初中教學(xué)

平面直角坐標(biāo)系（壓軸題專練）

目錄

【類型一直接利用面積公式求圖形的面積】...................................................1

【類型二利用補(bǔ)形法或分割法求圖形的面積】................................................8

【類型三與圖形面積相關(guān)的點(diǎn)的存在性問題】................................................11

【類型四平面直角坐標(biāo)系中動點(diǎn)移動問題】..................................................15

【類型五平面直角坐標(biāo)系中圖形翻轉(zhuǎn)問題】..................................................19

【類型六平面直角坐標(biāo)系中新定義型問題】.................................................22

【類型一直接利用面積公式求圖形的面積】

例題：（2023春?吉林松原?七年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為（仇0）,

且6滿足+2|+Jb-4=0,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3）.

（1）求。，6的值；

（2）求AABC的面積.

【答案】（1）。=-2,b=4,

（2）9

【分析】（1）根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，即可求得。，6的值；

（2）根據(jù)“，。的值可以確定點(diǎn)A、8的坐標(biāo)，進(jìn)而求得CO的距離，即可求得“8C的面積.

【詳解】（1）解：..10+21+5^=7=0,

.*.（1+2=0,6—4=0,

a=—2,6=4,

(2)I?：???〃=—2,6=4,

.?.點(diǎn)2(—2,0),點(diǎn)8(4,0),

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又?.?點(diǎn)C（0,3）,

JS=|-2-4|=6,CO=3,

5,=-^S.CO=-x6x3=9.

LAXADsCr-22

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、絕對值、算術(shù)平方根的非負(fù)性以及三角形的面積公式，解題的關(guān)

鍵是：根據(jù)絕對值、算術(shù)平方根的非負(fù)性求出。，6的值.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?天津?yàn)I海新?七年級?？计谥校┰谥苯亲鴺?biāo)系中，三角形N3C的頂點(diǎn)-2,0）,*2,4）,C（5,0）.

（1）求三角形N3C的面積.

（2）若尸是x軸上一動點(diǎn)，若三角形/3P的面積等于三角形Z8C面積的一半，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】⑴14

⑵加或

【分析】（1）過點(diǎn)8作軸于點(diǎn)區(qū)由8（2,4）得到8/7=4,由/（一2,0）及C（5,0）得到NC=7,利用

三角形面積公式即可得到三角形的面積；

（2）設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（叫0）,則AP=\m+2\，根據(jù)題意得到;4P1//=2帆+2卜；xl4，解得=|■或加=-2,

即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】（1）解：過點(diǎn)8作跳軸于點(diǎn)X,

V5（2,4）,

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，BH=4,

?.?三角形/3C的頂點(diǎn)/（一2,0）,C（5,0）.

A^C=5-（-2）=7,

三角形4BC的面積=LNC1H=LX7X4=14,

22

即三角形48c的面積為14；

（2）設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（如0）,

則4P=加+2|,

?.?三角形48尸的面積等于三角形Z8C面積的一半，

A-J4P-JBH=-|w+2|x4=2|w+2|=-xl4,

2211112

311

解得加=一或加=---,

22

.??點(diǎn)尸的坐標(biāo)為\，°）或,°J?

【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形與坐標(biāo)、絕對值方程、三角形面積公式等知識，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題

的關(guān)鍵.

2.（2023春?河南商丘?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,三角形4BC的邊A8在x軸上，且AB=4,

頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0）,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2,5）.

,L.J.7

ii5

T4

I3

T2

T'\

2H!O

ri

"T2

（1）畫出所有符合條件的三角形/BC,并寫出點(diǎn)3的坐標(biāo);

（2）求三角形/3C的面積.

【答案】⑴點(diǎn)8（6,0）或（一2,0）,圖見解析;

(2)10

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【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)B（x，O）,再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式即可解答;

（2）根據(jù)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為人|=5,/8=4即可解答.

【詳解】（1）解：：三角形48c的邊A8在x軸上

設(shè)點(diǎn)B（x，O）,

VAB=4,頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0）,

AB=|x—2|=4,

??%]=6,4=-2,

.?.點(diǎn)3（6,0）或3（-2,0）,

；頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-2,5）,

AABC如圖所示：

(2)解：???頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-2,5),

.?.點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為"1=5,

AB=4,

=；,N2,M|=；X4X5=10,

即A/BC的面積為10.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式，利用網(wǎng)格求三角形的

面積，掌握平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵.

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3.(2023春?河北廊坊?七年級校考期中)如圖在平面直角坐標(biāo)系中，已知M(-1.5,-2),

其中0、6滿足卜+1|+(6-3)2=0.

⑵求的面積；

(3)在x軸上求一點(diǎn)尸，使得的面積與的面積相等.

【答案】(1)。=一1,6=3

(2)S11ABM=4

⑶(-5,0)

【分析】(1)根據(jù)絕對值和平方的非負(fù)性求解即可；

(2)由(1)可知點(diǎn)/、B的坐標(biāo)，從而可求出43=4,再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；

(3)設(shè)尸(龍,0),則/「=卜1-乂，根據(jù)三角形的面積公式可求出鼠詡=卜1-司，結(jié)合題意可列出關(guān)于x的

等式，解出x的值即可求解.

【詳解】(1)解：V|a+l|+(Z>-3)2=0,

4Z+1=0,6—3=0,

解得：Q=—1,6=3；

(2)解：?.?〃=—1,6=3,

.?./(TO),5(3,0),

AB=4,

S.ABM=^AB-K|=4x卜2|=4；

(3)解：設(shè)尸(x,0),

AP=|-1—x|,

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=；NP|九|=gx|-1-*T=|-1-4.

:AAMP的面積與A4RM的面積相等，

1—x|=4,

解得：》=-5或》=3,

.??點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-5,0）或（3,0）.

當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3,0）時(shí)點(diǎn)B與點(diǎn)、P重合，

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-5,0）.

【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，絕對值方程的應(yīng)用等知識.掌握絕對值和平方的非負(fù)性，

利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

4.（2023春?遼寧大連?七年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)工（0，-5）,5（-3,0）,C（0,4）,

P（m,M）.

⑴求三角形45c的面積；

（2）設(shè)點(diǎn)尸是了軸上一點(diǎn)，若SAPAB=；s?PCB，試求點(diǎn)P坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)P在線段上，求用含〃的式子表示小.

【答案】⑴言27

（2）尸。-2）或（0,-14）

3

（3）m=~~n—3

【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式解答即可；

（2）根據(jù)三角形的面積公式和坐標(biāo)特點(diǎn)得出方程解答即可;

（3）根據(jù)S.AOB=S,BOP+以"=件?以|+初?上|,進(jìn)行計(jì)算即可解答.

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【詳解】(1)解：5),5(-3,0),C(0,4),

:.OB=3,NC=4-(-5)=9,

1127

S=—OB-AC=—x3x9=—；

：ABC222

(2)解：設(shè)點(diǎn)P是了軸上一點(diǎn)，坐標(biāo)為(0，?),

二尸/=1-(-5)卜,+5|,PC=\4-n\,

..e_le

?^^PAB-2"PCB，

:.-PA-OB=-x-PCOB,

222

即|”(-5)|=；x|4一4,

解得：”=-2或〃=-14,

.?.60,-2)或(0,-14)；

(3)解：如圖，連接。尸，

?.?/(0,-5),5(-3,0),

OA=5,OB=3,

。8=卜5x3當(dāng)，

S"OB=S?8o2+5.48=M|+,P(m,力)，

.,.■1X3X|M|+1-X5X|/H|=y,

丁點(diǎn)尸在第三象限，

777<0,?<0,

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3

整理得：m=-±n_3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，三角形的面積公式，熟練掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

【類型二利用補(bǔ)形法或分割法求圖形的面積】

例題：（2023春?江西南昌?七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知點(diǎn)-3,1）,5（1,-3）,C（3,4）,求三角形的

【分析】方法一：如圖，作長方形CAEF,由LBC=S長方形o郎-可得答案；

方法二：如圖，過點(diǎn)3作跖〃x軸，并分別過點(diǎn)/和點(diǎn)C作E廠的垂線，垂足分別為點(diǎn)￡,F,由

SaABC=S梯形4E尸C—-S^BCF可得答案；

方法三：如圖，過點(diǎn)/作DE〃歹軸，并分別過點(diǎn)。和點(diǎn)B作。E的垂線，垂足分別為點(diǎn)。，E,由

S4ABe=$梯形MDC-S^ABE-S?ADC可得答案.

【詳解】解：方法一：如圖，作長方形CDE尸，

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則S"5c=S長方形CDEF-S&ACD_S"BE-'^BCF

=6x7-—x3x6--x4x4--x2x7

222

二18.

方法二：如圖，過點(diǎn)5作郎〃x軸，并分別過點(diǎn)4和點(diǎn)。作印的垂線，垂足分別為點(diǎn)E,F.

：.AE=4,BE=4,BF=2,CF=7,EF=6,

??S/BC=%物昉?！?ABE~S4BCF

=—x（4+7）x6-—x4x4-—x2x7

2v722

二18.

方法三：如圖，過點(diǎn)/作。石〃V軸，并分別過點(diǎn)。和點(diǎn)B作。￡的垂線，垂足分別為點(diǎn)。，E.

.??/￡=4,BE=4,AD=3,CD=6,DE=7,

S“BC=S梯形BEDC—SAABE~^^ADC

=-x（4+6）x7-—x4x4--x3x6

2v722

二18.

【點(diǎn)睛】本題考查的是網(wǎng)格三角形的面積，坐標(biāo)與圖形，熟練的構(gòu)建與網(wǎng)格三角形面積相關(guān)的長方形與梯

形是解本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?湖北恩施?七年級校聯(lián)考期中）如圖，有一塊不規(guī)則的四邊形地皮45。。，各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別

【分析】過點(diǎn)5作5。，％軸于點(diǎn)。，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)如圖，先計(jì)算出相關(guān)線段的長，再根據(jù)

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S四邊形245co=S&BCD+S梯形應(yīng)必+SdOE求解即可

【詳解】解：過點(diǎn)5作軸于點(diǎn)。，過點(diǎn)A作4EL尤軸于點(diǎn)E,如圖,

OE=20,AE=60,OD=50,BD=40,OC=70,

:.CD=OC-OD=70-50=20,DE=OD-OE=50-20=30,

一S四邊形43co-S&BCD+S梯形此理+S&AOE

=-CDBD+-（BD+AEYDE+-OE-AE

22V'2

=-x20x40+-x（40+60）x30+-x20x60

22v'2

=400+1500+600

=2500（m2）.

答：這個(gè)四邊形N3CO的面積為2500m2.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，正確得到相關(guān)線段的長度、掌握割補(bǔ)法求解的方法是關(guān)鍵.

2.（2023春?黑龍江綏化?七年級?？计谥校┰谌鐖D所示的直角坐標(biāo)系中，多邊形/8C。斯的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)

【答案】25,見解析

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【分析】根據(jù)矩形、二角形和梯形面積公式以及S矩形4HMF-（s矩物BG+S梯形BGHc+S梯豚ZWM+S梯的EPN+SAPEF）進(jìn)

行計(jì)算.

【詳解】解：如圖所示,

=S矩形4HM尸一（品6形4BG+'形BGHC+端形CDNM+端形0E/W+WPEF

=AF-AH-^\_AGxGB+(BG+CH)HG+(DN+CM)MN+(DN+PE)PN+PE.PF]

=8x6--[3xl+(l+4)x3+(2+^x2-t(2+^x2+3x2

=48-1(3+15+12+10+6)

=25.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，一些不規(guī)則圖形可以轉(zhuǎn)化為一些易求面積的圖形的和或差來計(jì)

算.

【類型三與圖形面積相關(guān)的點(diǎn)的存在性問題】

例題：（2023春?湖北武漢?七年級統(tǒng)考期中）如圖1,在坐標(biāo)系中，已知/（。⑼，3（a0）,C（-3,7）,連接BC

交了軸于點(diǎn)°，a=V=64.（6『=4.

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(1)請直接寫出點(diǎn)A,3的坐標(biāo)，A,B；

⑵如圖2,S.BCP、分別表示三角形BCP、三角形43C的面積，點(diǎn)P在〉軸上，使S.BS=S"C，點(diǎn)P若

存在，求尸點(diǎn)縱坐標(biāo)、若不存在，說朋理由；

(3)如圖3,若。(加,”)是x軸上方一點(diǎn)，當(dāng)三角形。/C的面積為20時(shí)，求出7加-〃的值.

【答案】⑴(-4,0),(4,0)；

(2)存在,12或-4；

(3)12或-68.

【分析】(1)根據(jù)立方根的性質(zhì)，算術(shù)平方根的性質(zhì)可得a,6的值，即可求解；

(2)設(shè)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為加，然后分兩種情況討論：當(dāng)P在3C上方時(shí)，當(dāng)在8c下方時(shí)，結(jié)合

SABCP=S&PDC+S&PDB,即可求解；

(3)分兩種情況討論：當(dāng)。在/C右側(cè)時(shí)，當(dāng)。在NC左側(cè)時(shí)，即可求解.

【詳解】(1)解：a=必-64，(〃)=4,

a=—4,6=4,

.?./(-4,0),8(4,0)；

故答案為：(-4,0),(4,0)

(2)解：存在，

設(shè)尸點(diǎn)縱坐標(biāo)為根.

當(dāng)尸在8c上方時(shí)，PD=m-4,

°0°PD/\PDPDPD77/、

^/\BCP=^APDC+^PLB-Z-(Xc)+~T~XB3—-4—PDm4),

乙乙乙乙乙乙

?*S&ABC~34B-yc=28,SABCP=S2ABC，

7

—(m-4)=28,解得：加=12；

當(dāng)在8C下方時(shí)，PD=4—m,

S/\BCP=S4PDC+pm=7.(-Xc),XB=胃又3B](4-m),

乙乙乙乙乙乙

**S^ABC=3"B,Pc=28,^ABCP=^/\ABC，

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7

—（4-m）=28,解得：m=-4.

綜上：。點(diǎn)縱坐標(biāo)為12或-4.

（3）解：當(dāng)。在/C右側(cè)時(shí)，m>0,

過。左?！ㄝS于“，連接C”,

=S/\AHC+SAQCH-S△勿日

(4+m)-7n?(m+3)(m+4)-n

222

-7m-n

=14+--------,

2

???三角形。4。的面積為20,

/.lm-n=12；

當(dāng)。在4c左側(cè)時(shí)，m<0,

過。左。G_Lx軸于“，連接CG,

=S/\AGC+S^QCG~S△%G

（一4一冽）?7〃?（一3一加）（一4一冽）?幾一(7加一〃)

---------------1---------------------------------------^-14,

2222

???三角形QZC的面積為20,

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.-(7m

--------^—14=20,

2

7m-n=-68；

綜上所述，7/-〃的值為12或-68.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了立方根的性質(zhì)，算術(shù)平方根的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，利用分類討論思想解答是解題

的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023春?廣東湛江?七年級?？计谥?如圖所示，/(TO),點(diǎn)B在無軸上，且/3=3.

(1)求點(diǎn)3的坐標(biāo)；

(2)求三角形的面積；

(3)在了軸上是否存在點(diǎn)P,使以A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為10?若存在，請直接寫出點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴(2,0)或(TO)；

⑵6;

(3)存i在,(20,旬201或』［八。，不20］、

【分析】(1)分點(diǎn)B在點(diǎn)A的左邊和右邊兩種情況解答；

(2)利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；

(3)利用三角形的面積公式列式求出點(diǎn)P到軸的距離，然后分兩種情況寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)即可.

【詳解】⑴如圖，

當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊時(shí)，-1+3=2,

當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左邊時(shí)，-1-3=-4,

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所以B的坐標(biāo)為(2,0)或(-4,0)；

(2)“8C的面積=—x3x4=6,

2

答：的面積為6；

(3)設(shè)點(diǎn)P到無軸的距離為〃，

解得/，號，

當(dāng)點(diǎn)尸在V軸正半軸時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)P在了軸負(fù)半軸時(shí)，｛°，一?)

綜上所述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為或[0,-1]

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，三角形的面積公式，分類討論，坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間的距離公式等有關(guān)

知識；能求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵.

【類型四平面直角坐標(biāo)系中動點(diǎn)移動問題】

例題：(2023秋?遼寧盤錦?九年級?？奸_學(xué)考試)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動點(diǎn)沿箭頭所示的方向，

依次得到點(diǎn)＜(0，1),￡(1，1),月(1，0)，4(1，T),月(2,T),…，則6023的坐標(biāo)是.

-O~瓦—耳下s-x

一光點(diǎn)一%

【答案】(674,1)

【分析】由圖可得，4(0,1),1(2,4),6(3,0),斗(4,0),…，當(dāng)”能夠被3整除時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為￡($0),

根據(jù)2022+3=674得￡。22(674,0),點(diǎn)按“上一右一下一下1右一上”6次一循環(huán)，則2023+6=337…1,根據(jù)

點(diǎn)^2023在點(diǎn)P2022的上方，即可得.

【詳解】解:由圖可得，4(0,1),"(2,4),片(3,0),匕(4,0)，…

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當(dāng)〃能夠被3整除時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為月(§,0),

V2022+3=674,

:.^022(674,0),

二?按”上一右一下一下一右一上”6次一循環(huán)，

2023+6=337…1,

,點(diǎn)423在點(diǎn)鳥022的上方,

與23(674,1)

故答案為：(674,1).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，解決問題的關(guān)鍵找出圖形的變化規(guī)律.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023春?江蘇?七年級統(tǒng)考期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)4從(1,0)出發(fā)，向上運(yùn)動1個(gè)單位

長度到達(dá)點(diǎn)30,1),分裂為兩個(gè)點(diǎn)，分別向左、右運(yùn)動到點(diǎn)C(0,2),。(2,2),此時(shí)稱動點(diǎn)/完成第一次跳

躍；再分別從C,。點(diǎn)出發(fā)，每個(gè)點(diǎn)重復(fù)上面的運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)G(-L4),“(1,4),/(3,4),此時(shí)稱動點(diǎn)N完

成第二次跳躍；依此規(guī)律跳躍下去，動點(diǎn)N完成第2023次跳躍時(shí)，最右邊一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是()

7

A.(2023,4046)B.(2023,22023)C.(2024,4046)D.(2024,22023)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意找到點(diǎn)坐標(biāo)變化的規(guī)律即可.

【詳解】解：由題意可得：/(1，0)、0(2,2)、/(3,4)...

每完成一次跳躍，最右邊一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)增加2,到達(dá)點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加1,

則動點(diǎn)/完成第2023次跳躍時(shí)，最右邊一個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為2023x2=4046,橫坐標(biāo)為：2023+1=2024

初中教學(xué)

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律的探索.根據(jù)題意尋找變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

2.（2023春?重慶?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中方向排列,

（3,0）,…，根據(jù)規(guī)律探索可得，第40個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（)

C.(9,4)D.(9,5)

【答案】D

【分析】由題意知，把第一個(gè)點(diǎn)（1，0）作為第一列，（2,0）,（2,1）作為第二列，（3,2）,（3,1）,（3,0）作為第三列,

進(jìn)而可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第〃列有〃個(gè)數(shù)，則〃列共有女士。個(gè)數(shù)，且奇數(shù)列的點(diǎn)的順序由上到下，偶

2

數(shù)列點(diǎn)的順序由下到上，由的（8+11=36,可知第40個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)在第9歹!],從上往下第4個(gè)點(diǎn)，進(jìn)而可求

2

點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：由題意知，把第一個(gè)點(diǎn)（1，0）作為第一列，（2,0）,（2,1）作為第二列,（3,2）,（3,1）,（3,0）作為第

三列，

進(jìn)而可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第〃列有〃個(gè)數(shù)，貝獷列共有出土D個(gè)數(shù)，且奇數(shù)列的點(diǎn)的順序由上到下，偶

2

數(shù)列點(diǎn)的順序由下到上，

..8x（8+l）

?---------，

2

???第40個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)在第9列，從上往下第4個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)為（9,5）,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)規(guī)律的探究.解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)出一般性規(guī)律.

3.（2023春?黑龍江哈爾濱?八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，水平向

左平移1個(gè)單位長度，再豎直向下平移1個(gè)單位長度得點(diǎn)6（-1,-1）；接著水平向右平移2個(gè)單位長度，再

豎直向上平移2個(gè)單位長度得到點(diǎn)A；接著水平向左平移3個(gè)單位長度，再豎直向下平移3個(gè)單位長度得

初中教學(xué)

到點(diǎn)A；接著水平向右平移4個(gè)單位長度，再豎直向上平移4個(gè)單位長度得到點(diǎn)心，…，按此作法進(jìn)行下

去，則點(diǎn)鳥⑵的坐標(biāo)為

【答案】（一1。12,-1012）

【分析】對奇數(shù)點(diǎn)，偶數(shù)點(diǎn)分開討論，找出點(diǎn)坐標(biāo)與序數(shù)的關(guān)系，總結(jié)規(guī)律求解.

【詳解】解：＜（T,T），T=-一；

6（1,1），1=全2

4（一2,一2）,-2=_券；

4

心（2,2）,2=-；

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí),

.2023+12023+1

即

**^2023(，2^023(-1012,-1012).

故答案為：(-1012,-1012).

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索，由開始的幾個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵，注意分開討論.

4.（2023春?四川內(nèi)江?八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，次1,1）,3（-L—2）,。（1,—2）把一

條長為。個(gè)單位長度且沒有彈性的細(xì)線（線的粗細(xì)忽略不計(jì)）的一端固定在點(diǎn)/處，并按

Z-2…的規(guī)律緊繞在四邊形/BCD的邊上.

（1）當(dāng)。=12時(shí)，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是

（2）當(dāng)。=2023時(shí)，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是

初中教學(xué)

【答案】(-1,1)(-1,0)

【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出四邊形4HCD的周長，然后求出另一端是繞第幾圈后的第幾個(gè)單位長度，從

而確定答案.

【詳解】解：5(-1,1),C(-l,-2),￡>(1,-2),

AB=2,BC=3,CD=2,DA=3,

，四邊形48co的周長為2+3+2+3=10,

細(xì)線繞一圈的長度為10,

；12+10=1…2,

...當(dāng)。=12時(shí)，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)與點(diǎn)5重合，坐標(biāo)為：(-1,1)；

2023+10=202…3,

...當(dāng)。=2023時(shí)，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)在點(diǎn)3下方1個(gè)單位長度處，即為：(-1,0)；

故答案為：(T,l),(-1,0);

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，點(diǎn)的規(guī)律探究，解題的關(guān)鍵是求出四邊形/BCD的周長。

【類型五平面直角坐標(biāo)系中圖形翻轉(zhuǎn)問題】

例題：(2023秋?浙江?九年級專題練習(xí))如圖所示，長方形N8CD的兩邊8C、CD分別在x軸、y軸上，點(diǎn)C

與原點(diǎn)重合，點(diǎn)/(-1，2),將長方形Z8CD沿x軸無滑動向右翻滾，經(jīng)過一次翻滾，點(diǎn)/的對應(yīng)點(diǎn)記為4,

經(jīng)過第二次翻滾，點(diǎn)/的對應(yīng)點(diǎn)記為4;……，依次類推，經(jīng)過第2023次翻滾，點(diǎn)/的對應(yīng)點(diǎn)4。23的坐標(biāo)

為()

初中教學(xué)

A---D:

J?；

???

A.（3032,1）B.（3033,0）C.（3033,1）D.（3035,2）

【答案】B

【分析】觀察圖形即可得到經(jīng)過4次翻滾后點(diǎn)/對應(yīng)點(diǎn)一個(gè)循環(huán)，求出2023+4的商，從而解答本題.

【詳解】解:觀察圖形得，4（2,1）,4（3,0）,4（3,0）,4（5,2）,

經(jīng)過4次翻滾后點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)一個(gè)循環(huán)，

2023+4=505…3,

?.?點(diǎn)長方形的周長為：2（1+2）=6,

,經(jīng)過505次翻滾后點(diǎn)N對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（6x505-1,2）,即（3029,2）.

加的坐標(biāo)為（3033,0）.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查探究點(diǎn)的坐標(biāo)的問題，解題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)的變化規(guī)律.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?重慶九龍坡?七年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，△。尸。是直角三角形，點(diǎn)。為直角頂點(diǎn)，已知點(diǎn)尸（j,。），2（0,2）,PQ=3,將△OP0按如

圖方式在x軸負(fù)半軸上向左連續(xù)翻滾，依次得到包、勺、勺、則丫2叱的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）

【答案】B

【分析】觀察圖形，從7到與經(jīng)過的路程恰好為△OP0的周長，據(jù)此即可求解.

初中教學(xué)

35

【詳解】解：由題意得：從7到與經(jīng)過的路程恰好為△。尸。的周長：2+|+|=6

故G的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：-6；的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：-6

同理：從到丫6經(jīng)過的路程恰好為：2X[2+|+|]=12

故Vf的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：-12；V7的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：-6

；.、、△,、V7..............V1+3”的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：0,-6,-12,…,-6〃

■?V=v

?,2026,1+3x675

:.v2026的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：-6X675=-4050

「V2026與V2025的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同

故V2025的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-4050

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與規(guī)律.根據(jù)題意確定坐標(biāo)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

2.(2022?黑龍江大慶?大慶外國語學(xué)校校考模擬預(yù)測)如圖，將邊長為1的正方形04PB沿x軸正方向連續(xù)

翻轉(zhuǎn)2019次，點(diǎn)尸依次落在點(diǎn)用七月，心的位置，則419的橫坐標(biāo)為()

yk

P

PB\—P4

----------——"r■—二——二——r

、I、I、INI

、￡、￡、￡、堂…

_]______711>

A\OP^)x

A.2019B.2018C.2017D.2016

【答案】B

【分析】觀察圖形和各點(diǎn)坐標(biāo)可知：點(diǎn)尸到C要翻轉(zhuǎn)4次為一個(gè)循環(huán)，尸到與橫坐標(biāo)剛好加4,尸到名處橫

坐標(biāo)加3,按照此規(guī)律，求出々ng的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出答案.

【詳解】解：由題意可知：點(diǎn)尸到心要翻轉(zhuǎn)4次為一個(gè)循環(huán)，尸(-1,1),耳(1,1),￡(2,0),月(3,0),不(3,0),

心(5,1)，

初中教學(xué)

尸到與橫坐標(biāo)剛好加4,尸到5處橫坐標(biāo)加3,

2019+4=504...3,

504x4-1=2015,

2015+3=2018,

Egg的橫坐標(biāo)2018,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，解題關(guān)鍵是根據(jù)各點(diǎn)坐標(biāo)和題意，找出坐標(biāo)規(guī)律.

【類型六平面直角坐標(biāo)系中新定義型問題】

例題：(2022秋?湖南常德?八年級統(tǒng)考期末)在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)尸(xj),我們把點(diǎn)尸'(-y+l,x+l)

叫做點(diǎn)P伴隨點(diǎn).己知點(diǎn)4的伴隨點(diǎn)為4,點(diǎn)4的伴隨點(diǎn)為4,點(diǎn)4的伴隨點(diǎn)為4,…，這樣依次得到

點(diǎn)4，4,4，…，An,....若點(diǎn)4的坐標(biāo)為(2,4),點(diǎn)4。23坐標(biāo)為()

A.(-3,3)B.(-2,-2)C.(3,-1)D.(2,4)

【答案】B

【分析】根據(jù)“伴隨點(diǎn)”的定義依次求出各點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)，每4個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2022除以4,

根據(jù)商和余數(shù)的情況確定點(diǎn)4O23的坐標(biāo)即可.

【詳解】解：4的坐標(biāo)為(2,4),

(-3,3),4(-2,-2),4(3,—1),4(2,4),

依此類推，每4個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循環(huán)依次循環(huán)，

2023+4=505…3,

...點(diǎn)4O23的坐標(biāo)與4的坐標(biāo)相同，為(-2,-2).

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的變化規(guī)律，讀懂題目信息，理解“伴隨點(diǎn)”的定義并求出每4個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循序組依次

循環(huán)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

初中教學(xué)

1.(2023春?河南漂河?七年級統(tǒng)考期末)在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)尸(xj),我們把點(diǎn)尸3-1,-x-l)叫

做點(diǎn)P的友好點(diǎn)，已知點(diǎn)4的友好點(diǎn)為點(diǎn)4，點(diǎn)4的友好點(diǎn)為點(diǎn)4，點(diǎn)4的友好點(diǎn)為點(diǎn)4...........以此類

推，當(dāng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為(2,1)時(shí)，點(diǎn)4。23的坐標(biāo)為()

A.(2,1)B.(0,-3)C.(_4,—1)D.(-2,3)

【答案】C

【分析】根據(jù)4的坐標(biāo)為(2,1)和友好點(diǎn)的定義，順次寫出點(diǎn)4、4、4、4的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律，即

可求解.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為(2,1)時(shí)，點(diǎn)4的友好點(diǎn)過的坐標(biāo)為(0,-3),

點(diǎn)4的友好點(diǎn)4的坐標(biāo)是(-4,-1),

點(diǎn)4的友好點(diǎn)4的坐標(biāo)是(-23,

點(diǎn)4的友好點(diǎn)4的坐標(biāo)是(2/)，

……以此類推，

.??4用(2,1),4,式0,-3),4”+3(-4廠1),4+4(-2,3)(〃為自然數(shù))，

2023=505x4+3,

點(diǎn)為23的坐標(biāo)為(-4,-1),

故選：C

【點(diǎn)睛】此題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，從已知條件得出循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

2.(2023春?河北張家口?七年級統(tǒng)考期末)己知點(diǎn)￡(%,%),尸(積力)，點(diǎn)為)是線段E尸的中點(diǎn)，

則為="^,在平面直角坐標(biāo)系中有三個(gè)點(diǎn)5(-1,-1),C(0,l),點(diǎn)*0,2)關(guān)于A

的對稱點(diǎn)為4(即尸，A,《三點(diǎn)共線，且尸/=[/),片關(guān)于8的對稱點(diǎn)為鳥，鳥關(guān)于C的對稱點(diǎn)為月，

按此規(guī)律繼續(xù)以A,B,C為對稱點(diǎn)重復(fù)前面的操作，依次得到月，P5,P6,則點(diǎn)6023的坐標(biāo)是.

【答案】(2,-4)

【分析】根據(jù)題意，可求得點(diǎn)4至點(diǎn)累的坐標(biāo)，觀察各點(diǎn)坐標(biāo)，可知每6個(gè)點(diǎn)循環(huán)一次，即可求得點(diǎn)￡。23的

坐標(biāo)與已知某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)相同.

初中教學(xué)

【詳解】設(shè)點(diǎn)［的坐標(biāo)為（X/）.

根據(jù)題意，得

0+x

----二1

V2

2+歹1

----二—1

I2

解得

（x=2

V=-4

所以，點(diǎn)4的坐標(biāo)為⑵-4）.

同理可得心（-4,2）,8（4,0）,乙（一2,-2）,月（0,0）,4（0,2）.

觀察各點(diǎn)坐標(biāo)可知，點(diǎn)尸至點(diǎn)月為一個(gè)循環(huán)，即每6個(gè)點(diǎn)循環(huán)一次.

...點(diǎn)￡。23的坐標(biāo)與點(diǎn)4的坐標(biāo)相同.

...點(diǎn)心陪的坐標(biāo)是（2,口）.

故答案為：（2,-4）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意求得某點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).

3.（2023上?陜西西安?八年級西安市第二十六中學(xué)校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系xQ