專題24.10平面向量的線性運(yùn)算

1.理解向量的數(shù)乘；

教學(xué)目標(biāo)2.掌握向量的線性運(yùn)算：

3.會(huì)用向量的線性組合表示向量。

1.重點(diǎn)

（1）向量的數(shù)乘及其表示、運(yùn)算；

（2）單位向量、平行向量及其在向量表示中的應(yīng)用；

（3）平面向量的線性運(yùn)算及其幾何應(yīng)用。

教學(xué)重難點(diǎn)

2灘點(diǎn)

（1）概念辨析；

（2）平面向量的分解式；

（3）平面向量的幾何應(yīng)用。

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)1實(shí)數(shù)與向量相乘

1.實(shí)數(shù)與向量相乘的意義：

要點(diǎn)：

設(shè)P為一個(gè)正數(shù)，P。就是將。的長度進(jìn)行放縮，而方向保持不變；P。也就是將。的長度進(jìn)行放縮，但

方向相反.

2.向量數(shù)乘的定義

一般地，實(shí)數(shù)左與向量）的相乘所得的積是一個(gè)向量，記作旌1,它的長度與方向規(guī)定如下：

實(shí)數(shù)Z與向量。相乘，叫做向量的數(shù)乘.

要點(diǎn)：

（1）向量數(shù)乘結(jié)果是一個(gè)與已知向量平行（或共線）的向量；

（2）實(shí)數(shù)與向量不能進(jìn)行加減運(yùn)算；

（4）攵。表示向量的數(shù)乘運(yùn)算，書寫時(shí)應(yīng)把實(shí)數(shù)寫在向量前面且省略乘號(hào)，注意不要將表示向量的箭頭寫

在數(shù)字上面；

（5）向量的數(shù)乘體現(xiàn)幾何圖形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

3.實(shí)數(shù)與向量的相乘的運(yùn)算律：

【即學(xué)即練】

【分析】根據(jù)向量運(yùn)算的法則先去括號(hào)，然后合并即可得出答案.

【點(diǎn)睛】本題考查向量的運(yùn)算，熟練掌握去括號(hào)法則是解題關(guān)鍵.

2.設(shè)n為IF整數(shù)，不為非零向量，那么下列說法不正確的是（）

A.nd表示n個(gè)ii相乘B.nG表示n個(gè)〃相加

C.n萬與，是平行向量D.n。與nl互為相反向量

【答案】A

【分析】根據(jù)單位向量、平行向量以及模的定義的知識(shí)求解即可求得答案.

【詳解】根據(jù)向量的性質(zhì)和意義，可知：A、nd表示n個(gè)力相加，錯(cuò)誤；

B、n〃表示n個(gè)4相加，正確；

C、n4與不是平行向量，正確；

D、?n2與互為相反向量，正確：

故選A.

知識(shí)點(diǎn)2平行向量定理

1.單位向量：長度為1的向量叫做單位向量.

要點(diǎn)：

要點(diǎn)：

加步即練】

1.已知，與單位向量。的方向相反，且長度為4,那么2表示不為.

【分析】本題考查了平面向量，熟練掌握向量的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)向量的表示方法，可直接進(jìn)行解答.

【詳解】解：回。的長度為4,向量e是單位長度，

田力與單位向量々的方向相反，

【分析】本題主要考查了線性向量，掌握向量的線性運(yùn)算成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則求解即可.

3

故答案為：

3.若乙=2。，向量B和向量。方向相反，且|〃|=2|4|,則下列結(jié)論中不正確的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件可以得到：5=-4巨，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】A、由推知|泊=2,故本選項(xiàng)不符合題意.

8、由6=42推知|5|=4,故本選項(xiàng)不符合題意.

C、依題意得：5=-4e,故本選項(xiàng)符合題意.

。、依題意得：a=^b,故本選項(xiàng)不符合題意.

故選C.

【點(diǎn)睛】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向.

知識(shí)點(diǎn)3向量的線性運(yùn)算

1.向量的線性運(yùn)算定義：

向星的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算.

要點(diǎn)：

（1）如果沒有括號(hào)，那么運(yùn)箕的順序是先將實(shí)數(shù)與向量相乘，再進(jìn)行向量的加減.

（2）如果有括號(hào)，則先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行.

2.向量的分解：

要點(diǎn)：

一向基底中，必不含有零向量.

（3）以平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可表示成這組基底的線性組

合，基底不同，表示也不同.

3.用向量方法解決平面幾何問題：

（1）利用已知向量表示未知向量

用已知向量來表示另外一些向量，除利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一

些定理，因此在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)

邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解.

（2）用向量方法研究平面幾何的問題的“三步曲”：

①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.

②通過向量運(yùn)算，研究幾何元素的關(guān)系.

③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

【即學(xué)即練】

1.作圖題:

---------?/

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【分析】（1）先將向量化簡，然后根據(jù)三角形法則即可求出答案;

（2）先將向量化簡，然后根據(jù)三角形法則即可求出答案.

D

題型03解向量數(shù)乘有關(guān)的方程

【分析】本題考查了平面向量，熟練掌握平面向量的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則求

解即可.

【分析】利用解一元一次方程的解法步驟求解即可.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的簡單計(jì)算，借助一元一次方程的解法步驟求解是解答的關(guān)鍵.

【分析】根據(jù)向量運(yùn)算法則計(jì)算即可.

3a+4萬=4.v

【點(diǎn)睛】考查了平面向量，實(shí)數(shù)的運(yùn)算定律同樣應(yīng)用于平面向量的計(jì)算.

題型04含單位向量的向量表示問題

【答案】-5。

【分析】根據(jù)單位向量與相反向量的知識(shí)，即可求得答案.

故答案為：-52

【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識(shí).此題難度不大，注意掌握單位向量與相反向量的定義.

【變式1].已知￡與單位向量"方向相反，且長度為5,那么2=.（用含向量3式子表示不）

【答案】-5e

【詳解】解：與單位向量"方向相反，且長度為5,

故答案為：-5-

【分析】本題考查的是平面向量的知識(shí)，即長度不為。的向量叫做非零向量，向量包括長度及方向，而長

度等于1個(gè)單位長度的向量叫做單位向量.根據(jù)向量的表示方法可直接進(jìn)行解答.

【答案】-53

【分析】根據(jù)向量的表示方法可直接得出答案.

???向量2與單位向量2的方向相反，

故答案為：-5e.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量有關(guān)知識(shí)，難度較小，解題的關(guān)鍵是掌握單位向量的定義.

題型05概念綜合辨析I（向量平行）

【答案】D

【分析】根據(jù)向量平行向量的定義”方向相同或相反的非零向量”、3叫做平行向量”進(jìn)行逐一判定即可.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查的是向量平行向量的定義，理解向量的定義是解決問題的關(guān)鍵.

【答案】B

【分析】本題考查了平面向量，等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平面向量的基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行向量的性質(zhì)即可解決問題.

故選：B.

【答案】A

【分析】本題考查了平面向量，主要利用了向最平行的判定，解題關(guān)鍵是對(duì)向量性質(zhì)的理解.根據(jù)向量的

性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

故選A.

【答案】B

【分析】本題考查了向量的定義：既有大小，又有方向的量叫做向量，根據(jù)定義逐項(xiàng)分析即可.

故選:B.

題型06概念綜合辨析II

【典例1】.下列命題中正確的是（）

D.ABBA是平行向量

【答案】D

【分析】本題考查平面向量，根據(jù)單位向量，平行向量、相等向量的定義即可判斷.

【詳解】解：A、單位向量不一定是相等向量，故A不符合題意.

5/仍與胡是平行向量，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【變式1].已知￡、坂為非零向量，下列判斷錯(cuò)誤的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了平面向景，平面向量既有大小，又有方向.根據(jù)相等向量，平行向量，模，單位向量

的定義一一判斷即可.

故選：C.

【變式2】.下列命題正確的是（）

【答案】D

【分析】本題考查命題與定理，平面向量，解答本題的關(guān)鍵是掌握平面向量的基本概念和性質(zhì).

由平面向量的基本概念和性質(zhì)，M可判斷.

【詳解】解：A、兩向量的模相等，方向不一定相同，故A選項(xiàng)不符合題意；

B、兩單位向量的方向可能不同，故B選項(xiàng)不符合題意；

故選：D.

【答案】①

【分析】本題考查了平行向量，單位向量，零向量等知識(shí).熟練掌握平行向量，單位向量，零向量是解題

的關(guān)鍵.

根據(jù)平行向量，單位向量，零向量的定義判斷作答即可.

單位向量方向不同，單位向量不都相等，故③不符合要求；

一個(gè)向量與零相乘，乘積為零向量，故④不符合要求；

故答案為：①.

【變式4】.下列命題中，塔送的是（）

【答案】C

【分析】本題主要考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的性質(zhì)，根據(jù)平面向量的性質(zhì)一一判斷

即可.

故選：C.

題型07向量的概念或表示難點(diǎn)辨析

【答案】B

【分析】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬「中考?？碱}型.根據(jù)平面向量的性質(zhì)

一一判斷即可.

【詳解】解：A、與d的模相等，方向不一定相同，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【變式1].已知"是一個(gè)單位向量，￡、囚是非零向量，那么下列等式正確的是（）

【答案】B

【分析】本題考查r向量的有關(guān)概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的有關(guān)概念.根據(jù)向量相等的基本概念，

對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可，向量相等是指向量的模相等而且方向相同.

故選:B.

題型08向量數(shù)乘在幾何平行問題中應(yīng)用

【答案】2a

貝I」DE：BC=1：2

故答案為：2a.

3

【答案】

【分析】本題考查了平面向量，梯形中位線定理；由梯形中位線定理即可求解.

3

故答案為：5。.

題型09作圖一平面向量的線性運(yùn)算

（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指山所作圖中表示結(jié)詒的向量.）

"V

【答案】見解析

【分析】根據(jù)平面向量的加減運(yùn)算法則解答；由平面向量的幾何意義作圖.

13如圖，可為所求向量.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量，注意：三角形法則在解題過程中的應(yīng)用.

題型10平面向量的線性運(yùn)算

OC?。力，Ag，BC^CD^DA-

【分析】利用平行四邊形對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分的性質(zhì)來求解.

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的加減運(yùn)算法則，熟練掌握向量的加減運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

故選：D

【分析】本題考查了平面向量的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是先確定各線段之間的關(guān)系.

先求出占的值，再根據(jù)求前，即可得出答案.

【答案】出

【詳解】解：如下圖：連接4c和80,

A

故答案為：73

題型11平面向量有關(guān)的分向量或分解式

⑵畫出存在2b方向上的分向量.（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）

⑵見解析

【分析】本題考查作圖復(fù)雜作圖，平面向量，相似三角形的判定和性質(zhì)，梯形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握

三角形法則解決問題.

（1）利用三角形法則求出正，BD，再利用相似三角形的性質(zhì)求出正，0D:

（2）利用平行四邊形法則畫出圖形.

【分析】本題考查了平面向量，找到向量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

首先由向量的知識(shí)，得到那和通的值，即可得到血的值.

⑴用表示麗和標(biāo)；

⑵求作而在〃石方向上的分向量.（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）

（2）見解析

前在￡、坂方向上的分向量如圖所示，的、麗即為所求；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平面向量的線性計(jì)算，掌握平面向量的線性計(jì)算解題

的關(guān)鍵.

題型12重心的性質(zhì)在平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用

【詳解】解：延長8。交ACk點(diǎn)E,

A

【詳解】解：團(tuán)中線AM、8N交于點(diǎn)G,

【詳解】解：連接4G并延長交于點(diǎn)M,

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的性質(zhì)和平面向量基本定理，掌握三角形重心的定義，熟練運(yùn)用平面向量

加減運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵.

題型13相似三角形在平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用

⑴求A。的長；

【答案】⑴2

本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平面向量，三角形法則等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形法則，屬于

中考常考題型.

是AC的中點(diǎn)，

⑴求8。的長；

【答案】（1）7.5

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，三角形的相似判定和性質(zhì)，角的平分線的定義，等腰三角形的判定，解

答即可.

（2）利用相似，和向量和計(jì)算即可.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的相似判定和性質(zhì)，角的平分線的定義，等腰三角形的判定,

向最的基本計(jì)算，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)，向量的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.下列判斷錯(cuò)誤的是（）.

【答案】D

【分析】根據(jù)零向量，平行向量，單位向量等知識(shí)進(jìn)行判定即可求解.

【詳解】解：A、0與任何向量的乘積都是零向量，故原選項(xiàng)正確，不符合題意；

D,兩個(gè)向量的模相等，則兩個(gè)向量的長度相等，當(dāng)方向不確定，故原選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要向量的概念及計(jì)算，理解并掌握零向量，平行向量，單位向量等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.下列關(guān)于向量的說法中，不正確的是（）

【答案】D

【分析】本題考查了向量與實(shí)數(shù)的運(yùn)算，向量既有方向性又有大小，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)向量的性質(zhì)進(jìn)

行運(yùn)算法則逐一進(jìn)行判斷即可.

故選：D.

【答案】B

【詳解】解：如圖所示：

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量，矩形的性質(zhì)，本題側(cè)重考查知識(shí)點(diǎn)的理解能力.

A.ECB.CEC.EDD.DE

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的特點(diǎn)及加減法則即可求解.

【詳解】團(tuán)四邊形A4CO是平行四邊形，E為A8中點(diǎn)，

故選A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查向最的表示，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的特點(diǎn)及向量的加減法則.

5.已知非零向量。和單位向量入那么下列結(jié)論中，正確的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的模只有大小，沒有方向，向量既有長度也有方向?qū)Ω鬟x項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

故選c

【點(diǎn)睛】本題考查了向量的運(yùn)算，向量的問題一定要注意從方向與模兩方面考慮.

A.3aB.-3aC.4dD.-4a

【答案】D

故選D.

二、填空題

【分析】本題考查了向量的線性運(yùn)算；根據(jù)向量的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【分析】根據(jù)向量的線性法則解答.

【點(diǎn)睛】此題考查了向量的計(jì)算法則，熟練掌握向量的線性計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.

9.長度為d的2倍，且與。是平行向量的向量是.

【答案】2?；?2M-筋或24

【分析】根據(jù)向量的方向相同或相反，即可求解.

【詳解】解：長度為N的2倍，且與。是平行向量的向最是2萬或-2心

故答案為：2/或-2限

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量，注意要分類討論：平行向量的方向有相同方向和相反方向兩種情況.

10.已知向量。與單位向量工的方向相反，|a1=3,那么向量，用單位向量工表示為.

【答案】3e

【分析】由向量4與單位向量）的方向相反，且長度為3,根據(jù)向量的定義，即可求得答案.

【詳解】解：團(tuán)向量值與單位向量2的方向相反，|4|=3,

0a=3e.

故答案為:3".

【點(diǎn)睛】本題考查的是平面向量的知識(shí)，即長度不為0的向量叫做非零向量，向量包括長度及方向，而長

度等于1個(gè)單位長度的向量叫做單位向量，注意單位向量只規(guī)定大小沒規(guī)定方向.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平面向量的線性運(yùn)算，熟練的掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

DE

2

【答案】

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然