壓軸專題17新定義問題

典題固基礎(chǔ)

例題1對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOv中的定點(diǎn)P和圖形尸，給出如下定義：若在圖形尸上存在一點(diǎn)N,使得點(diǎn)Q

與點(diǎn)尸關(guān)于直線QV對(duì)稱，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)尸關(guān)于圖形廠的定向?qū)ΨQ點(diǎn).

>'A

3卜

2r

IB

IIII111|r

?3?2-1|23^

-1卜

■2r

⑴如圖，41,0),8(1,1),尸(0,2)

①點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)A的定向?qū)ΨQ點(diǎn)的坐標(biāo)是.

②在點(diǎn)1),M(0,-l),M(2,0)中，是點(diǎn)P關(guān)于線段A8的定向?qū)ΨQ點(diǎn).

⑵直線/：y=x+b分別與X軸，y軸交于點(diǎn)G,H,?！ㄊ且渣c(diǎn)/(3,0)為圓心，r(r>0)為半徑的圓.當(dāng)

r=1時(shí)，若。M上存在點(diǎn)K,使得它關(guān)于線段G/Z的定向?qū)ΨQ點(diǎn)在線段G8上，求6的取值范圍.

s新題型特3

1.對(duì)于一個(gè)兩位數(shù)7〃=油，(O464a49,14a+Z?49),記/(〃z)=a+Z?,將相的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和、

十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的差分別作為〃/的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，新形成的兩位數(shù)加叫做m的伴生和差數(shù)，把

機(jī)放置于加十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之間，就可以得到一個(gè)新的四位數(shù)最小的/為,若/能被7

整除，則的最小值為_______.

F[m)

2.定義：在平面直角坐標(biāo)系方為中，若尸、。的坐標(biāo)分別為(a,無)、。(無2，%)，則稱|玉-龍2|+|%-%|為若

P、。的“絕對(duì)距離”,表示為非2.

【概念理解】

(1)一次函數(shù)，=-2無+6圖像與x軸、y軸分別交于A、8點(diǎn).

①為；

②點(diǎn)N為一次函數(shù)y=—2x+6圖像在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，dAN=5,求N的坐標(biāo)；

3

③一次函數(shù)了=%+萬(wàn)的圖像與，軸、A8分別交于C、D點(diǎn),尸為線段CD上的任意一點(diǎn)，試說明：服^=4族；

【問題解決】

(2)點(diǎn)41,2)、。(。⑼為二次函數(shù)y=Y-力吠+〃圖像上的點(diǎn)，且。在尸的右邊，當(dāng)6=2時(shí)，dPQ=4.若

b<2,求dp。的最大值；

(3)已知尸的坐標(biāo)為(U)，點(diǎn)。為反比例函數(shù)y=：(x>0)圖像上一點(diǎn)，且Q在尸的右邊，%°=2,試說

明滿足條件的點(diǎn)。有且只有一個(gè).

3.如果一個(gè)自然數(shù)Af的個(gè)位數(shù)字不為0,且能分解成AxB,其中A與B都是兩位數(shù)，A與8的十位數(shù)字

相同，個(gè)位數(shù)字之和為10,則稱數(shù)Af為“合和數(shù)”，并把數(shù)Af分解成M=Ax3的過程，稱為“合分解”.

例如609=21x29,21和29的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為10,

.?.609是“合和數(shù)”.

又如234=18x13,18和13的十位數(shù)相同，但個(gè)位數(shù)字之和不等于10,

,234不是“合和數(shù)”.

(1)判斷168,621是否是“合和數(shù)”？并說明理由；

(2)把一個(gè)四位“合和數(shù)”M進(jìn)行“合分解"，即M=A的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和與B的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之

和的和記為尸(M)；A的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和與B的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和的差的絕對(duì)值記為。(“).令

P(M}

G(M)=e(M),當(dāng)G(M)能被4整除時(shí)，求出所有滿足條件的

4.二次函數(shù)y=爐-2?u的圖象交x軸于原點(diǎn)。及點(diǎn)A.

感知特例

(1)當(dāng)m=1時(shí)，如圖1,拋物線L:y=/-2x上的點(diǎn)8,O,C,A,。分別關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱的點(diǎn)為夕，

O',C,A,D3如下表：

8（-1,3）0（0,0）COTA（一,—）0（3,3）

"（5,-3）O'（4,0）C'（3,l）A（2,0）D（L-3）

①補(bǔ)全表格;

②在圖1中描出表中對(duì)稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為〃.

形成概念

我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象，上的點(diǎn)和拋物線乙上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，則稱V是乙的“孔像拋物線”.例

如，當(dāng)〃?=-2時(shí)，圖2中的拋物線//是拋物線L的“孔像拋物線”.

探究問題

（2）①當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，若拋物線乙與它的“孔像拋物線”〃的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍

為.

②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)加取不同值時(shí)，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)y=的所

有“孔像拋物線”1/,都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式可能是.（填“,=加+法+（?”或",=依2+人龍”

或“、=加+c"或其中a6cHe））；

③若二次函數(shù)y=d-2mx及它的“孔像拋物線”與直線>=根有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求機(jī)的值.

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于線段MN,直線/和圖形W給出如下定義：線段關(guān)于直線/的對(duì)稱

線段為V分別是N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）.若與均在圖形W內(nèi)部（包括邊界），則稱圖形W

為線段MN關(guān)于直線/的“對(duì)稱封閉圖形”.

y1'

6-

5-

4-

3-

2-

1

P

_I-----------1------------1------------1------------1?

-6-5-4-3-2-10123456x

-1

-2

-3

-4

-5

-6

⑴如圖，點(diǎn)P(-1,0).

①已知圖形憶：半徑為1的。。，W2：以線段尸。為邊的等邊三角形，胸：以。為中心且邊長(zhǎng)為2的正

方形，在M,卬2,W3中，線段尸。關(guān)于y軸的“對(duì)稱封閉圖形”是；

②以。為中心的正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,各邊與坐標(biāo)軸平行.若正方形是線段尸。關(guān)于直線>=尤

+6的“對(duì)稱封閉圖形”，求。的取值范圍；

⑵線段MN在由第四象限、原點(diǎn)、x軸正半軸以及y軸負(fù)半軸組成的區(qū)域內(nèi)，且的長(zhǎng)度為2.若存在點(diǎn)

Q(a-2aa+2拒)，使得對(duì)于任意過點(diǎn)。的直線/,有線段MN,滿足半徑為廠的。。是該線段關(guān)于/

的“對(duì)稱封閉圖形”，直接寫出廠的取值范圍.

6.我們定義：如圖1,在VA5C與△AB'C'中，兩三角形有公共頂點(diǎn)A,A3所在射線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到AC所

在射線，AE所在射線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)夕到AC所在射線，/BAC=a,/*AC'=Aa+夕=180°,嘿=9」，則

ABAC

我們稱VABC與△AB'C'互為"旋補(bǔ)比例三角形”.

(1)如圖1,VABC與△AS'C'互為旋補(bǔ)比例三角形，N姑C=60°,4B=6,AC=3,4g'=2時(shí)，?ZB'AC

S，，

,②；

\ABC

(2)如圖2,在VABC中，AD13C于點(diǎn)O,DL4與△ZMC互為旋補(bǔ)比例三角形，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E,使

EB=BD,連結(jié)AE,求證：.54E與V8C4互為旋補(bǔ)比例三角形；

⑶如圖3,在△。48中，44。3=135°,點(diǎn)A在x軸的正半軸上，OA=2,點(diǎn)B在第二象限，02=20,

拋物線y=爐+b尤+c經(jīng)過點(diǎn)8,與，軸交點(diǎn)為(0,5),△OPQ(點(diǎn)O,P,Q按逆時(shí)針排列)與△OAB互為旋

補(bǔ)比例三角形，點(diǎn)尸在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A3尸構(gòu)成的三角形是以A3為腰的等腰三角形時(shí)，求

點(diǎn)。的坐標(biāo).

7.黨的二十大報(bào)告指出：“高質(zhì)量發(fā)展”是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家的首要任務(wù)，在數(shù)學(xué)中，我們不妨

約定：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果點(diǎn)尸(根〃)的坐標(biāo)滿足則稱點(diǎn)P為“高質(zhì)量發(fā)展點(diǎn)

⑴若點(diǎn)尸（加,4）是反比例函數(shù)y=：（左為常數(shù)，k手0）的圖象上的“高質(zhì)量發(fā)展點(diǎn)”求這個(gè)反比例函數(shù)的解

析式；

⑵若函數(shù)y=2無+3-夕（。為常數(shù)）圖象上存在兩個(gè)不同的“高質(zhì)量發(fā)展點(diǎn)”，且這兩點(diǎn)都在第一象限，求P

的取值范圍；

⑶若二次函數(shù)（a,6是常數(shù)，。>1）的圖象上有且只有一個(gè)“高質(zhì)量發(fā)展點(diǎn)”，令

w=-b2-8（a-l）,當(dāng)/-IVbV/"時(shí)，w有最大值―，求f的值.

8.對(duì)于任意一個(gè)四位數(shù)N,如果N滿足各個(gè)位上的數(shù)字互不相同，且個(gè)位數(shù)字不為0,N的百位上的數(shù)字

與十位上的數(shù)字之差是千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之差的2倍，則稱這個(gè)四位數(shù)N為“雙減數(shù)”.對(duì)于一

個(gè)“雙減數(shù)"N=兩，將它的千位和百位構(gòu)成的兩位數(shù)為瓦，個(gè)位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)為五，規(guī)定：

F（N）=.例如：N=7028.因?yàn)?x（7—8）=0-2,故7028是一個(gè)“雙減數(shù)”,貝UF（7028）=8*=-1,

（1）判斷9527,6713是否是“雙減數(shù)”，并說明理由，如果是，并求出P（N）的值；

⑵若自然數(shù)A為“雙減數(shù)”，尸（⑷是3的倍數(shù)，且A各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被13整除，求A的值.

9.【閱讀理解】定義：在平面直角坐標(biāo)系龍帆中，點(diǎn)P為拋物線C的頂點(diǎn)，直線/與拋物線C分別相交于

M,N兩點(diǎn)（其中點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)），與拋物線C的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)°,若記S（1,C）=P。?,則稱S（/,C）

是直線/與拋物線C的“截積”.

【遷移應(yīng)用】根據(jù)以上定義，解答下列問題：如圖，若直線/的函數(shù)表達(dá)式為丫=尤+2.

⑴若拋物線C的函數(shù)表達(dá)式為y=2/-1,分別求出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)及S（/,C）的值；

⑵在（1）的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)尸作直線/的平行線現(xiàn)將拋物線C進(jìn)行平移，使得平移后的拋物線C'的頂點(diǎn)

尸'落在直線/'上，試探究S（/,C'）是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由；

⑶設(shè)拋物線C的函數(shù)表達(dá)式為y=“（x-/7）2+k,若S（/,C）=6五，MN=g且點(diǎn)尸在點(diǎn)。的下方，求

a的值.

10.x、y是一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)變量，若當(dāng)aWg6時(shí)，有底底6（a<6）,則稱此函數(shù)為爛爛6上的閉函數(shù).如

y=-A-+3,當(dāng)x=l時(shí)y=2；當(dāng)x=2時(shí)y=l,即當(dāng)1$區(qū)2時(shí)，1W）K2,所以y=-x+3是1WE2上的閉函

數(shù).

⑴請(qǐng)說明y=—是iw爛30上的閉函數(shù)；

x

⑵已知二次函數(shù)y=N+4x+A是云爛-2上的閉函數(shù)，求人和f的值；

⑶在（2）的情況下，設(shè)A為拋物線頂點(diǎn)，8為直線上一點(diǎn)，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，若△A8C為等

腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出它的腰長(zhǎng)為—.

11.在一次數(shù)學(xué)社團(tuán)活動(dòng)中，小晨同學(xué)所在的小組把兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1,對(duì)稱軸相同，且圖象與x軸

交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)，命名為“和合對(duì)稱二次函數(shù)”，對(duì)應(yīng)圖象命名為“和合對(duì)稱拋物線”，并把兩個(gè)函數(shù)圖

象上橫坐標(biāo)相同的對(duì)應(yīng)點(diǎn)稱之為“和合點(diǎn)”，針對(duì)該構(gòu)想，小展同學(xué)用二次函數(shù)丁=-/+2?以作為其中一個(gè)函

數(shù)（標(biāo)記該函數(shù)圖象交x軸于原點(diǎn)。及點(diǎn)A）做了有關(guān)研究，請(qǐng)你幫他解答.

【特例感知】（1）當(dāng)機(jī)=2時(shí)，如圖，拋物線Ly=-x2+4x上的點(diǎn)O,8,C,￡）,A關(guān)于與之對(duì)應(yīng)的“和合對(duì)稱拋

物線”圖像〃的“和合點(diǎn)”分別為O'NC,。'，4.如下表:

0(0,0)8(1,3)C（2,4）D（3,3）A（—，—）

0(0,0)?(1,-6)C(2,-8)D'(3,-6)A（4,0）

①補(bǔ)全表格；

②畫圖：在圖中描出表中對(duì)應(yīng)的“和合點(diǎn)”，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到“和合對(duì)稱拋物線”圖象

【初步探討】（2）①當(dāng)加=-1時(shí)，若拋物線L的頂點(diǎn)為點(diǎn)尸，點(diǎn)尸對(duì)應(yīng)的“和合點(diǎn)”為點(diǎn)Q,則由點(diǎn)。、尸、A、

Q四點(diǎn)所圍成的四邊形的面積為；

②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)機(jī)取不同值時(shí)，通過畫圖發(fā)現(xiàn)與二次函數(shù)y=+2.丫對(duì)應(yīng)的“和合對(duì)稱拋

物線”圖象中，存在一條拋物線〃，其頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)恰好互為相反數(shù)，請(qǐng)求出拋物線V的解析式.

【進(jìn)階探究】（3）若拋物線L：y=-/+2皿及與它對(duì)應(yīng)的“和合對(duì)稱拋物線”//與直線y=有且只有三個(gè)

交點(diǎn)，求機(jī)的值.

12.對(duì)于函數(shù)/⑴，若/(x)=x,則稱x為〃x)的“不動(dòng)點(diǎn)”;若〃/(尤))=x,則稱x為/(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)”.

⑴求證：若X為/(%)的“不動(dòng)點(diǎn)”，則X為〃力的“穩(wěn)定點(diǎn)”;

⑵若"X)=依2-1(?eR,xwR).若函數(shù)存在“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”，且函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”集合分別

記為A和8,即4={尤"(x)=x},B={x|/(/(%))=%},且A=B,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

13.如圖，已知直線3y=x+3,點(diǎn)3(0,。)在直線乙上，y=%x+"是過定點(diǎn)尸(1,0)的一簇直線.嘉淇用

繪圖軟件觀察機(jī)與力的關(guān)系，記>=+7?過點(diǎn)B時(shí)的直線為個(gè)

(1)求6的值及的解析式；

(2)探究相與"的數(shù)量關(guān)系：當(dāng)y=〃比+〃與y軸的交點(diǎn)為(0,1)時(shí)，記此時(shí)的直線為4,嘉淇發(fā)現(xiàn)無論是4還

是4，機(jī)和〃總滿足一定的關(guān)系，求出這個(gè)關(guān)系(用機(jī)來表示〃).

(3)當(dāng)直線y=mx+〃與直線《的交點(diǎn)為整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))，且機(jī)的值也為整數(shù)時(shí)，這些點(diǎn)才稱為“美

好點(diǎn)”.

①嘉淇用繪圖軟件在圖中框住一個(gè)正方形視窗(-3WxW3,-3VyW3),在所看到的視窗區(qū)域，求能出現(xiàn)“美

好點(diǎn)''時(shí)m的值；

②在①中視窗的大小不變情況下，改變其可視范圍，且變化前后原點(diǎn)。始終在視窗中心.現(xiàn)將圖2中坐標(biāo)

系的單位長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼?，使得在視窗內(nèi)能看到所有“美好點(diǎn)”，直接寫出左的最小整數(shù)值.

12,

—x+bx+c,x>0

14.函數(shù)y=5]的圖象稱為“類拋物線廣，已知“類拋物線7'經(jīng)過原點(diǎn)0(0,0),A(-2,7).

—x2+mx,x<0

I4

(1)求m，c的值;

(2)當(dāng)“3時(shí)，

①若點(diǎn)8在“類拋物線一上，判斷VAO3是否可能為以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？并說明理由;

②”(4％),NH，%)是“類拋物線廠上的任意兩點(diǎn)，其中。<再426,x2<0.試探究是否存在實(shí)數(shù)b,使

得當(dāng)％=>2時(shí)，始終有無/+&<0,若存在，求實(shí)數(shù)6的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

15.【定義新知】

定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個(gè)角的夾邊稱為鄰余線.

（1）如圖1,在5x4的方格中，點(diǎn)A、8在格點(diǎn)上，請(qǐng)畫出一個(gè)符合條件的鄰余四邊形使得AB是鄰余

線，點(diǎn)昆尸在格點(diǎn)上；

圖1

【問題研究】

⑵如圖2,已知四邊形ABCD是以為鄰余線的鄰余四邊形，AB=20,AD=8,BC=4,ZADC=135°,

求CO的長(zhǎng)；

【問題解決】

⑶如圖3是某公園的一部分，四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線ACBD交于點(diǎn)0,點(diǎn)E在OC上，，BOC

是一個(gè)人工湖，OQ是湖上的一座橋，現(xiàn)公園規(guī)劃人員要在橋上修建一個(gè)湖心亭若的延長(zhǎng)線與08

的交點(diǎn)為凡按規(guī)劃要求M是所的中點(diǎn).已知3c=200米，AC=240米，CQ=60米，OE=2EC,且四

邊形BCEF始終是以BC為鄰余線的鄰余四邊形.規(guī)劃人員經(jīng)過思考后,在圖紙上找出AB的中點(diǎn)N,連接EN,

與OB、OQ的交點(diǎn)分別是點(diǎn)產(chǎn)和點(diǎn)M的位置.請(qǐng)問，按照規(guī)劃人員的方法修建的湖心亭M是否符合規(guī)劃的

要求？請(qǐng)說明理由.

16.二次函數(shù)？=爐-的圖象交x軸于原點(diǎn)。及點(diǎn)A.

【感知特例】

（1）當(dāng)〃?=1時(shí)，如圖1,拋物線L：>=爐-2x上的點(diǎn)3,0,C,A,。分別關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱的點(diǎn)為夕,

O',C,AlDC,如表：

0（0,0）C（1，T）A（一,—）0（3,3）

3'（5,-3）O'（4,0）C（3,l）A（2,0）。（1,一3）

①補(bǔ)全表格；

②在圖1中描出表中對(duì)稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為〃.

【形成概念】

我們發(fā)現(xiàn)形如(1)中的圖象〃上的點(diǎn)和拋物線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，則稱〃是的“孔像拋物線”.例如，

當(dāng)〃7=-2時(shí)，圖2中的拋物線〃是拋物線的“孔像拋物線

【探究問題】

(2)①當(dāng)加=-1時(shí)，若拋物線L與它的“孔像拋物線”〃的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍為

②若二次函數(shù)y=及它的“孔像拋物線”與直線、=機(jī)有且只有三個(gè)交點(diǎn)，直接寫出機(jī)的值______；

③在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)機(jī)取不同值時(shí)，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)y=的所

有“孔像拋物線”V都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式為.

17.如圖，拋物線y=o?+歷:的頂點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)C.過點(diǎn)A作線段48垂直y軸交于點(diǎn)2,

過點(diǎn)C作線段C。垂直拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D我們稱矩形ABCD為拋物線y=o?+歷;+c3wO)的“伴隨

矩形”.

⑴請(qǐng)根據(jù)定義求出拋物線y=2/+4x-2的“伴隨矩形"ABCD的面積；

(2)已知拋物線y=-V-3x+2的“伴隨矩形”為矩形ABCD,若矩形A38的四邊與直線y=如+1共有兩

3加

個(gè)交點(diǎn)，且與雙曲線y=生無交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出機(jī)的取值范圍；

X

33

⑶若對(duì)于開口向上的拋物線〉=依2+法+]3/0),當(dāng)y=0時(shí)，方程以2+灰+]=。的兩個(gè)根為孫馬,且

滿足下列條件：①該拋物線的“伴隨矩形"ABCD為正方形；②(其中&BCD表示矩形A5CD的面

積)；③丁+君+(2-gf)無也的最小值為-207.請(qǐng)求出滿足條件的/值.

壓軸專題17新定義問題

爭(zhēng)：典題固基礎(chǔ)

例題1對(duì)于平面直角坐標(biāo)系尤6中的定點(diǎn)尸和圖形尸，給出如下定義：若在圖形下上存在一點(diǎn)N,使得點(diǎn)Q

與點(diǎn)尸關(guān)于直線ON對(duì)稱，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)尸關(guān)于圖形F的定向?qū)ΨQ點(diǎn).

H

-3-2-1|23*

-2卜

⑴如圖，4L0),8(1,1),尸(0,2)

①點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)A的定向?qū)ΨQ點(diǎn)的坐標(biāo)是.

②在點(diǎn)(0,-1),3(0,-1),M(2，。)中，是點(diǎn)尸關(guān)于線段的定向?qū)ΨQ點(diǎn).

⑵直線/：>=x+b分別與x軸，》軸交于點(diǎn)G,H,。/是以點(diǎn)M(3,0)為圓心，r(r>0)為半徑的圓.當(dāng)

r=1時(shí)，若。M上存在點(diǎn)K,使得它關(guān)于線段G8的定向?qū)ΨQ點(diǎn)在線段上，求6的取值范圍.

【答案】⑴①(0,-2)；②弧

⑵滿足條件的》的取值范圍是3-&V6V3+0或-4A歷〈叱血7.

【分析】(1)①求出點(diǎn)P關(guān)于直線Q4的對(duì)稱點(diǎn)T即可；②由題意。尸=2,滿足條件的點(diǎn)在以。為圓心2

為半徑的圓上(圖中弧力^3)，由此判斷即可；

(2)分6>0,b<0,求出兩種特殊位置》的值即可；如圖所示，當(dāng)6>0時(shí)，作關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形。

M',當(dāng)直線G"與。AT在第三象限相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P,連接月VT；如圖所示，當(dāng)6<0時(shí)，以。為圓心，

4為半徑作。。，當(dāng)直線GH與。。在第四象限點(diǎn)相切于點(diǎn)P時(shí),連接OP,分別求出OH的值即可解決問題.

【詳解】(1)①如圖1中，

圖I

?.?8(1,1),尸(0,2),

???點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)r(0,-2),

故答案為：(0,-2)；

②如圖2中，

由題意得：OP=2,

滿足條件的點(diǎn)在以。為圓心2為半徑的圓上(圖中弧力%)，

二點(diǎn)加3是點(diǎn)尸關(guān)于線段的定向?qū)ΨQ點(diǎn)，

故答案為：M3

(2)如圖3,

圖3

當(dāng)b>0時(shí)，作?！瓣P(guān)于〉軸的對(duì)稱圖形QM',當(dāng)直線G8與。AT在第三象限相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為尸，連接

PM',

由題意得：tan/〃GO=l,

ZPGM=45°,

?：PM'=1,ZM'PG=9Q°,

M'G=s/2M'P=y/2,

OG=GM-OM=3-42,

OH=OG=3-yf2,

.?.直線解析式為：y=x+3-也,

同理，直線G"與。AT在第二象限相切時(shí)，直線解析式為：y=x+3+&,

由圖可知：滿足條件的人的取值范圍是3-&4643+0;

當(dāng)6<0時(shí)，以。為圓心，4為半徑作。0,當(dāng)直線G//與。。在第四象限點(diǎn)相切于點(diǎn)尸時(shí)，連接OP,

0H=4啦,

直線解析式為：y=x-4叵,

當(dāng)直線與。M相切時(shí)，此時(shí)直線解析式為：y=x+戊-3,

由圖可知：滿足條件的6的取值范圍是-4應(yīng)

綜上所述：滿足條件的6的取值范圍是3-亞V643+0或T應(yīng)46W夜-3.

【點(diǎn)睛】考查了定向?qū)ΨQ點(diǎn)的定義，直線與圓的位置關(guān)系，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意,

學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用特殊位置解決問題.

練新題型特訓(xùn)

1.對(duì)于一個(gè)兩位數(shù)加=方，l<a+649),記尸(M=a+b,將相的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和、

十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的差分別作為〃的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，新形成的兩位數(shù)/叫做m的伴生和差數(shù)，把

加放置于加十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之間，就可以得到一個(gè)新的四位數(shù)最小的M為,若/能被7

整除，則§4的最小值為.

【答案】11011/0.5

【分析】本題為新定義問題，考查了整式的加減，分?jǐn)?shù)加減的逆用等知識(shí)，根據(jù)題意用“、6寫出四位數(shù)M

的表達(dá)式，根據(jù)。、6的范圍，可得最小的因?yàn)镸能被7整除，所以可知〃和b的取值，即得總I的

最小值.

【詳解】解：???兩位數(shù)冽的十位數(shù)字是。，個(gè)位數(shù)字是〃，兩位數(shù)〃的十位數(shù)字是5+%個(gè)位數(shù)字是3-。)，

二.四位數(shù)M=1000(?+力+100a+10b+(a—力=1101a+1009Z?,

，當(dāng)a=l,b=0時(shí)，M最小，M=1101,

???M能被7整除，l<a+b<9,

:.a=3,6=1時(shí)，/=4312,

a=5,Z?=4時(shí),M=9541,

〃=6,Z?=2時(shí)，M=8624,

a=7,6=0時(shí)，M=770,

由題意得方(機(jī))=。+人，尸O')=(a+b)+(a—b)=2a,

.F(m)a+b1b,

??二/，\=F=3+丁取小，

b[m)2a22a

b

即s最小，

2a

tF(m)1

a=7,b=0時(shí)，(,、=~.

F(m)2

故答案為：1101,；

2.定義：在平面直角坐標(biāo)系x0y中，若尸、。的坐標(biāo)分別為(孫4)、％)，則稱卜-龍2|+|%-%|為若

P、。的“絕對(duì)距離”，表示為的

【概念理解】

(1)一次函數(shù)y=-2x+6圖像與X軸、y軸分別交于A、B點(diǎn).

①“AB為；

②點(diǎn)N為一次函數(shù)y=-2x+6圖像在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，dAN=5,求N的坐標(biāo)；

3

③一次函數(shù)y=x+；的圖像與y軸、A3分別交于C、￡)點(diǎn)，尸為線段C。上的任意一點(diǎn)，試說明：dAP=dBP.

【問題解決】

(2)點(diǎn)尸(1,2)、Q(a,b)為二次函數(shù)+“圖像上的點(diǎn)，且。在尸的右邊，當(dāng)6=2時(shí)，盛°=4.若

b<2,求(°的最大值;

3

(3)已知P的坐標(biāo)為(U),點(diǎn)。為反比例函數(shù)>=；(x>0)圖像上一點(diǎn)，且。在尸的右邊，dPQ=2,試說

明滿足條件的點(diǎn)。有且只有一個(gè).

(410、25

【答案】(1)①9；②十??；③見解析；(2)一；(3)見解析

U3)4

【分析】(1)①由y=-2x+6得4(3,0),5(0,6),即得％=|3-0卜|0-6|=9；

4

②設(shè)N&-2/+6),由N在第一象限得0</<3,根據(jù)4v=5得：|3-|+|0+2/-6|=5,即可解得/

3

由」=計(jì)得設(shè)尸卜，加+?

③由y=x+|中，得33

0<m<—,即得

,”X22

=

d^p=?！獣r(shí)+0—rn—=3—z/z+z/tH—=—,d^p|0—時(shí)+6—m——YYI-\-------YYI——,從而1正明dAP—；

(2)將尸(1,2)代入y=%2-g；+九得根=〃一i,即知二次函數(shù)為y=f一(〃-1卜+〃，當(dāng)人=2時(shí),

2=a2—Cn—X)a+n,可解得。=〃一2或a=l,根據(jù)Q在尸的右邊，可得。(〃一2,2),又盛°=4,有

〃一2—1|+〔2—21=4,即〃—3=4,n=7,二次函數(shù)為j=%2—6%+7,貝!6々+7,因Z?<2,所以lvav5,

即得=卜—1?2—6a+7-2|=—[—：]+等，故”0°的最大值為1；

（3）設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（九21依題意可知：m>l,得出為2=|m-1|+2-1=m-1+2-1=2,分類求出

加的值即可得出答案.

【詳解】解：（1）①在y=-2x+6中，令尤=0得y=6,令y=0得x=3,

A（3,0）,8（0,6）,

■?■^B=|3-0|+|0-6|=9；

②設(shè)N（「2/+6）,

QN在第一象限，

[-2^+6>0

解得0<t<3,

由4^=5得：|3-1+|0+2/-6|=5,

3—，一21+6=5，

y=-lx+63

x=—

由，3得，2,

…2

U=3

P為線段CD上的點(diǎn),

3

/.0<m<—,

2

339

dAP=13—JTU+0—in—=3—m~\~in-\—=—,

AP11222

,I,399

aBP=|0-m|+o-m——=m-\-----m=—,

(2)將尸(1,2)代入>=%2_加1+〃得：2=1—m+〃，

?二二次函數(shù)為丁=九2—(〃一1)%+〃，

當(dāng)/?=2時(shí)，2=儲(chǔ)—(〃—l)a+〃，

解得〃=〃—2或4=1,

。在尸的右邊，

:.a=n-2S.n>3,

..。(〃-2,2),

dp。-4,

/.|n—2—1|+|2—2|=4,即〃-3二4,

..〃=7,

???二次函數(shù)為y=%2—6x+7,

b—a2—6〃+7,

b<2,

/.a?—6〃+7v2,即/—6〃+5<0,

:A<a<5,

dpQ=+,2—6a+7-2|

二|〃-+卜2—6Q+5|

=a—1—a2+6a—5

——/+7a—6

25

+一

4

??dPQ的最大值為7;

（3）設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為[九依題意可知：m＞l,

33

所以dp。=\rn—1H------1=根—]H--------1,

mm

33

若一＞1,即機(jī)《3,d------1=2,所以m=1（舍去）或加=3,

mPQm

33

若一＜1,即機(jī)＞3,dQ=m-1------F1=2,所以a=—1（舍去）或加=3（舍去），

mPm

所以，滿足條件的點(diǎn)。有且只有一個(gè)，是（3,1）.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及新定義、去絕對(duì)值、二次函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂“絕對(duì)

距離”的定義，根據(jù)已知確定字母范圍去絕對(duì)值.

3.如果一個(gè)自然數(shù)M的個(gè)位數(shù)字不為0,且能分解成4x3,其中A與3都是兩位數(shù)，A與3的十位數(shù)字

相同，個(gè)位數(shù)字之和為10,則稱數(shù)M為“合和數(shù)”，并把數(shù)M分解成M=Ax3的過程，稱為“合分解”.

例如609=21x29,21和29的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為10,

，609是“合和數(shù)”.

又如.234=18x13,18和13的十位數(shù)相同，但個(gè)位數(shù)字之和不等于10,

,234不是“合和數(shù)”.

（1）判斷168,621是否是“合和數(shù)”？并說明理由；

（2）把一個(gè)四位“合和數(shù)”M進(jìn)行“合分解"，即河=Ax3.A的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和與B的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之

和的和記為尸（/）;A的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和與3的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和的差的絕對(duì)值記為。（河）.令

P（M}

G（M）=t，當(dāng)G（“）能被4整除時(shí)，求出所有滿足條件的

Q（M）

【答案】（1）168不是“合和數(shù)”，621是“合和數(shù)，理由見解析；（2）M有1224,1221,5624,5616.

【分析】（1）首先根據(jù)題目?jī)?nèi)容，理解“合和數(shù)”的定義：如果一個(gè)自然數(shù)知的個(gè)位數(shù)字不為0,且能分解

成其中A與8都是兩位數(shù)，A與8的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為10,則稱數(shù)”為“合和數(shù)”，再

判斷168,621是否是“合和數(shù)”；

（2）首先根據(jù)題目?jī)?nèi)容，理解“合分解”的定義.引進(jìn)未知數(shù)來表示A個(gè)位及十位上的數(shù)，同時(shí)也可以用來

P（M）

表示然后整理出：G（M）=￡=,根據(jù)能被4整除時(shí)，通過分類討論，求出所有滿足條件的

。（四）

【詳解】解：（1）

168不是“合和數(shù)”，621是“合和數(shù)”.

168=12x14,2+4/10,

168不是“合和數(shù)”，

621=23x27,十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字3+7=1。，

，621是“合和數(shù)”.

（2）設(shè)A的十位數(shù)字為"?，個(gè)位數(shù)字為"（m,〃為自然數(shù)，且3V"?W9,,

則A=10m+n,B=10m+10—n.

P(M)=m+n+m+10—zz=2m+10,Q(M)=|(m+zz)-(m+10-n)|=|2w-10|.

/xP(M)2m+10m+5

=4k（左是整數(shù)）.

3<m<9,

/.8<m+5<14,

“是整數(shù)，

m+5=8或切+5=12,

①當(dāng)機(jī)+5=8時(shí)，

lm+5=8fm+5=8

小幾-5|=1或jj5|=2，

一.M=36x34=1224或M=37x33=1221.

②當(dāng)機(jī)+5=12時(shí)，

m+5=12Jm+5=12

|n-5|=1或〃一5|=3'

=76x74=5623或M=78x72=5616.

綜上，滿足條件的M有1224,1221,5624,5616.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義問題，解題的關(guān)鍵是：首先要理解題中給出的新定義和會(huì)操作題目中所涉及的

過程，結(jié)合所學(xué)知識(shí)去解決問題，充分考察同學(xué)們自主學(xué)習(xí)和運(yùn)用新知識(shí)的能力.

4.二次函數(shù)y=爐-2:內(nèi)的圖象交x軸于原點(diǎn)。及點(diǎn)A.

感知特例

（1）當(dāng)〃?=1時(shí)，如圖1,拋物線工：y=/-2x上的點(diǎn)8,O,C,A,。分別關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱的點(diǎn)為笈,

O',C,A,Df,如下表：

5（-1,3）0（0,0）C（1，TA（一,—）。（3,3）

?（5,-3）O'（4,0）C'（3,l）A（2,0）D（l,-3）

①補(bǔ)全表格；

②在圖1中描出表中對(duì)稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為〃.

形成概念

我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象〃上的點(diǎn)和拋物線L上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，則稱，是L的“孔像拋物線”.例

如，當(dāng)相=-2時(shí)，圖2中的拋物線//是拋物線L的“孔像拋物線”.

探究問題

（2）①當(dāng)〃2=-1時(shí)，若拋物線L與它的“孔像拋物線”〃的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍

為;

②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)加取不同值時(shí)，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)y=V-2：心的所

有“孔像拋物線”Z/,都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式可能是.（填"y=加++c”或“y=ax2+bx'

或“、=加+c"或"y=渥"，其中a6cH0）；

③若二次函數(shù)y=x2-2mx及它的“孔像拋物線”與直線丫=根有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求機(jī)的值.

【答案】（1）①2,0；②見解析；（2）①-3WxW-l；?y=ax2；③ni=±l.

【分析】（1）①根據(jù)中心對(duì)稱的定義求解即可；②根據(jù)表格，描點(diǎn)，連線即可；

（2）①畫出草圖，利用數(shù)形結(jié)合思想即可求解；②結(jié)合（1）②的圖象以及（2）①的圖象即可回答；③根

據(jù)“孔像拋物線”的性質(zhì)求得圖象心的頂點(diǎn)為尸（利-療），則圖象〃的頂點(diǎn)為P'（3加，行），再根據(jù)題意即可

求解.

【詳解】⑴:點(diǎn)8(-1,3)與點(diǎn)方(5,-3)關(guān)于點(diǎn)4中心對(duì)稱,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(匚『，三立)，即42,0),

(2)①當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，拋物線L為y=f+2x,對(duì)稱軸為x=—l,

7?4

它的“孔像拋物線”〃的解析式為y=-(x+2)(x+4),對(duì)稱軸為X=-芍2=-3，

畫出草圖如圖所示：

拋物線L與它的“孔像拋物線”〃的函數(shù)值都隨著x的增大而減小,

則x的取值范圍為：-34尤〈-1；

②畫出草圖，

由圖象知，這條拋物線的解析式只能是丁=以2；

故答案為：y=ax1-,

③工：y=x2-2mx=（x-m'）2-m2,設(shè)頂點(diǎn)為尸（狼一?。^點(diǎn)P作PM，x軸于點(diǎn)“孔像拋物線”〃的頂

點(diǎn)為P,過點(diǎn)尸'作軸于點(diǎn),

由題意可知△PMA^/^P'M'A,

得“（3加，0）,所以P'（3加，蘇），

???拋物線L及“孔像拋物線”V與直線產(chǎn)機(jī)有且只有三個(gè)交點(diǎn),

一%2=根或加2=m,

解得m=±1或0,

當(dāng)根=0時(shí)，y=工2與丁=一%2只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，舍去,

m=±1.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次

函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于線段MN,直線/和圖形W給出如下定義：線段MN關(guān)于直線/的對(duì)稱

線段為MNYAr,N分別是M,N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）.若MN與MN均在圖形W內(nèi)部（包括邊界），則稱圖形W

為線段MN關(guān)于直線/的“對(duì)稱封閉圖形”.

y1'

6-

5-

4-

3-

2-

1-

P

-6-5-4-3-2-10-123456%

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

-6-

（1）如圖，點(diǎn)、P（-1,0）.

①已知圖形跖：半徑為1的。。，W2：以線段尸。為邊的等邊三角形，W3：以。為中心且邊長(zhǎng)為2的正

方形，在跖，匹，卬3中，線段尸。關(guān)于y軸的“對(duì)稱封閉圖形”是；

②以。為中心的正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,各邊與坐標(biāo)軸平行.若正方形A8CQ是線段尸。關(guān)于直線>=尤

+6的“對(duì)稱封閉圖形”，求6的取值范圍；

（2）線段在由第四象限、原點(diǎn)、龍軸正半軸以及y軸負(fù)半軸組成的區(qū)域內(nèi)，且的長(zhǎng)度為2.若存在點(diǎn)

。a+2近），使得對(duì)于任意過點(diǎn)。的直線/,有線段MN,滿足半徑為r的。。是該線段關(guān)于/

的“對(duì)稱封閉圖形”，直接寫出r的取值范圍.

【答案】⑴①W，%；②6的取值范圍是—146V2

⑵北屈

【分析】（1）①根據(jù)“對(duì)稱封閉圖形”的定義判斷即可；

②記點(diǎn)P,。關(guān)于直線>=x+b的對(duì)稱點(diǎn)分別為p,O',先求出直線PP、直線OO'的解析式，再根據(jù)圖

象找到當(dāng)直線y=x+6隨著。的變化上下平移時(shí)的臨界情況，解答即可；

（2）根據(jù)題意，確定出當(dāng)三角形MON為等腰直角三角形且NMON=90。時(shí)r最小，作關(guān)于直線y=x+4近

的對(duì)稱圖形M'N',用勾股定理求出ON'的長(zhǎng)度即可.

【詳解】（1）解：①線段尸。關(guān)于y軸對(duì)稱圖形為線段OP,即線段PP在圖形W內(nèi)（包括邊界），

其中，P(-1,0),P'(0,1),

故圖形M及W3,符合題意，

故答案為：叱，%.

②記點(diǎn)P,。關(guān)于直線y=x+b的對(duì)稱點(diǎn)分別為P,O',則直線y=x+b垂直平分線段pp和。。，因此直

線尸尸’的解析式為直線OO'的解析式為y=-x,由于線段P。在X軸上，故關(guān)于直線y=x+6的

對(duì)稱后，PO'_L無軸.

如圖，當(dāng)直線y=x+6隨著6的變化上下平移時(shí)，臨界情況是：

當(dāng)點(diǎn)尸對(duì)稱后得到P在y=-2上，即p(1,-2)時(shí)，尸尸中點(diǎn)為(-1,0),此時(shí)b=—l；

當(dāng)點(diǎn)。對(duì)稱后恰好為(2,2)時(shí)，OO'中點(diǎn)為(1,1),此時(shí)6=2.

依題意，6的取值范圍是-1V》V2.

(2)解：由題意知，當(dāng)三角形MON為等腰直角三角形且/MON=90。時(shí)r最小，

由。點(diǎn)坐標(biāo)知，。點(diǎn)在直線y=x+40上運(yùn)動(dòng)，

作線段關(guān)于直線y=x+4夜的對(duì)稱圖形ATN',則r>ON',

取MN中點(diǎn)E,ATN'中點(diǎn)為G,連接EG交直線y=x+4正于R連接ON',如圖所示,

，0￡=1,

設(shè)直線y=x+40■交坐標(biāo)軸于尸、S,貝lJPS=8,

/.OF=4,

由對(duì)稱知，EF=GF=5,GN'=1,

由勾股定理得：0用=衿+段=庖,

故答案為：r>yj^2.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的問題，需要借助軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、一次函數(shù)性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)解題.解

題關(guān)鍵是正確理解題意，作出符合題意的圖形.

6.我們定義：如圖1,在VABC與△AB'C'中，兩三角形有公共頂點(diǎn)A,A8所在射線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到AC所

在射線，AE所在射線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)夕到AC所在射線，/A4C=a,/B'AC'=^a+Q=180°，r=K，則

ABAC

我們稱VABC與△AB'C'互為"旋補(bǔ)比例三角形”.

(1)如圖1,VABC與△AB'C'互為旋補(bǔ)比例三角形，NBAC=60°,AB=6,AC=3,48'=2時(shí)，?ZB'AC

S一

，=；

\ABC

(2)如圖2,在VABC中，AD1BC于點(diǎn)D,D8A與△ZMC互為旋補(bǔ)比例三角形，延長(zhǎng)