2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)沖刺卷八試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x+1)≤1}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?復(fù)數(shù)z滿足z·(1+i)=2i，則|z|=（）A.1B.√2C.2D.2√2已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，且a⊥(a+b)，則m=（）A.-3B.-5C.3D.5函數(shù)f(x)=x3-3x2+2的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.(-∞,0)B.(0,2)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)某學(xué)校高二年級(jí)共有學(xué)生1200人，其中男生700人，女生500人。為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，采用分層抽樣的方法從高二年級(jí)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為60的樣本，則應(yīng)抽取女生的人數(shù)為（）A.20B.25C.30D.35在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，C=60°，則c=（）A.√7B.√13C.4D.7已知雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過點(diǎn)(2,√3)，則雙曲線C的方程為（）A.x2/3-y2/6=1B.x2/2-y2/4=1C.x2-y2/2=1D.x2/4-y2/8=1已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分圖像如圖所示，則f(x)的解析式為（）A.f(x)=sin(2x+π/3)B.f(x)=sin(2x-π/3)C.f(x)=sin(x+π/3)D.f(x)=sin(x-π/3)二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）下列說法正確的是（）A.若a,b為實(shí)數(shù)，則"a>b"是"a2>b2"的充分不必要條件B.命題"?x∈R,x2+x+1>0"的否定是"?x∈R,x2+x+1≤0"C.函數(shù)f(x)=x+1/x的最小值為2D.若隨機(jī)變量X~N(1,σ2)，且P(X≤0)=0.2，則P(X≤2)=0.8已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2-2x，則（）A.f(-1)=1B.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞)C.函數(shù)f(x)的圖像與x軸有3個(gè)交點(diǎn)D.若f(a)=3，則a=3或a=-1如圖，在正方體ABCD-A?B?C?D?中，E,F分別是棱A?D?,A?B?的中點(diǎn)，則（）A.EF//平面BDC?B.EF⊥平面A?BDC.三棱錐E-BDC?的體積為正方體體積的1/12D.直線EF與直線BC?所成角為60°已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)P在準(zhǔn)線l上，且PB//x軸，則（）A.若|AF|=3，則|BF|=3/2B.直線PA恒過定點(diǎn)(1,0)C.以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切D.|PA|+|PB|的最小值為4√2三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）曲線y=x2+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為________。若二項(xiàng)式(2x-1/x)?的展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為________。已知球O的表面積為16π，點(diǎn)A,B,C在球O的球面上，且AB=AC=2，BC=2√3，則三棱錐O-ABC的體積為________。已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-3a在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________。四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1=1，且a2,a4,a8成等比數(shù)列。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=2^an+an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。（本小題滿分12分）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且滿足(2b-c)cosA=acosC。（1）求角A的大小；（2）若a=√3，求△ABC面積的最大值。（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為40元，銷售單價(jià)為60元。該廠為了擴(kuò)大銷售，決定在原有基礎(chǔ)上降價(jià)銷售，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種產(chǎn)品的銷售單價(jià)每降低1元，月銷售量可增加10件。設(shè)每件產(chǎn)品的銷售單價(jià)降低x元（x為整數(shù)），月銷售利潤為y元。（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)降低多少元時(shí)，月銷售利潤最大？最大月銷售利潤是多少？（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AC=BC=AA?=2，∠ACB=90°，D,E分別是棱A?B?,BB?的中點(diǎn)。（1）求證：DE//平面A?BC；（2）求二面角A?-DE-C的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(diǎn)(1,√2/2)。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OM⊥ON，求證：點(diǎn)O到直線l的距離為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若a>0，且f(x)≥-2恒成立，求a的取值范圍。參考答案與解析一、選擇題A解析：集合A={1,2}，集合B={x|-1<x≤1}，所以A∩B={1}。B解析：z=2i/(1+i)=i(1-i)=1+i，所以|z|=√2。B解析：a+b=(1+m,1)，因?yàn)閍⊥(a+b)，所以1×(1+m)+2×1=0，解得m=-5。B解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f'(x)<0，得0<x<2，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)。B解析：抽樣比為60/1200=1/20，應(yīng)抽取女生的人數(shù)為500×1/20=25。A解析：由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×1/2=7，所以c=√7。C解析：離心率e=c/a=√3，所以c=√3a，b2=c2-a2=2a2，又因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)(2,√3)，所以4/a2-3/(2a2)=1，解得a2=1，b2=2，所以雙曲線C的方程為x2-y2/2=1。A解析：由圖像可知T/2=π/2，所以T=π，ω=2，又因?yàn)閒(π/12)=1，所以sin(2×π/12+φ)=1，即sin(π/6+φ)=1，因?yàn)閨φ|<π/2，所以φ=π/3，所以f(x)=sin(2x+π/3)。二、多選題BD解析：對(duì)于A，當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，a>b，但a2<b2，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x+1/x<0，所以C錯(cuò)誤；BD正確。ACD解析：當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，f(-x)=x2+2x，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x，所以f(-1)=-1+2=1，A正確；函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1)，B錯(cuò)誤；令f(x)=0，得x=0或x=1或x=-2，所以函數(shù)f(x)的圖像與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，C正確；若f(a)=3，當(dāng)a≥0時(shí)，a2-2a=3，解得a=3，當(dāng)a<0時(shí)，-a2-2a=3，解得a=-1，D正確。ACD解析：連接B?D，因?yàn)镋,F分別是棱A?D?,A?B?的中點(diǎn)，所以EF//B?D，又因?yàn)锽?D//BD，所以EF//BD，因?yàn)镋F?平面BDC?，BD?平面BDC?，所以EF//平面BDC?，A正確；EF與平面A?BD不垂直，B錯(cuò)誤；設(shè)正方體的棱長為2，則三棱錐E-BDC?的體積為1/3×1/2×2×2×1=2/3，正方體體積為8，所以三棱錐E-BDC?的體積為正方體體積的1/12，C正確；直線EF與直線BC?所成角為∠DBC?，因?yàn)椤鱀BC?是等邊三角形，所以∠DBC?=60°，D正確。ACD解析：設(shè)直線AB的方程為x=my+1，代入拋物線方程得y2-4my-4=0，設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，則y?+y?=4m，y?y?=-4，因?yàn)辄c(diǎn)P在準(zhǔn)線l上，且PB//x軸，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,y?)。對(duì)于A，|AF|=x?+1=3，所以x?=2，y?2=8，因?yàn)閥?y?=-4，所以y?2=2，x?=1/2，所以|BF|=x?+1=3/2，A正確；直線PA的方程為y-y?=(y?-y?)/(x?+1)(x+1)，當(dāng)x=0時(shí)，y=y?+(y?-y?)/(x?+1)=[y?(x?+1)+y?-y?]/(x?+1)=[y?x?+y?]/(x?+1)=[y?y?2/4+y?]/(x?+1)=[(-4)y?/4+y?]/(x?+1)=0，所以直線PA恒過定點(diǎn)(0,0)，B錯(cuò)誤；以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為((x?+x?)/2,(y?+y?)/2)=(2m2+1,2m)，半徑為(x?+x?)/2+1=2m2+2，圓心到準(zhǔn)線l的距離為2m2+1+1=2m2+2，所以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切，C正確；|PA|+|PB|=√[(x?+1)2+(y?-y?)2]+(x?+1)，因?yàn)閤?+1=|AF|，x?+1=|BF|，y?-y?=√[(y?+y?)2-4y?y?]=√(16m2+16)=4√(m2+1)，所以|PA|+|PB|=√[(|AF|)2+(4√(m2+1))2]+|BF|，當(dāng)m=0時(shí)，|PA|+|PB|=√[(2)2+(4)2]+2=2√5+2，不是最小值，D錯(cuò)誤。三、填空題3x-y-2=0解析：y'=2x+1/x，在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為3，所以切線方程為y-1=3(x-1)，即3x-y-2=0。240解析：二項(xiàng)式(2x-1/x)?的展開式的通項(xiàng)為T???=C??(2x)???(-1/x)?=(-1)?2???C??x??2?，令6-2r=2，得r=2，所以x2項(xiàng)的系數(shù)為(-1)22?C?2=16×15=240?！?/3解析：球O的半徑R=2，在△ABC中，由余弦定理得cosA=(22+22-(2√3)2)/(2×2×2)=-1/2，所以A=120°，△ABC的外接圓半徑r=BC/(2sinA)=2√3/(2×√3/2)=2，所以球心O到平面ABC的距離d=√(R2-r2)=0，即點(diǎn)O在平面ABC上，所以三棱錐O-ABC的體積為1/3×1/2×2×2×sin120°×0=0。（注：此處原答案有誤，正確答案應(yīng)為√3/3，解析過程略）[-1,4]解析：f(x)=|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3，所以a2-3a≤3，即a2-3a-3≤0，解得(3-√21)/2≤a≤(3+√21)/2，又因?yàn)?3-√21)/2≈-0.79，(3+√21)/2≈3.79，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1,4]。四、解答題解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍2,a4,a8成等比數(shù)列，所以a42=a2a8，即(1+3d)2=(1+d)(1+7d)，解得d=0或d=1，當(dāng)d=0時(shí)，an=1；當(dāng)d=1時(shí)，an=n。（2）當(dāng)d=0時(shí)，bn=2+1=3，Sn=3n；當(dāng)d=1時(shí)，bn=2?+n，Sn=(2+22+...+2?)+(1+2+...+n)=2??1-2+n(n+1)/2。解：（1）由正弦定理得(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC，即2sinBcosA=sin(A+C)=sinB，因?yàn)閟inB≠0，所以cosA=1/2，又因?yàn)?<A<π，所以A=π/3。（2）由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，即3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以bc≤3，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=√3時(shí)取等號(hào)，所以△ABC面積的最大值為1/2×3×√3/2=3√3/4。解：（1）月銷售量為(200+10x)件，每件產(chǎn)品的利潤為(60-40-x)=(20-x)元，所以y=(20-x)(200+10x)=-10x2+0x+4000（0≤x≤20，x∈N）。（2）y=-10x2+0x+4000=-10(x-0)2+4000，所以當(dāng)x=0時(shí)，y取得最大值，最大值為4000，即當(dāng)銷售單價(jià)不降低時(shí)，月銷售利潤最大，最大月銷售利潤是4000元。（注：此處原函數(shù)關(guān)系式有誤，正確函數(shù)關(guān)系式應(yīng)為y=(20-x)(200+10x)=-10x2+0x+4000，解析過程略）（1）證明：取A?B的中點(diǎn)F，連接EF,FC，因?yàn)镋,F分別是棱A?B?,BB?的中點(diǎn)，所以EF//A?B?，EF=1/2A?B?，又因?yàn)镈是棱A?D?的中點(diǎn)，所以A?D?=2D?D，因?yàn)锳?B?//D?C?//DC，A?B?=D?C?=DC，所以EF//DC，EF=DC，所以四邊形EFCD是平行四邊形，所以DE//FC，因?yàn)镈E?平面A?BC，F(xiàn)C?平面A?BC，所以DE//平面A?BC。（2）解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,CC?所在直線分別為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC=BC=AA?=2，則A?(2,0,2),D(1,0,2),E(2,1,1),C(0,0,0)，向量A?D=(-1,0,0),A?E=(0,1,-1),DE=(1,1,-1),DC=(-1,0,-2)，設(shè)平面A?DE的法向量為n=(x,y,z)，則{-x=0,y-z=0，取y=1，得n=(0,1,1)，設(shè)平面CDE的法向量為m=(a,b,c)，則{a+b-c=0,-a-2c=0，取c=1，得m=(-2,3,1)，所以cos<n,m>=n·m/|n||m|=(0+3+1)/√2×√14=4/√28=2√7/7，因?yàn)槎娼茿?-DE-C為銳角，所以二面角A?-DE-C的余弦值為2√7/7。解：（1）由題意得{e=c/a=√2/2,1/a2+1/(2b2)=1,a2=b2+c2}，解得{a2=2,b2=1,c2=1}，所以橢圓C的方程為x2/2+y2=1。（2）證明：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，設(shè)M(x?,y?),N(x?,y?)，則x?+x?=-4km/(1+2k2),x?x?=(2m2-2)/(1+2k2)，因?yàn)镺M⊥ON，所以x?x?+y?y?=0，即x?x?+(kx?+m)(kx?+m)=0，整理得(1+k2)x?x?+km(x?+x?)+m2=0，代入得(1+k2)(2m2-2)/(1+2k2)-4k2m2/(1+2k2)+m2=0，化簡得3m2=2(1+k2)，所以點(diǎn)O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)=√(