2025年下學(xué)期高中偶然學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x\midx^2-3x+2<0})，(B={x\mid2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\boldsymbol{a}=(1,2))，(\boldsymbol=(m,-1))，若(\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}+\boldsymbol))，則(m=)（）A.-3B.-5C.3D.5函數(shù)(f(x)=\frac{\ln|x|}{x^2})的大致圖像為（）（選項(xiàng)圖像描述：A.關(guān)于y軸對(duì)稱，在(0,1)遞增，(1,+∞)遞減；B.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在(0,1)遞減，(1,+∞)遞增；C.關(guān)于y軸對(duì)稱，在(0,1)遞減，(1,+∞)遞增；D.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在(0,1)遞增，(1,+∞)遞減）已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right))，則(\tan\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=)（）A.(-\frac{1}{7})B.(\frac{1}{7})C.-7D.7某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）（三視圖描述：正視圖和側(cè)視圖均為直角三角形，底邊長3，高4；俯視圖為邊長3的正方形）A.12cm3B.18cm3C.24cm3D.36cm3已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則(a_7+a_8+a_9=)（）A.512B.384C.256D.128執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）（程序框圖描述：初始S=0，i=1；循環(huán)條件i≤n；循環(huán)體：S=S+1/(i(i+2))，i=i+1；輸出S）A.(\frac{5}{12})B.(\frac{7}{12})C.(\frac{5}{24})D.(\frac{7}{24})已知拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過點(diǎn)(F)的直線交拋物線于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF|=3)，則(|BF|=)（）A.(\frac{3}{2})B.2C.3D.4在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，則(\triangleABC)的外接圓半徑(R=)（）A.(\frac{9\sqrt{2}}{8})B.(\frac{3\sqrt{2}}{4})C.(\frac{9\sqrt{2}}{4})D.(\frac{3\sqrt{2}}{2})已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）（圖像描述：相鄰對(duì)稱軸為(x=-\frac{\pi}{6})和(x=\frac{\pi}{3})，圖像過點(diǎn)((0,\frac{1}{2}))）A.(\omega=2)，(\varphi=\frac{\pi}{6})B.(\omega=2)，(\varphi=\frac{\pi}{3})C.(\omega=\frac{1}{2})，(\varphi=\frac{\pi}{6})D.(\omega=\frac{1}{2})，(\varphi=\frac{\pi}{3})已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-4x+3,&x\leq0,\\lnx,&x>0,\end{cases})若關(guān)于(x)的方程(f(x)=kx-1)有且只有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)(k)的取值范圍是（）A.((0,1))B.((0,\frac{1}{e}))C.((\frac{1}{e},1))D.((1,e))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2,\x-y\leq0,\y\leq3,\end{cases})則(z=x+2y)的最大值為________。已知函數(shù)(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)在(x=-1)處取得極大值，在(x=2)處取得極小值，則(a+b=)________。已知三棱錐(P-ABC)的四個(gè)頂點(diǎn)都在球(O)的球面上，(PA=PB=PC=2)，且(PA,PB,PC)兩兩垂直，則球(O)的表面積為________。已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+2a_n})（(n\in\mathbb{N}^*)），則數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n=)________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，且(2b\cosA=a\cosC+c\cosA)。（1）求角(A)的大小；（2）若(a=\sqrt{3})，(b+c=3)，求(\triangleABC)的面積。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(diǎn)(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點(diǎn)。（1）求證：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求二面角(A_1-DE-B)的余弦值。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖（數(shù)據(jù)分組為[40,50)，[50,60)，…，[90,100]）。（頻率分布直方圖描述：[40,50)頻率/組距=0.005，[50,60)0.015，[60,70)0.020，[70,80)0.030，[80,90)0.025，[90,100]0.005）（1）求圖中(a)的值（注：原題中頻率分布直方圖可能遺漏參數(shù)，此處假設(shè)[70,80)組的頻率/組距為(a)，根據(jù)后續(xù)計(jì)算補(bǔ)充完整）；（2）估計(jì)這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（3）若從成績?cè)赱40,60)和[90,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績都在[40,60)的概率。（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對(duì)任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求實(shí)數(shù)(a)的值；（3）在（2）的條件下，證明：(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1))（(n\in\mathbb{N}^*)）。（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，已知圓(M:(x-1)^2+y^2=1)，點(diǎn)(A(-1,0))，(B(1,0))，過點(diǎn)(A)的直線(l)與圓(M)交于(C,D)兩點(diǎn)（點(diǎn)(C)在(x)軸上方）。（1）若直線(l)的斜率為(1)，求(CD)的長；（2）設(shè)(E)為線段(CD)的中點(diǎn)，求證：(AE\perpBE)；（3）設(shè)直線(BC)與圓(M)的另一個(gè)交點(diǎn)為(F)，求證：直線(DF)過定點(diǎn)。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（僅供閱卷參考）一、選擇題A2.D3.B4.A5.C6.A7.A8.D9.A10.A11.A12.C二、填空題914.-615.12π16.(\frac{n}{2n-1})三、解答題（部分關(guān)鍵步驟提示）（1）由正弦定理得(2\sinB\cosA=\sinA\cosC+\sinC\cosA=\sin(A+C)=\sinB)，則(\cosA=\frac{1}{2})，(A=\frac{\pi}{3})；（2）由余弦定理(a^2=b^2+c^2-bc=(b+c)^2-3bc)，得(bc=2)，面積(S=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{\sqrt{3}}{2})。（1）連接(AD,A_1E)，證明四邊形(ADEA_1)為平行四邊形，得(DE\parallelA_1A)，進(jìn)而證線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面(A_1DE)和平面(BDE)的法向量，計(jì)算余弦值為(\frac{\sqrt{3}}{3})。（1）根據(jù)頻率和為1，解得(a=0.030)；（2）平均數(shù)為72.5，中位數(shù)為73.33；（3）成績?cè)赱40,60)的有20人，[90,100]的有5人，概率為(\frac{\text{C}{20}^2}{\text{C}{25}^2}=\frac{38}{125})。（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})及(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)；（2）聯(lián)立直線與橢圓，利用韋達(dá)定理及(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})得(4m^2=8k^2+2)，計(jì)算弦長和原點(diǎn)到直線距離，得面積為(2\sqrt{2})（定值）。（1）當(dāng)(a\leq0)時(shí)，(f(x))在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增；當(dāng)(a>0)時(shí)，(f(x))在((-\infty,\lna))單調(diào)遞減，在((\lna,+\infty))單調(diào)遞增；（2）由（1）知(f(\lna)=a-a\lna-1\geq0)，構(gòu)造函數(shù)(g(a)=a-a\lna-1)，求導(dǎo)得(a=1)；（3）由(e^x\geqx+1)，令(x=\frac{1}{k})，得(\frac{1}{k}>\ln\left(1+\frac{1}{k}\right))，累加得證。（1）直線(l:y=x+1)，圓心到直線距離(d=\frac{|1-0+1|}{\sqrt{2}}=\sqr