第七講平面幾何之直線圖形闖關(guān)目標(biāo)等積變形半模型鳥頭模型第七講六大模型蝴蝶模型燕尾模型相似模型勾股定理賽前熱身平面幾何是小升初考試的必考內(nèi)容,而且常常以大題的形式出現(xiàn),重點(diǎn)中學(xué)選拔考試中幾何題目分值較高,并且難度有逐步增加的趨勢,雖然幾何題形式多樣,但通過總結(jié)歸納,掌握基本的幾何模型,有助于解決更多幾何新題難題第七講平面幾何之直線圖形1等積變形等積變形這里的積指的是面積,因?yàn)槿魏沃本€型圖形都可分解成若干個(gè)三角形,所以三角形是最基本圖形,等積變形里主要研究的是三角形面積變換三角形面積=底×高÷2決定三角形面積的大小,取決于底和高這兩個(gè)量。等底等高:如果兩個(gè)三角形等底等高,則這兩個(gè)三角形面積相同(如圖1);(典型的夾在一組平行線間的,兩個(gè)三角形若同底,則面積相同)同底看高:如果兩個(gè)三角形等底,但高不等,則面積比等于高的比(如圖2)同高看底:如果兩個(gè)三角形等高,但底不等,則面積比等于底的比(如圖3)圖3SaBc:S△e=AE:DES△BD:Spc=BD:DC等積變形2半模型陰影圖形占整個(gè)圖形面積的一半。一般在平行四邊形中常見一半模型,任取一點(diǎn)與其四個(gè)頂點(diǎn)連線,所構(gòu)成的三角形占平行四邊形面積的一半。當(dāng)然在梯形中也常見一半模型。最下面三個(gè)圖,邊上的點(diǎn)都為中點(diǎn)。半模型3鳥頭模型(共角模型)兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ),這兩個(gè)三角形叫做共角三角形。共角三角形常見圖形,如下圖AD×AE如上圖中有s=ABaC共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比鳥頭模型(共角模型)4蝴蝶模型蝴蝶模型為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑,通過構(gòu)造模型,一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積與四邊形內(nèi)的三角形面積之間建立了相關(guān)的聯(lián)系,得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系任意四邊形中的蝴蝶模型。S:S2=S4:S或者SxS3=S2×S4AO:OC=S1:S4=S2:S3=(S1+S2):(S4+S3)可以簡記為左邊:右邊=左和:右和梯形中蝴蝶模型①S梯形的對應(yīng)份數(shù)為②S×52=51×5可以簡記為13S:S,:S,:S=a2:ab:b:ab上下平方,左右相乘。D④梯形S的對應(yīng)份數(shù)為(a+b)2SSB蝴蝶模型5燕尾模型從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)吷先我庖稽c(diǎn)的畫線段,在線段上任取一點(diǎn)組成的圖形面積也會(huì)有如下關(guān)系△ABO△ACOS△OBD·△OCDSMBD:SMCD=BD:CD燕尾模型6金字塔、沙漏模型所謂的金字塔、沙漏模型,就是指形狀相同,大小不同的兩個(gè)三角形,一切對應(yīng)線段的長度成比例的模型,如圖所示AB金字塔模型沙漏模型ADAEDEAF如果DE平行BC,那么①ABACBCAG②S△DE:S△BC=AF:4G這樣的兩個(gè)三角形的面積比等于它們邊長比的平方。金字塔、沙漏模型7勾股定理我國最早發(fā)現(xiàn)在直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方,把這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理,外國稱為畢達(dá)哥拉斯定理。如右圖在直角三角形ABC中有c2=a2+b21割補(bǔ)法2差不變原理3幾何變換:平移;旋轉(zhuǎn);對稱幾何常用方法①線段的端點(diǎn)和中點(diǎn);4特殊點(diǎn)法:②三角形、四邊形的頂點(diǎn)、中心以及各邊中點(diǎn)勾股定理8例題1(2008年第一屆“陳省身杯”六年級2試)如圖,BC=45,AC=21,△ABC被分成9個(gè)面積相等的小角形,那么D+FK為多少?B例題19例題2如圖1,并排放有三個(gè)正方形,其中正方形GBEF的邊長為10厘米,連接GK,交EF于O,連接DE,交BG于Q,連接DG,求陰影部分的面積圖1例題210小學(xué)奧數(shù)幾何六大模型及例題68706精編版課件11小學(xué)奧數(shù)幾何六大模型及例題68706精編版課件12小學(xué)奧數(shù)幾何六大模型及例題68706精編版課件13小學(xué)奧數(shù)幾何六大模型及例題68706精編版課件14小學(xué)奧數(shù)幾何六大模型及例題68706精編版課件15小學(xué)奧數(shù)幾何六大模型及例題68706精編版課件16小學(xué)奧數(shù)幾何六大模型及例題68706精編版課件17第七講平面幾何之直線圖形闖關(guān)目標(biāo)等積變形半模型鳥頭模型第七講六大模型蝴蝶模型燕尾模型相似模型勾股定理賽前熱身平面幾何是小升初考試的必考內(nèi)容,而且常常以大題的形式出現(xiàn),重點(diǎn)中學(xué)選拔考試中幾何題目分值較高,并且難度有逐步增加的趨勢,雖然幾何題形式多樣,但通過總結(jié)歸納,掌握基本的幾何模型,有助于解決更多幾何新題難題第七講平面幾何之直線圖形18等積變形等積變形這里的積指的是面積,因?yàn)槿魏沃本€型圖形都可分解成若干個(gè)三角形,所以三角形是最基本圖形,等積變形里主要研究的是三角形面積變換三角形面積=底×高÷2決定三角形面積的大小,取決于底和高這兩個(gè)量。等底等高:如果兩個(gè)三角形等底等高,則這兩個(gè)三角形面積相同(如圖1);(典型的夾在一組平行線間的,兩個(gè)三角形若同底,則面積相同)同底看高:如果兩個(gè)三角形等底,但高不等,則面積比等于高的比(如圖2)同高看底:如果兩個(gè)三角形等高,但底不等,則面積比等于底的比(如圖3)圖3SaBc:S△e=AE:DES△BD:Spc=BD:DC等積變形19半模型陰影圖形占整個(gè)圖形面積的一半。一般在平行四邊形中常見一半模型,任取一點(diǎn)與其四個(gè)頂點(diǎn)連線,所構(gòu)成的三角形占平行四邊形面積的一半。當(dāng)然在梯形中也常見一半模型。最下面三個(gè)圖,邊上的點(diǎn)都為中點(diǎn)。半模型20鳥頭模型(共角模型)兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ),這兩個(gè)三角形叫做共角三角形。共角三角形常見圖形,如下圖AD×AE如上圖中有s=ABaC共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比鳥頭模型(共角模型)21蝴蝶模型蝴蝶模型為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑,通過構(gòu)造模型,一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積與四邊形內(nèi)的三角形面積之間建立了相關(guān)的聯(lián)系,得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系任意四邊形中的蝴蝶模型。S:S2=S4:S或者SxS3=S2×S4AO:OC=S1:S4=S2:S3=(S1+S2):(S4+S3)可以簡記為左邊:右邊=左和:右和梯形中蝴蝶模型①S梯形的對應(yīng)份數(shù)為②S×52=51×5可以簡記為13S:S,:S,:S=a2:ab:b:ab上下平方,左右相乘。D④梯形S的對應(yīng)份數(shù)為(a+b)2SSB蝴蝶模型22燕尾模型從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)吷先我庖稽c(diǎn)的畫線段,在線段上任取一點(diǎn)組成的圖形面積也會(huì)有如下關(guān)系△ABO△ACOS△OBD·△OCDSMBD:SMCD=BD:CD燕尾模型23金字塔、沙漏模型所謂的金字塔、沙漏模型,就是指形狀相同,大小不同的兩個(gè)三角形,一切對應(yīng)線段的長度成比例的模型,如圖所示AB金字塔模型沙漏模型ADAEDEAF如果DE平行BC,那么①ABACBCAG②S△DE:S△BC=AF:4G這樣的兩個(gè)三角形的面積比等于它們邊長比的平方。金字塔、沙漏模型24勾股定理我國最早發(fā)現(xiàn)在直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方,把這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理,外國稱為畢達(dá)哥拉斯定理。如右圖在直角三角形ABC中有c2=a2+b21割補(bǔ)法2差不變原理3幾何變換:平移;旋轉(zhuǎn);對稱幾何常用方法①線段的端點(diǎn)和中點(diǎn);4特殊點(diǎn)法:②三角形、四邊形的頂點(diǎn)、中心以及各邊中點(diǎn)勾股定理25例題1(2008年第一屆“陳省身杯”六年級2試)如圖,BC=45,AC=21,△ABC被分成9個(gè)面積相等的小角形,那么D+FK為多少?B例題126例題2如圖1,并排放有三個(gè)正方形,其中正方形GBEF的邊長為10厘米,連接GK,交EF于O,連接DE,交BG于Q,連接DG,求陰影部分的面積圖1例題227小學(xué)奧數(shù)幾何六大模型及