專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、典型題型 1題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差 1題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比 3題型三：插入新數(shù)混合 4二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練 5一、典型題型題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差例題1．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.例題2．（2023·全國·高二課堂例題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)是不是數(shù)列的項(xiàng)？若是，它是的第幾項(xiàng)？若不是，說明理由．例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列和其前n項(xiàng)和滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入m個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)此等差數(shù)列的公差為，求滿足的正整數(shù)m的最小值.例題4．（2023春·吉林長春·高二長春十一高?？计谀┮阎缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，記插入的這n個(gè)數(shù)之和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；例題5．（2023春·廣東佛山·高二南海中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比例題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中抽取部分項(xiàng)（按原來的順序）構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，記為，再在數(shù)列插入適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使它們一起能構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.若，則數(shù)列中第項(xiàng)前（不含）插入的項(xiàng)的和最小為（

）A．30 B．91 C．273 D．820例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)組成正項(xiàng)等比數(shù)列，則中間三個(gè)數(shù)的積等于.例題3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，在a，b之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，，…，，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則有結(jié)論成立．若，在a，b之間插入個(gè)正數(shù)，，…，，使得這個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則有相應(yīng)的結(jié)論成立．例題4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）回答下面兩個(gè)問題(1)在等差數(shù)列中，已知，，求a1與Sn．(2)在2與64中間插入4個(gè)數(shù)使它們成等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式．例題5．（2023春·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為且當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列.(1)計(jì)算，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并加以證明；(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.題型三：插入新數(shù)混合例題1．（2023春·湖北荊門·高二統(tǒng)考期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，．其中是數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在和中插入個(gè)相同的數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求的前100項(xiàng)和．例題2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為（為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項(xiàng)；數(shù)列滿足（，）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；(3)當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在與之間插入個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求.例題4．（2023·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列的任意與項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求的值.例題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)，有，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)所有正整數(shù)，若，則在和兩項(xiàng)中插入，由此得到一個(gè)新數(shù)列，求的前40項(xiàng)和.二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2023春·江蘇南通·高二期末）已知數(shù)列滿足，在和之間插入n個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前18項(xiàng)的和為（

）A．43 B．44 C．75 D．762．（2023·安徽滁州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)順序不變，對(duì)任意的，在數(shù)列的與項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，則（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．81923．（2023·全國·高三專題練習(xí)）習(xí)近平總書記在黨的二十大報(bào)告中提出：堅(jiān)持以人民為中心發(fā)展教育，加快建設(shè)高質(zhì)量教育體系，發(fā)展素質(zhì)教育，促進(jìn)教育公平，加快義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展和城鄉(xiāng)一體化．某師范大學(xué)學(xué)生會(huì)為貫徹黨的二十大精神，成立“送教下鄉(xiāng)志愿者服務(wù)社”，分期分批派遣大四學(xué)生赴鄉(xiāng)村支教．原計(jì)劃第一批派遣20名學(xué)生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人數(shù)暴漲，服務(wù)社臨時(shí)決定改變派遣計(jì)劃，具體規(guī)則為：把原計(jì)劃擬派遣的各批人數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列記為，在數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)與（，2，）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．按新數(shù)列的各項(xiàng)依次派遣支教學(xué)生．記為派遣了70批學(xué)生后支教學(xué)生的總數(shù)，則的值為（

）A．387 B．388 C．389 D．3904．（2023·全國·高三專題練習(xí)）通過以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2，3之間插入2與3的積6，得到數(shù)列2，6，3；第2次，在2，6，3每兩個(gè)相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2，12，6，18，3；類似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為，則的值是（

）A．6 B．12 C．18 D．108二、多選題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的．明萬歷十二年（公元1584年）．他寫成《律學(xué)新說》，提出了十二平均律的理論．十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個(gè)數(shù)，使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個(gè)數(shù)之和為，插入11個(gè)數(shù)后這13個(gè)數(shù)之和為，則依此規(guī)則，下列說法正確的是（

）．A．插入的第8個(gè)數(shù)為B．插入的第5個(gè)數(shù)是插入的第1個(gè)數(shù)的倍C．D．三、填空題6．（2023春·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）在1和17之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，若這n個(gè)數(shù)中第一個(gè)為a，第n個(gè)為b，當(dāng)取最小值時(shí)，.7．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，在數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)與之間插入個(gè)4，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記新數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為．四、解答題8．（2023春·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求證：.9．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為且當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.10．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)保持中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入個(gè)1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求的值（用數(shù)字作答）．11．（2023春