第1講計數(shù)原理與概率

［考情分析］1.主要考查兩個計數(shù)原理、排列、組合的簡單應用，時常與概率相結合，以選擇

題、填空題為主2二項式定理主要考查通項公式、二項式系數(shù)等知識，近幾年也與函數(shù)、不

等式、數(shù)列交匯考查.3.概率重點考查古典概型、條件概率的基本應用.

考點一排列與組合問題

【核心提煉】

解決排列、組合問題的一般過程

（1）認真審題，弄清楚要做什么事情；

⑵要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時進行，確定分多少步及多少類；

（3）確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少元

素.

例1（1）甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申請在國慶期間到A,B,C三個路口協(xié)助交警值勤,

他們申請值勤路口的意向如下表：

交通路口ABC

志愿者甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁

這4名志愿者的申請被批準，且值勤安排也符合他們的意向，若要求A,B,C三個路口都要

有志愿者值勤，則不同的安排方法有（）

A.14種B.11種

C.8種D.5種

答案B

解析由題意得，

以C路口為分類標準：C路口值勤分得人數(shù)情況有2種，兩個人或一個人，

若C路口值勤分得人數(shù)為2,丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在A,B路口值勤，此時有

兩種安排方法.

若C路口值勤分得人數(shù)為1,丙或丁在C路口，具體情況如下.

丙在C路口：

A（?。?（甲乙）C（丙）；

A（甲?。?（乙）C（丙）；

4乙?。?（甲）C（丙）.

丁在C路口：

A（甲乙）3（丙）C（丁）；

4（丙）B（甲乙）C（?。?/p>

A（甲丙）8（乙）C（?。?；

A（乙）8（甲丙）C（?。?/p>

A（乙丙）8（甲）C（?。?；

A（甲）8（乙丙）C（?。?

所以一共有2+3+6=11（種）安排方法.

（2）（2022?衡陽模擬）2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四

節(jié)氣的方式開始倒計時，創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾，某中學為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化,

特制作出“立春”、“驚蟄”、“清明”、“立夏”、“芒種”、“小暑”六張知識展板分

別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“驚蟄”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚

蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？（）

A.192B.240C.120D.288

答案A

解析由題意得，只考慮“立春”和“驚蟄”時，利用捆綁法得到ASA?=240（種），

當“立春”和“驚蟄”相鄰，且“清明”與“驚蟄”也相鄰時，有2種排法，即“驚蟄”在

中間，“立春”“清明”分布兩側，此時再用捆綁法，將三者捆在一起，即2AM=48（種），

所以最終滿足題意的排法為240—48=192（種）.

規(guī)律方法排列、組合問題的求解方法與技巧

（1）合理分類與準確分步；（2）排列、組合混合問題要先選后排；（3）特殊元素優(yōu)先安排；（4）相

鄰問題捆綁處理；（5）不相鄰問題插空處理；（6）定序問題除法處理；（7）“小集團”排列問題先

整體后局部；（8）正難則反，等價轉化.

跟蹤演練1（1）2021年1月18號，國家航天局探月與航天工程中心表示，中國首輛火星車

全球征名活動已經(jīng)完成了初次評審.評審委員會遴選出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求

索、風火輪、追夢、天行、星火共1。個名稱，將其作為中國首輛火星車的命名范圍.某同學

為了研究這些初選名稱的涵義，計劃從中選3個名稱依次進行分析，其中有1個是祝融，其

余2個從剩下的9個名稱中隨機選取，則祝融不是第3個被分析的情況有（）

A.144種B.336種

C.672種D.1008種

答案A

解析選取的3個名稱中含有祝融的共有C8種不同的情況.分析選取的3個名稱的不同情況

有A?種，其中祝融是第3個被分析的情況有A3種，故祝融不是第3個被分析的情況有C8（A§

一A》=144（種）.

（2）（2022?廣東聯(lián)考）現(xiàn)要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國家高山滑雪館、國家速滑館、首

鋼滑雪大跳臺三個場館參加活動，要求每個場館都有人去，且這四人都在這三個場館，則甲

和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數(shù)為（）

A.12B.14C.16D.18

答案B

解析因為甲和乙都沒去首鋼滑雪大跳臺，則安排方法分兩類：

若有兩個人去首鋼滑雪大跳臺，則肯定是丙、丁，即甲、乙分別去國家高山滑雪館與國家速

滑館，

有A夕=2（種）;

若有一個人去首鋼滑雪大跳臺，從丙、丁中選，有&=2（種），然后剩下的一個人和甲、乙被

安排去國家高山滑雪館與國家速滑館，有CgA3=6（種），則共有2義6=12（種）.綜上，甲和乙

都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數(shù)為12+2=14.

考點二二項式定理

【核心提煉】

1.求二項展開式中特定項或項的系數(shù)問題的思路

（1）利用通項公式將幾+i項寫出并化簡.

（2）令字母的指數(shù)符合要求（求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等），解出左

（3）代回通項公式即得所求.

2.對于兩個因式的積的特定項問題，一般對某個因式用通項公式，再結合因式相乘，分類討

論求解.

例2（1）（2022?新高考全國I）（1一y。十）08的展開式中x2/的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

答案一28

解析（%+y）8展開式的通項/+1=d代一歲，k=0,1,…，7,8.令人=6,得%H=C既2y6；令

k=5,得小產(chǎn)?X3y5,所以（l—'x+y"的展開式中x2y6的系數(shù)為CJa=—28.

（2）已知Q+3"的展開式中第四項的系數(shù)為120,所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為512,則實

數(shù)”的值為,展開式中的常數(shù)項為.

答案145

解析因為G+?）"的展開式的所有項的二項式系數(shù)之和為2",且奇數(shù)項和偶數(shù)項的二項式

系數(shù)之和相等，所以2廣1=512,解得w=10,

所以展開式中第四項74=,

所以C?OQ3=120,解得4=1,

所以(x+±1。的展開式的通項為

〃+i=C%xi°rg)&=C%xi°-5?,

令10—5左=0,解得左=2,

所以展開式中的常數(shù)項為C?0=45.

易錯提醒二項式(a+b)"的通項公式或+i=CM"f4(左=0,1,2,…，ri),它表示的是二項式的

展開式的第左+1項，而不是第左項；其中C名是二項式展開式的第左+1項的二項式系數(shù)，而

二項式的展開式的第左+1項的系數(shù)是字母賽前的常數(shù)，要區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù).

8

跟蹤演練2(1)(2022?淄博模擬)若(l—x)8=ao+m(l+x)+a2(l+x)2H——ba8(l+x)，則詼等

于()

A.-448B.-112

C.112D.448

答案C

解析(l-x)8=(x-l)8=[(l+x)-2]8

=。()+。1(1+%)+。2(1+%)?+…+。8(1+x))

〃6=盤義(-2)2=112.

(2)(多選)已知(1-2x)2023=ao+a\x+a奴H-------k〃2023N023,則()

A.展開式中各項系數(shù)和為1

B.展開式中所有項的二項式系數(shù)和為22。23

C.〃1+。2+。3+…+。2023=-2

cI?^2I|_〃2023八

D.。0十,H^2023=0

答案BCD

解析令X=1得〃o+〃ld-------F〃2023=11,

???A錯誤；

二項式系數(shù)和為C%23+C*23+…+◎膾=22%

B正確；

令x=0得〃o=l,

??.。1+。2+~+。2023=12,「.C正確；

令X=g有〃o+段+^H--------1-^2023=0?,D正確.

考點三概率

【核心提煉】

1.古典概型的概率公式

事件A包含的樣本點數(shù)

"A)=試驗的樣本點總數(shù).

2.條件概率公式

設A,B為兩個隨機事件，且尸(A)>0,

則尸那尸筮1

3.全概率公式

設4,A2,■是一組兩兩互斥的事件,AIUA2U-UA?=S,且尸(4)>0,i=l,2,…,n,

則對任意的事件B=Q,有P(B)=tp(Ai)P(B\Ai).

!=1

例3(1)(2022?新高考全國I)從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質

的概率為()

A-6B3C7Dt

答案D

解析從7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有C3=21(種)取法，取得的2個數(shù)互質的情況

有{2,3},{2,5},{2,7},{3,4},{3,5},{3,7},{3,8},{4,5},{4,7},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},

142

{7,8},共14種，根據(jù)古典概型的概率公式，得這2個數(shù)互質的概率為五=、

(2)(多選)(2022-臨沂模擬)甲和乙兩個箱子中各有質地均勻的9個球，其中甲箱中有4個紅球,

2個白球，3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球，2個黑球，先從甲箱中隨機取出一球放

入乙箱中，分別以4,A2,4表示從甲箱中取出的球是紅球、白球、黑球的事件，再從乙箱

中隨機取出一球，以B表示取出的球是紅球的事件，貝)

A.Ai,A2,4兩兩互斥

B.P(B|A2)=|

C.P(B)=；

D.B與4相互獨立

答案AB

解析Ai,A2,4中任何兩個事件都不可能同時發(fā)生，因此它們兩兩互斥，A正確；

24

-

92

確

P(BA2)--B正

P(B|A)=21

2-0

P(A?9

4

P(Ai)=g,

P(B)=P(A1)-P(B\A1)+P(A2)-P(BIA2)+P(A3)-P(B\A3)

4524344

=9XIO+9X1O+9X1O=9,C錯誤；

452

又P(AB)=gXm=g,

4416

P(Ai)P(B)=^X-=—,

AP(AiB)#P(Ai).P(B)

...Ai與8不相互獨立，D錯誤.

(3)(2022?益陽調(diào)研)甲、乙、丙、丁4名棋手進行象棋比賽，賽程如框圖所示，其中編號為i

的方框表示第i場比賽，方框中是進行該場比賽的兩名棋手，第i場比賽的勝者稱為“勝者廣，

負者稱為“負者廣，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場比賽獲勝的概率均為

而乙、丙、丁之間相互比賽，每人勝負的可能性相同.則甲獲得冠軍的概率為()

.8r16-32-40

A-27B27C-8?D,81

答案D

解析甲獲得冠軍，則甲參加的比賽結果有三種情況：1勝3勝6勝；1勝3負5勝6勝；1

負4勝5勝6勝.所以甲獲得冠軍的概率為43+2義@3義］=患.

規(guī)律方法求概率的方法與技巧

(1)古典概型用古典概型概率公式求解.

(2)條件概率用條件概率公式及全概率公式求解.

(3)根據(jù)事件間關系，利用概率的加法、乘法公式及對應事件的概率公式求解.

跟蹤演練3(1)某市在文明城市建設中，鼓勵市民“讀書好，好讀書，讀好書”.在各閱覽

室設立茶座，讓人們在休閑中閱讀有用有益圖書.某閱覽室為了提高閱讀率，對于周末前來

閱讀的前三名閱讀者各贈送一本圖書，閱讀者從四種不同的書籍中隨意挑選一本，則他們有

且僅有2名閱讀者挑選同一種書的概率為()

1439

-B-C-D

A.34

-916

答案D

解析三人挑選四種書，每人有4種選法,

共有43=64種方法,

恰有2人選同一種書的方法有cgaa種，

即36種方法，

故恰有2人選同一種書的概率尸=3卷6=焉9.

(2)(多選)一次“智力測試”活動，在備選的10道題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中

的8題，測試時從備選的10道題中隨機抽出3題由甲、乙分別作答，至少答對2題者被評為

“智答能手”.設甲被評為“智答能手”為事件A,乙被評為“智答能手”為事件8,若P(磯4)

=P(B),則下列結論正確的是()

A.P(A|B)=P(A)

---1

B.⑷=記

C.甲、乙至多有一人評為“智答能手”的概率為H

44

D.甲、乙至少有一人評為“智答能手”的概率為布

答案ABD

-r,口Cgcl+cg60+202

解析由通意，可付P(A)=R——]-=不

UioIZUJ

CGCj+a56+5614

,(/*=--=120=15'

P(AB}

由尸(陰4)=右：=2(2),

所以尸(AB)=尸(A)尸(2),事件A,3相互獨立，

所以尸0|為=饋1=黑臀=尸0),故A正確；尸(3兇)=尸出)=號，

—141

由條件概率的性質得P(Bh4)=1—P(B|A)=1-7?=15,故B正確；

因為事件A,2相互獨立，所以A與石，與B,N與方也都相互獨立.甲、乙都被評為

91A28

“智答能手”的概率P(AB)=P(A)P(B)=3x1^=^'

no17

所以甲、乙至多有一人被評為“智答能手”的概率為1—尸(48)=1—布=方，故C錯誤；

甲、乙都沒有被評為“智答能手”的概率尸(79)=尸(7)/(石尸。一()x(1一符=卜上

X

=45)

--------144

所以甲、乙至少有一人被評為“智答能手”的概率為1—P(AB)=l—而=行，故D正確.

專題強化練

一、單項選擇題

1.（2022?福州質檢）展開式中的常數(shù)項為（）

A.-540B.-15

C.15D.135

答案D

解析二項式13x—左）6展開式的通項公式為

%+尸&（3尤廣（一點）

3

由6—1左=0,解得k=4,

則八=（—1）4X32XC4=135,

所以［力一七）6展開式中的常數(shù)項為135.

2.（2022?荊州聯(lián)考）某人民醫(yī)院召開抗疫總結表彰大會，有7名先進個人受到表彰，其中有一

對夫妻.現(xiàn)要選3人上臺報告事跡，要求夫妻兩人中至少有1人報告，若夫妻同時被選，則

兩人的報告順序需要相鄰，這樣不同的報告方案共有（）

A.80種B.120種

C.130種D.140種

答案D

解析若夫妻中只選一人，

則有CK3A3=12O（種）不同的方案；

若夫妻二人全選，且兩人報告順序相鄰，則有CgA3A9=2O種不同的方案，故總計有140種

不同的方案.

3.（2022?惠州模擬）（。一尤）（2+尤）6的展開式中無5的系數(shù)是12,則實數(shù)a的值為（）

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析利用二項式定理展開得（a—x）（2+x）6=

（a-x）（Cg26+Ci25x+C?24x2+Cg23x3+C^2%4+CQx5+C，），

則x5的系數(shù)為a&2—C422=12,；.a=6.

4.從4雙不同尺碼的鞋子中隨機抽取3只，則這3只鞋子中任意兩只都不成雙的概率為（）

答案c

解析從4雙不同尺碼的鞋子中隨機抽取3只的方法為eg,這3只鞋子中任意兩只都不成雙，

選取的方法為CIX23,

所以所求概率為尸=/0號.

5.長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學生大約40%的人近視，而該校大約有20%

的學生每天玩手機超過1h,這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機不超過1h的學生中

任意調(diào)查一名學生，則他近視的概率為()

.23

A-5B8

2信

答案B

解析令4="玩手機時間超過lh的學生”，

A2="玩手機時間不超過lh的學生”，

B=“任意調(diào)查一人，此人近視”，

則O=4UA2,且AI,A2互斥,

P(Ai)=0.2,P(A2)=0.8,P(B|AI)=0.5,

尸(B)=0.4,

依題意，

P(B)=P(Ai)P(Bh4i)+P(A2)P(B|A2)

=0.2X0.5+0.8XP(B|A2)=0.4,

3

解得P(B|A)=g,

2o

3

所以所求的概率為

6.為響應國家鼓勵青年創(chuàng)業(yè)的號召，小王開了兩家店鋪，每個店鋪招收了兩名員工，若某節(jié)

假日每位員工休假的概率均為小且是否休假互不影響，若一家店鋪的員工全部休假，而另一

家店鋪無人休假，則從無人休假的店鋪調(diào)劑1人到員工全部休假的店鋪，使得該店鋪能夠正

常營業(yè)，否則該店就停業(yè).則兩家店鋪該節(jié)假日都能正常營業(yè)的概率為()

A1B&

八9n,9

-5-8

C.gD.g

答案D

解析設兩家店鋪不能都正常營業(yè)為事件A,

由題意可知有4人休假的概率為04=近，

有3人休假的概率為31)3降=能

1O1

所以兩家店鋪不能都正常營業(yè)的概率為P(A)=*+*=d，

olo1y

Q

所以兩家店鋪該節(jié)假日都能正常營業(yè)的概率為1—P(A)=g.

7.(2022?錦州模擬)定義：兩個正整數(shù)a,b,若它們除以正整數(shù)相所得的余數(shù)相等，則稱a,

6對于模相同余，記作a=b(mod機)，比如：26=16(mod10).已知〃=C9o+Cb8+C%?82T—

+089滿足，z=p(mod7),則p可以是()

A.23B.31

C.32D.19

答案A

解析因為w=C%+Clo-8+C*82+…+C[88°=(l+8)io=(7+2)i。，

lo9910

也即n=C?o-7+Clo-7-24------FC?0-7-2+C18-2,

故〃除以7的余數(shù)即為CR2io=l024除以7的余數(shù)，1024除以7的余數(shù)為2,結合選項知

23除以7的余數(shù)也為2,滿足題意，其它選項都不滿足題意.

8.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在中國南宋數(shù)學家楊輝于1261

年所著的《詳解九章算法》一書中，法國數(shù)學家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律.“楊輝三

角”揭示了二項式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.則下列關于“楊輝

三角”的結論正確的是()

A.Cg+C2+Cg+…+C，o=165

B.在第2022行中第1011個數(shù)最大

C.第6行的第7個數(shù)、第7行的第7個數(shù)及第8行的第7個數(shù)之和等于第9行的第8個數(shù)

D.第34行中第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為2:3

答案C

解析由c「i+c;?=cr+i可得

a+a+cH-+c?0

=CHCHCHCH-+C?o-1

=c?+c?+cg+…+c%—1

=C?1-1

11X10X9

1=164,故A錯誤;

3X2X1

第2022行中第1011個數(shù)為C用k◎膽,故B錯誤;

cg+cHcg=cRcHa=a+a=Q,

故C正確；

第34行中第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為

.34X33X-X2134X33X…X20

C9.C紀―14X13義…義1：15X14X13X—X1

=15:20=3:4,故D錯誤.

二、多項選擇題

9.(2022?山東省實驗中學診斷)已知(a+6)"的展開式中第五項的二項式系數(shù)最大，則"的值

可以為()

A.7B.8C.9D.10

答案ABC

解析若展開式中只有第五項的二項式系數(shù)最大，則5+1=5,解得〃=8；若展開式中第四

I-3

項和第五項的二項式系數(shù)最大，則”一=5,解得?=7；若展開式中第五項和第六項的二項

式系數(shù)最大，則哥=5,解得“=9.

10.(2022?湖南師大附中模擬)拋擲一紅一綠兩枚質地均勻的骰子，用x表示紅色骰子的點數(shù),

y表示綠色骰子的點數(shù)，設事件4="x+y=7"，事件8="孫為奇數(shù)”，事件C="x>3”，

則下列結論正確的是()

A.A與B互斥

B.A與B對立

C.P(B|Q=|

D.A與C相互獨立

答案AD

解析事件A包含的基本事件為(1,6),(2,5),

(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6種，

1

-

所以尸⑷;公6

事件2包含的基本事件為(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),共9種,

1

9-

則尸⑻=行4

所以A與8互斥但不對立，故A正確，B錯誤;

事件C包含的基本事件數(shù)為3X6=18,

則P(C)=6X6=2'

P(BC)=6X6=T2,

所以尸(均。=需故C錯誤；

31

因為0(4°=公=1?

111

尸⑷?尸(。=不義廠記，

則P(AO=P(A)7(0,所以A與C相互獨立，故D正確.

11.(2022?襄陽模擬)4,B,C,D,E五個人并排站在一起，則下列說法正確的有()

A.若A,B兩人站在一起，則共有24種排法

B.若A,B不相鄰，則共有72種排法

C.若A在8左邊，則共有60種排法

D.若A不站在最左邊，B不站在最右邊，則共有78種排法

答案BCD

解析對于A,先將A,3排列，再看成一個元素，和剩余的3人，一共4個元素進行全排

列，由分步乘法計數(shù)原理可知，共有A，Ai=48(種)，

所以A不正確；

對于B,先將A,3之外的3人全排列，產(chǎn)生4個空，再將A,8兩元素插空，所以共有

=72(#),所以B正確;

對于C,5人全排列，而其中A在8的左邊和A在B的右邊是等可能的，所以A在B的左邊

的排法有多駿=60(種)，所以C正確；

對于D,對A分兩種情況：一是若A站在最右邊，則剩下的4人全排列有At種，另一個是A

不站在最左邊也不站在最右邊，則A從中間的3個位置中任選1個，然后8從除最右邊的3

個位置中任選1個，最后剩下3人全排列即可，由分類加法計數(shù)原理可知，共有A才+AJAJA3

=78(種),所以D正確.

12.甲、乙兩個均勻且完全一樣的四面體，每個面都是正三角形，甲四個面上分別標有數(shù)字

1,2,3,4,乙四個面上分別標有數(shù)字5,6,7,8,同時拋擲這兩個四面體一次，記事件A為“兩個

四面體朝下一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件2為“甲四面體朝下一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事件

C為“乙四面體朝下一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結論正確的是()

A.P(A)=P(B)=P(C)