2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)金石試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec))，則(m=)（）A.-4B.-1C.1D.4函數(shù)(f(x)=\frac{\ln|x|}{x^2})的大致圖像為（）（選項圖略，提示：需分析奇偶性、單調(diào)性及特殊點取值）已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則公比(q=)（）A.2B.-2C.3D.-3某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）（三視圖描述：正視圖和側(cè)視圖均為直角三角形，俯視圖為邊長為2的正方形）A.(\frac{4}{3},\text{cm}^3)B.(\frac{8}{3},\text{cm}^3)C.4cm3D.8cm3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）（程序框圖描述：初始(S=0,i=1)；循環(huán)條件(i\leqn)；執(zhí)行(S=S+\frac{1}{i(i+1)})，(i=i+1)）A.(\frac{1}{2})B.(\frac{5}{6})C.(\frac{3}{4})D.(\frac{4}{5})已知(\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{5})，(\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right))，則(\cos\alpha=)（）A.(\frac{3\sqrt{3}-4}{10})B.(\frac{4\sqrt{3}-3}{10})C.(\frac{3\sqrt{3}+4}{10})D.(\frac{4\sqrt{3}+3}{10})若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x-y+1\geq0\x+y-3\leq0\y\geq0\end{cases})，則(z=x+2y)的最大值為（）A.3B.4C.5D.6已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點為(F)，準線為(l)，過(F)的直線交(C)于(A,B)兩點，點(A)在(l)上的射影為(A')，若(|AF|=4)，則(|A'B|=)（）A.(2\sqrt{3})B.(3\sqrt{2})C.(4\sqrt{2})D.(4\sqrt{3})已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)\left(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}\right))的最小正周期為(\pi)，且其圖像關(guān)于直線(x=\frac{\pi}{3})對稱，則(f(x)=)（）A.(\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right))B.(\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right))C.(\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right))D.(\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right))已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)，若對任意(x_1,x_2\in[0,2])，都有(|f(x_1)-f(x_2)|\leq4)，則實數(shù)(a)的取值范圍是（）A.[0,4]B.[1,3]C.[2-2\sqrt{3},2+2\sqrt{3}]D.[2,4]二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）二項式(\left(2x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^6)的展開式中常數(shù)項為________（用數(shù)字作答）。已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:x^2+y^2-2x-3=0)相交于(A,B)兩點，若(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)________。某班級有5名男生和4名女生，現(xiàn)從中任選3人參加學(xué)校組織的社會實踐活動，則至少有1名女生的概率為________。在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(c=\sqrt{7})，則(\triangleABC)的外接圓半徑(R=)；若(D)為(BC)的中點，則(AD=)（第一空2分，第二空3分）。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+2^n)。（1）證明：數(shù)列(\left{\frac{a_n}{2^n}\right})是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項和(S_n)。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的體育鍛煉情況，隨機抽取了100名學(xué)生，統(tǒng)計了他們每周參加體育鍛煉的時間（單位：小時），并將數(shù)據(jù)整理成如下頻率分布直方圖：（頻率分布直方圖描述：分組為[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]，對應(yīng)頻率/組距分別為0.05，0.15，0.3，0.35，0.15）（1）求這100名學(xué)生每周鍛煉時間的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）若從每周鍛煉時間在[0,2)和[8,10]的學(xué)生中任選2人，求這2人來自不同組的概率。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點。（1）證明：(A_1D\perp)平面(B_1C_1D)；（2）求二面角(A_1-B_1D-C_1)的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點((2,\sqrt{2}))。（1）求橢圓(E)的標準方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(E)交于(A,B)兩點，(O)為坐標原點，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{2})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(a=1)時，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極大值，求實數(shù)(a)的取值范圍。（本小題滿分12分）在平面直角坐標系(xOy)中，已知直線(l:x=ty+1(t\neq0))與拋物線(C:y^2=4x)交于(A,B)兩點，點(M)為線段(AB)的中點，過點(M)作(x)軸的垂線交拋物線(C)于點(N)。（1）求證：拋物線(C)在點(N)處的切線與直線(AB)平行；（2）是否存在實數(shù)(t)，使得以(AB)為直徑的圓過點(N)？若存在，求出(t)的值；若不存在，說明理由。參考答案及評分標準（部分提示）A2.D3.C4.（需結(jié)合圖像分析）5.A6.B7.B8.C9.D10.D11.B12.A6014.0或(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})15.(\frac{7}{12})16.(\frac{\sqrt{21}}{3})，(\frac{\sqrt{19}}{2})（1）提示：構(gòu)造(b_n=\frac{a_n}{2^n})，證明(b_{n+1}-b_n=1)；（2）(S_n=(n-1)2^{n+1}+2)（1）平均數(shù)6.2，中位數(shù)6；（2）(\frac{12}{25})（2）(\frac{\sqrt{3}}{3})（1）(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1)；（2）面積定值為(2\sqrt{2})（1）增區(qū)間((0,1))，減區(qū)間((1,+\infty))；（2）(a