2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)發(fā)展性評價試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.((2,+\infty))復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(m,8))，若(\vec{a}\parallel\vec)，則(m=)（）A.4B.-4C.±4D.2函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx}{x^2+1})的部分圖像大致為（）A.（圖像選項略，需體現(xiàn)奇函數(shù)性質(zhì)及趨近于0的趨勢）B.（圖像選項略）C.（圖像選項略）D.（圖像選項略）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則(a_7=)（）A.32B.64C.128D.256執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）A.10B.15C.20D.25已知(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}))，(\tan\alpha=2)，則(\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=)（）A.(\frac{3\sqrt{10}}{10})B.(\frac{\sqrt{10}}{10})C.(-\frac{3\sqrt{10}}{10})D.(-\frac{\sqrt{10}}{10})已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點為(F)，過點(F)的直線交拋物線于(A,B)兩點，若(|AF|=3)，則(|BF|=)（）A.(\frac{3}{2})B.2C.3D.4已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的最小正周期為(\pi)，且圖像關(guān)于直線(x=\frac{\pi}{3})對稱，則(\varphi=)（）A.(\frac{\pi}{6})B.(-\frac{\pi}{6})C.(\frac{\pi}{3})D.(-\frac{\pi}{3})已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，則其漸近線方程為（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=-1)處取得極值，若對任意(x\in[0,2])，(f(x)\leq2b)恒成立，則(b)的取值范圍為（）A.([1,+\infty))B.([2,+\infty))C.([3,+\infty))D.([4,+\infty))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq0\y\leq3\end{cases})，則(z=2x+y)的最大值為________。在((x-\frac{1}{x})^6)的展開式中，常數(shù)項為________（用數(shù)字作答）。已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:x^2+y^2-2x-3=0)相交于(A,B)兩點，若(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)________。已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\\log_2x,x>0\end{cases})，則(f(f(\frac{1}{4}))=)；若(f(a)=\frac{1}{2})，則(a=)。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，已知(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(\cosA=-\frac{1}{2})。（1）求角(B)的大??；（2）求(\triangleABC)的面積。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機抽取了100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績調(diào)查，得到如下頻率分布表：成績分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)515303515（1）求這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若從成績在[80,90)和[90,100]的學(xué)生中分層抽樣選取5人，再從這5人中隨機選取2人參加數(shù)學(xué)競賽，求至少有1人成績在[90,100]的概率。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點。（1）求證：(A_1D\perp)平面(B_1AC)；（2）求二面角(A-B_1E-C)的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點((2,\sqrt{2}))。（1）求橢圓(E)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l)與橢圓(E)交于(P,Q)兩點，(O)為坐標(biāo)原點，若(OP\perpOQ)，求證：原點(O)到直線(l)的距離為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(dāng)(a=1)時，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在區(qū)間((1,+\infty))上單調(diào)遞減，求(a)的取值范圍。（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，已知曲線(C_1)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+2\cos\alpha\y=2\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(O)為極點，(x)軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(C_2)的極坐標(biāo)方程為(\rho=4\sin\theta)。（1）求曲線(C_1)的普通方程和曲線(C_2)的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(P)在曲線(C_1)上，點(Q)在曲線(C_2)上，求(|PQ|)的最小值及此時點(P)的直角坐標(biāo)。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分示例）一、選擇題A解析：解不等式得(A=(1,2))，(B=(1,3))，故(A\capB=(1,2))。D解析：(z=\frac{(2+i)(1+i)}{2}=\frac{1+3i}{2})，共軛復(fù)數(shù)為(\frac{1-3i}{2})，對應(yīng)點((\frac{1}{2},-\frac{3}{2}))在第四象限。C解析：由(2\times8-m^2=0)得(m=\pm4)。A解析：(f(-x)=-f(x))為奇函數(shù)，排除B、C；當(dāng)(x\to+\infty)時，(f(x)\to0)，排除D。B解析：由三視圖知幾何體為圓柱挖去一個同底等高的圓錐，體積(V=\pi\times2^2\times6-\frac{1}{3}\pi\times2^2\times6=16\pi)。C解析：設(shè)公比為(q)，則(S_6-S_3=q^3S_3)，得(q^3=8)，(q=2)，(a_1=1)，(a_7=64)。B解析：模擬程序得(S=1+2+3+4+5=15)。A解析：由(\tan\alpha=2)得(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5})，(\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5})，(\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha+\cos\alpha)=\frac{3\sqrt{10}}{10})。A解析：設(shè)直線(AB)方程為(x=my+1)，聯(lián)立拋物線方程得(y^2-4my-4=0)，由(|AF|=x_A+1=3)得(x_A=2)，(y_A^2=8)，代入方程得(m^2=\frac{1}{2})，(x_B=\frac{1}{2})，(|BF|=\frac{3}{2})。A解析：(T=\pi)得(\omega=2)，由(2\times\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi)得(\varphi=-\frac{\pi}{6}+k\pi)，取(k=0)得(\varphi=\frac{\pi}{6})。A解析：(e=\frac{c}{a}=\sqrt{3})，(c^2=3a^2)，(b^2=2a^2)，漸近線方程(y=\pm\sqrt{2}x)。C解析：(f'(-1)=0)得(a=8)，(f(x)=x^3-3x^2+8x+b)，在[0,2]上最大值為(f(2)=12+b\leq2b)，解得(b\geq12)（注：原選項可能有誤，此處按推導(dǎo)結(jié)果調(diào)整）。二、填空題8解析：可行域頂點為(1,1)、(3,3)、(-1,3)，代入得(z_{\text{max}}=2\times3+3=9)（注：原答案可能有誤，此處按約束條件計算）。-20解析：展開式通項(T_{r+1}=C_6^rx^{6-2r}(-1)^r)，令(6-2r=0)得(r=3)，常數(shù)項(-C_6^3=-20)。0解析：圓(C)：((x-1)^2+y^2=4)，圓心到直線距離(d=\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}})，由(d^2+(\sqrt{3})^2=4)得(d=1)，解得(k=0)。(\frac{1}{4})；(-1)或(\sqrt{2})解析：(f(\frac{1}{4})=\log_2\frac{1}{4}=-2)，(f(-2)=2^{-2}=\frac{1}{4})；若(a\leq0)，(2^a=\frac{1}{2})得(a=-1)；若(a>0)，(\log_2a=\frac{1}{2})得(a=\sqrt{2})。三、解答題（示例）解：（1）由余弦定理得(\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\frac{1}{2})，代入(a=2\sqrt{3})，(b=2)，解得(c=2)（舍負(fù)）。由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB})得(\sinB=\frac{1}{2})，又(B<A)，故(B=\frac{\pi}{6})。（5分）（2）(S=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}\times2\times2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3})。（10分）解：（1）平均數(shù)(\bar{x}=55\times0.05+65\times0.15