幾何輔助線進(jìn)階訓(xùn)練——遇角平分線作平行線、軸對(duì)稱

一'階段一（較易）

1.如圖，在四邊形ABCD中，NA=45。，ZC=90°,NABD=75。，ZDBC=30°,AB=2&.求

BC的長(zhǎng).

2.如圖，ZAOP=ZBOP=15°,PC//OA,PD±OA,若PC=4,則PD等于（）

B

~~B------A

A.4B.3C.2D.1

3.如圖，AD是△ABC的角平分線，DFLAB,垂足為F,DE=DG,△ADG和△AED的面積分別

為50和39,則4EDF的面積為（）

A.11B.5.5C.7D.3.5

4.如圖，在△ABC中，M是BC邊的中點(diǎn)，AP是NBAC的平分線，BPLAP于點(diǎn)P.若AB=12,

AC=22,則MP的長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.5D.6

5.如圖：ZDAE=ZADE=15°,DE/7AB,DFXAB,若AE=8,則DF等于

6.如圖，BD為正方形ABCD的對(duì)角線，BE平分NDBC,交DC于點(diǎn)E,將ABCE繞點(diǎn)C順時(shí)針

7.如圖，已知正方形ABCD,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，連接AE.點(diǎn)G是

AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DF平分NGDC,且DF=BE,連接FB、FC,FB與AC交于點(diǎn)M.

（1）若點(diǎn)E是BD的三等分點(diǎn)（DE<BE）,BF=2歷，求△ABE的面積；

（2）求證：DE=2CM.

8.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,Z.BAC=30°,4G是底邊上的高，在4G的延長(zhǎng)線

上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D,連接CD,作ZCDE=15O。，交力B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,ZCDE的角平分線交AB邊于點(diǎn)

F,則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段EF的最小值（）

9.如圖，在R3ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,BE平分/ABC,CD_LAB于D,BE與CD

相交于F,則CF的長(zhǎng)是（）

A.1B.2C.1D.|

10.在44BC中，AB=AC,。是射線BC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。分另U作OE1AB于點(diǎn)E,。F12。于點(diǎn)工

(1)如圖1,若。是BC邊上的中點(diǎn)，求證：DE=DF.

(2)過(guò)點(diǎn)B作BG1AC于點(diǎn)G.

①如圖2,若。是邊上的任意一點(diǎn)，求證：BG=DE+DF；

②若點(diǎn)。是射線BC上一點(diǎn)，AB=5,BC=6,DF=2,求DE的長(zhǎng)度.

二'階段二(中等)

11.如圖，在△ABC中，AC=BC,ZC=90°,BD為NABC的平分線，若A點(diǎn)到直線BD的距離為

a,則BE的長(zhǎng)為

12.如圖，四邊形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,AB=1,CD=0巨，若BD恰好平分NABC,

則BD之長(zhǎng)為.

D

乂/^/\

BC

13.如圖，在團(tuán)ABCD中，AB=10,BC=18,乙4BC和NBCD的角平分線分別交4。于點(diǎn)E和E若

BE=12,貝ICF=.

14.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線ACLBC,M在NCAD的平分線上，且AMLDM,點(diǎn)

N為CD的中點(diǎn)，連接MN,若AD=12,MN=2.則AB的長(zhǎng)為（）

A.12B.20C.24D.30

15.如圖，在口ABCD中，AC是對(duì)角線，Z.ACD=90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AF平分

Zb4c,CFLAF于點(diǎn)F,連接EF.已知AB=S,BC=13,貝!JEF的長(zhǎng)為.

16.如圖，在矩形ABCD中，NB的平分線BE與AD交于點(diǎn)E,NBED的平分線EF與DC交于點(diǎn)

F,當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，若AB=4,則BC=.

17.如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，ZAEF=90°,且EF交正方形外角的平

分線CF于點(diǎn)F,已知正方形邊長(zhǎng)為4,則EF的長(zhǎng)為

18.在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE、BF,若NADE

與NCBF的平分線DG、BG交于AC上一點(diǎn)G,連接EG.

圖1圖2

(1)如圖1,點(diǎn)B、G、D在同一直線上，若NCBF=90。，CD=3,EG=2,求CE的長(zhǎng)；

(2)如圖2,若AG=AB,ZDEG=ZBCD,求證：AD=BF+DE.

19.如圖，矩形ABCD中，AD=10,AB=6,點(diǎn)P在邊CD上，且PC平分NBPD,點(diǎn)M在線段

BP上，點(diǎn)N在線段BC的延長(zhǎng)線上，且PM=CN,連接MN交BP于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)M作MEJ_CP于

20.正方形ABCD中，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，H是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接FH,將AFBH沿FH翻折,

使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在AD上，EH與CD交于點(diǎn)G,連接BG交FH于點(diǎn)M,當(dāng)GB平分/CGE

三、階段三(困難)

21.如圖，乙4OB=120。，OC是乙4OB的平分線，點(diǎn)E,M分別在射線OA,OC±,作射線

ME,以M為中心，將射線ME逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，交OB所在的直線于F,

(1)按要求畫圖，并完成證明；過(guò)點(diǎn)M作MH//OA,交射線OB于H,求證：AOMH是等邊

三角形；

(2)當(dāng)點(diǎn)F落在射線OB上，請(qǐng)猜想線段OE,OF,OM三者之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)當(dāng)點(diǎn)F落在射線OB反向延長(zhǎng)線上，請(qǐng)猜想線段OE,OF,OM三者之間的數(shù)量關(guān)系；

(4)點(diǎn)G是射線OA上一點(diǎn)，且滿足OG=8,若MG=7,OF=1.5,請(qǐng)直接寫出OE的長(zhǎng)；

22.如圖，在R3ABC中，ZACB=90°,BC=3V2,AC=4或，NCAB與NCBA的平分線交于點(diǎn)

P,點(diǎn)D、E分別是邊AC、BC上的點(diǎn)(均不與點(diǎn)C重合)，且滿足NDPE=45。，則點(diǎn)P到邊AB的

距離是_________，ACDE的周長(zhǎng)是一

B

ADC

23.如圖1,在平行四邊形ABCD中,ZADC的平分線交AB于點(diǎn)E,交CB的延長(zhǎng)線于F,以

BE、BF為鄰邊作口EBFH.

DCD

HFHFHF

圖1圖2圖3

(1)證明：口EBFH是菱形；

（2）（如圖2）若NABC=90。.

①直接寫出四邊形EBHF的形狀；

②已知AB=10,AD=6,M是EF的中點(diǎn)，求CM的長(zhǎng).

（3）（如圖3）若NABC=60。，連結(jié)HA、HB、HC、AC,求證：AACH是等邊三角形.

24.在RtAABC中，ZACB=90°,AE,BD是角平分線，CMLBD于M,CNLAE于N,若

AC=6,BC=8,則MN=.

25.如圖，在正方形4BCD中，BM,DN分另U是其外角ZCBP和NCDQ的平分線，點(diǎn)E在射線BM上,

點(diǎn)F在射線ON上，連接ZE,AF,EF.已知NFZE=45。.

備用圖

（1）求證：以線段BE,DF,EF為三邊組成的三角形是直角三角形；

（2）若A/EF為等腰直角二角形，探究線段BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）當(dāng)EF||4。時(shí)，請(qǐng)求出器的值.

26.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O.點(diǎn)E是線段DO上一點(diǎn)，連接CE.點(diǎn)F是NOCE

的平分線上一點(diǎn)，且BFJ_CF與CO相交于點(diǎn)G.點(diǎn)H是線段CE上一點(diǎn)，且CO=CH.

(1)若0F=5,求FH的長(zhǎng);

(2)求證：BF=OH+CF.

27.綜合與實(shí)踐，【問(wèn)題情境上數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在正方形ABCD

中，E是BC的中點(diǎn)，AEVEP,EP與正方形的外角&DCG的平分線交于P點(diǎn).試猜想AE與

EP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

圖1圖2

圖3

(1)【思考嘗試】同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點(diǎn)F,連接EF可以解決這個(gè)問(wèn)題.請(qǐng)?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖

形，解答老師提出的問(wèn)題.

(2)【實(shí)踐探究】希望小組受此問(wèn)題啟發(fā)，逆向思考這個(gè)題目，并提出新的問(wèn)題：如圖2,在正

方形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E,B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，乙AEP=

90°,連接CP,可以求出Z.DCP的大小，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題.

(3)【拓展遷移】突擊小組深入研究希望小組提出的這個(gè)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖

3,在正方形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E,B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，

乙4EP=90。，連接DP.知道正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，可以求出XADP周長(zhǎng)的最小值.當(dāng)AB=4時(shí)，

請(qǐng)你求出AADP周長(zhǎng)的最小值.

28.數(shù)學(xué)課上林老師出示了問(wèn)題：如圖，AD〃:BC,ZAEF=90°AD=AB=BC=DC,NB=90。，點(diǎn)E是

邊BC的中點(diǎn)，且EF交NDCG的平分線CF于點(diǎn)F,求證：AE=EF.

同學(xué)們作了一步又一步的研究:

(1)、經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種解題思路：如圖1,取AB的中點(diǎn)M,連接ME,則AM=EC,

易證AAME^4ECF,所以AE=EF,小明的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，

請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)、小穎提出一個(gè)新的想法：如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上(除

B,C外)的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論"AE=EF”仍然成立，小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正

確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)、小華提出：如圖3,點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上(除C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)

論“AE=EF”仍然成立.小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【問(wèn)題情境】

如圖1,四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，AE平分NDAM.

(1)【探究展示】

直接寫出AM、AD、MC三條線段的數(shù)量關(guān)系：；

(2)【拓展延伸】

AM=DE+BM是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)若四邊形ABCD是長(zhǎng)與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2,探究展示(1)、(2)中

的結(jié)論是否成立？請(qǐng)分別作出判斷，不需要證明.

30.如圖1.在邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD中，點(diǎn)M在邊AD上移動(dòng)(點(diǎn)M不與點(diǎn)A,。重

合)，MB的垂直平分線分別交AB,CD于點(diǎn)E,F,將正方形ABCD沿EF所在直線折

疊，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M,點(diǎn)C落在點(diǎn)N處,MN與CD交于點(diǎn)P,

(1)若AM=4,求BE的長(zhǎng)；

(2)隨著點(diǎn)M在邊AD上位置的變化，LMBP的度數(shù)是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理

由；若不變，請(qǐng)求出乙MBP的度數(shù)；

(3)隨著點(diǎn)M在邊AD上位置的變化，點(diǎn)P在邊CD上位置也發(fā)生變化，若點(diǎn)P恰好為

CD的中點(diǎn)(如圖2),求CF的長(zhǎng).

答案解析部分

L【答案】作BELAD于E,

/.ZBEA=ZBED=90°.

VZA=45°,

ZABE=45°.

VZABD=75°,

ZEBD=30°.

VZDBC=30°,

二NDBE=NDBC.

VZC=90°,

/.ZBED=ZC.

在小BDEBDC中,

ZB￡D=ZC

一DBE=_DBC,

BD=BD

BDE^ABDC（AAS）,

.\BE=BC.

在R3ABE中，AB=20,由勾股定理，得BE=2

.\BC=2.

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】4

6.【答案】2+V2

7.【答案】（1）解：由題意易得/BDF=90。，

?點(diǎn)E是BD的三等分點(diǎn)（DEVBE）

.?.設(shè)BE=DF=2x,DE=x.

在RtABDF中,ZBDF=90°

,.?BD2+DF2=BF2

.?.9x2+4x2=156解得x=2V3

BE=2x=4A/3,AO=gBD=3A/3

；.△ABE面積=1BEAO=ix4A/3X3V3=18.

(2)證明：同時(shí)延長(zhǎng)DF、BC交于點(diǎn)H.

是BD中點(diǎn)，OC〃DF

是BF中點(diǎn)，C是BH中點(diǎn).

ACM是小BFH的中位線.

即FH=2CM.

在^EBA與AFDC中

EB=FD;ZABE=ZFDC=45°,CD=AB

；.△EBA^AFDC(SAS).

AE=CF,ZAEB=ZCFD

.\ZAED=ZCFH.

VCM/7FH

ZH=ZACB=ZADB=45°.

在小AED與ACFH中

ZADB=ZH,ZAED=ZCFH,AE=CF

AED^ACFH(AAS)

；.DE=FH=2CM.

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】（1）證明：如圖1中，連接AD.

：.AD平分ZBXC,

DELAB,DFLAC,

DE=DF；

(2)解：①證明：如圖2,連接AD.

則AABC的面積=AABD的面積+AACD的面積，

即^AB-DE+^-AC-DF=^AC-BG，

vAB=AC,

??.DE+DF=BG；

②如圖3,連接AD,過(guò)點(diǎn)A作AH1BC于點(diǎn)H.

vAABC的面積=AABD的面積-AACD的面積,

Ill

AB-DE-AC-DF=AC-BG，

vAB=AC,

DE-DF=BG,

vAB=AC=5,BC=6,AH1BC,

.?.BH=CH=3,

???AH=7AB2-BH2=7s2-32=4，

11

????AC?BG=?BC?AC，

?*?B*G=24，

2434

DE=DF+BG=2+.

11.【答案】2a

12.【答案】3V2

13.【答案】16

14.【答案】B

15.【答案】Z

16.【答案】2V2+2

17.【答案】2V5

18.【答案】（1）解：如圖，點(diǎn)B、G、D在同一直線上,

\?DG、BG分別是NADE與NCBF的角平分線，且NCBF=90。,

???NCBD=45。，

?.?AD〃BC,

???NADB=NCBD=45。，

???NBDE=NADB=45。，

AZBED=180°-45°-45°=90°，

三角形BDE是等腰直角三角形，MED=90°,

在平行四邊形ABCD中，則BD=DG,

線段EG是等腰直角三角形BDE的中線，

AEGXBD,

"：EG=2,

-,-DE=V2EG=2V2，

在直角三角形CDE中，由勾股定理得

CE=VCD2-DE2=心—(2物2=1；

(2)證明：如圖，在AD上取一點(diǎn)M,使得DM=DE,連接MG,

在△DMG和△DEG中,有

DM=DE

乙MDG=^EDG,

DG=DG

.*.△DMG^ADEG,

.??NDMG=NDEG=/BCD,

VZBCD=ZBAD,

??.NDMG=/BAD,

???MG〃AB,

:.NBAF=NAGM,

,.?AG=AB,

JNAGB=NABG,

*.?NABG=NABF+NFBG,ZAGB=ZGBC+ZBCG,

又,.?/FBG=NGBC,

AZABF=ZBCG,

VAD/7BC,

:.NBCG=NMAG=NABF,

在小AMG和小BFA中，有

2BAF=^AGM

，AB=AG,

'.^MAG=4ABF

；.△AMG也△BFA,

；.AM=BF,

AD=AM+MD=BF+DE.

19.【答案】V10

20.【答案】4

21.【答案】(1)證明：過(guò)點(diǎn)M作MH//OA,交射線OB于點(diǎn)H,如圖所示,

VOOZAOB的平分線，

ZAOC=ZCOB=|ZAOB=1x120°=60°.

VMH//OA,

.\ZHMO=ZAOC=60°,

ZHMO=ZCOB=ZMHO=60°,

.?.△OMH是等邊三角形.

(2)解：OM=OF+OE,

OMH是等邊三角形，

.\OM=MH=OH.

?以M為中心，將射線ME逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，

.\ZEMF=ZHMO=60°,

ZEMF-ZOMF=ZHMO-ZOMF,

即NEMO=/HMF.

XVZMOE=ZMHF=60°,

.*.△EMO^AFMH(ASA),

???OE=FH.

VOM=OH=OF+FH,

AOM=OF+OE.

(3)解：OM=OE-OF,

如圖，

??,△OMH是等邊三角形,

???OM=MH=OH.

???以M為中心，將射線ME逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，

JZEMF=ZHMO=60。，

:.ZEMF+ZOMF=NHMO+NOMF,

即NEMONHMF.

XVZMOE=ZMHF=60°,

???△EMO絲△FMH(ASA),

???OE=FH.

VOM=OH=FH-OF,

AOM=OE-OF.

(4)OE=3.5或6.5或1.5或4.5

22.【答案】V2;2V2

23?【答案】(1)解：:DE是NADC的平分線,

???NCDE=NADE,

?.?CD〃AB,AB〃HF,

:.NCDE=NAED=ZHFE,

VAD/7BC,

；.NEDA=NFEH,

.\ZHEF=ZHFE,

；.EH=FH,

.REBFH為菱形

(2)解：①NABC=90。，則平行四邊形ABCD為矩形，菱形EBFH為正方形;

②由(1)知△ADE為等腰直角三角形，故AE=AD=6,則BE=10-6=4,

?.?連接BH,過(guò)點(diǎn)M作MNLBF于點(diǎn)N,

DC

VM是EF的中點(diǎn)，故點(diǎn)M時(shí)正方形EBFH對(duì)角線的交點(diǎn),

則MN=|EB=1x4=2=BN,

則CN=BC+NB=6+2=8,

?'-CM=7CN2+MN2=Vs2+22=2V17；

(3)解：延長(zhǎng)DA交FH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接CG,

DC

:四邊形ABCD為平行四邊形，故AB〃CD,AD/7BC,

而四邊形EBFH為菱形，故EB〃HF,

；.DG〃CF,CD//FG,

二四邊形DCFG為平行四邊形，

「DE是NADC的角平分線，

VZCDF=ZGDF,

VCD//GF,

NCDF=NGFD=NGDF,

；.DG=GF,

平行四邊形DCFG為菱形，

VZABC=60°,

.?.△DGC、ACGF均為等邊三角形，

.\ZCGD=ZCGF=60°,CG=CF,

同理可得：四邊形AEHG為平行四邊形，故AG=EH=HF,

在ACAG和ACHF中，CG=CF,AG=HF,ZCGD=ZCGF=60°,

.*.△CAG^ACHF(SAS),

；.CA=CH,ZACG=ZHCF,

NACH=ZACG+ZGCH=ZGCH+ZHCF=60°,

ACH是等邊三角形.

24.【答案】2

25.【答案】(1)證明：過(guò)點(diǎn)4作4H14F,并截止ZH=4F,連接BH,EH,

則：AHAF=90°,

?四邊形ABC。為正方形，

：.AD=AB,/.DAB=AADC=AABC=90。，

'：A.DAF+AFAB=AHAB+/.FAB,^CDQ=90°,4CBP=90°,

：.^DAF=乙BAH,

：.△ADFABH(SAS),

：.AF=BH,^ADF=AABH,

??"兄4E=45°,

：./LEAH=^FAH-^FAE=45°=￡.FAE,

又丁力E=4E,AF=AH,

：.LAFEH△力HE(S力S),

：.EH=EF,

???△BE”即為以線段BE,DF,￡T為三邊組成的三角形，

VBM,ON分別是4aBp和4CDQ的平分線，

?ZDC=45。，2.EBP=45°,

：./-ADF=乙ABH=/.ADC+乙FDC=135°,

：ZHBP=180°-乙ABH=45°,

"EBH=(HBP+EBP=90°,

???△BEH為直角三角形，

即：以線段BE,DF,EF為三邊組成的三角形是直角三角形;

(2)解：VBM,DN分另I」是4CBP和4CDQ的平分線，

AzFDC=45°,/-CBE=45°,

：.Z.ADF=乙ABE=90°+45°=135°,

：.LEAB+乙BEA=180°-Z.ABE=45°,

V/LEAB+^EAF=Z-DAB-乙FAD=45°,

：.￡.BEA=^DAF,

△ADFEBA,

?BE_AE_AB

??而=麗=麗'

?.?△4EF為等腰直角三角形，/.FAE=45°,

.'.AE=EF,AE2+EF2=2AE2=AF2,

'-AE=*AF，

?BE_AB_鹿

??而=麗=2’

:?BE=*AD,DF=V2/1B-

'：AD=AB,

:?BE=四八

(3)解：連接DB并延長(zhǎng)交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

貝IJ：乙CDB=乙4DB=45°,乙CBD=45%

:?乙FDB=乙FDC+2CDB=90°,乙DBE=乙CBE+乙CBD=90%

?:FE||AD,

C.Z.DFE=FDQ=45°,乙G=^BDA=45°,

???△DFG,△BEG均為等腰直角三角形，

AFG=V2OF,GE=0BE,

由(1)知:EF2=BE2+DF2,

[V2(Z)F-BE)]2=BE2+。產(chǎn)，

設(shè)BE=x,DF=y,

2(y—%)2=x2+y2,

解得：x=(2—百)y或%=(2+V3)y(不合題意，舍掉)

.B^_x_(2-⑸y_?_/o

9，DF~y~—y-——

26.【答案】(1)解：TCF平分NOCE,

???N0CF=NECF,

VOC=CH,CF=CF,

0C=HC

在^OCF和^HCF中｛z_0CF=乙ECF,

、CF=CF

???△OCF^AHCF(SAS),

???FH=OF,

VOF=5,

???FH=5.

(2)證明：如圖，在BF上截取BK=CF,連接OK,

??,四邊形ABCD為正方形，

AACXBD,NDBC=45。，

???NBOC=90。，

JZOCB=180°-ZBOC-NDBC=45。,

???NOCB=NDBC,

???OB=OC,

VBFXCF,

.\ZBFC=90°,

???NOBK=180O-NBOC-NOGB=9()o-NOGB,ZOCF=180°-ZBFC-ZFGC=90°-ZFGC,且

NOGB=NFGC,

???NOBK=NOCF,

OB=OC

在aOBK和^OCF中｛4。3K=乙OCF,

BK=CF

Z.AOBK^AOCF(SAS),

???OK=OF,ZBOK=ZCOF,

NBOK+NKOG=ZBOC=90°,

??.ZCOF+ZKOG=90°,即ZHOF=90°,

.\ZOHF=ZOFH=1(180°-ZKOF)=45。，

:.NOFC=ZOFK+ZBFC=135°,

VAOCF^AHCF,

???NHFC=NOFC=135。,

???ZOFH=360°-ZHFC-ZOFC=90°,

???NFHO=NFOH=1(180°-ZOFH)=45。,

???NHOF=ZOFK,NKOF=ZOFH,

???OH〃FK,OK〃FH,

J四邊形OHFG是平行四邊形，

???OH=FK,

,.?BF=FK+BK,

???BF=OH+CF.

27.【答案】(1)解：AE=EP,

理由如下：取AB的中點(diǎn)F,連接EF,

???F、E分別為AB、BC的中點(diǎn),

???AF=BF=BE=CE,

???NBFE=45。，

???NAFE=135。，

VCP平分NDCG,

???NDCP=45。，

???NECP=135。，

???NAFE=NECP,

VAEXPE,

?,.NAEP=90。，

.\ZAEB+ZPEC=90°,

VZAEB+ZBAE=90°,

???NPEC=NBAE,

???△AFE^AECP(ASA),

???AE=EP；

(2)解：在AB上取AF=EC,連接EF,

圖2

由(1)同理可得NCEP=NFAE,

VAF=EC,AE=EP,

?.△FAE^ACEP(SAS),

???NECP=NAFE,

,.?AF=EC,AB=BC,

???BF=BE,

???NBEF=NBFE=45。，

???NAFE=135。，

???NECP=135。，

???NDCP=45。；

(3)解：作DGLCP,交BC的延長(zhǎng)線于G,交CP于O,連接AG,

圖3

由(2)知，NDCP=45。，

???NCDG=45。，

???△DCG是等腰直角三角形，

???點(diǎn)D與G關(guān)于CP對(duì)稱，

???AP+DP的最小值為AG的長(zhǎng),

\?AB=4,

???BG=8,

由勾股定理得AG=4V5,

???△ADP周長(zhǎng)的最小值為AD+AG=4+4V5.

28.【答案】(1)解：正確.

???M是AB的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)AB=BC

二?AM=ECBM=BE

JZBME=45°

ZAME=135°

???CF是NDCG的平分線

?,.ZDCF=45°

NECF=135。

:.NAME=NECF

ZAEB+ZBAE=90°

ZAEB+ZCEF=90°

NBAE=NCEF

AME^ABCF(ASA)

???AE=EF

(2)解：正確.

在AB上取一點(diǎn)M,使AM=BC,連接ME.

???BM=BEJNBME=45°;?ZAME=135°,

VCF是NDCG的平分線JNDCF=45。ZECF=135°

NAME=NECF

NAEB+NBAE=90。ZAEB+ZCEF=90°

JNBAE二NCEF

.*.△AME^ABCF(ASA)JAE=EF

(3)解：正確.

在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N.使AN=CE,連接NE.

??.BN=BENN=NPCE=45°

,.?AD〃BE:.NDAE=NBAE:.NNAE=NCEF:.△ANE^AECF(ASA)

???AE=EF

29.【答案】(1)AM=AD+MC

(2)AM=DE+BM成立.

證明：過(guò)點(diǎn)A作AFLAE,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,如圖1(2)所示.

AZBAD=ZD=ZABC=90°,AB=AD,AB〃DC.

VAFXAE,

.\ZFAE=90°.

AZFAB=90°-NBAE=NDAE.

在^ABF和^ADE中，

2FAB=乙EAN

AB=AD

、Z.ABF=乙D

.*.△ABF^AADE(ASA).

???BF=DE,ZF=ZAED.

VAB/7DC,

.\ZAED=ZBAE.

■:NFAB=NEAD=NEAM,

JZAED=ZBAE=ZBAM+ZEAM

=NBAM+NFAB

二NFAM.

???NF=NFAM.

???AM=FM.

???AM=FB+BM=DE+BM.

(3)①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立.

???四邊形ABCD是矩形，

???