第04講：平面向量與解三角形高頻考點突破

【考點梳理】

考點一?向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有大小,又有方向的量;向

向量量的大小叫做向量的長度（或平面向量是自由向量

稱模）

長度為Q的向量；其方向是任

零向量記作0

意的

單位向量長度等于1個單位的向量非零向量。的單位向量為啥

Ml

平行向量方向相同或相反的非零向量

方向相同或相反的非零向量又0與任一向量平行或共線

共線向量

叫做共線向量

兩向量只有相等或不等，不能比

相等向量長度相等且方向相同的向量

較大小

相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

考點二.向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

丁(1)交換律：

a~\~b=b~\~a；

求兩個向量和的運(yùn)a

加法三角形法則(2)結(jié)合律：

算

(a+A)+c

a

平行四邊形法則=a+(A+c)

求a與8的相反向

減法a~b=a+(—b)

量一8的和的運(yùn)算

三角形法則

⑴|訓(xùn)=|川⑷；

求實數(shù)丸與向量a（2）當(dāng)%>0時，腦的(2)(2+[i)a=2a+

數(shù)乘

的積的運(yùn)算方向與a的方向相

回；當(dāng)7<0時，Xa(3)/l(a+A)=/la+

的方向與a的方向油

相反;當(dāng)7=0時，

2a=0

考點四：.共線向量定理

向量a(aWO)與8共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)九使8=癡.

1.平面向量基本定理

如果ei、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)

71、22,使a=2iei+2262.

其中，不共線的向量ei、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

考點五.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模

設(shè)a=(xi,yi),b=(x2,yi),貝Ua+Z>=(xi+%2,yi+y2),a—/>=(xi—X2,yi~~y2),Xa=(Axi,Ayi),|a|

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(xi,yi),3(x2,yi),則AB=(X2—xi,丫2-yi),\AB\=yj(X2—xi)2+(j2—yi)2.

3.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,yi),b=(X2,yi),其中Z>WO.a、b共線Oxiy；——yi=0.

【知識拓展】

1.若a與〃不共線,癡+面=0,則4=〃=0.

2.設(shè)a=(xi,yi),b=(x2,竺)，如果及#0,"WO,則a〃方

%2，2

考點六.向量的夾角

已知兩個非零向量a和兒作醇=a,OB=b,則N49B就是向量a與方的夾角,向量夾角的范圍是:

[0,n].

考點七：.平面向量的數(shù)量積

設(shè)兩個非零向量。，力的夾角為仇則數(shù)量同外cos。叫做〃

定義

與辦的數(shù)量積，記作a?方

|a|cos3叫做向量a在萬方向上的投影，

投影

向cos0叫做向量8在a方向上的投影

數(shù)量積ab等于a的長度⑷與〃在a的方向上的投影板|cos0

幾何意義

的乘積

考點八：.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)力都是非零向量，e是單位向量，。為a與儀或e)的夾角.貝I」

(l)e?a=a,e=|a|cos6.(2)a_L8Oa仍=0.(3)當(dāng)a與力同向時,a-b=\a\\b\；

當(dāng)a與力反向時，a?辦=一|。||回.特別地，aa=|a|2^\a\=y[a^a.

(4)cos6=Zi而.(5)""W|a||瓦

4.平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律

(l)a-b=b-a；(2)(Aa)-Z>=A(a-b)=為實數(shù))；(3)(a+b)-c=a-c+b-c.

5.平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示

設(shè)向量a=(xi,yi),b=(x2,⑼，貝Ua力=xi「+yiy2,由此得到

(1)若a=(x,y),則|aF=x2+y2或㈤=、廿+丫2.

(2)設(shè)A(xi,yi),B(X2,>2),則A,B兩點間的距離AB=|AB|=1(X2—xip+g一刀產(chǎn)

(3)設(shè)兩個非零向量a,b,a=(xi,yi),b=(xi,yi),則a_l_/>Oxix2+yiy2=0.

(4)若a,8都是非零向量，。是a與方的夾角，則cos。=儒=/清貧、.

考點九.正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑，貝U

定理正弦定理余弦定理

abc…(2)/=b2~\~c2—2bccos

內(nèi)容(1)?4一?g—?「一2R

'7sinAsinBsinC

A；

左=。2+〃2―20碇05B；

才=42+/一2aZ7cosC

(3)a=2HsinA,Z?=27?sinB,c=2Rsm

/+，一〃2

c；

(7)cosA-2bc；

abc

(4)sinA—2^，sinsinC—?R；C2+(22—Z72

變形cosB-2ac；

(5)a:b:c=sinA:sin5：sinC；

c^+b^—c2

(6)asinB=bsinA,Z?sinC=csinB，cosC—2ab

asinC=csinA

考點十：角形常用面積公式

(l)S=5%(/ia表示邊a上的高)；(2)S=5〃Z?sinC=^csinB=^bcsinA；(3)S=54a+b+c)(r為三角形

內(nèi)切圓半徑）.

【題型梳理】

題型一：平面向量的基本概念

L（2023春?上海浦東新?高一統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（）

A.若卜卜忖，則a與b的長度相等且方向相同或相反；

B.若卜卜卜|,且a與b的方向相同，則a=b

C.平面上所有單位向量，其終點在同一個圓上；

D.若a//b,則“與b方向相同或相反

【答案】B

【分析】對于A,利用向量的模的定義即可判斷；對于B,利用向量相等的定義判斷即可；對于C,

考慮向量的起點位置判斷即可；對于D,考慮特殊向量0即可判斷.

【詳解】對于A,由卜卜W只能判斷兩向量長度相等，不能確定它們的方向關(guān)系，故A錯誤；

對于B,因為卜卜W，且a與6同向，由兩向量相等的條件，可得a=b,故B正確；

對于C,只有平面上所有單位向量的起點移到同一個點時，其終點才會在同一個圓上，故C錯誤；

對于D,依據(jù)規(guī)定：0與任意向量平行，故當(dāng)a=0時，a與b的方向不一定相同或相反，故D錯誤.

故選：B.

2.（2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高一揚(yáng)中市第二高級中學(xué)?？计谀┫铝姓f法中正確的是（）

A.若忖咽,則a=B或〃

B.若allb，bile,則allc

C.已知點A（l,3）,3（4,T）,則與向量AB平行的單位向量是匕，-3

D.已知向量“與b的夾角為亨，,=2,|*亞,貝也在0方向上的投影向量是《

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的模、向量共線、平行向量、單位向量、向量的投影向量等知識對選項進(jìn)行分析,

從而確定正確答案.

【詳解】A選項，當(dāng)卜卜W時，a與b可能垂直，此時不滿足a=b或a=-6,A選項錯誤.

B選項，allb,bile,當(dāng)b為。時，a,c不一定平行，B選項錯誤.

C選項，A（L3）,B（4,-l）,則AB=（3,-4）,3目=5,

AB<34^|ABf34^）

則與向量”平行的單位向量是同=或一網(wǎng)=［一寸二J，C選項錯誤.

,2x^/2xcos—

D選項，b在〃方向上的投影向量是詈.&=________生￡=_@,D選項正確.

|?||?|222

故選：D

3.（2022春?上海浦東新?高一上海中學(xué)東校?？计谀┫铝薪Y(jié)論中，正確的是（）

A.零向量只有大小沒有方向B.\AB\=\BA\

C.對任一向量a,|。|>0總是成立的D.|A8|與線段班的長度不相等

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的概念，逐一判斷即可得出答案.

【詳解】既有大小又有方向的量叫向量，則零向量既有大小又有方向，故A錯誤；

由于筋與方向相反，長度相等，故B正確；

因為零向量的模為0,故C錯誤；

|AB|與線段朋的長度相等，故D錯誤.

故選：B.

題型二：平面向量的線性運(yùn)算

4.（2023春?江蘇無錫?高一輔仁高中?？计谀┤鐖D，在,ASC中，點。為8c邊的中點，。為線段AD

的中點，連接co并延長交A8于點E,設(shè)AB=a,AC=b,則CE=（）

B.-ci—b

4

r1-3，

D.一?！猙

34

【答案】C

【分析】設(shè)=再根據(jù)平面向量基本定理分別表示CO,CE,進(jìn)而根據(jù)向量共線設(shè)CE=〃CO,

A=-

代入向量可得進(jìn)而得到CE.

4二一

3

【詳解】設(shè)=則CE=AE-AC=/kz-6,又

121□

CO=-CA+-CD=--AC+-(AB-AC)=-AB--AC=-a--b,

2224,4444

設(shè)C￡=〃CQ,貝[J4〃_/?=//])，

2=-

3

故，

-1=-^4

4=一

43

41

^CE=-CO=-a-b.

故選：C

5.（2021春?浙江,高一期末）八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖

2所示的正八邊形ABCDEFGH,其中|。4卜1,給出下列結(jié)論:

①0A與。X的夾角為三;

②匹。4=事

DH\;

@OD+OF^OE;

④。4在。。上的投影向量為qe（其中e為與。。同向的單位向量）.

其中正確結(jié)論為（）

FE

【答案】B

【分析】對四個選項一一判斷：

對于①：直接求出。1與。8的夾角；對于②：利用向量的線性運(yùn)算直接求解；對于③：利用向量加

法的三角形法則直接求解；對于④：由0A在。。上的投影向量與。。方向相反，即可判斷.

【詳解】在圖2中，正八邊形的對角線把周角進(jìn)行八等分，所以每一份均為產(chǎn)=%

對于①：04與。”的夾角為:故①錯誤；

對于②：因為。4-OC=C4.

在AOC中，ZA0C=|,|OA|=1,所以|C4|=加廠+依｛=82+12=6.

而|叫=2網(wǎng)=2,所以可一=^\DH\正確.故②正確；

對于③：由向量加法的三角形法則得：OD+OF=V5OEwOE.故③錯誤；

對于④：由圖知，在。。上的投影向量與。。方向相反.故④錯誤.

故選：B

6.（2022春?重慶沙坪壩?高一重慶一中?？计谀┤鐖D,在ABC中，BC=6DC,則A￡>=()

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

66667777

【答案】A

【分析】依題意可得=再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計算可得;

6

【詳解】解：因為8C=6〃C,所以

6

^\^AD=AB+BD=AB+-BC

6

=AB+|(AC-AB)

=-AB+-AC.

66

故選：A

題型三：平面向量的基本定理

7.（2023春?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末）如圖，在.ABC中，點。，E分別在邊BC和邊A8上，D,E分

別為5c和的三等分點，點?？拷cB,點E靠近點A,AD交CE■于點P,設(shè)BA=b,則8P=

()

B.—ci~\—b

7777

-13,24

D.—a+—b7

7777

【答案】B

【分析】利用船,BC表示防，結(jié)合平面向量基本定理確定其表達(dá)式.

【詳解】設(shè)AP-AD,EP=REC,

BP=AP-AB=AAD-AB=A^BD-BA^-AB,

又BD=gBC,

所以=+

.2-

因為=

^V\BP=BE+EP=-BA+]nEC=-BA+=+JLLBC,

—2="A—L—3

所以:9,解得:，

=/J=-

i414

^\^BP=-BC+-BA=-a+-b,

故選：B.

8.（2023秋?遼寧?高一大連二十四中校聯(lián)考期末）如圖，在，ABC中,=；BC,NC=AAC,直線AM

交BN于點Q,若BQ=*N,則2=（）

A

BMC

A-B—c-D-

5533

【答案】A

UliuL1L1L1LILI

【分析】由A,V,Q三點共線可得存在實數(shù)〃使得BQ=RBM+(1-〃)朋,再由AMC三點共線可解得

Auumquum&

A=p利用向量的線性運(yùn)算化簡可得NC=：AC,即2=(

【詳解】根據(jù)圖示可知，A,M,Q三點共線，由共線定理可知，

LILIUUUUUU

存在實數(shù)〃使得BQ="BM+(1一〃)朋，

umr1UUDurn、uu?5iuunuir

yiBM=-BC,BQ=-BN9所以=+,

又A,N,C三點共線，所以+解得〃g

111,01111111r

uun23zuiruuinx2/uum、3uir

即可得BN=TC+《R4,所以(a4+AJV)=M?+AC)+TA,

2uumuum71Muum3uun

所以AN'AC，BPAC-NC^-AC,可得NC=gAC,

又NC=2AC,即可得2=

故選：A

9.（2022春?福建福州?高一校聯(lián)考期末）如圖，在，ABC中，ZBAC=AD=2DB,P為CD上一點、,

且滿足AP=〃zAC+gAB(meR),若AC=3,AB=4,則APCO的值為).

【答案】C

【分析】由尸、C、。三點共線及4￡)=2。3,可求加的值，再用AB、AC作基底表示CD,進(jìn)而求APCD

即可.

【詳解】0AP=mAC+^AB(meR),AD=2DB,

2---21

即AD=-AB^CD=-CB+-CA,

3

0AP=mAC+—A￡)(m€R),

31

又C、P、。共線，有祖+『1,BPm=~,

即AP=；AC+；AB,而CB=C4+AB,

2-19-2

^\CD=-(CA+AB)+-CA=CA+-AB=-AB-AC

3333

^AP-CD=(-AC+-AB)(^AB-AC)=-AB2--AB-AC--AC2=--2--=—

4233343412

故選：c

題型四：平行向量的垂直和平行問題

10.(2023秋?遼寧錦州?高一統(tǒng)考期末)已知向量。=(2,0),6=(1,2),且(〃-36)//(2a+時小eR),則忸+砌

為()

A.2歷B.4歷C.2屈D.4761

【答案】A

【分析】首先求出。-36、2a+成的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，求出參數(shù)上的值，最

后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計算可得.

【詳解】因為。=(2,0),5=(1,2),所以。-36=(-1,-6),

22+11=2(2,0)+1(,2)=(4+無,2"),

又(a-36)//(2o+好)，所以-1x2"=-6x(4+一),解得上=-6,

所以2a+船=(-2,-12),則"+kb\=^(-2)2+(-12)2=2歷.

故選：A

11.(2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高一揚(yáng)中市第二高級中學(xué)?？计谀?已知非零向量a,b滿足％=,(。用=］，

若(a-b)_La,則向量a在向量〃方向上的投影向量為()

I1/q

A.~bB.—bC.—bD.b

422

【答案】A

【分析】依題意可得（。-4”=0,根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求出即可求出.山，最后根據(jù)“力

計算可得.

【詳解】因為（。一6），“，所以=，

回忖2-；麗=0,又6=（61）,所以卜卜=2，則=1或k|=。（舍去），

所以a.b=a=1，

a-b,1,

所以。在6方向上的投影向量為麗力=7/

故選：A.

12.（2021秋?湖南長沙?高一長沙一中校考期末）已知ABC是腰長為2的等腰直角三角形，。點是斜

邊⑷5的中點，點。在上，且CP=2P。，則尸（）

八32、10

A?一§B--7

C-D-4

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的減法及數(shù)乘運(yùn)算表示出尸由向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡轉(zhuǎn)化為關(guān)于cb的

表達(dá)式，再利用直角三角形性質(zhì)求出8=也即可得解.

【詳解】由題意可知，

->->

PA=CA-CP.PB=CB-CP，

-22

:.PAPB={CA-CP\CB-CP）=CACB-{CA+CB}CP+CP=0—2CDCP+CP

CP=2PD

:.CP=-CD,

3

由。點是斜邊A區(qū)的中點，可知。。=43=收

2428216

:.PAPB=—2CD—CD+—CD=——CD=——.

3999

故選：C

題型五：平行向量數(shù)量積

13.（2023春?江蘇南京?高一南京市中華中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，ZBAC=AD=2DB,P

1LlUU

為CD上一點，且滿足AP=mAC+jAB,若|AC|=3,IA3|=4,則APCZ）的值為（）

【答案】D

9

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，因為點P在。上，則AP=%AC+（1-X）AO=XAC+§（1-4）A2,又

AP^mAC+^AB,利用平面向量的基本定理求出優(yōu)的值，然后利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得

APCD的值.

【詳解】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.

uumjr,UUT32m

已知|AC|=3,IAB|=4,ZBAC=-,得|。*=彳，\OC\=^~,

，A(—|,0),2(g,0),

AD=2DB,A￡)=|AB=[|,0^)

OD=OA+AD=[-,Q],CZ)=f-,--,

16P(62J'

______2--

因為點P在。上，則AP=/IAC+。一⑷AD=2AC+§(l-/l)A3,

又AP=〃?AC+gA8,且.、AC不共線，

可得加=2,且"”=(，解得加=；.

(3"193石、

AP=-AC+-AB=-,+:（4,。）=

42425、,

..AP.CD=L￡一巫X正普

682812

故選：D.

14.（2023春?江蘇常州,高一常州市第一中學(xué)?？计谀┮阎蛄?與6的夾角為30。，且同=5忖=1,

設(shè)加=a+b,n=a-b9則向量機(jī)在〃方向上的投影向量為（）

A.2nB.nC.y/3nD.~^~n

【答案】A

【分析】根據(jù)投影向量公式求解即可.

【詳解】因為知向量a與6的夾角為30。，且同=石，W=leb=gxlx￥q,

m?ftTI（〃+匕）（〃-bja_b

加在〃方向上的投影向量為仃1=Ip=F——F.n=2R-

M\n\\a-b\a-2a-b+b

故選：A.

15.（2022春,陜西商洛?高一統(tǒng)考期末）已知向量a,b,c滿足同=卜|=2,忖=3,.,則（a-3c）.伍-3c）

的最大值為（）

A.40-6A/13B.40+6舊C.36-6gD.36+6月

【答案】D

【分析】根據(jù)題意設(shè)A（2,0）,B（0,3）,C（2cos0,2sin。），即可根據(jù)向量運(yùn)算得出

0-30?伍-3c）=36-6而sin（d+0,再根據(jù)三角函數(shù)范圍得出答案.

【詳解】由題意可設(shè)42,0）,8（0,3）,C（2cose,2sin。），

貝ljd-3c=(2-6cos^,-6sin,Z?-3c=(-6cos^,3-6sin,

貝1](々一30).僅一34=(2—685。)乂(一6<：056)+(-651116)乂(3—651116),

=36-12cos9-18sin。，

=36-6拒sin(，+/),

?

其中tan4="

-l<sin(0+/?)<l,

則(4-3c).(6-3d)436+6A/13,

故選：D.

題型六：平面向量的綜合問題

16.(2023春?四川成都?高一成都外國語學(xué)校?？计谀?如圖，在中，P為線段A3上的一個動

點(不含端點)，且滿足=

(1)若彳=；,用向量OA,。2表示OP;

UUU

⑵在(1)的條件下，若1。川=6,|Ofi|=2,且ZAC?=120。，求0PA2的值

31

【答案】⑴0尸=：04+產(chǎn)

(2)-29

【分析】(1)以向量OA,。8為基底，根據(jù)向量的線性運(yùn)算，把。P用向量OA,08表示;

(2)以向量04,為基底，結(jié)合(1)中的結(jié)論，求OP.A8的直

【詳解】(1)因為=所以4尸=不匚42,

2+1

[1Q

所以O(shè)P=Q4+AP=QA+——(OB-OA\=——OA+——OB,

2+1v)2+12+1

131

當(dāng)2二一時,OP=-OA+-OB.

344

31

(2)由(1)可知"=:。4+二。3,

44

所以02.48=(；04+；0“.(08-04)

3uur1uurumiuua

=——|OA|2+-OAOB+-\OB^.

424

UUU

因為|OA|=6,|OB|=2,ZAOB=120°,

所以O(shè)P.AB=—：x36+gx6x2x1_；)+；x4=—29,

即OP.AB的值-29.

17.(2022秋?遼寧沈陽,高一沈陽市回民中學(xué)?？计谀?平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2),k(-l,2),

c=（4,l）.

⑴若R+砌〃儂-Z）,求實數(shù)七；

（2）若，滿足（2-@〃（￡+5）,且卜-C卜石，求5的坐標(biāo).

【答案】⑴無=4（

（2）（3,-1）或（5,3）

【分析】（1）易得4+h=（3+依2+上）,2人-4=（-5,2）,再根據(jù)（a+Ac）//（26-a）,利用共線向量定理求解;

（2）設(shè)d=（尤,y）,得至114-。=（*-4/-1）,〃+。=（2,4）,再根據(jù)（<7-<?）〃（“+6）,口-1=石求解.

【詳解】（1）解：因為。=（3,2）,k（-l,2）,c=（4,l）,

所以a+h*=（3+4匕2+4）,2/?-々=（一5,2）,

因為（〃+左C）〃（20_Q）,

所以2x（3+4左）一（一5）x（2+/:）=。，

解得％=一存

（2）設(shè)）=（%,〉）,

貝!Jd-C=（x-4,y-1）,a+b=（2,4）,

因為（〃_0）〃（〃+》），?一q二?,

4（x-4）-2（y-l）=0

所以

（x-4）2+（y-l）2=5

x=3x=5

解得或

y=-ly=3

所以d=（3,-l）或d=（5,3）.

18.（2022春?上海普陀?高一曹楊二中?？计谀┤鐖D，在，OAB中，|。4|=4』。2|=2,2為48邊上一點,

且8尸=2尸4

B

(l)^OP=xOA+yOB,求實數(shù)x、y的值；

(2)若〈。4。8〉=方，求OP.A8的值；

⑶設(shè)點。滿足。。=工。4,求證：|PA|=2|PQ|.

【答案】⑴尤=7>="1

(2)-8

⑶證明見解析.

【分析】⑴根據(jù)向量的減法運(yùn)算和線性表示即可求解；⑵利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解；⑵用基底。AOB

表示出向量PAPQ,再用數(shù)量積運(yùn)算律表示出模長，即可得證.

【詳解】(1)因為BP=2PA，所以O(shè)P-OB=2(OA-OP),

2191

所以0P=jOA+§OB,所以x=],y=§；

(2)OPAB=+=-|oA2+|c>B2+^OAOB

3244

=------1----1—=—8o?

333

aii

(3)因為00=件，^VXPQ=OQ-OP=-OA--OB,

21

因OP=—OA+—OB,|OA|=4,|OB|=2,

BA=OA-OB,\B^=|OA|2+|OB|2-20AOB=20-2OA-OB,

所以1PAi2=:&4|2=7|。4。8,

IPO|2=—IOA|2+-|OBP--OA-OB=--—OA-OB,

II1441I91I18918'

所以1PAi2=4|尸。匕即|PA|=2|PQ|,得證.

題型七：正余弦定理的基本計算

19.（2023春?寧夏吳忠?高一吳忠中學(xué)?？计谀┰?ABC中，角A,B,。所對的邊分別是，a,b,c

〃=2,b=,B=2A,貝!JcosA=()

AV?R73rV6nV6

3243

【答案】c

【分析】利用正弦定理可得三=占，再結(jié)合倍角正弦公式即可求解.

sinAsmB

【詳解】由正弦定理得：

ab2V62灰旗

------=------=>------=--------=------=---------------ncosA=—.

sinAsinBsinAsin2AsinA2sinAcosA4

故選：C

20.（2022春?吉林長春?高一長春市實驗中學(xué)?？计谀┮阎贏SC中，3=30。，AB=2g,AC=2,

且ACH5C,則ABC的面積為（）

A.6B.3C.2A/3D.4后

【答案】C

【分析】根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因為3=30。，AB=2相，AC=2,

所以有AC2=3^+BC2-2BABC-cosB^4=12+BC2-2x243BC-

解得8c=4,或3C=2,而已知ACwBC,所以8C=4,

因止匕ABC的面積為g-2A4C.sin2=g*2括x4x；=2一,

故選：C

21.（2022春?四川南充?高一統(tǒng)考期末）在拉鉆。中，角43、。所對的邊分別為人0、°,若廿+。2-42=石兒,

則sin（B+C）=（）

12B125

A.B-BC±D.

13ll13

【答案】B

【分析】由余弦定理求出COSA,再求出sinA,則Sin（B+C）=sinA代入即可求出答案.

——10b7ev

【詳解】因為/+。2-/=^兒,所以b1+C1-a1

cosA==——=一，AG(0,^)J

2bc2bc13l7

所以sinA=A/1-COS2A=—,

sin(B+C)=sinA=—.

故選：B.

題型八：邊角互化問題

22.(2023春?江蘇常州?高一常州市第一中學(xué)?？计谀?若(a+6+c)S+c-〃)=36c,且sinA=2sini3cosC,

那么ABC是()

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】由給定邊的關(guān)系式結(jié)合余弦定理求出角4再由正弦定理角化邊，結(jié)合邊的關(guān)系式可得c=b

即可推理作答.

【詳解】由(a+b+c)(b+c—a)=3Z?c,得(b+c)?-/=3bc,

化簡得+，—a，=bc,

2

所以由余弦定理得cosA="+：：i=整=。

2bc2bc2

因為A?。㈤，所以A=g,

因為sinA=2sinBcosC,

所以由正余弦定理角化邊得a=一,,化簡得

所以b=c,

所以ABC為等邊三角形，

故選：B

23.(2022春?四川綿陽?高一統(tǒng)考期末)在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sin(C-B)=2sinBcosC,J12sinA+Z7sinB=csinC,貝I］。=()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】利用正弦定理sin(C-3)=2sin8cosC可得sinCeos8=3sinBcosC,根據(jù)三角形性質(zhì)和邊角互化

得出6=2,2_2加，za+bi,解方程組可得結(jié)果.

【詳解】因為sin(C-8)=2sinBcosC,所以sinCcos3-cosCsinZ?=2sin3cosC,BPsinCeosB=3sinBcosC；

因為2sinA+%sinB=csinC,由正弦定理可得24+6?=(?①；

因為sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以sinA=4sinBcosC,

所以"協(xié)片+尸工,整理得/=2°2_2加②；

2ab

由①②可得a?=4a,解得a=4或a=。（舍）.

故選：B.

24.（2022春?內(nèi)蒙古包頭?高一統(tǒng)考期末）已知.ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則下

列說法中錯誤的是（）

A.若"4=胃=?芷，則ABC一定是等邊三角形

abc

B.若6cos3=acosA,則ABC一定是等腰三角形

C.若acos3+bcosA=a,則ABC一定是等腰三角形

D.若廿+c。<片，則..ABC一定是鈍角三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)正余弦定理中，邊角互化即可求解.

▼、4isrTTCOSACOSBCOSCCOSACOSBCOSC,?cEAL

【詳解】對于A：由正弦定理以及—=^~=——Z得Ft一二=一二=—F=>tanA=tanB=tanC,因為

abcsinAsinBsinC

A,昆Ce（0,7i），所以A=8=C，故.ABC是等邊三角形，故A對，

對B:由Z?cosB=〃cosA以及正弦定理得：sinBcosB=sinAcosA=>sin2B=sin2A,

由于A5￡（0,7C）,「.2A￡（0,27I）,23W（0,2TI）,因止匕25=2A,或者2A+23=兀,即6=A,或者A+B=,故^ABC

為等腰三角形或者直角三角形，故B錯誤，

對C:由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=sinA=>sin（A+5）=sinA,

由于在ABC中，sin（A+B）=sinC,因止匕可得sinA=sinC,

由于A,C￡（。,兀）,A+Cv兀，故A=C,故C正確，

7,22_2

對于D由/+°2<片得cosA=<0,故A為鈍角，因此D正確

2bc

故選：B

題型九:三角形的面積公式問題

25.（2022春?湖南長沙?高一長沙一中?？计谀┰谥校瑑?nèi)角A鳳。的對邊分別為。也。，若ABC的

面積為S,且a=l,4yl3S=b2+c2--L,則ABC外接圓的面積為（）

71

A.—B.兀C.2兀D.4TI

2

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件及三角形的面積公式，再利用余弦定理及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，結(jié)合正弦

定理及圓的面積公式即可求解.

【詳解】由，=1及4后=/+。2—1,得4A=/+/—。2,

所以4百xgxbxcxsinA=2xZ?xcxcosA,BPcosA=73sinA,

于是有tanA=史^,因為。VAVTI,所以A=g

36

Q_1

所以ABC外接圓的半徑為'==1=二忍=,

乙xsin

6

所以ABC外接圓的面積為兀產(chǎn)=兀.

故選：B.

26.（2022春?河南安陽,高一統(tǒng)考期末）在ABC中，內(nèi)角A,3,C所對的邊分別為a,6,c,若/+62=02一",

且A3邊上的中線CD=1,則ASC面積的最大值為（）

A.拒B.76C.3D.273

【答案】A

【分析】根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積公式和基本不等式進(jìn)行求解即可.

+BCAB

【詳解】由1+〃=C2-必，cosZACB--~-=--^>ZACB=120°,

2AC,BC2

如圖，作出平行四邊形ACBE,則ABC與38的面積相等.在"CE中，NC4E=60。，CE=2,則

Q2+從_41

cosACAE=-------=一,^ia2+b2—ab=4.

2ab2

又a2+b1-abNab,^\ab<4,

0S=—absin60°=——ab<^/3,

△AAce24▼

故ASC面積的最大值為g.

故選：A

27.（2022春?吉林白山,高一統(tǒng)考期末）記ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若.ABC的

面積為A,且6=2有，cosB=；,則ASC的周長為（）

A.10^5B.875C.40+2占D.2回+2小

【答案】D

【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinB,再由面積公式求出女，最后由余弦定理及完全平方

公式求出a+c,即可得解;

【詳