2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.函數(shù)y=」—ln(x+l)的圖象大致為()

3.已知點(diǎn)P不在直線/、機(jī)上，貝！1“過點(diǎn)尸可以作無數(shù)個(gè)平面，使得直線/、，”都與這些平面平行”是“直線/、，〃互相

平行”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

x

4.設(shè)尸=伊廿=一/+1,xeR},Q={y\y=2,x￡R},則

A.PQQB.Q工產(chǎn)

C.CRP^QD.QJCRP

5.命題〃：Vx￡(—l,2],x2—2x+QN0(awR)的否定為

2

A.3x()e(-l,2],x()-2x()+a>0(。eR)B.Vxe(-1,2],x-2x+a<0(aeR)

2

C.3x()G(一l,2],x：-2%)+a<0(aeR)D.Vx^(-l,2J,x-2x+6f<0(6teR)

6.已知點(diǎn)4—3,0),8(0,3),若點(diǎn)p在曲線丫=_位了上運(yùn)動(dòng),則△PAB面積的最小值為()

A.6B.3C.『I五|+卡

7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

俯視圖

2145

A.-B.-C.一D.

3336

r2V2

8.已知點(diǎn)尸在橢圓r：\+4=l(a>Z?0)±,點(diǎn)尸在第一象限,點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為A,點(diǎn)尸關(guān)于x軸的對(duì)

CTb2

稱點(diǎn)為Q,設(shè)麗4吸直線皿與橢圓’的另一個(gè)交點(diǎn)為不若PC則橢圓T的離心率右()

]_V2

A.B.D.

222

+]x>0

9.已知函數(shù)/*)='八是奇函數(shù)，則g(/(—D)的值為()

g(x),x<0

A.-10B.-9D.1

10.函數(shù)〃x)=2/-以2+1在(0,+。)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則”的值為()

A.3B.13C.2D.-2

11.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-451Goi中，P為4"的中點(diǎn)，若三棱錐P-A5C的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上,

則球o的表面積為（）

12.已知函數(shù)f（x）=lnx,若尸（x）=/（x）-3區(qū)2有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)人的取值范圍為（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某種圓柱形的如罐的容積為128乃個(gè)立方單位，當(dāng)它的底面半徑和高的比值為.時(shí)，可使得所用材料最省.

14.某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為5:5:4,現(xiàn)按年級(jí)采用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的高

三年級(jí)為12人，則抽取的樣本容量為人.

15.定義在R上的偶函數(shù)“X）滿足/（e+x）=/（e-x）,且/（0）=0,當(dāng)xe（0,e］時(shí)，=Inx.已知方程

〃x）=1sin仁光）在區(qū)間卜⑻上所有的實(shí)數(shù)根之和為3".將函數(shù)g（x）=3sin2序］+1的圖象向右平移"個(gè)

單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)〃（x）的圖象，則。=,〃（8）=.

16.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為尸，斜率為2的直線/與。的交點(diǎn)為A3,若|A尸I+IB用=5,則直線/的方

程為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）（本小題滿分12分）已知橢圓C：二+三=/（二〉二＞0）的離心率為1,連接橢圓四個(gè)頂點(diǎn)形成的四邊

形面積為4\工

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)A（L0）的直線與橢圓C交于點(diǎn)M,N,設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且三+三=二三（二=0）0為坐標(biāo)原點(diǎn),

當(dāng)I三-三|＜二時(shí)，求t的取值范圍.

18.（12分）在底面為菱形的四棱柱A8CD-A用中，AB=AAl=2,AtB=AlD,ZBAD=6Q°,AC[}BD^O,AOV^-

面ABO.

(1)證明：gc〃平面480；

(2)求二面角的正弦值.

19.(12分)已知不等式一k+1|<2的解集為｛x[a<x<%

(1)求實(shí)數(shù)a,8的值；

3ab、k

(2)已知X>y>z存在實(shí)數(shù)人使得-有-----+------r>----恒成立，求實(shí)數(shù)攵的最大值.

2[x-y)4(y-z)x-z

20.(12分)如圖，在四棱錐產(chǎn)一ABCD中，底面ABCD是矩形，M是處的中點(diǎn)，平面A8CD,且

PD=CD=4?AD-2.

(1)求AP與平面CM3所成角的正弦.

(2)求二面角的余弦值.

L-3V2

X—J----1

2

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，直線/的參數(shù)方程為《廠/為參數(shù)).在以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸

_￡M.

y—\J5H------1

、2

正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓C的方程為0=2石sin?.

(1)寫出直線/的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,指)，圓。與直線/交于A8兩點(diǎn)，求|PA|+|P6|的值.

1J

22.(10分)如圖，橢圓C:7+F=l(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,4,上、下頂點(diǎn)分別為用，層，且用(0,1),

△4用不為等邊三角形，過點(diǎn)(1,0)的直線與橢圓C在.V軸右側(cè)的部分交于加、N兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求四邊形與MNg面積的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，計(jì)算x=l時(shí)的函數(shù)值可排除三個(gè)選項(xiàng).

【詳解】

x>0時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，排除B,—l<x<0時(shí)，函數(shù)也是減函數(shù)，排除D,又x=l時(shí)，y=l-ln2>0,排除C,

只有A可滿足.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，可通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等等排除，可通過

特殊的函數(shù)值，函數(shù)值的正負(fù)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)排除，最后剩下的一個(gè)即為正確選項(xiàng).

2.A

【解析】

用排除法，通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像.

【詳解】

設(shè)g3m由于也尸帚》排除5選項(xiàng)；由于g(e)=S，g(e2)=W

所

22

以g(e)>g(e2),排除C選項(xiàng)；由于當(dāng)時(shí)，g(x)>0,排除。選項(xiàng).故A選項(xiàng)正確.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題.

3.C

【解析】

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

???點(diǎn)P不在直線/、機(jī)上，

，若直線/、機(jī)互相平行，則過點(diǎn)尸可以作無數(shù)個(gè)平面，使得直線/、加都與這些平面平行，即必要性成立，

若過點(diǎn)P可以作無數(shù)個(gè)平面，使得直線/、〃?都與這些平面平行，則直線/、加互相平行成立，反證法證明如下：

若直線/、〃?互相不平行，則〃異面或相交，則過點(diǎn)P只能作一個(gè)平面同時(shí)和兩條直線平行，則與條件矛盾，即

充分性成立

則“過點(diǎn)P可以作無數(shù)個(gè)平面，使得直線/、加都與這些平面平行”是“直線/、相互相平行”的充要條件，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

4.C

【解析】

解：因?yàn)镻={y|y=-x2+l,x￡R}={y|y<1},Q={y|y=2x,xGR}={y|y>0},因此選C

5.C

【解析】

命題，為全稱命題，它的否定為特稱命題，將全稱量詞改為存在量詞，并將結(jié)論否定，可知命題P的否定為

e(-1,2],x：-2x0+a<O(aeR),故選C.

6.B

【解析】

求得直線AB的方程，畫出曲線表示的下半圓，結(jié)合圖象可得P位于(-1,0),結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)的距離

公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.

【詳解】

解：曲線y=—Jl—x?表示以原點(diǎn)。為圓心,1為半徑的下半圓(包括兩個(gè)端點(diǎn))，如圖，

直線A3的方程為x-y+3=0,

可得|A8|=3夜，由圓與直線的位置關(guān)系知P在(-1,0)時(shí)，尸到直線AB距離最短，即為1一：+上二癡,

則△尸45的面積的最小值為-X3V2X>/2=3.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形面積最值，解題關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系，確定半圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值，這由數(shù)形結(jié)

合思想易得.

7.A

【解析】

利用已知條件畫出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積.

【詳解】

幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，

12

則該幾何體的體積為：-xlxlx2=—.

33

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.

8.C

【解析】

設(shè)P（X1，X）,則A（-玉,-y）,。（石,-乂），一?，設(shè)3（”2），根據(jù)PA_LPB化簡(jiǎn)得到3/=4C、2,得到

答案.

【詳解】

設(shè)P（X，X）,則A（-玉,-y）,Q（X1,-yJ,PD-^PQ,則。卜”-⑤，設(shè)/均斗），

+營(yíng)

［兩式相減得到：一包一）,

則2

+%

白

k)4-%_X+%k=k

2，^AD—^AB'即含二2二如吐應(yīng)

%一%a%+為4%玉+%2%X,+X2

序n

PALPB,故kpA.kpB=-l,即_4f=—l,故3/=4。2,故e=上

a-2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

9.B

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)表達(dá)式，先求得/（-1）的值，然后結(jié)合了（x）的奇偶性，求得g（/（-1））的值.

【詳解】

x，+xx>0

因?yàn)楹瘮?shù)/。）=':是奇函數(shù)，所以/（-1）=—/（1）=-2,

.g（x）,x<0

g(/(-l))=g(-2)=/(-2)=-/(2)=-10.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值，考查數(shù)形結(jié)合思想.意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力，分析問題、解決

問題的能力.

10.A

【解析】

求出/'。）=6爐—2℃,對(duì)。分類討論，求出（（）,+8）單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征，即可求解.

【詳解】

f\x)=6x2-2ax=6x(x-三),

若aWO,xe(0,+oo)J'(x)>0,

/(x)在(O,+8)單調(diào)遞增，且/(0)=1〉0,

/(幻在((),+a)不存在零點(diǎn);

若a>0,xG(0,至J'(x)<0,xG(0,+8)J'(x)>0,

=2x3-狽2+［在(0,+e)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

/,(-)=--5-/+1=0,二。=3.

327

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

11.C

【解析】

取BiG的中點(diǎn)Q,連接P。，BQ,CQ,PD,則三棱柱5C0-AOP為直三棱柱，此直三棱柱和三棱錐尸-ABC有相同

的外接球，求出等腰三角形QBC的外接圓半徑，然后利用勾股定理可求出外接球的半徑

【詳解】

如圖，取SG的中點(diǎn)Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱5C。-4。尸為直三棱柱，所以該直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都

在球。的球面上，AQ5C的外接圓直徑為2r=-=球o的半徑R滿足齊=尸+(竽2=萼，所以球。的

sinZ.QCB2216

表面積s=4/?2=受41兀，

4

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系，及球的表面積公式，解題時(shí)要注意審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬

于中檔題.

12.C

【解析】

InxInx

令F(x)=/(x)—3區(qū)2=o,可得左=

57要使得E(x)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即y=z和g(x)57有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)

合已知，即可求得答案.

【詳解】

令F(x)=/(x)-3&=0,

Inx

可得左=

3x2

Inx

有兩個(gè)交點(diǎn),

要使得/(x)=o有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即y=k和gQ)=3?

l-21nx

g'(x)=

3x3

令1—21nx=0,

可得x=Ve>

???當(dāng)xe(0,人)時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(0,五)上單調(diào)遞增；

當(dāng)X€(人,+CO)時(shí)，g'(x)<o,函數(shù)g(x)在(G,+8)上單調(diào)遞減.

，當(dāng)X=J^時(shí)，^U),nax=-^~?

6e

，若直線y=女和g(x)=黑有兩個(gè)交點(diǎn)，則％e(0,21

實(shí)數(shù)k的取值范圍是

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟，考查

了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13.一

2

【解析】

設(shè)圓柱的高為〃，底面半徑為「，根據(jù)容積為128乃個(gè)立方單位可得128萬=%/〃，再列出該圓柱的表面積，利用導(dǎo)

數(shù)求出最值，從而進(jìn)一步得到圓柱的底面半徑和高的比值.

【詳解】

設(shè)圓柱的高為〃，底面半徑為

,??該圓柱形的如罐的容積為128%個(gè)立方單位

128

；?128萬=7rr2h，即0=——

r~

128256萬

/?該圓柱形的表面積為S=271rl+2兀rh=2乃，+2乃廠?一—=2"產(chǎn)+

令g(r)=2兀*+256萬，貝0g'(「)=4%r-25?漢

令g'(r)>0,得r>4；

令g'⑺<0,得°<r<4.

.?.g(r)在(0,4)上單調(diào)遞減，在(4,y)上單調(diào)遞增.

尸1

.?.當(dāng)廠=4時(shí)，g&)取得最小值，即材料最省，此時(shí)7=7.

h2

故答案為：

2

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是寫出表面積的表示式，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬中檔題.

14.42

【解析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.

【詳解】

設(shè)抽取的樣本為“，

45+5+4

則由題意得一=--------,解得〃=42.

12n

故答案為：42

【點(diǎn)睛】

本題考查了分層抽樣的知識(shí)，算出抽樣比是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

15.24

【解析】

根據(jù)函數(shù)"X)為偶函數(shù)且f(e+x)=f(e-x),所以/(%)的周期為2e,=gsin昌x］的實(shí)數(shù)根是函數(shù)

/(%)和函數(shù)y=；sin(5x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可得所

有實(shí)數(shù)根的和為6e,從而可得參數(shù)。的值，最后求出函數(shù)〃(x)的解析式，代入求值即可.

【詳解】

解：因?yàn)橐?x)為偶函數(shù)且〃e+x)=〃e-x),所以因(x)的周期為2e.因?yàn)閤?O,e］時(shí)，/(x)=lnx,所以可作

出在區(qū)間［一e,3e］上的圖象，而方程/(無)=|sin的實(shí)數(shù)根是函數(shù)“X)和函數(shù)/=fin，的圖象

1.71

的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)/(X)和函數(shù)y=—sin-x在區(qū)間［-e,3e］上的簡(jiǎn)圖，可知兩個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間

2

［-e,3e］上有六個(gè)交點(diǎn).由圖象的對(duì)稱性可知，此六個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為6e,所以6e=3ea,故。=2.

37TX5

因?yàn)間(x)=3sin2界+1——cos—+—,

222

35371x535

所以/z(x)=_jcos+—=—cos+—=—cos(4^-)+-=4.

f(I)22

故答案為：2；8

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性的應(yīng)用，函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.

16.2x-y-2=0

【解析】

設(shè)直線/的方程為y=2x+f,A(x?y,),B(x2,y2),聯(lián)立直線/與拋物線C的方程，得到A,8點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式,

代入到|AE|+怛同=4中，解出，的值，即可求得直線/的方程-

【詳解】

設(shè)直線l：y=2x+t,A(x,,y),必)?

由題設(shè)得尸(l,o),故|AF|+忸用=±+±+2,

由題設(shè)可得玉+x2=3.

y=2x+1,o/、o

由：2_4｛可得4%2+4。-1）%+/=0,

貝!|X|+々=1T,

從而1-1=3,得r=—2,

所以/的方程為y=2x—2,

故答案為：2x-y-2=Q

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線的方程，拋物線的定義，拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.⑴三+m=八（2）je[-1,-y）u（y,/].

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解

決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，先利用離心率、二：=二；+二;、四邊形的面積列出方程，解出a和b

的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，討論直線MN的斜率是否存在，當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，直線方程與橢

圓方程聯(lián)立，消參，利用韋達(dá)定理，得到二/+二;、二二；，利用三+三=二三列出方程，解出二（二二），代入到橢

圓上，得到二二的值，再利用|三'-三計(jì)算出二;的范圍，代入到二二的表達(dá)式中，得到t的取值范圍.

試題解析：（1）；?二=?，??二；=/一二=g二三=%即二：=2二].

又二=，X2=X2匚=二匚二=2、1,二二；=2,二；=4.

二橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+5=L

（2）由題意知，當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，

設(shè)直線方程為二=二（二一1）,二（二」，二“，二（二；，二；），二（二二），

聯(lián)立方程t+-=；，消去y得口+2二;）二；一4二；二+2二；-4=0,

｛匚=□（□-/）,

因?yàn)橹本€與橢圓交于兩點(diǎn)，

所以二=16U4-4（1+2二;）（2二;-4）=24~:+16>旗成立，

又二二+二二=二二二，

"二；Q

口一匚a+2匚;）’

口+二；一2匚

口一口。+2匚；）’

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓三+三=注，所以不%+某手=4,

即|三'|<當(dāng)，.?.、」+二；I二；一二：|<],整理得：\j+二-

化簡(jiǎn)得：13二一二：-8>0,解得二：〉1或二：<一（（舍）,

???二：=/一力，即口e（-L-9u（苧，I）.

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，二。，?），二Q,-?），此時(shí)二=±八

-€[-，，-不u（y-1]?

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系.

18.（1）證明見解析；（2）史

7

【解析】

(i)由已知可證與?！ˋ。，即可證明結(jié)論

(2)根據(jù)已知可證4。，平面ABCD,建立空間直角坐標(biāo)系,求出A,A,6,。坐標(biāo),進(jìn)而求出平面A.AB和平面A.AD

的法向量坐標(biāo)，由空間向量的二面角公式，即可求解.

【詳解】

方法一：(1)依題意，A、B也AB,且AB&CD,：.%B也CD,

二四邊形\B.CD是平行四邊形，B.C//4。，

B|C(Z平面A/。，AQu平面480,

耳?！ㄆ矫鍭8O.

(2)?.?40_1_平面48。，.?.4。，4。，

?.?48=4。且。為3。的中點(diǎn)，，4。，6。，

,:AO、BDu平面ABCDS.AOD3。=0,

/.4。工平面ABCD,

以。為原點(diǎn)，分別以7，歷，西為X軸、)'軸、Z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一肛Z,

則A(6,0,0),8(0,1,0),0(0,-1,0),4(0,0,1),

:.麗=(飛,0,1),麗=卜后1,0),亞=卜瘋-1,0),

設(shè)平面4AB的法向量為〃=(x,y,z),

則卜嗎.Jf+z=。,取j貝向(1,后⑹.

[n±AB[—百x+y=o\'

設(shè)平面KA。的法向量為〃?=(X],y,zJ,

ii_LAA—>/^x+z=O―?/LL\

則《_2,：.{L,取x=l,則〃2=1,—J3,J3.

[nlAD[_氐_>=0\)

----mn11

?cos<m,n>=....=—=——==一

?,岡加布x近7，

設(shè)二面角B-A41—O的平面角為a,則sina=/-11=竽,

二面角的正弦值為述.

方法二：(1)證明：連接AB|交AB于點(diǎn)。，

因?yàn)樗倪呅蜛B|BA為平行四邊形，所以。為A4中點(diǎn),

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以。為AC中點(diǎn)，

.?.在VABC中，

YOQu平面A］。，B|C(Z平面ABD,

旦?！ㄆ矫鍭B。

(2)略，同方法一.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面平行的證明，考查空間向量法求面面角，意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),

屬于中檔題.

2

19.(1)a=——，。=4；(2)4

3

【解析】

(1)分類討論，求解x的范圍，取并集，得到絕對(duì)值不等式的解集，即得解；

(1］、

(2)轉(zhuǎn)化原不等式為：女4(x-y+y-z)——+——，利用均值不等式即得解.

(x-yy-z)

【詳解】

(1)當(dāng)》<一1時(shí)不等式可化為一(2x—1)+(X+1)<2=JCW0

i21

當(dāng)時(shí)，不等式可化為—(2x—l)—(x+l)<2=—

當(dāng)時(shí)，不等式可化為2x—1—(x+l)<2=>/<x<4；

綜上不等式的解集為（—|，4]na=-I，b=4.

一一23ab、k

（2）由（1）有。=一；，b=4,-------;+--------------------

32（x-y）4（y-z）x-z

11、k

=-------+-------->--------,X/x>y>z

x-yy-zx-z

,/111cx-yy—z

k<Cx—y+y—z）---------1---------=2d---------+--------,

[x-yy-z）y-zx-y

/、

,-x-yy—z

即2+--+--

Iy-z%-y兀

.x-yy-z、）

而2+--+2—>4

y-zx-y

當(dāng)且僅當(dāng)：一一即x—y=y—z,即y==1時(shí)等號(hào)成立

y-zx-y2

:.k￡4,綜上實(shí)數(shù)我最大值為4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了絕對(duì)值不等式的求解與不等式的恒成立問題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中

檔題.

4

20.（1））.

⑵3M

⑵IF,

【解析】

分析：（1）直接建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出面的法向量和已知線的向量，再結(jié)合向量的夾角公式求解即可；（2）

先分別得出兩個(gè)面的法向量，然后根據(jù)向量交角公式求解即可.

詳解：

（1）,??ABC。是矩形，

二ADLCD,

又???夫￡），平面ABCD,

APD±AD,PDLCD,即PD,AD,CD兩兩垂直，

...以。為原點(diǎn)，DA,DC,。尸分別為工軸，》軸，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

由/。=8=4,AD=2,得A（2,0,0）,B（2,4,0）,C（0,4,0）,D（0,0,0）,尸（0,0,4）,M（l,0,2）,

貝(IQ=(-2,0,4),配=(-2,0,0),MB=(1,4,-2),

設(shè)平面CMB的一個(gè)法向量為勺=（x,，x，zj,

BC=0—2x,=0

則即《I-'令得、=°'"2,

MB-n,=0'

:.”=（0,1,2）,

??…/~T~n必一\卜AP麗'H1=浜8小4，

4

故AP與平面CMB所成角的正弦值為j.

（2）由（1）可得定=（0,4,T）,

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為4=（A2，y2,z2）,

比〃2=0—2X2=0

則___i，即｛14%-44=0'令%=1，得馬=°，Z2"

PCn2=0

二%=(0,1,1),

.33M

..cos^,n2)=___=__,

故二面角M-CB-P的余弦值為主叵.

10

點(diǎn)睛：考查空間立體幾何的線面角，二面角問題，一般直接建立坐標(biāo)系，結(jié)合向量夾角公式求解即可，但要注意坐標(biāo)

的正確性，坐標(biāo)錯(cuò)則結(jié)果必錯(cuò)，務(wù)必細(xì)心，屬于中檔題.

21.(1)，+&-、62=5⑵30

【解析】

試題分析：(1)由加減消元得直線/的普通方程，由夕sin。=y，△2=/+y2得圓c的直角坐標(biāo)方程；(2)把直線1的

參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，由直線參數(shù)方程幾何意義得|PA|+|PB|=|h|+|t2|=h+t2,再根據(jù)韋達(dá)定理可得結(jié)果

x-3—t_

試題解析：解：(I)由?二得直線1的普通方程為x+y-3-&=0

又由P=2&sin6得p2=2&psin0,化為直角坐標(biāo)方程為x2+(y-&)2=5；

(n)把直線I的參數(shù)方程代入圓C