專題01利用三角形全等和相似的性質(zhì)進(jìn)行求解的問題

1鵝妻概述

在幾何壓軸題中，全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)一般作為工具性質(zhì)進(jìn)行使用，用以幫助解決角

度的相等問題或者線段的數(shù)量關(guān)系。

（1）在具體的壓軸題中可以通過證明三角形全等或三角形相似，得到某兩個(gè)角相等，再結(jié)合所求進(jìn)行轉(zhuǎn)化,

從而得到我們想要的角度關(guān)系。

（2）壓軸題中關(guān)于證明線段相等關(guān)系或者和差關(guān)系的證明時(shí)，一般通過三角形全等的性質(zhì)，找出中間線段

與所求線段的倍數(shù)關(guān)系，進(jìn)行等量代換或者轉(zhuǎn)化。

（3）壓軸題中關(guān)于證明或探究線段之間的積關(guān)系或者比值關(guān)系時(shí)，一般利用三角形相似的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，

有時(shí)也會(huì)用到三角形全等的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

真題精析

例孽1

（2022?遼寧丹東?統(tǒng)考中考真題）已知矩形ABCD,點(diǎn)E為直線8。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），

連接AE,以AE為一邊構(gòu)造矩形AEPG（A,E,F,G按逆時(shí)針方向排列），連接DG.

⑴如圖1，當(dāng)爺=第=1時(shí)，

請(qǐng)直接寫出線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；

ADAG

（2）如圖2,當(dāng)=2時(shí),請(qǐng)猜想線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

ABAE

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接BG,EG,分別取線段BG,EG的中點(diǎn)M,N,連接MN,MD,ND,

若AB=下,ZAEB=45°,請(qǐng)直接寫出△腦VD的面積.

蟒甌

(1)證明AR4E烏△ZMG,進(jìn)一步得出結(jié)論；

(2)證明BAE^ADAG,進(jìn)一步得出結(jié)論；

(3)解斜三角形A3E,求得3E=3,根據(jù)(2)第=2可得。G=6,從而得出三角形5EG的面積，可證

BE

得AMNDmAMNG,△MNG與△5EG的面積比等于1：4,進(jìn)而求得結(jié)果.

【答案與解析】

【答案】(1)BE=OG,BE1DG

(2)BE=goG,BEA.DG,理由見解析

9

(3)SAMNG=-

【詳解】(1)解：由題意得：四邊形ABCZ>和四邊形AEFG是正方形,

：.AB=AD,AE^AG,NEAG=90。，

，ABAD-ZDAE=ZEAG-ZDAE,

：.ZBAE=ZDAG,

：.^BAE^^DAG(SAS),

：.BE=DG,ZABE=ZADG,

:.ZADG+ZADB=ZABE+ZADB=90°,

:.NBDG=90°,

：.BE±DG；

-DG

(2)BE=2,BELDG,理由如下:

由(1)得：ZBAE=ZDAG,

..AD=AG=

*ABAE'

:.XBAEsADAG,

.DGAD

>.--=--=z,ZABE=ZADG,

BEAB

:.ZADG+ZADB=ZABE+ZADB=90°,

:.NBDG=9Q°,

：.BE±DG；

(3)如圖,

作AHLBD于H,

AJ-IAD

VtanZABD=-----

BH~AB

AZf—2x,BH^Xf

在/?￡△A5H中,

3+（2x）2=（石）2,

AH=2,

在Rd中，

AH

■:tanZABE=,

EH

.AH,y】

??—tan45=1,

EH

：.EH=AH=2,

：.BE=BH+EH=39

vBD=JAB?+AD2=/遙）2+（2書）2=5,

：.DE=BD-BE=5-3=2,

由（2）得：腎=2,DGYBE,

BE

：.DG=2BE=69

SABEG=—BE-DG=—x3x6=9,

22

在RtABDG和RtADEG中,點(diǎn)M是3G的中點(diǎn)，點(diǎn)N是C￡的中點(diǎn),

:.DM=GM=1BG,DN=GN=；EG,

?:NM=NM,

:?叢DMN沿叢GMN(SSS),

?:MN是公BEG的中位線，

：.MN//BE,

:./\BEGs/\MNG,

.S^MNG_(GM2_1

?,二=~GB="

19

:.SMNG=SMNG=-SABEG=一.

AA44

，儂與他

本題主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決

問題的關(guān)鍵是類比的方法.

例零2

(2022?遼寧鞍山?統(tǒng)考中考真題)如圖，在"C中，AB=AC,/A4c=120。，點(diǎn)。在直線AC上，連接3D,

將DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段DE,連接BE,CE.

⑵當(dāng)點(diǎn)O在線段AC上(點(diǎn)。不與點(diǎn)A,C重合)時(shí)，求f的值；

AD

,AN

(3)過點(diǎn)A作AN〃。石交50于點(diǎn)N,若AD=2CD,請(qǐng)直接寫出不7的值.

CE

郵甌

(1)作于可得BC=2BH,進(jìn)而得出結(jié)論；

2

(2)證明進(jìn)而得出結(jié)果；

(3)當(dāng)點(diǎn)O在線段AC上時(shí)，BFLAC,交CA的延長(zhǎng)線于尸，作AG_LBD于G,設(shè)AB=AC=3a,則

AD^la,解直角三角形3Z>F,求得8。的長(zhǎng)，根據(jù)△尸求得A0,進(jìn)而求得AN,進(jìn)一步得出

結(jié)果；當(dāng)點(diǎn)。在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)A3=AC=2a,則40=4”，同樣方法求得結(jié)果.

［答案與解析］

【答案】⑴證明見解析

⑵石

（3?；虿?/p>

【詳解】（1）證明：如圖1,

圖1

作AH_LBC于H,

'：AB=AB,

：.ZBAH=ZCAH=yZBAC=gxl20°=60°,BC=2BH,

:.sin60°=——,

AB

2

:.BC=2BH=6AB；

(2)解：'：AB=AC,

???ZABC=ZACB=18°O-z^c180O-120°

==30°,

22

由⑴得，蜜后

同理可得,

BEr-

NDBE=30°,----=\/3,

BD

,,BCBE

??NABC=NDBE,=,

ABBD

:.ZABC-ZDBC=NDBE-NDBC,

二ZABD=ZCBE,

:.△ABDs^CBE,

?ACDE器=5

(3)如圖2,

當(dāng)點(diǎn)O在線段AC上時(shí),

作3尸J_AC,交CA的延長(zhǎng)線于尸，作AG_LB。于G,

設(shè)A3=4C=3a,則AZ>=2a,

由⑴得，CE=WD=2?,

在RS43尸中，ZBAF=180°-ZBAC=60°,AB=3a,

33A/3

/.AF=3a*cos60°=—a,BF=3a*sin60°=——a,

22

37

在也中，DF=AD+AF=2a+—a=-a,

BD=>JBF2+DF2=

VNAGZ>=NF=90°,NAZ>G=ZBDF,

:.△DAGs/\DBF,

.AGAD

BFBD

AG2a

-J19a,

-----a

2

:.AG=￥〃,

V19

'：AN：;DE,

：.NAN￡>=NBZ>E=120°,

，N4NG=60。,

/.AN=AG37326M

19

???AN19

CE~2y/3a~19

如圖3,

設(shè)45=AC=2a,貝!|AO=4a,

由（1）得,

CE—垂>AD=^y[3a>

作8RJ_C4,交CA的延長(zhǎng)線于R,作AQLBO于0,

同理可得,

AR—a,BR=布a,

：,BD

.AQ_4〃

43a2^7〃'

.…20

??AQ=--r=^a

J7f

.皿2A/324

??AJN=-y=-(!?-j==-『a9

。7\/377

4

/.AN__幣&_V|T,

CE~443a~21

綜上所述：黑AN的值為巨或叵_

1921

總結(jié)與點(diǎn)撥

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是正確

分類和較強(qiáng)的計(jì)算能力.

例

(2022?湖北宜昌?統(tǒng)考中考真題)已知菱形ABCD中,E是邊A3的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AD上一點(diǎn).

圖2

(1)如圖1,連接CE,CF.CE1AB,CF±AD.

①求證：CE=CF-

②若AE=2,求CE的長(zhǎng);

(2)如圖2,連接CE,EF.若AE=3,EF=2AF=4,求CE的長(zhǎng).

(1)①根據(jù)A4S可證得：ABEC咨八DFC,即可得出結(jié)論;

②連接AC,可證得ABC是等邊三角形，即可求出CE=2石;

(2)延長(zhǎng)在1交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)以，根據(jù)A45可證得AEF—BEM,可得出ME=4,BM=2,MC=8,

MRMF1

則血=嬴=弓，即可證得“'向6板叱，即可得出EC的長(zhǎng).

［答案與解析］

【答案】(1)①見解析；②CE=2E

(2)EC=6

【詳解】(1)(1)①?.?CE1A5,CF±AD,

：.Z.BEC=ZDFC=90°,

?.?四邊形ABC。是菱形,

ZB=ZD,BC=CD,

:.aBECaDFC(AAS),

:.CE=CF.

②如圖，連接AC.

VE是邊AB的中點(diǎn)，CE1AB,

:.BC=AC,

又由菱形ABCD,得BC=AB,

....ABC是等邊三角形，

:./￡4c=60。，

在放AEC中，AE=2,

:.EC=AEtan60°=2后

/.CE=2A/3.

(2)如圖，延長(zhǎng)EE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

由菱形ABCD,得AD〃8C,AB=BC,

ZAFE=ZM,ZA=NEBM,

E是邊AB的中點(diǎn)，

AE=BE,

AAEF^ABEM(AAS),

ME=EF,MB^AF,

AE=3,EF=2AF=4,

A1E=4,BM=2,BE=3,

BC=AB=2AE=6,

MC=8,

MB_2_1_4_1

ME-4-2'MC-8-2

MBE篝,而"為公共角?

，AMEB^AMCE,

.BEMB_2

??法一標(biāo)—"

又,：BE=3,

：.EC=6.

總結(jié)與點(diǎn)撥

本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)求線段長(zhǎng)度，全等三角形的性質(zhì)和判定,

相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

精峰UH題

1.（2022.吉林長(zhǎng)春?校聯(lián)考模擬）【教材呈現(xiàn)】

在華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第111頁(yè)學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：菱形的對(duì)角線互相垂直.

【結(jié)論運(yùn)用】

-C

圖①圖②圖③

⑴如圖①，菱形ABCD的對(duì)角線AC與3。相交于點(diǎn)。，AD=5,00=4,則菱形A5CD的面積是一；

（2）如圖②，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)尸在AD上，四邊形C￡>￡F是菱形，連接AE、AC.BF,求

證：AC=BF；

⑶如圖③，四邊形ACBD是菱形，點(diǎn)廠在AD上，四邊形CDEF是菱形，連接AE,若ZDAE=40°,則ZACF=

度.

【答案】（1）24；（2）見解析；（3）30

【分析】(1)由菱形的性質(zhì)可得ACSBD,AO=OC,BO=DO,由勾股定理可求AC,由菱形的面積

公式可以求解；

(2)先證四邊形碼E是平行四邊形，可得隹=2尸，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論；

(3)先證AADCvAADE,可得NZME=NZMC=40。，由等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可求解.

【詳解】(1)解：四邊形ABCD是菱形，

:.AC±BD,AO=OC,BO=DO,

AD=5,OD=4,

AO=y]AD2-DO2=725-16=3，BD=2OD=8,

:.AC=6f

菱形ABCD的面積=gxACx8O=gx6x8=24,

故答案為：24；

圖②

四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AB//CD,AB=CD,

四邊形CD跖是菱形，

.-.EF//CD,EF=CD,EC±FD,EH=CH,

:.AB=CD=EF,AB//CD//EF,AD垂直平分EC,

四邊形ABEE是平行四邊形，AC=AE,

:.AE=BF,

AC=BF；

(3)解：.四邊形ACBO是菱形，四邊形CDEB是菱形,

.'.AD=AC,CD=CF=DE,ZADE=ZADC,

AD=AD,ZADE=ZADC,CD=ED,

AADC=AADE(SAS),

ZDAE=ZDAC=40°,

AD=AC,

ZADC=ZACD=70°,

CD=CF,

ZADC=ZCFD=70°,

ZACF=ZCFD-ZDAC=70°-40°=30°,

故答案為：30.

2.(2022?四川德陽(yáng)?模擬)已知：四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在。。邊上，點(diǎn)F在邊上，且=

(1)如圖1,AE與跖有怎樣的關(guān)系.寫出你的結(jié)果，并加以證明;

(2)如圖2,對(duì)角線AC與交于點(diǎn)。.BD,AC分別與AE,BF交于點(diǎn)G,點(diǎn)

①求證：OG=OH；

②連接OP,若AP=4,OP=y[2,求AB的長(zhǎng).

【答案】(DAE,始；AE=BF.證明見解析

⑵①見解析；②AB=2屈

【分析】⑴根據(jù)正方形的性質(zhì)可得筋=AD,NSW=ZD=90。，然后利用“邊角邊”證明AAB尸RDAE，

根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得鉆=3萬(wàn)，ZDAE=ZABF,然后求出Z4B+/4BE=90。，再求出

ZAPS=90°,然后根據(jù)垂直的定義解答即可；

(2)①根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分可得NAO3=NAOG=90。，OA=OB,對(duì)角線平分一組對(duì)角可得

ZABO=ZDAO=45°,然后求出/OAG=,再利用“角邊角”證明,ZMG，03”,根據(jù)全等三角形對(duì)

應(yīng)邊相等可得OG=O8；②過點(diǎn)。作作于N,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得

ZOGA=ZOHB,再利用“角角邊”證明根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得。M=ON,然后

判斷出四邊形OMPN是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出加=OM=1,再求出AM,然后利用勾股定理列

式求出Q4,再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AB即可.

【詳解】(1)解：AE±BF；AE=BF.

證明：?四邊形ABCD是正方形，

:.AB=AD,ZBAD=ZD=90°,

在△A5b和石中，

AB=AD

<ZBA￡)=Z￡)=90°,

AF=DE

ABF^ZME(SAS),

:.AE=BF,ZDAE=ZABF,

ZDAE^ZPAB=ZBAD=90°,

.-.ZPAB+ZABF=90°,

.?.ZAP3=180。—90。=90。，

.\AE±BF；

(2)①證明：四邊形ABC。是正方形，

:.ZAOB=ZAOG=90°,OA=OB,ZABO=ZDAO=45°9

ZDAE=ZABF,

:.ZABO-ZABF=ZDAO-ZDAE,

即ZOAG=/OBH,

在△QIG和△08H中，

ZOAG=ZOBH

<OA=OB,

ZAOB=ZAOG=9Q°

6L4G^OBH(ASA),

:.OG=OH；

②解：如圖2,過點(diǎn)。作OMLAE于作ONL5產(chǎn)于N,

OAG-OBH,

:./OGA=NOHB,

在.OGM和VQHN中，

ZOMG=ZONH=90°

</OGA=/OHB

OG=OH

:-OGMAOHN30,

?.OM=ON,

二?四邊形QWPN是正方形，

。尸=0,

PM=OM=A/2x=1,

2

AP=4,

.?.AM=AP+PM=4+1=5,

在R/AOM中，OA=^AM2+OM2=A/52+12=726，

，正方形A3co的邊長(zhǎng)AB=y/2=y/2x426=2y/13.

3.（2022.山東日照.?？级＃┰贏ABC中，AB=AC,NB4C=a,點(diǎn)尸為線段C4延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連

接依，將線段所繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,得到線段尸。，連接。氏DC.

⑴如圖1,當(dāng)*=60。時(shí)，①求證：PA=DC；②求/DCP的度數(shù);

(2)如圖2,當(dāng)。=120。時(shí)，請(qǐng)直接寫出融和。C的數(shù)量關(guān)系.

⑶當(dāng)a=120。時(shí)，若AB=6,BP=屈,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。到CP的距離為

【答案】⑴①見解析；②60。；

(2)CD=6PA；

⑶乎或平.

【分析】(1)①證明APSA也ADBC(SAS)可得結(jié)論.②利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可.

(2)證明ACBD-AABP,可得凄=孚=若解決問題.

PAAB

(3)分兩種情形，解直角三角形求出即可解決問題.

【詳解】(1)①證明：如圖1中，

圖1

將線段依繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為得到線段尸。,

：.PB=PD,

AB=AC,PB=PD,ABAC=ZBPD=60°,

:.AABC,APS。是等邊三角形，

:.ZABC=/PBD=60。,

:./PBA=/DBC,

BP=BD,BA=BC,

APBA^ADBC(SAS),

:.PA=DC.

②解：如圖1中，設(shè)交PC于點(diǎn)o.

APBA^ADBC，

NBPA=NBDC,

ZBOP=ZCOD,

.\ZOBP=ZOCD=60°,即NDCP=60。.

(2)解：結(jié)論：CD=V3PA.

理由：如圖2中，

AB=AC,PB=PD,ZBAC=ZBPD=120°,

...BC=2ABcos30°=6BA,BD=2BPcos30°=^BP,

"BA第=5

ZABC=/PBD=30°,

:.ZABP=NCBD,

:.ACBD^\ABP,

8PA3

CD=摳PA.

(3)過點(diǎn)。作DMJ_PC于M,過點(diǎn)B作8NLCP交CP的延長(zhǎng)線于N.

如圖3-1中，當(dāng)AP8A是鈍角三角形時(shí)，

在HfAABN中，ZN=90°,AB=6,ZBAN=60°,

AN=AB-cos600=3,BN=ABsin600=3y/3,

PN=y/PB2-BN2=V31-27=2,

:.PA=3-2=1,

由(2)可知，CD=6PA=C,

/BPA=/BDC,

ZDCA=ZPBD=30°f

DM±PC,

:.DM=-CD=—

22

如圖3-2中，當(dāng)AABP是銳角三角形時(shí)，同法可得PA=2+3=5,CD=5超,DM=-CD=^-,

22

22

故答案為巫或攣.

22

4.(2022?山東濟(jì)南?山東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)校考模擬)如圖，在ASC中，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC

上的點(diǎn)，且/4DE=NB.

⑴如圖1,若NB=NC,求證：ABCE=BDCD-

(2)若AB=8,BC=10,ZB=2ZC.

①如圖2,當(dāng)時(shí)，求3D的長(zhǎng)；

②如圖3,當(dāng)8D=CE時(shí)，直接寫出3D的長(zhǎng)是.

14

【答案】⑴見解析；⑵①2。=1;②5

【分析】(1)證明△他。/△OCE,即可得證；

(2)①如圖，作CE的垂直平分線交。C于尸，連接E尸，證明，ABD以DEE(AAS),利用全等三角形的性

質(zhì)和3c=應(yīng)＞+￡＞尸+CF,進(jìn)行求解即可；②延長(zhǎng)C8到G,使BG=AB=8,求出NG=NC,作4H_LGC

于H,利用等腰三角形的判定和性質(zhì)，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到NC的余弦，作EC中垂線NP

交BC于N,EC于P,

證明ABDsDNE,利用相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)證明：在中，ZB+ZAZ)B+ZBA￡)=180o,

ZADE=ZB,

???AADE+AADB+ABAD=\^a,

???ZBDE+ZBAD=ISO°,

,/ZBDE+NCDE=180。,

:.ZBAD=ZCDE,

又＜ZB=NC,

:.Z\ABDS/\DCE,

.ABBD

^^DC~~CE'

：.ABCE=BDCD；

(2)解：①如圖2,作CE的垂直平分線交。。于尸，連接斯，

:.ZEFD=2/C,

'：ZB=2ZCf

???ZB=ZEFD,

又*：AD=DE,ZBAD=ZCDE

：.,ABD^DFE(AAS),

BD=EF=FC,DF=AB,

?.?AB=8,BC=10,

:.BC=BD+DF+FC=BD+AB+BD,

：.10=BD+8+BD,

，BD=1；

②如圖：延長(zhǎng)CB到G,使BG=AB=8,則NG=NGAB,

???ZABD=AG+AGAB=2ZG,

■:ZABD=2NC,

???NG=NC,

:.AG=AC,

作AHLGC于"，則G"=HC=；(3G+3C)=9,

；.BH=GH—BG=1,

在RtZkAB”中，由勾股定理得：AH=ylAB*2-3*BH2=782-12=3//，

在RtAC”中，根據(jù)勾股定理得：AC=VAH2+CH2=12,

??cosNC*————,

124

作EC中垂線NP交BC于N,EC于P,

1pc2

設(shè)BD=CE=x,貝(|尸。=—尤，NC=------=—九，

2cosZC3

VZBAD=ZCDE,ZABD=2ZC=ZENDf

:?ABDsDNE,

.AB_BD

'9DN~EN

8_x

2~=^2~

10-x——x—x

33

14

解得x=M

??.Y

5.（2022?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模）在平行四邊形ABCD中，ZBCD=a,AD>AB,OE平分—ADC交線段

BC于點(diǎn)E,在口488的外部作△B。，使BF=EF,ZEBF=^a,連接AC,AF,線段AF與3c交于

點(diǎn)N.

圖1圖2

⑴當(dāng)4=120。時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AF和AC的數(shù)量關(guān)系；

⑵當(dāng)a=90。時(shí)，

①請(qǐng)寫出線段AF,AB,AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②若點(diǎn)E是的三等分點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出sinNBAN的值.

【答案】（1）AF=AC

^?AB2+AD2=2AF2,證明見解析；②叵或g

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【分析】（1）線段AF和AC的數(shù)量關(guān)系：AF=AC,理由：如圖，連接CF,由四邊形ABCD是平行四邊

形，=120。和DE平分NADC1的條件，可得出：AB=CE,ZABF=ZCEF,利用SAS證明

AABF^ACEF,得出AF=CF,ZAFB=ZCFE,最后再說(shuō)明△AFC是等邊三角形可得到結(jié)論；

（2）①如圖，連接C尸，先證明四邊形ABC。是矩形，可得到AD=BC,然后仿照（1）證明思路，利用S4S

證明△AB尸絲得出AF=CV,ZAFB=ZCFE,再說(shuō)明NAFC=90。，利用勾股定理可得到

AC=y[2AF,然后在RtABC中，由勾股定理AB?+8C?=AC?,最后代入即可得到AF,AB,AD之間的

數(shù)量關(guān)系式；

②根據(jù)E是BC的三等分點(diǎn)，分兩種情況解答：第一種情況：受RF1=第二種情況：BF=2f.

nCJnC3

【詳解】（1）解：線段反和AC的數(shù)量關(guān)系：AF=AC,理由如下：

如圖，連接CF,

:四邊形ABC。是平行四邊形，ZBCD=a^120°,

：.AD=BC,AD//BC,AB=CD,

ZADC=180°-ZBCD=180°-l20°=60°=ZABC,

'：DE平分工ADC,

ZADE=ZEDC=30°,

???/DEC=ZADE=30。,

:?/EDC=/DEC,

:.EC=DC,

:.AB=CE,

'/ZEBF=-a=60°,BF=EF,

2

**?是等邊三角形，

；?NBFE=/EBF=60°,

：.ZABF=ZABE-^-ZEBF=60°+60°=120°,

ZCEF=ZEBF+ZBFE=60°+60。=120°,

:.ZABF=/CEF,

在△AB/和△CEF中，

AB=CE

</ABF=ZCEF

BF=EF

：.AABF^ACEF（S4S）,

：.AF=CF,ZAFB=/CFE,

：.ZAFC=/CFE+ZAFE

=ZAFB+ZAFE

=ZBFE

=60°,

???是等邊三角形，

???AF=AC.

(2)①如圖，連接b,

'??四邊形A3CQ是平行四邊形，ZBCD=a=9Q°,

???四邊形ABC。是矩形,

ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AB=DC,BC=AD,BC//AD,

DE平分/WC,

???ZADE=/EDC=45。,

：.ZDEC=ZADE=45°,

:?NEDC=NDEC,

：.EC=DC,

：.AB=CE,

ZEBF=-a=45°,BF=EF,

2

：.ZBEF=ZEBF=45°,

：.NEFB=180?！?5°-45°=90°,

ZABF=ZABC+ZEBF=900+45°=135°,

ZCEF=ZBFE+ZEBF=900+45°=135°,

???ZABF=ACEF,

在AABF和△CEF中，

AB=CE

<NABF=ZCEF

BF=EF

：.AABF^ACEF（S4S）,

AAF=CF,ZAFB=/CFE,

:.ZAFC=NCFE+ZAFE

=ZAFB^-ZAFE

=ZBFE

=90°,

AC=VAF2+CF2=V2AF2=y/2AF，

??,在RtABC中，AB2+BC2=AC2

AB2+BC2=2AF2,

:.AB2+AD2=2AF2.

②點(diǎn)E是5C的三等分點(diǎn)，

分兩種情況:

第一種情況：等BF=：1，設(shè)BF=EF=a,

nCJ

由①可知：在△BEE中，NEFB=90°,BF=EF,

?*-BE=y/BF2+EF2=Va2+a2=-Jia，

BC=3BE=3島,EC=BC-BE=^a-^a=2y[la,

?*-AD=BC=3缶

由①可知：在△￡>CE中，ZDCE=90°,EC=DC,

由①可知：在&NFC中，ZNFC=90°,

y/13a

NF5二而

：.sinNNCF=——

NC1372(7-26

5

,:△ABFdCEF,

：.ZBAF=NECF,

??/DAM-0"

??sin/BAN----;

26

第二種情況：黑RF=［2，設(shè)BF=EF=b,

nCJ

由①可知：在△BFE中,N￡7中=90。，BF=EF,

,?BE—VBF2+EF2—yjb2+b2=yf2b,

ABC=-BE=^^-,EC=BC-BE=

22

???AD=BC=^^-

2

由①可知：在△DCE中，ZDCE=90°,EC=DC,

:.AB=DC=EC當(dāng)

DE=yjEC2+DC2=

：.DF=EF+DE=b+b=2b,

AB2+AD2=2AF2,

=2AF2,

??AF=----,

2

?Mb

??CF=AF=----

2

'：BC//AD,

ZFNE=ZFAD,/FEN=/FDA,

：.AFNEs&AD,

,NEFE

??而一而‘

NEb

30b-2b,

2

.3也

4

.入m“_3??41b_5.

424

由①可知：在一MC中，ZNFC=90°,

Wb

NF

sinZNCF=—=T-=