第1頁/共1頁貴州省遵義航天高級中學(xué)2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題，共計8小題，滿分5分，滿分40分．1.已知集合，則（）A B. C. D.2.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.3.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A向右平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向左平移個單位長度4.已知平面向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件5.已知向量，，則在上的投影向量為（）A B. C. D.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.7.在中，點(diǎn)D在BC上，且滿足，點(diǎn)E為AD上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.8.設(shè)函數(shù)，在區(qū)間恰有三個最值點(diǎn)和兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題，每題6分，滿分18分．全部選對得6分，部分選對得部分分?jǐn)?shù)，錯選不選得0分．9.下列結(jié)論正確的是（）A.是第三象限角B.若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形的面積為C.若角的終邊上有一點(diǎn)，則D.若角為銳角，則角為鈍角10.下列說法正確的是（）A.若，，，則事件與事件相互獨(dú)立B.小付同學(xué)本學(xué)期參與了次數(shù)學(xué)考試，則事件“至少有次及格”與事件“只有一次及格”互為對立事件C.高二年級準(zhǔn)備從個班級中抽取個班級參與“附中好詩詞”舞臺搭建，采取抽簽法和隨機(jī)數(shù)法兩種不同方法抽取時，每個班級被抽中的概率分別為、，則D.若，，則11.已知函數(shù)，則（）A.最小正周期是 B.的值域是C.存在，使得是奇函數(shù) D.在上單調(diào)遞減三、填空題，每題5分，滿分15分．12.________.13.已知，，，比大小______．14.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，若動點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓E（正方形ABCD內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為________.四、解答題，共5小題，滿分87分．15.已知，，且與夾角為.（1）求的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.16.某市教育部門為了解學(xué)生接受安全教育的情況，從全市抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計他們每月接受安全教育的時長，繪制如圖所示的頻率分布直方圖（每月接受安全教育的時長均分布在）．（1）求實(shí)數(shù)的值，并求所有被抽查人員接受安全教育的平均時長（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）該市教育部門為了了解學(xué)生接受安全教育的具體情況，準(zhǔn)備采用分層隨機(jī)抽樣的方法從和組中抽取人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層隨機(jī)抽樣從抽取的人中選人參加一個座談會，現(xiàn)從參加座談會的人中隨機(jī)抽取人發(fā)言，求組中恰好有人發(fā)言的概率．17.已知，其中（1）求；（2）求．18.已知函數(shù)滿足，若將的圖象上每個點(diǎn)先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，所得的函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求的解析式；（2）若對于任意的，總存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)的圖象在區(qū)間上至少含有20個零點(diǎn)，在所有滿足條件的區(qū)間上，求的最小值．19.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．（1）記向量的相伴函數(shù)為，若且，求的值；（2）設(shè)（），試求函數(shù)的相伴特征向量，并求出與方向相反的單位向量﹔（3）已知，，，為函數(shù)（）的相伴特征向量，，請問在的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

貴州省遵義航天高級中學(xué)2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題，共計8小題，滿分5分，滿分40分．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求出集合，利用集合的交集運(yùn)算即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.2.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正切型三角函數(shù)的最小正周期求解即可得答案.【詳解】函數(shù)的最小正周期.故選：A.3.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向左平移個單位長度【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合三角函數(shù)圖象平移逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】對于選項(xiàng)A：可得，不合題意，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：可得，符合題意，故B正確；對于選項(xiàng)C：可得，不合題意，故C錯誤；對于選項(xiàng)C：可得，不合題意，故D錯誤；故選：B.4.已知平面向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件【答案】B【解析】【分析】由坐標(biāo)計算向量的夾角與共線時的情況再結(jié)合必要不充分條件的判定可得.【詳解】若與的夾角為鈍角，則，解得且，時不能得出與的夾角為鈍角，與的夾角為鈍角時可以得出，所以“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B5.已知向量，，則在上的投影向量為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用投影向量的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以在上的投影向量?故選：C.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)值的大小，結(jié)合排除法進(jìn)行排除即可.【詳解】記函數(shù)，定義域?yàn)镽，，則是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除AC，又，排除D.故選∶B.7.在中，點(diǎn)D在BC上，且滿足，點(diǎn)E為AD上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)平面向量基本定理及共線向量定理的推論，由三點(diǎn)共線得，且，再根據(jù)“1”的代換，運(yùn)用基本不等式可得答案.詳解】，由三點(diǎn)共線可得，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.故選：D.8.設(shè)函數(shù)，在區(qū)間恰有三個最值點(diǎn)和兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出,結(jié)合圖象，恰有三個最值點(diǎn)和兩個零點(diǎn)，則右端點(diǎn)應(yīng)該介于內(nèi)，故列出不等式求解即可.【詳解】，如上圖可知：若函數(shù)，在區(qū)間恰有三個最值點(diǎn)和兩個零點(diǎn)，則，故選：A.二、多選題，每題6分，滿分18分．全部選對得6分，部分選對得部分分?jǐn)?shù)，錯選不選得0分．9.下列結(jié)論正確的是（）A.是第三象限角B.若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形的面積為C.若角的終邊上有一點(diǎn)，則D.若角為銳角，則角為鈍角【答案】BC【解析】【分析】利用象限角的定義可判斷A選項(xiàng)；利用扇形的面積公式可判斷B選項(xiàng)；利用三角函數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)；取可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)榍覟榈诙笙藿?，故是第二象限角，A錯；對于B選項(xiàng)，若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形的半徑為，因此，該扇形面積為，B對；對于C選項(xiàng)，若角的終邊上有一點(diǎn)，則，C對；對于D選項(xiàng)，因?yàn)闉殇J角，不妨取，則為直角，D錯.故選：BC.10.下列說法正確的是（）A.若，，，則事件與事件相互獨(dú)立B.小付同學(xué)本學(xué)期參與了次數(shù)學(xué)考試，則事件“至少有次及格”與事件“只有一次及格”互為對立事件C.高二年級準(zhǔn)備從個班級中抽取個班級參與“附中好詩詞”舞臺搭建，采取抽簽法和隨機(jī)數(shù)法兩種不同方法抽取時，每個班級被抽中的概率分別為、，則D.若，，則【答案】AC【解析】【分析】利用獨(dú)立事件的定義可判斷A選項(xiàng)；利用對立事件的定義可判斷B選項(xiàng)；利用隨機(jī)抽樣的公平性可判斷C選項(xiàng)；利用并事件的概率公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，，則，因?yàn)?，則事件與事件相互獨(dú)立，故事件與事件相互獨(dú)立，A對；對于B選項(xiàng)，小付同學(xué)本學(xué)期參與了次數(shù)學(xué)考試，則事件“至少有次及格”包含的事件有“次及格”、“次及格”、“次及格”，其對立的事件為“次及格或次全不及格”，因此，事件“至少有次及格”的對立事件為“至多有次及格”，B錯；對于C選項(xiàng)，高二年級準(zhǔn)備從個班級中抽取個班級參與“附中好詩詞”舞臺搭建，采取抽簽法和隨機(jī)數(shù)法兩種不同方法抽取時，每個班級被抽中的概率分別為、，則每個班級被抽中的概率相等，故，C對；對于D選項(xiàng)，若，，則，D錯.故選：AC.11.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期是 B.的值域是C.存在，使得是奇函數(shù) D.在上單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】【分析】化簡函數(shù)，其中，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，由函數(shù)當(dāng)時，即，此時，所以；當(dāng)時，即，此時，所以，所以，其中可得的最小周期為，所以A正確；對于B中，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域是，所以B正確．對于C中，設(shè)，可得作出函數(shù)一個周期內(nèi)的圖象，可得的圖象不是中心對稱圖象，所以不存在，使得是奇函數(shù)，所以C錯誤．對于D中，因，當(dāng)時，，令，解得，因?yàn)?，所以；?dāng)時，可得，因?yàn)?，所以在上遞減，所以D正確．故選：ACD三、填空題，每題5分，滿分15分．12.________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式求解即可.【詳解】.故答案為：.13.已知，，，比大小______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由于，故，，故，因此.故答案為：14.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，若動點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓E（正方形ABCD內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】先求得的取值范圍，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則將所求轉(zhuǎn)化為，從而得解.【詳解】因?yàn)檎叫蔚倪呴L為2，取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)在點(diǎn)或點(diǎn)時，，當(dāng)在弧中點(diǎn)時，，所以的取值范圍為，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，故，所以，即的取值范圍?故答案為：.四、解答題，共5小題，滿分87分．15.已知，，且與的夾角為.（1）求的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由已知求出，再由可求得答案，（2）由，得，化簡可求出的值【詳解】（1）因?yàn)?；所以；?）因?yàn)?，所以，即，所以，解得?6.某市教育部門為了解學(xué)生接受安全教育的情況，從全市抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計他們每月接受安全教育的時長，繪制如圖所示的頻率分布直方圖（每月接受安全教育的時長均分布在）．（1）求實(shí)數(shù)的值，并求所有被抽查人員接受安全教育的平均時長（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）該市教育部門為了了解學(xué)生接受安全教育的具體情況，準(zhǔn)備采用分層隨機(jī)抽樣的方法從和組中抽取人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層隨機(jī)抽樣從抽取的人中選人參加一個座談會，現(xiàn)從參加座談會的人中隨機(jī)抽取人發(fā)言，求組中恰好有人發(fā)言的概率．【答案】（1），（2）30人，20人；【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)所有矩形條的面積和為，列方程求，再將各區(qū)間的中點(diǎn)值乘該區(qū)間數(shù)據(jù)的頻率相加可得平均數(shù)的估計值，（2）先確定從和組所抽取的人數(shù)，再結(jié)合分層抽樣性質(zhì)確定所抽取的人中位于和組中的人數(shù)，結(jié)合古典概型概率公式求結(jié)論.【小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)可得，解得．根據(jù)頻率分布直方圖可得所有被抽查學(xué)生接受安全教育的平均時長為．【小問2詳解】由題意得組的人數(shù)為（人），組的人數(shù)為4000（人），這兩組的人數(shù)之比為，故從組抽取的人數(shù)為（人），從組抽取的人數(shù)為（人）；利用分層隨機(jī)抽樣從抽取的50人中選5人參加一個座談會，則從組抽取的人數(shù)為（人），從組抽取的人數(shù)為（人），從參加座談會的人中隨機(jī)抽取人發(fā)言，共有種抽取方法，組中恰好有人發(fā)言的抽取方法有（種），故組中恰好有人發(fā)言的概率為．17.已知，其中（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，然后利用兩角差的余弦代入即可．（2）根據(jù)，利用倍角公式算出代入即可求解．【小問1詳解】由題意得：，，，【小問2詳解】，，，.18.已知函數(shù)滿足，若將的圖象上每個點(diǎn)先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，所得的函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求的解析式；（2）若對于任意的，總存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)的圖象在區(qū)間上至少含有20個零點(diǎn)，在所有滿足條件的區(qū)間上，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）確定函數(shù)的周期，求出，可得，結(jié)合三角函數(shù)圖象的平移變換以及偶函數(shù)性質(zhì)求出，即可求得答案；（2）求出，在相應(yīng)區(qū)間上的最大值，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案；（3）求出的零點(diǎn)，確定零點(diǎn)之間的間隔，結(jié)合題意列出滿足條件的不等式，求得答案.【小問1詳解】因?yàn)椋瑒t，所以函數(shù)的最小正周期為，則，則將函數(shù)的圖象上每個點(diǎn)先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，所得的函數(shù)為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，所以，，可得，因?yàn)?，可得，所以；【小?詳解】由（1）知，由題意可知最大值應(yīng)小于等于的最大值．，，所以所以，對于任意的恒成立，所以，令，則，可得，由于，則，令，則，設(shè)，則，由于，故，則在上單調(diào)遞增，故的最大值為，則的最小值為，故．【小問3詳解】由題意知，即故或，解得或，故的零點(diǎn)為或，所以相鄰兩個零點(diǎn)之間的距離為或，若最小，則和都是零點(diǎn)，此時在區(qū)間分別恰有3，5，7，個零點(diǎn)，所以在區(qū)間上恰有19個零點(diǎn)，從而在區(qū)間上至少有一個零點(diǎn)，所以，所以.19.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．（1）記向量的相伴函數(shù)為，若且，求的值；（2）設(shè)（），試求函數(shù)的相伴特征向量，并求出與方向相反的單位