2025年下學(xué)期高中基于研究性學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)試卷一、數(shù)據(jù)分析與統(tǒng)計(jì)實(shí)踐題（一）校園生活中的抽樣調(diào)查某高中計(jì)劃開展“學(xué)生課外活動(dòng)時(shí)間與學(xué)業(yè)成績(jī)相關(guān)性研究”，需從全校3000名學(xué)生中抽取300名作為樣本。方案設(shè)計(jì)：若采用分層抽樣，已知高一、高二、高三學(xué)生人數(shù)分別為1000、1200、800，求各年級(jí)應(yīng)抽取的人數(shù)。說明“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”與“分層抽樣”在本研究中的適用性差異，并分析若僅對(duì)高一年級(jí)進(jìn)行隨機(jī)抽樣可能導(dǎo)致的結(jié)論偏差。數(shù)據(jù)處理：下表為某班級(jí)50名學(xué)生的每周課外活動(dòng)時(shí)間（單位：小時(shí)）與數(shù)學(xué)周測(cè)成績(jī)（滿分100分）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：課外活動(dòng)時(shí)間[0,3)[3,6)[6,9)[9,12]人數(shù)822155平均成績(jī)72788576繪制頻率分布直方圖，計(jì)算該班級(jí)學(xué)生課外活動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)和方差。分析“課外活動(dòng)時(shí)間與成績(jī)呈正相關(guān)”這一結(jié)論是否成立，并說明可能影響結(jié)論的隱藏變量（如學(xué)習(xí)效率、學(xué)科差異等）。（二）社區(qū)消費(fèi)數(shù)據(jù)的批判性分析某調(diào)研機(jī)構(gòu)發(fā)布“某社區(qū)居民月均消費(fèi)3000元”的報(bào)告，其數(shù)據(jù)來源于對(duì)社區(qū)內(nèi)100戶家庭的隨機(jī)調(diào)查。數(shù)據(jù)質(zhì)疑：若該社區(qū)包含2000戶普通家庭和50戶高收入家庭，調(diào)研樣本中高收入家庭占比30%，指出樣本代表性問題并設(shè)計(jì)修正方案。用“眾數(shù)”“中位數(shù)”“平均數(shù)”分別描述消費(fèi)數(shù)據(jù)時(shí)，哪一指標(biāo)更能反映普通家庭的實(shí)際情況？舉例說明極端值對(duì)三者的影響差異。模型構(gòu)建：假設(shè)居民月消費(fèi)額X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，若P(X≤2000)=0.1587，P(X≤4000)=0.9772，求μ和σ的值，并估算該社區(qū)月消費(fèi)超過5000元的家庭比例。二、函數(shù)與優(yōu)化問題實(shí)踐（一）分期付款的數(shù)學(xué)決策小明家計(jì)劃購(gòu)買總價(jià)為20萬元的新能源汽車，現(xiàn)有兩種付款方案：方案A：首付5萬元，剩余15萬元分12期等額償還，月利率0.5%，按復(fù)利計(jì)算（利息計(jì)入下月本金）。方案B：首付8萬元，剩余12萬元分24期等額償還，月利率0.4%，按單利計(jì)算（利息僅基于本金）。分別計(jì)算兩種方案的每期還款額（精確到1元），并比較總利息差異。若小明家每月可用于還款的資金不超過6000元，從“資金流動(dòng)性”角度分析最優(yōu)選擇，并建立“還款金額-期數(shù)-利率”的函數(shù)模型。（二）生產(chǎn)流程中的最優(yōu)化某工廠流水線有6臺(tái)機(jī)器，間隔距離均為10米，現(xiàn)需設(shè)置一個(gè)檢驗(yàn)臺(tái)，已知各機(jī)器的日產(chǎn)量（單位：件）分別為：120,150,100,200,180,130。位置選擇：若檢驗(yàn)臺(tái)設(shè)在第x臺(tái)機(jī)器處（x=1,2,…,6），寫出移動(dòng)零件總路程S(x)的函數(shù)表達(dá)式（零件需從機(jī)器運(yùn)至檢驗(yàn)臺(tái)，再送回下一道工序，忽略返回路程差異）。當(dāng)機(jī)器工作效率相同時(shí)，檢驗(yàn)臺(tái)應(yīng)設(shè)在何處使S(x)最?。咳艨紤]產(chǎn)量差異，如何調(diào)整位置？拓展延伸：若n臺(tái)機(jī)器等距排列，工作效率分別為a?,a?,…,a?，證明檢驗(yàn)臺(tái)的最優(yōu)位置滿足“左右兩側(cè)產(chǎn)量之和相等”的條件（用加權(quán)中位數(shù)原理解釋）。三、幾何與生活應(yīng)用探究（一）黃金分割與視覺設(shè)計(jì)黃金矩形（寬長(zhǎng)比為√5-1/2≈0.618）被廣泛應(yīng)用于報(bào)刊版面設(shè)計(jì)。實(shí)地測(cè)量：測(cè)量至少3種報(bào)刊的長(zhǎng)和寬（精確到0.1cm），計(jì)算寬長(zhǎng)比并與黃金分割比比較，分析偏差原因（如版面留白、欄目劃分等）。用幾何畫板繪制一個(gè)黃金矩形，并證明“從中截取正方形后剩余部分仍為黃金矩形”的性質(zhì)。建筑中的幾何：某居民樓樓高20米，冬至日正午太陽(yáng)高度角為30°（太陽(yáng)光線與地面夾角），若要使一樓住戶在正午時(shí)能獲得陽(yáng)光照射，求前后兩樓的最小間距（精確到0.1米）。若夏至日太陽(yáng)高度角為60°，計(jì)算此時(shí)南樓在北樓墻面的投影高度。（二）太陽(yáng)能熱水器的傾斜角優(yōu)化某型號(hào)太陽(yáng)能熱水器的最佳吸熱角度為“正午太陽(yáng)光線與集熱板垂直”，已知當(dāng)?shù)鼐暥葹?0°N，太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度在冬至日為23.5°S，夏至日為23.5°N。角度計(jì)算：推導(dǎo)熱水器傾斜角θ（與水平面夾角）的計(jì)算公式：θ=90°-|當(dāng)?shù)鼐暥取捞?yáng)直射點(diǎn)緯度|。分別計(jì)算冬至日和夏至日的最佳傾斜角，并分析若全年固定傾斜角為45°，會(huì)對(duì)集熱效率產(chǎn)生什么影響。四、跨學(xué)科綜合研究題（一）報(bào)亭經(jīng)營(yíng)的數(shù)學(xué)建模某報(bào)亭每天從報(bào)社購(gòu)進(jìn)報(bào)紙，進(jìn)價(jià)0.5元/份，售價(jià)1元/份，賣不完的報(bào)紙以0.2元/份退回。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，每日需求量X（單位：份）的分布如下：X100150200250P(X)0.20.40.30.1利潤(rùn)最大化：設(shè)每日購(gòu)進(jìn)量為n，寫出利潤(rùn)Y關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式（分X≤n和X>n兩種情況）。計(jì)算n=150和n=200時(shí)的期望利潤(rùn)，確定最優(yōu)購(gòu)進(jìn)量。風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估：若報(bào)亭主人希望“每日虧損概率低于5%”，求最大購(gòu)進(jìn)量（虧損即利潤(rùn)<0）。（二）疫情傳播的數(shù)學(xué)模擬某地區(qū)爆發(fā)流感，初始感染人數(shù)為10人，若每日新增感染人數(shù)與當(dāng)前感染人數(shù)成正比（比例系數(shù)k=0.2），且治愈人數(shù)占當(dāng)日感染人數(shù)的15%。模型建立：構(gòu)建感染人數(shù)N(t)的微分方程模型（t為天數(shù)），求解N(t)的表達(dá)式并預(yù)測(cè)第7天的感染人數(shù)。若采取隔離措施使k降至0.1，計(jì)算感染人數(shù)達(dá)到峰值的時(shí)間變化，并分析“群體免疫”閾值與模型參數(shù)的關(guān)系。五、開放探究題（一）家庭能源消耗的數(shù)據(jù)分析請(qǐng)以“家庭用電量與季節(jié)、電器功率的關(guān)系”為主題，設(shè)計(jì)一項(xiàng)研究性學(xué)習(xí)方案，要求包含：數(shù)據(jù)收集方法（如記錄每日用電量、統(tǒng)計(jì)主要電器功率及使用時(shí)長(zhǎng)）；至少兩個(gè)數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用（如回歸分析、函數(shù)擬合等）；可能的節(jié)能優(yōu)化建議（基于數(shù)據(jù)結(jié)論）。（二）數(shù)學(xué)史上的研究性問題費(fèi)馬點(diǎn)是三角形內(nèi)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)。證明：在銳角三角形中，費(fèi)馬點(diǎn)與三頂點(diǎn)的連線兩兩成120°角。設(shè)計(jì)一個(gè)基于幾何畫板的探究活動(dòng)，引導(dǎo)同學(xué)發(fā)現(xiàn)“鈍角三角形的費(fèi)馬點(diǎn)為鈍角頂點(diǎn)”這一結(jié)論。參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、（一）1.分層抽樣人數(shù)：高一100，高二120，高三80；二、（一）方案A每期還款額：150000×(0.005×1.00512)/(1.00512-1)≈12908元；四、（一）n=200時(shí)期望利潤(rùn)：E(Y)=0.2×(100×0.