北京市延慶區(qū)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間口,2]上的平均變化率最大的是（）

A.y=x3B.y=2x+lC.y=2XD.y=log,x

2.已知函數(shù)/（x）=等,則/停的值為（）

smx12J

A.0B.1C.-1D.兀

3.已知函數(shù)/（尤）的導(dǎo)函數(shù)/'（x）=，+l）e、.則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.H2）＜f（e）＜/（7t）B./（7t）＜/（e）＜/（2）

C./（e）＜/（2）＜/（7i）D./（2）＜/（7i）＜/（e）

4.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.，％+々=0,/+%=8,則S?的值為（）

A.21B.22C.24D.35

5.已知曲線廣。尤+111尤在點(diǎn)處的切線方程為了=2x+b,貝同值為（）

A.0B.-1C.1D.2

6.下列函數(shù)中，圖象存在與x軸平行的切線的是（）

A.y=x+2xB.y=y[xC.y=x-\nxD.y=cosx+2x

7.若（l+2x）4=a（）-24x+4a2--8%x3+16。4》4,則%+g+%+%=（）

A.0B.-1C.81D.80

8.設(shè)也J是公比為4的等比數(shù)列，則“q＞1”是“｛%｝為遞增數(shù)歹廣的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.若函數(shù)/（無）=卜‘一兄”＜1有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

[-a-x,x＞l

A.1”[B.C.[*）D.（-=o,e）

試卷第1頁，共4頁

1,

10.已知數(shù)列｛叫滿足%+［=］（?！?5）3+5（〃=1,2,3,…），則（）

A.當(dāng)4=2時(shí)，｛%｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)MW0,使得?！?gt;屈恒成立

B.當(dāng)q=4時(shí)，｛%｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M<5,使得。恒成立

C.當(dāng)為=6時(shí)，｛%｝為遞減數(shù)列，且不存在常數(shù)M25,使得%>W恒成立

D.當(dāng)q=8時(shí)，｛°,｝為遞增數(shù)列，且不存在常數(shù)M>0,使得%恒成立

二、填空題

11.在（辦-1］的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)為-20,則。的值為.

12.2016年11月30日，中國的“二十四節(jié)氣”被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文

化遺產(chǎn)代表作名錄.二十四節(jié)氣不僅是一種時(shí)間體系，更是一套具有豐富內(nèi)涵的生活與民俗

系統(tǒng).《傳統(tǒng)廿四節(jié)氣歌》中的“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連；秋處露秋寒霜降，冬雪

雪冬小大寒”，每一句詩歌的開頭一字代表著季節(jié)，每一句詩歌包含了這個(gè)季節(jié)中的6個(gè)節(jié)

氣.某個(gè)小組在參加“跟著節(jié)氣去探究”綜合實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，要從24個(gè)節(jié)氣中選擇2個(gè)節(jié)氣，則

2個(gè)節(jié)氣恰好在同一個(gè)季節(jié)的概率為.

13.已知1,%，〃是公比不為1的等比數(shù)列，將1,相，〃調(diào)整順序后可構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，

則滿足條件的一組機(jī)，〃的值依次為.

14.已知函數(shù)/■3="3+而+0工在點(diǎn)/處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù)了=/'@）的圖象經(jīng)過點(diǎn)

（1,0）,（2,0）,如圖所示則/=；a-b-c=.

15.已知函數(shù)/'@）=6'+"門.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)a=l時(shí)，/⑺在區(qū)間上單調(diào)遞增；

②當(dāng)°=-1時(shí)，f（x）有最小值；

試卷第2頁，共4頁

③當(dāng)時(shí)，設(shè)/（X）的零點(diǎn)從大到小依次為4，馬,無3,…，則對(duì)任意正整數(shù)3都有

%一%+]〈兀；

JT

④存在°,使得/（X）在-2無，5上有四個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題

16.已知函數(shù)/（X）=-尤2-3式-1.

⑴求曲線y=在x=0處的切線方程；

⑵求函數(shù)/（X）在區(qū)間12,1]上的最大值和最小值；

⑶若函數(shù)g（x）=〃x）-c有三個(gè)零點(diǎn)，直接寫出c的取值范圍.

17.在V/BC中，a+c=15,sin?/+sin。8=sin2C+sin/sin8.

⑴求/C；

（2）再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得VABC存在，求V48c

的面積.

條件①：cosB=----；

2

條件②：8=3；

條件③：cos/=-；.

注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.某市在高中階段舉辦“傳統(tǒng)文化知識(shí)競賽”，全體高中生參與了此次活動(dòng).現(xiàn)從參賽學(xué)生

中隨機(jī)抽取了男、女各20名學(xué)生，將他們的成績（單位：分）按[0,60）,[60,70）,[70,80）,

[80,90）,[90,100]五個(gè)分?jǐn)?shù)段進(jìn)行分組，統(tǒng)計(jì)如下：

成績[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

男生人數(shù)141032

女生人數(shù)44444

試卷第3頁，共4頁

(1)在抽取的40名學(xué)生中，從成績在80分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求恰好男、女生

各1人，且2人分?jǐn)?shù)段不同的概率；

(2)從該市參賽的男生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)成績在80分及以上的人數(shù)為X,用頻率估計(jì)概率,

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)從該市參賽的女生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)成績在80分及以上的人數(shù)為匕用頻率估計(jì)概率,

試比較y的方差。(丫)與(2)中X的方差。(X)大小.(結(jié)論不要求證明).

19.已知橢圓C：￡+匕=1伍>，>0)的離心率為"且經(jīng)過點(diǎn)40,-1).

(1)求橢圓。的方程；

⑵若過點(diǎn)(1,0),斜率為左的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)bD,且與直線了=1交于點(diǎn)￡,

點(diǎn)。在線段(不包括兩端點(diǎn))上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線￡。與直線N8,分別交于點(diǎn)

S,

M,N,若△CM"和AO/N的面積為E和$2，求：丁的值.

20.已知函數(shù)[(x)=x+ln(-x+a),其中a>0.

⑴當(dāng)。=2時(shí)，寫出/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若函數(shù)/(x)的極大值為0,且對(duì)Vxe(-s,0],/卜"小/<0)成立，求實(shí)數(shù)上的最大

值；

(3)若過原點(diǎn)至少存在1條直線與曲線>=/(x)相切，求。的取值范圍.

21.已知N：可,出，…，a"("》2,〃eN*)為有窮實(shí)數(shù)數(shù)列.對(duì)于實(shí)數(shù)x,若/中存在％ai+l,

ai+2>…,ai+j(ZeN,,jeN),使得％■+%“2+…+%+,=x,則稱x為/的連續(xù)可表數(shù)，

將所有/的連續(xù)可表數(shù)構(gòu)成的集合記作S(N).

⑴設(shè)數(shù)列/：1,2,3；B-.1,1,1,2,寫出5(4)和5(8).

⑵是否存在數(shù)列4滿足5(/)={2,3,4,5,6},若存在，求出所有數(shù)列/,若不存在，說明理

由；

(3)求出所有的整數(shù)根，使得存在數(shù)列4,滿足$(/)={〃?,〃?+1,加+2,必+3,刃+4}.

試卷第4頁，共4頁

參考答案

題號(hào)12345678910

答案ACADBCBDAD

11.1

5

12.—

23

13.(或-2,4)(兩組任寫一組即可)

24

14.1-1

15.①④

16.(1)因?yàn)?(x)=§為3—無~—3x—1,

所以廣(力=--2》-3；/(O)=-l,r(0)=-3,

所以曲線>=f(x)在x=0處的切線方程為3x+y+l=0.

(2)令/'(x)=0,即/'("=/_2丫-3=0,解得玉=一1或苫2=3,

在區(qū)間［-2,1］上,〃尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,-1),遞減區(qū)間為(-U),

.a/(l)=-y,/'(-2)=-|>〃T)=|；

所以當(dāng)x=-l時(shí)，最大值為

14

所以當(dāng)X=1時(shí)，最小值為〃1)=-卞

(3)c的取值范圍為

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=/(x)-c有三個(gè)零點(diǎn)，所以方程/(x)=c有三個(gè)根.

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得/'(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+l).

當(dāng)x〉3或x<-l時(shí)，/z(x)>0；當(dāng)一1<%<3時(shí)，/z(x)<0.

所以函數(shù)/(%)在(-叫T),(3,+8)單調(diào)遞增，在(-1,3)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x->_oo時(shí)，-CO；=y；/(3)=9-1-9-9=-10；當(dāng)尤.+00時(shí)，f(x)->+oo

畫出圖象為：

答案第1頁，共7頁

要使函數(shù)g(x)=/(x)-c有三個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為，10,g

17.(1)由已矢口sin?/+sin?5=sin?。+sin/sin5,

根據(jù)正弦定理可知/+〃=，+M,

Q2+62_02￡

則cosC=

lab2

又?！?0,兀),

則C=？；

(2)若選條件①：

cosB=-,Bw(0,7i),

.3竺

3

此時(shí)5+。=兀，不滿足三角形性質(zhì)，

即此時(shí)V/BC不存在；

若選條件②：

由(1)得/+62=02+46,且6=3,a+c=15,

貝U。=8,c=7,

所以S4ABe=sinC=；x8x3x-y-=6樞.

若選條件③：

由COS/=-',G(0,7l)

貝！JsinA=Vl-cos2A=，

7

/7C

由正弦定理可知一_；=「；，

sinAsinC

ac

即4V1一B，

答案第2頁，共7頁

又a+c=15,

解得a=8,c=7,

又在VNBC中，

3J3

sin5=sin（4+C）=sin/cosC+cos/sinC=,

所以國,RC=-acsin5=—x8x7x-——=6G.

VABC2214

18.（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，成績在80分及以上的學(xué)生共13人，

設(shè)事件/為“恰好男、女生各1人，且兩人分?jǐn)?shù)段不同”，分兩種情況：

①男生在［80,90）女生在［90,100］：C?；②男生在［90,100］女生在［80,90）：C；C；.

總的組合數(shù)：C〉所以：

（）-CC+C；CL20J0

（）/7839,

（2）X的所有可能取值為0,1,2,3.

用頻率估計(jì)概率，從該市參賽的男生中隨機(jī)抽取1人，成績在80分及以上的概率為;,

p（x=0）可估計(jì)為g［=M，尸（X=1）可估計(jì)為c；Q=普，

尸（X=2）可估計(jì)為C；3P（X=3）可估計(jì)為C；［小:

所以X的分布列為

X0123

272791

P

64646464

2727913

￡（x）可估計(jì)為oX——+1X—+2x——+3x——二

646464644

1q

或者因?yàn)閄-83,,所以E（X）可估計(jì)為3x；=j

QO

（3）女生中80分及以上頻率為茄=二

139

Q(X)=3x—x—=—

v74416

^(y)=3x|x|=||

答案第3頁，共7頁

因?yàn)?/p>

所以。(x)<o(y).

19.(1)橢圓。的離心率為弓，且經(jīng)過點(diǎn)4(0,-1),

6=1,

h2

所以￡=一，解得片=4,"=1.則橢圓C的方程為土+「=1.

a24

a2=b2+c2,

(2)過點(diǎn)(1,0),斜率為后的直線方程為了=左卜-1)(左HO).

;tu=。得(…)

由x2-8k2x+4k2-4=0

因?yàn)?1,0)在橢圓內(nèi)，所以A>0.

設(shè)8(再,必)，。(超，%)，貝!1占+%=^,XjX2=-~

4k+14k+1

直線N3的方程為：>="里直線4D的方程為：>=三擔(dān)x-1,

占

在直線方程V=Mx-f)信20)中，令了=1,得x=l+。，E

直線￡。的方程為：y=Ex.

k+\

k

V—______JQ

k+1彳曰二（左+1）.二（左+1）（

22

"（左+1）（必+1）—砧kxx-k+l'

（后+1）12

同理得/=

k?X?—左2+1

./,\2/（4/-4）（1-左2）8左2

2kxix2+（1—左+工2）=-----------------+------4——

12,八12）4左2十14左2十1

8左4—8左2—8左4+8左2

0-U，

4r+1

所以無知+0=0,即點(diǎn)。為線段7W中點(diǎn),

答案第4頁，共7頁

20.(1)當(dāng)Q=2時(shí)，f(x)=x+In(―x+2),定義域(-8,2),

則/'(力=1一1^=151，令/'(x)>0,得x<l,

所以;■(%)的單調(diào)遞增區(qū)間是

(2)由題意，函數(shù)/(X)定義域?yàn)?F,°),/-(x)=l一—L「一"),

—X+ClX—U

當(dāng)X<"1時(shí)，r(x)>0,/(X)單調(diào)遞增；當(dāng)a-l<x<a時(shí)，/'(x)<0,/(尤)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=“-l時(shí)，/(x)取極大值，即/(a-l)=a-l-lnl=0,所以。=1.

對(duì)任意的尤e(-°°,0],/(無"小成立，即對(duì)任意的xe(-oo,0],Ax2-ln(-x+l)-x<0,

記g(x)=^2-ln(-x+l)-x,XG(-CO,0],

%+1

-2kxx—

則gL+，-i=上也出刊

17-x+1-x+1—x+1

①一、(人<0時(shí)，止匕時(shí)」一+l<0,

22k

當(dāng)4+1。<0時(shí)，g，(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x<q~+l時(shí)，g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

2k2k

所以當(dāng)尤=5+1時(shí)，g(x)取極大值也是最大值，g(^)max=gf^r+iVg(o)=o,不符合題

②當(dāng)上《一工時(shí)，此時(shí)-L+iwo,

22k

當(dāng)x<0時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x40時(shí)，g(x)<g(O)=O,符合題意，

綜上可得”所以實(shí)數(shù)上的最大值為一

答案第5頁，共7頁

(3)當(dāng)。=1時(shí)，/(0)=0,曲線y=f(x)過原點(diǎn)，存在至少一條切線.

當(dāng)awl時(shí)，過原點(diǎn)作曲線V=〃x)的切線，切點(diǎn)設(shè)為(％,/(%)),x°wO,

,1-x+a-l,、-x+a-\x+ln(-x+a)

/'(尤A)=1----------=-------------,(x<4)，所以--0-------=--0--------0---

—

—X+Cl—X+ClXg+QXQ

要使過原點(diǎn)作曲線了=/(x)的切線，至少存在一條，

則方程f。+aT=X。+ln(f。+。)至少存在一個(gè)解,即一2一一ln(_x°+a)=O至少存在一個(gè)

-x0+ax0xQ-a

解，

令加(％)=----In％+q),x<a,

所以，當(dāng)x<0時(shí)，mr(x)>0,加(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0cx<〃時(shí)，mr(x)<0,冽(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)％=0時(shí)，加(%)最大值為冽(O)=Tna,

V

要冽(x)=--------In(—x+a)=0至少一個(gè)解，貝！J-Ina>0,即0<a<1,

x—ci

此時(shí)，冽(0)=—lna>0,m(-e+a}=e+a-1=--<0,m(x)=0在(—e+a,0)存在一個(gè)解.

-ee

綜上，tie(0,1].

21.(1)數(shù)列/：1,2,3,所有4的連續(xù)可表數(shù)構(gòu)成的集合S(/),

貝U4=1,。2=2,%=3；%+出=3,%+=5,%+%+%=6,

則S(z)={1,2,3,5,6},同理可得S(2)={1,2,3,4,5}.

(2)若數(shù)列/：4,a2,a,滿足S(/)={2,3,4,5,6},不妨設(shè)/Va2V…V4.

假設(shè)數(shù)列/只有兩項(xiàng)，則S(/)中至多3個(gè)元素，這與S(Z)中有5項(xiàng)矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，

所以數(shù)列/至少3項(xiàng)，即“23,〃eN.

因?yàn)閿?shù)列/：%,g，…，中任意一項(xiàng)都屬于S(N)={2,3,4,5,6},

所以。/2。=1,2,…,〃)，所以q+/+—+%=622〃，解得“W3,所以〃=3；

答案第6