第四章《指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》

4.1指數(shù)

【知識(shí)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一根式

(1)如果爐=4,那么X叫做。的〃次方根.

(2)式子血叫做根式，其中〃叫做根指數(shù)，。叫做被開(kāi)方數(shù).

⑶即)”=a

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，啦?=〃，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，，7=同=]

[一小a<0.

知識(shí)點(diǎn)二分?jǐn)?shù)指數(shù)募

m

正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)基，an=赤河。>0，〃?，n>l).

m

正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞，a"=一!=—!—(a>0,〃?，〃￡N",〃>1).

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕為0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒(méi)有意義.

知識(shí)點(diǎn)三指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

ara=ar+sx3)'=。％(ab)r=arbr；—=ar~s(?>0,bX),r,s￡R).

as

【基礎(chǔ)自測(cè)】

1.己知、)2=a—〃，則()

A.a>bB.a2b

C.a<bD.aWb

【答案】B

【詳解】yj(a—b)2=\a-b\=a-b,

所以。一萬(wàn)20,所以故選B.

2.下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)客的互化正確的是（）

A.(-x)2(A>0)

B.\T=尸

D.x3=—W(x=O)

【答案】C

【詳解】一也=一工2。＞0）；

3.若公＞0,且〃=3,〃=5,則/'《等于（

)

A.9+小B.yC.9A/5D.6小

【答案】C

2.上11^

【詳解】〃2=(?')2?⑷)2=32-52=9A/5.

【答案］yja—1

【詳解】要使原式有意義，則

(]-?)2A/I-71;=|1-?1-(?-I)4=(?-1)?(tz-1)4=(t/-l)4=yja-\.

5.計(jì)算：8^[(-2)6]^=.

【答案】兀+8

21

【詳解】原式=⑵尸—1+|3—冗|+(26)2=4—1+?！?+23=兀+8.

【例題詳解】

一、〃次方根的概念

例I⑴下給出下列4個(gè)等式：①杯每=±2：②配寸=、5工；③若龐R，則+=（4）

設(shè)豳N”,則=其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)根式與指數(shù)式的意義及性質(zhì)求解即可.

【詳解】①中版彳=阪=亞=2,所以①錯(cuò)誤；

②錯(cuò)誤；

③因?yàn)榭谑?>0恒成立，所以⑷—十有意義且恒等于1,所以③正確；

④若〃為奇數(shù)，則4/=。，若〃為偶數(shù)，則折=同，

所以當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，a<0時(shí)不成立，所以④錯(cuò)誤.

故選:B.

（2）若81的平方根為〃，一8的立方根為江則。=,〃+》=.

【答案】±9；-11或7

【分析】利用〃次方根的概念即得.

【詳解】因?yàn)?1的平方根為均，所以。=均.又因?yàn)橐?的立方根為-2,所以6=-2.

所以a+b=—11或。+力=7.

故答案為：±9；—11或7.

跟蹤訓(xùn)練1⑴已知丁=8,則x等于（）

77

A.2-72B.V§C.一mD.

【答案】B

【詳解】因?yàn)?為奇數(shù)，8的7次方根只有一個(gè)

（2）若力行有意義，則x的取值范圍是；

若二2x+5有意義,則x的取值范圍是.

【詳解】。)^7+^(^^)7+^(^47=—6+(4-6)+6-4=—6.

(ii)原式=J(x-1)?-"(x+3)2=|x-11+1x+31(-3vxv3)

因?yàn)?3<x<3,所以-4<X-1<2,0<X+3<6

當(dāng)-4<x-lvO,即一3vx<l時(shí)，|X-1|+|X+3|=1-A-U4-3)=-2A-2;

當(dāng)0?x—l<2,即IKx<3時(shí)，|A-1|+|X+3|=X-1-(X+3)=-4/

所以J(x-l『一J(x+3『=?—2.x―2,—3<x<1

-4,1<x<3

跟蹤訓(xùn)練2(1)J(1-X)2+(x>1)=.

[l,l<x<2

【答案】o,o

2x-3,x>2

【分析】根據(jù)1?xW2與x>2分類(lèi)討論化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】當(dāng)14x42時(shí)，J(l-x)2+J(27)2=x-1+27=I：

當(dāng)工>2時(shí)，7(1--^)2+y](2-x)2=x-\+x-2=2x-3.

1(1W2)

所以J(1—X)2+J(2—X)2=.

2x-3(.v>2)

l,I<x<2

故答案為：

2.r-3,x>2

(2)化簡(jiǎn):

(iN(3一九尸；

(n^(a—b)2(a>h)；

【詳解】(1N(3一兀>=|3一川=干一3.

(2)Va>b,\l(a-h)2=\a-h\=a-b.

(3)由題意知〃一120,即〃21.原式=〃-1+|1—“|+1—〃=〃一1+4—1+1—〃=〃一

三、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化

例3(1)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的互化正確的是()

A.-7I=(-X)2B.x4=J1)(x>0)

c.檸=y3D.?_x）24=E（XV0）

【答案】B

【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)逐一計(jì)算即可求解.

【詳解】解：對(duì)A：_?=_%，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)B：0)，故選項(xiàng)B正確;

對(duì)C：后=j，j不能化簡(jiǎn)為j，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

_____2（?-?

卜［-"1'>=［（-4卜㈠）二

對(duì)D：因?yàn)閤<(),所以故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：B.

⑵若(1-2x)1有意義，則x的取值范圍是()

【答案】D

【分析】將指數(shù)幕化為分式，利用分式有意義可求得實(shí)數(shù)x的取值范圍.

【詳解】因?yàn)?T'Kgr則l—2x>0,解得

故選：D.

(3)已知"，人為正數(shù)，化簡(jiǎn)冬(燈?瓦—

【答案】//

【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)事的互化以及指數(shù)累的運(yùn)算公式即可求出結(jié)果.

【詳解】原式=￡1式.0=―力.

h2h'

故答案為：

跟蹤訓(xùn)練3(1)下列式子的互化正確的是()

3

A.6^//=y(y<0)B.，=一次(％HO)

(x>°)D.->/x=(-X)2(A>0)

【答案】C

【解析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化可逐項(xiàng)分析.

【詳解】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冢的運(yùn)算可知，

3

斤=ly|3=-y3(y〈0)，X=-y=(A：#O),X(x>0)?-Vx=-(xp(x>0)?

故選：c

(2)把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)呆，把分?jǐn)?shù)指數(shù)基化為根式(式中字母均為正實(shí)數(shù)).

①/；

②3T:

③(a+b)4；

④k

【答案】①赤力②2；.；③/(a+b)，;@(x3+yp-

【分析】直接利用根式與指數(shù)的互化公式求解.

-21

【詳解】①89=^.

2—

②

③(a+力尸=《(a+b)3-

④號(hào)=

【點(diǎn)睛】本題主要考查根式與指數(shù)的互化，屬于基礎(chǔ)題.

四、運(yùn)用指數(shù)幕運(yùn)算公式化簡(jiǎn)求值

例4計(jì)算或化簡(jiǎn)下列各式：

(1)(〃-2卜(一4.-/)+(12々-")(a>0)；

3

(2)f_3^+0,002-10(75-2)^+(V2-V3)°.

【答案】(1)一;。；(2)一殍.

【分析】直接根據(jù)指數(shù)暴的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】⑴原式=-4/一；(]2/)=_；不中=。

⑵原式=f_2『+(_L『-4+i

(8)l500j75-2

=(-1)33+5OQ2-10(石+2)+1

=1+10x/5-10x/5-20+1=-母.

跟蹤訓(xùn)練4求下列各式的值：

￡?71

(1)0.027《-(--)-2+(2-V-(V2-5/5)0；

79

(2)0.064^-(-,°+[(-2尹『+16小5+|-0.01戶(hù)；

4.1-11

⑶(一2一)°+3葭(2—)2—0.0013；

54

(4)3x/2xVh5xVi8.

【答案】(1)T5；(2)?^；(3)^^；(4)3朗石.

o\J2/U

【分析】(1)(2)(3)利用指數(shù)品的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即得;

(4)利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)暴互化，利用指數(shù)轅的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算.

【詳解】⑴原式=(磊J—(T)V(3-2+(B)L|=；—49+?！?=一45；

1uuu/yjj

⑵原式=(藍(lán)》一“(5+2-3+?=限I1143

+-+

8記一標(biāo)"

14-I-

(3)原式=l+-x(_)2—(—)3當(dāng)

9910002710270

Jq12

⑷原式=3x2^x(—)3X(2X32"

211111

=3x2ix(-Vx35x2^x35

—+———1^—+—

=2263x3一

=23x33=4863

=3炳.

五、分?jǐn)?shù)指數(shù)尋運(yùn)算的綜合應(yīng)用

例5已知二+"4_3,求下列各式的值.

(1)<7+?'；

(2)u2+3a~2;

33

⑶捷+a。2

a2++3

2

【答案】(1)7；(2)47；(3)不

【分析】⑴將所給的等式兩邊平方，整理即可求得a+G的值；

⑵將⑴中所得的結(jié)果兩邊平方，整理即可求得/+。一2的值；

3_3/|

⑶首先利用立方差公式可得*>(〃-1+小)，然后結(jié)合⑴(2)的結(jié)果即可求得代數(shù)式的值.

【詳解】（1）將兩邊平方，得。+/+2=9,

Ci十4一?

所以〃+/=7.

（2）將〃+=7兩邊平方，得/+。-2+2=49，

所以a?+/=47.

22

（3）團(tuán)+a2=3，。+。|=7,a+a=47t

33,?、3,[、3']?\

^a2+a2=a1+a=a2+a2（a-1+t/'）=3x（7-l）=l8,

vz\7\z

33

團(tuán)/+戶(hù)+2_18+2_2.

a2+a2+3-47+3-5

跟蹤訓(xùn)練5化簡(jiǎn)，求值：

⑴已知工+了|=3，求五+x*的值；

⑵已知〃*一4r=2,求(產(chǎn)+〃2的值:

⑶已知/+/_3,求正值.

c<ICl-?）

（T+（f-

1Q

【答案】⑴石；⑵6；⑶而

47

【分析】（1）可將4十f3平方后展開(kāi)，可利用已知代入最后開(kāi)方得到結(jié)果（2）直接將已知條件兩邊平方，

可得結(jié)果（3）將已知條件平方可得到的值，再將平方可得到/+加2的值，配合立方和公式

將上述值分別代入可得結(jié)果

（?\2/??\2

【詳解】（1）依題意，可知x>0,則五+”=/=x+/+2=5,

Z\/

所以

（2）因?yàn)椋?qT=2,兩邊平方后得（"一L）2=j+4%―2=4

所以/+4小=6

（3）J兩邊平方可得。+。7+2=9，所以〃+

u十a(chǎn)-J

2.2a2+a+.

■+a2=（p）=3X（7_1）=J8.

/+/=-（〃+才1_2-72-2=47

【課堂鞏固】

1.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）

①49的平方根為7；②（“『=”；③=④._3『=（-3向

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)根式的運(yùn)算，逐一判斷即可.

【詳解】49的平方根是±7,故①錯(cuò)誤；

=4,故②正確;

77=14,故③錯(cuò)誤;

故④錯(cuò)誤?

故選:A.

2.在①^/(一4產(chǎn)；加/(-4嚴(yán),④中，〃￡N?,a￡R時(shí)各式子有意義的是()

A.①②B.@@

C.①②③④D.①@@

【答案】B

3.化簡(jiǎn)府向'+也才的結(jié)果是()

A.0B.2(b-a)C.0或2(〃-a)D.2(a-Z?)

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后根據(jù)。力的大小關(guān)系討論即可.

【詳解】yj(a-by+《(b-a)，=\a-b\+(b-a).

當(dāng)時(shí)，原式=a—8+(8-4)二0；

當(dāng)a<是，原式=b—a+^b—a^=2(/?—a).

故選:C.

4.將(4>°)表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)累，其結(jié)果是()

A.a2B.“6C.a(D.

【答案】C

【分析】利用指數(shù)鼎的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

故選：C.

5.若〃八―心+1=而_24,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.[2,+8）B.（f』c.[-:，占D.R

2222

【答案】B

【分析】根據(jù)根式與指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)得到/（24-1）2=在-2幻3,即可求解.

【詳解】根據(jù)根式和指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，因?yàn)榧?g肝詬7,

可化為，4/-4口+1=#（1-2a）3,即J（2aT）」=#（1一2/3,

可得|2。一1|=1一2。，所以1—2〃20,即

故選:B.

6.計(jì)算：

⑴（而）2=一：（2）（網(wǎng)）3=_；

⑶危=—；（4）^7=_：

⑸6-2）=⑹81；=；

⑺*8尸--=一；⑻（言81-尸-=一?

【答案】11-8一二22--75/->/3+231/L5—r

32729

【分析】（1）當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，（標(biāo)）“=。（〃>0）；（2）當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，（布）”=a；（3）化為分?jǐn)?shù)指數(shù)‘標(biāo)進(jìn)行

計(jì)算；（4）當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，如=同；（5）當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，療=同；（6）化為分?jǐn)?shù)指數(shù)箱進(jìn)行計(jì)算；（7）

化為分?jǐn)?shù)指數(shù)箱進(jìn)行計(jì)算；（8）億為分?jǐn)?shù)指數(shù)轅進(jìn)行計(jì)算.

____I

【詳解】（1）（vny=ll；（2）（舛）'=—8；（3）3=_,；（4）4一2『=2;（5）

3

J（后一2"a2卜2一回（6）81L（y）L3；⑺嗡/=f|T=（|1'=|：（8）

23125

故答案為：11；-8；--52；2-73；3；—；——

J4/41■/

7.O4L2尸+肌9-工.

19

【答案】《

【洋解】原式=2—4乂（一￡）+1-《=2+3+1-；=5.

8.化簡(jiǎn)d（l-々.[（，言）G=______.

【答案】Rr

【詳解】要使原式有意義，則。-1>0.

（1-=11-?|-（?-1）4

_314____

=（0—1）（。-1）4=（a-1）4=y[a—\.

,14

9.若10'=38,10）=4,則lO1K~y=.

【答案】5

【詳解】1020=（10V）27。-3-。）-H/27=3-4^3i=1.

10.設(shè)y（x）=y/AT—4,若0vaW1,則/（。+5）=.

【答案葉一〃

【詳解】f（。+9="（。+）2-4=/2+!-2=江〃-沙=|小

因?yàn)?<aW1,所以aw],

11.計(jì)算下列各式，式中字母均為正數(shù).

i\f1I<1I

———I.—D---

（1）5x3y2.——x~'y2'——xyy6

\/\47\6

（2）（-5）°+2-2x64.

【答案】（1）菱254--打-6；（2）51

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)式的乘法運(yùn)算律即可求解；（2）根據(jù)指數(shù)式的乘法運(yùn)算律和指數(shù)希的運(yùn)算律即可求解;

[詳解](])==—；

(2)原式=i+4x(4＞一f—=1+^x4--=—?

4')[(2川422

12.計(jì)算下列各式：

(1)0.064^-f-yl+[(-2)3]3+16075.

￡29-1￡

(2)4〃〃？+一一i(4>0力〉。).

、5J

⑶已知x+k=3,求/+廠2的值

【答案】⑴3；(2)_]0a.；⑶7.

【分析】(1)利用實(shí)數(shù)指數(shù)暴的運(yùn)算法則直接計(jì)算作答.

⑵利用實(shí)數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則結(jié)合單項(xiàng)式的除法法則直接計(jì)算作答.

⑶將給定等式兩邊平方直接計(jì)算即可作答.

【詳解】⑴原式=(043戶(hù)—1+(—2-+(24廣5=g—1+^+f.

(2+，_121

(2)原式=4x[—]Jx〃3xh3+3=一]0必3.

(3)因x+/=3,兩邊平方得f+—+2=32,

所以幺+婷=32_2=7.

【課時(shí)作業(yè)】

1.y(--2)3=()

A.71-4B.兀-3C.Tt-2D.兀

【答案】C

【分析】根據(jù)根式運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：y(兀-2]=兀-2.

故選：c.

2.化簡(jiǎn)#16x*y4(工v0,yv0)得()

A.2x2yB.2xyC.4x2yD.-2x2y

【答案】D

【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則以及根式與指數(shù)幕的轉(zhuǎn)換即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閤v0,)，<。，所以#6*=#(2。)4=一2。,

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)累，再借助塞的運(yùn)算法則計(jì)算即得.

【詳解】因〃>o,〃>o,所以j-Q。/空丫」(空丫T72_T=-

{27b3)3b)\3ab)81//

故選：C

4.若64=帽,則上工的結(jié)果是()

yjyy

A.m2+2B.m2-2C.\/m+2D.4m-2

【答案】A

【分析】將6-：=機(jī)兩邊同時(shí)平方,化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.

V.V

【詳解】八=y+~~2,

而=-+y=m2+2,

yy

故選：A.

5.若正數(shù)x,)'滿足d=8,y4=8l,則x+y=()

A.1B.3C.5D.7

【答案】C

【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)求出x，〉'，即可得解.

【詳解】解：因?yàn)檎龜?shù)小y滿足d=8,y'=81,

所以x=圾=2>y=%T=3,

所以x+y=2+3=5；

故選:C

6.式子上聯(lián)/（陽(yáng)＞0）的計(jì)算結(jié)果為（）

A.IB.〃自C.7D.川

【答案】D

【分析】由指數(shù)運(yùn)算法則直接計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】馬近=金史=/出=利.

故選：D.

7.下列各式中成立的一項(xiàng)（）

A.=nnVB.或一31=亞3

C.也3+,，3=@+不D.曬=冷

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)曷的運(yùn)算性質(zhì)可判斷AC選項(xiàng)；根據(jù)根式與指數(shù)曷的互化可判斷BD選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，（'）=（〃〃叫=島r,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，0（一3『=?療=31=3§=次=，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于c選項(xiàng)，（x+）,）Ky（x+?工^777,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，7W二,的：=（3：2=3；=⑸D選項(xiàng)正確.

故選：D.

8.若處4/-40+1="元，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

1

A.aeRB.。=0D.

2

【答案】D

【分析】把等式左邊變形為"不，結(jié)合"二11=圻二五，可得2〃-1,,0,則答案可求.

【詳解】解：由《4〃2-牝+1=0（4一1）2=動(dòng)加一1|=必一加,

可得2々-1,,0,即4,3.實(shí)數(shù)a的取值范圍是4,g.

故選：D.

9.（多選）下列各式正確的是（）

A.行=。B..（-3）3=-3C.=D.~^a/=a

【答案】BD

【分析】利用根式的運(yùn)算直接求解.

【詳解】當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，歷=|4=["'"2'故人，C選項(xiàng)中的式子不正確；

11[一a,avO,

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，"=a,

則'（7y=-3,-1（-a），=-{-a）=a?

故B,D選項(xiàng)中的式子正確.

故選：BD.

10.（多選）若￡<1，化簡(jiǎn)。25-30戈+9/一而一2『-3的結(jié)果可能（）

A.2x-6B.4A-6.C.-2xD.2x+4

【答案】AC

【分析】解不等式求x的范圍，結(jié)合根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)代數(shù)式即可

【詳解】由S-<i化簡(jiǎn)可得J>0，

2-xx-2

所以。+2）（工-2）>0,

所以x>2或工〈-2,

又」25-30口+9--J（x-2『-3=J（5-3K）2-J（X-21-3,

所以抬_30口+9/_“』_2）27=|5_3力k_2卜3,

當(dāng)工＞2時(shí)，V25-30x+9x2-yl（x-2）2-3=3x-5-x+2-3=2x-6,

當(dāng)HV-2時(shí)，V25-30x+9x2-5/(.r-2)2-3=5-3x+x-2-3=-2x,

故選：AC.

11.計(jì)算：26

【答案】6

【分析】根據(jù)根式指數(shù)基的互化，以及指數(shù)制的運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

【詳解】根據(jù)根式指數(shù)基的互化，以及指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì),

可得2百*源入祗=2?33?(22-3)s-(1)3=2，'r5=2x3=6.

故答案為：6

12.化簡(jiǎn)(五-1)++N(l-a>=________-

【答案】a-1

【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由（V^F一知a-120,a>l.

故原式="T+|1-a1+1-67=67-1.

故答案為：a-1

13.化簡(jiǎn)點(diǎn)7子〃6（〃>0）=---------------

【答案】J

【分析】將根式化成指數(shù)累，再根據(jù)塞的運(yùn)算法則計(jì)算可得;

【詳解】解：戰(zhàn)

!11_22

=a2=a2%=?！?

故答案為：J

14.若代數(shù)式^/57二T+^/^7有意義，則5942—6文+1+3乂劉，（.一3）刈6=.

【答案】8

【分析】由已知代數(shù)式有意義確定X的范圍，結(jié)合根式的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)目標(biāo)式求其值.

【詳解】因?yàn)榇鷶?shù)式后二1有意義，所以版-120且3-xwo,te1<x<3,

所以19/一6口+1+3乂2。0（4—3）.=|3x—l|+3|x—3|=3x—1+3（3T）=8,

故答案為：8.

15.將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)累的形式.

（1）標(biāo)>。）；