專(zhuān)題7?1解三角形大題第一問(wèn)專(zhuān)練?13個(gè)類(lèi)型練到位

題型?歸納

目錄

高考真題回顧與梳理3

2023?新高考一卷T17(1)：出現(xiàn)了3個(gè)角時(shí)，拆角3

2022?新高考二卷T18(2)：式子變形后出現(xiàn)了三邊的平方*余弦3

2019.全國(guó)III卷高考真題：出現(xiàn)兩角之和?變?yōu)榈谌齻€(gè)角4

觸O正弦定理+和差公式5

類(lèi)型I出現(xiàn)了3個(gè)角(拆角，正向使用和差公式)5

類(lèi)型2反向使用和差公式.6

類(lèi)型3拆角后再用輔助角公式合并求角()

用余弦定理8

類(lèi)型1出現(xiàn)了邊的平方8

類(lèi)型2出現(xiàn)角的余弦(正弦走不通)9

多解問(wèn)題分析II

通過(guò)誘導(dǎo)公式統(tǒng)一函數(shù)名12

El?降黑，半角，二倍角13

類(lèi)型1半角降哥擴(kuò)角13

類(lèi)型2余弦二倍角轉(zhuǎn)變?yōu)?元二次方程13

切化弦14

判斷三角形的形狀或驗(yàn)證角度之間的關(guān)系15

遇到兩角之和化為第三介角17

|知識(shí)點(diǎn)?梳理］

一、基本定理公式

(1)正余弦定理：在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是叫b,c,R為△A8C外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2/JCCOSA;

abccn

公式-------=-------=-------=2Ab2=c2+a2-2?ccosB:

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-labcosC-

222

Ab+c-a

cosA=----------;

⑴a=2RsinA,/?=2/?sinB,c=2/?sinC2bc

_..ci.r*b._cDc2+a2-b2

常見(jiàn)變形(2)sinA=—,sinB=——,sinC=——；cosB=----------;

2R2R2Rlac

「a2+b2-c2

cosC=----------.

2ab

(2)面積公式：

S.ABC=—r/Z?sinC=—Z?csinA=—?csinB

△222

SAABC=^=ha+b+c)r(，是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R,r.)

4/?2

(3)二倍角公式

sin2A=2sinAcosA,cos2A=2cos2A-l=1-2sin2A=cos24-sin?A

二、相關(guān)應(yīng)用

(1)正弦定理的應(yīng)用

①邊化角.角化邊u>a:〃：c=sinA:sin13:sinC

②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊

BosinA>sin3ocosAvcosB

-A、,a+b+ca+bb+ca+cabc

③合分比：-----------------=-----------=-----------=-----------=----=-----=-----=2R

sinA+sinB+sinCsin4+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC內(nèi)角和定理(結(jié)合誘導(dǎo)公式)：A+B+C=/r

①sinC=sin(A+B)=sinAcos8+cosAsin8oc=acosB+Z?cosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(>4+B)=cosAcosB-sinAsinB；

tzin+tanB

③斜三角形中，TanC=tan(A+B)=------------otanA+tan8+tanC=tanA?tan8?tanC

1-tan4-(anB

公.A+BCA+B.C

④sm(-----)=cos—：cos(----)=sin——

2222

⑤在AABC中，內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列oB=q,A+C=W.

(3)2倍角公式的擴(kuò)角降寐

C1+cosC.2C1-cosC

2cos~—=----------，sm~—二-------

2222

C

忘記了可以用二倍角公式推導(dǎo):記一二，，

2

則cosC=cos2,=2cos21-\=l-2sin21

.21+cosItc,、.2.，1-cos2r

故cos2/=2cos~-1=>cos~t=-----------,cos2/=1-2sin-/=>sin-t=------------

22

高考真題.回顧

高考真題回顧與梳理

2023?新高考一卷T17(1)：出現(xiàn)了3個(gè)角時(shí)?拆角

已知在..A8C中，A+4=3C,2sin（A-C）=sinA,求siM.

2022?新高考二卷T18(2):式子變形后出現(xiàn)了三邊的平方，余弦

記58。的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為b,c,分別以a,b,c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為

S\$$,已知S—S、+1=立,sin8=,，求的面積.

-23

重點(diǎn)題型?歸類(lèi)精

正弦定理+和差公式

類(lèi)型1出現(xiàn)了3個(gè)角（拆角，正向使用和差公式）

2b-V3c_cosC

1.在中,,求4的值

出acosA

2.ZXABC的內(nèi)角A.B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且匕=2csinA+￡,求C.

6

b,c,已知,=2cos(]-c),求A.

3.（2023?湛江一模）在中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,

類(lèi)型2反向使用和差公式

4.（2023?重慶二模）在.A8C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,。，已知

2acosA-cosB+bcoslA=V3c-b?求角A

5.（2024屆.廣州?階段練習(xí)）已知./WC中角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,滿(mǎn)足

c〃

—cosB+—cosC=3cosC,求sinC的值

aa

6.（2023屆?荊門(mén)三校5月聯(lián)考）在.ABC中，角4&C所對(duì)的邊分別為dAc,且

,求tanManC.

cosBcosCcosAcosBcosC

類(lèi)型3拆角后再用輔助角公式合并求角

7.（2023屆?深圳市一模）記ZMBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

Z?+c=sinC+—,求A.

、6；

8.在VA3C中，GsinC+cosC=sm'+smC,求4

sinA

9.（2023?重慶三模）銳角-ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知acosC+GcsinA=8+c,

求A.

10.（2023下?襄陽(yáng)?三模）已知。，b,。分別為:18。三個(gè)內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊，且

acosC+x/3asinC=b+c，求角A的大小;

S用余弦定理

類(lèi)型1出現(xiàn)了邊的平方

11.已知AABC內(nèi)角A叢C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為〃力,C,2及/cosB+b2=2McosC+/+1，求瓦

12.在AA3C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，6c,已知。=2萬(wàn)

2asinCcosB=asinA-bs\nB+—bsinC，求b

2

2023屆?湖南四大名校團(tuán)隊(duì)模擬沖刺卷（一）

13.在中,內(nèi)角在上。所對(duì)的邊分別為a,Wc,已知/AC的面積為S,

且2s（吧C+吧4）=（/+/）s譏4,求。的值

sinBsinC

2023?廣東省六校高三第四次聯(lián)考

14.已知工8c的角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,且

sinA（ccosB+^cosC）—csinB=csinC+Z?sinB,求角A

15.（2023?華中師大一附中期中）在銳角三角形ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知

flsin4+bs\nB=csinC+\/2Z?sinA?求角C的大小

16?（2023?福州?二模）記MBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，c.已知力7=21,求黑

的值

類(lèi)型2出現(xiàn)角的余弦（正弦走不通）

17.（2023?廣州二模）記a43C的內(nèi)角A、B、。的對(duì)邊分別為。、b、c,已知Z?cosA-acos3=Z?-c,

求A.

18.（2023?深圳二模）已知。，"c分別為“3C三個(gè)內(nèi)角A8,C的對(duì)邊,Ksin（A-B）=2sinC,證明:

a2=b2+2c2.

19.（2023?廣州一模）在“8C中，內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為。也。，c=2Z?,2sinA=3sin2C,求sinC.

20.（2022.佛山二模）記以8C的內(nèi)角Aa。的對(duì)邊分別為a/,c,8=丁，且

(sinA+sinB)sinC+cos2C=I,求證5a=3c

21.（2023?重慶?三模）已知以8c的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為〃、b、c,

sin(A-B)tanC=sinAsinB,求“4/

b2

22.的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知他一c）sin3=Z?sin（A-C）,求角4

s多解問(wèn)題分析

23.（易漏解）△A5C中，*b，c分別是角A,B,。的對(duì)力，且有sin2C+J5cos（A+6）=0,

求角C.

24.（2023上?肇慶?二模）在乂BC中，角A8,C的對(duì)邊分別為〃力,c.已知

(Z?+c)cosA-ucosB-acosC=0,求角A.

題型國(guó)通過(guò)誘導(dǎo)公式統(tǒng)一函數(shù)名

兀

25.在./8C中，內(nèi)角4aC所對(duì)的邊分別為4,〃,c.已知asin8=/?cosA--,求A的值

V6）

26.（2023下?華中師大一附中5月壓軸卷（一）?模擬預(yù)測(cè)）己知中，角A,B,C所對(duì)邊分別為

h,c,若滿(mǎn)足a(sin2A-cos2cosC)+bsinAsinC=0,求角A的大小.

27.（2023下?臺(tái)州?二模）在JWC中，內(nèi)角A8,C所對(duì)的邊分別為已知asin6=〃cos（A.

/?cosC=ccosB,求A的值.

降幕，半角，二倍角

類(lèi)型1半角降寐擴(kuò)角

28.(2023?重慶八中二模)記AA3c的內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為。，。，己知

,CA3

acos?—+ccos2—=一匕.證明：sinA+sinC=2sinB

222

、C、A3

29.在AABC中，內(nèi)角A，B,C所對(duì)的邊分別。，b,c,且(ucos?3+08523)(〃+c-Z?)=；ac,求角

乙乙L

的大小;

類(lèi)型2余弦二倍角轉(zhuǎn)變?yōu)?元二次方程

30.在AABC中，角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c,已知cos2A-3cos(B+C)=1,求角A的大

小.

切化弦

長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)、長(zhǎng)沙一中、雅禮中學(xué)、湖南師大附中2023屆5月“一起考”

31.在“3C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為明。，c,1叫A=sin'sinC,求一人.

cosB+cosC

32.(2023?青島?三模)記A8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2csin8=(〃-c)tanC,求

角8.

.f〃兀）

sinC+一

33.在JWC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足tan8=—,~3＜，求4.

sinIC——

判斷三角形的形狀或瞼證角度之間的關(guān)系

34.（2023?黃岡中學(xué)?三模）在銳角A3C中，內(nèi)角A民C所對(duì)的邊分別為，滿(mǎn)足

sinA.sin'A-sin'C

------1=-------；-----且/VC,求證：B=2C.

sinCsin'B

35.已知在.，/小。中，角A8,C的對(duì)邊分別是a也c,若tan8（cosA-cosC）=sinC-sinA,求證：為

等腰三角形.

2023?雅禮中學(xué)二模

2方2

36.已知的內(nèi)角A&C對(duì)應(yīng)的邊分別為a也。，二的面積為一:一sinC,