得。(0為原點(diǎn))

解(l)2a+Z?=(2,-6,4)+(-2,1,1)

=(0,-5,5).

故|2a+臼=、。2+(-5)2+52=541

(2)令丘=港“?11),AB=(1,-1,—2),

所以怎=為+屈=以+港

=(-3,—1,4)+r(l,—1,—2)

=(—3+%,-1―t,4—2。，

若無(wú)，方，則無(wú)盾=0,

所以一2(—3+/)+(—1—0+(4—27)=0,

9

解得/=亍

因此存在點(diǎn)E,使得無(wú)，仇

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為「|,—y,|).

12.如圖，四棱錐尸一A3CD的底面為正方形，側(cè)棱心，底面ABCD,且必=4。

=2,E,F,8分別是線段B4,PD,A3的中點(diǎn).求證：

P

(1)P3〃平面EFH；

(2)尸￡＞，平面AHF.

證明⑴：E,H分別是線段AP,A3的中點(diǎn),

：.PB//EH.

"3。平面EFH,且EHu平面EFH,

〃平面EFH.

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則A(0,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),H(l,0,0).

PD=(0,2,-2),AH=(1,0,0),

AF=(0,1,1),

.".P?-AF=0X0+2Xl+(-2)X1=0,

f?-AH=0Xl+2X0+(-2)X0=0.

：.PDLAF,PD±AH,

：.PD±AF,PD±AH.

'：AHHAF=A,且AH,AFu平面AHF,

.?.P。，平面AHF.

【B級(jí)能力提升】

19

13.(多選)(2024?南通調(diào)研)在正方體ABCD—A向GDi中，AE=^AAi,&=^CCi,

則()

A.EFLBD

B.ECi〃平面A3R

C.ER，平面BiCDi

D.直線EF與直線BDi異面

答案AB

解析由題知，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為3,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,防1的方向分別為x,y,z軸的正方向建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系.

>]r.2f

因?yàn)锳E=^4Ai,CF=^CC\,

所以。(0,0,0),A(3,0,0),5(3,3,0),C(0,3,0),E(3,0,1),Di(0,0,

3),3i(3,3,3),Ci(0,3,3),F(0,3,2).

對(duì)于A,EF=(-3,3,1),DB=(3,3,0),

因?yàn)檗o施=-9+9=0,

所以EfUBD,故A正確；

對(duì)于B,設(shè)平面ABR的法向量為m=(xi,yi,zi),

m-AB=0,

則,_

m-AF=0,

因?yàn)榍?(