13.3.2等腰三角形的判定

夯實(shí)基礎(chǔ)篇

一、單選題：

1.在AABC中，ZA：NB：ZC=2：2：5,則4ABC是()

A.等腰三角形B.等邊三角形C,直角三角形D.銳角三

角形

2.如圖，。為A48C內(nèi)一點(diǎn)，平分NAC8,BE人CD,垂足為。，交AC于點(diǎn)E,Z

A=NA8￡若4c=5,BC=3,則BO的長(zhǎng)為()

B

AFC

A.2.5B.1.5C,2D.1

3.如圖,在“6C中,NA如6°,AB=AC,8。是A48C的角平分線.若在邊AB上截取

BE=BC,連接力石，則圖中等腰三角形共有＜1)

B匕A-------

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

4.已知：如圖，下列三角形中，AB=AC,則經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線能

夠?qū)⑦@個(gè)三角形分成兩個(gè)小等腰三角形的有()

A

、c/④、c

BA①CBLA—^C/寸￡廠

A.1個(gè)R.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.如圖，AC,8。相交于點(diǎn)0,ZA=ZD.若請(qǐng)你再補(bǔ)充一個(gè)條件，使得△BOC是等

腰三角形，則你補(bǔ)充的條件不能是()

Ar\

BC

A.OA=ODB.AI3=CD

C./ABO=/DCOD./ABC=NDCB

6.如圖，在"BC中，AB.AC的垂直平分線分別交AC于點(diǎn)E、F,若N84G110。,

則NEAF為（）

A.35°B.40°C,45°D.50°

7.如圖，A/WC的面積為8cm2,AP垂直N8的平分線BP于P,則NBC的面積為（）

A

■C

A.2cm2B.3cm2C.4cm2D.5cm2

二、填空題：

8.在三角形ABC中,已知NA=70。，ZB=4()°,那么△/15c的形狀

是_______________?

9.如圖，在AABC中，8。平分ZABC,ED//BC,已知43=3,AD=\f則MED的

周長(zhǎng)為_________

%

BC

10.如圖,在“8C中,N4BC和NAC3的平分線交于點(diǎn)E,過點(diǎn)七作用"〃8。交A8

于M,交AC于N,若BM+CN=9,則線段MN的長(zhǎng)為_________?

A

11.如圖，在“3C中，/W=4C,點(diǎn)E在CA延長(zhǎng)線上,EPLBC于點(diǎn)P,交AB于點(diǎn)F,

若4G2,BF=3,則CE的長(zhǎng)度為

E

12.如圖，zsABC中，NAC8=90。，CDJ_A8于。，4E是N8AC的平分線，點(diǎn)七到AB

的距離等于3cm,則C/=cm.

13.如圖，在AAAC中，BC=5cm,HP.CP分別是NAAC和NACK的角平分線，且0/)

//AB,PE//AC,則APDE的周長(zhǎng)是cm.

14.如圖，在△ABC中，A8=AC,高BD、CE相于點(diǎn)。.證明08=00

15.如圖，在A/WC中，NA8C=2NC,4Q平分/8AC,求證：AI3+BD=AC.

16.如圖，已知在中，AO是8C邊上的中線，尸是AO上一點(diǎn)，延長(zhǎng)8/交AC

TE,RAE=EF,求證：BF=AC.

的度數(shù)為__________________時(shí)，AADE的形狀是等腰三角形.

5.如圖，在三角形A8C中，OE垂直平分8C,交BC、48分別于。、E,連接CE,

平分NA8C,交CE亍F,若BE=AC,ZACF=16°,則NEFB=

6.如圖，已知點(diǎn)P是射線8M上一動(dòng)點(diǎn)（P不與B重合），NAO8=30。，NA〃M=60。,

當(dāng)NOAP=時(shí)，以A、0、B中的其中兩點(diǎn)和P點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角

形是等腰三角形.

7.如圖，在“18。中，ZABC和ZACB的平分線相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)。作EFi/BC

交AB于E,交AC于F,過點(diǎn)。作OOJL4C于。，有下列結(jié)論：①

EF=BE+CF：②點(diǎn)。到^ABC各邊的距離相等；③NBOC=9（）。+gN4；④

AD=^（AB+AC-BC）.其中正確的結(jié)論是（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序

號(hào)都填上）.

三、解答題：

8.如圖，已知在中，ZkABC的外角乙鉆。的平分線與NAC8的平分線交于點(diǎn)O,

MN過點(diǎn)、0,且MN〃BC,分別交A3、AC于點(diǎn)M、N.求證：MN=CN?BM.

9.如圖，3。和CO分別平分△/WC的內(nèi)角NEBA和外角/ECA,3。交AC于F,連接

AD.

(1)求證：ZBDC=-ZBAC；

2

(2)若AB=4C,請(qǐng)判斷△相￡＞的形狀，并證明你的結(jié)論；

(3)在(2)的條件下，若4/=8凡求/E刖的大小.

G

13.3.2等腰三角形的判定

夯實(shí)基礎(chǔ)篇

一、單選題：

1.在△八"C中，N人；NB；ZC-2；2；5,貝U△人“。是()

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.銳角三

角形

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定

【解析】【解答】解：:AABC中，Z4：ZB：ZC=2：2：5,

???設(shè)N4=2x,則N8=2Y,ZC=5X,

*//A+N8+NC=180°,

.?.2x+2x+5,r=180°,

解得x=20。，

，NA=N3=40°,NC=5x=5x20。=100°.

：.AC=CB.

「?△ABC是鈍角三角形，等腰三角形.

故答案為；A.

【分析】設(shè)NA=2x,貝ij/8=2x,ZC=5x,再由三角形內(nèi)角和定理求出x的度數(shù)，進(jìn)而

可得出NC的度數(shù)，由此判斷出△/18c的形狀即可

2.如圖，D為AABC內(nèi)一點(diǎn),C。平分NACB,BELCD,垂足為O,交AC于點(diǎn)E,Z

A=NA8E.若AC=5,BC=3,則8。的長(zhǎng)為()

A.2.5B.1.5C.2D.1

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)：角平分線的定義

【解析】【解答】解：平分NAC8,BELCD,

：.BC=CE.

又=ZA=ZABE,

:?AE=BE.

111

:?BD=-BE=-AE=-(AC-BC).

222

VAC=5,BC=3,

；?BD=-x(5-3)=2.

2

故答案為：D

【分析】角平分線得出線段相等，等角對(duì)等邊，在根據(jù)相對(duì)垂直平分線的性質(zhì)求3。

3.如圖，在中，ZA=36°,AB=AC,8。是AABC的角平分線.若在邊AB上截取

BE=BC,連接則圖中等腰三角形共有()

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：???A5=AC,

???△ABC是等腰三角形；

'：AB=AC,ZA=36°,

???ZABC=ZC=72°,

???8。是△A8C的角平分線，

:?/ABD=/DBC=-NABC=36。，

2

???ZA=ZABD=36°f

：?BD=AD,

???△A3。是等腰三角形；

在△BCD中，:ZBDC=180O-ZDBC-ZC=1800-36。-72°=72°,

0

???ZC=ZBDC=72t

:?BD=BC,

???△BC。是等腰三角形；

?；BE=BC,

:?BD=BE,

???△BOE是等腰三角形；

???ZBED=(180°-36°)4-2=72°,

???ZADE=ZBED-ZA=72°-36°=36°,

???ZA=ZADE,

：.DE=AE,

.?.△/WE是等腰三角形；

???圖中的等腰三角形有5個(gè).

故選D.

【分析】根據(jù)已知條件分別求出圖中三角形的內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的判定即可

找出圖中的等腰三角形.

4.已知：如圖，下列三用形中，AB=AC,則經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線能

夠?qū)⑦@個(gè)三角形分成兩個(gè)小等腰三角形的有（）

AA

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定

【解析】【解答】由題意知，要求“被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形”，①中分成的兩個(gè)

等腰三角形的角的度數(shù)分別為:36。，36。，108。和36。，72°,72°,能；②不能；③顯然

原等腰直角三角形的斜邊上的高把它還分為了兩個(gè)小等腰直角三角形，能;④中的為36。,

72,72。和36。,36。，108°,能.

故答案為：C.

【分析】頂角為：36。，90。，108。的等腰三角形都可以用一條直線把等腰三角形分割成

兩個(gè)小的等腰三角形，再用一條直線分其中一個(gè)等腰三角形變成兩個(gè)更小的等腰三角形.

5.如圖，AC,8D相交于點(diǎn)。，ZA=ZD.若請(qǐng)你再補(bǔ)充一個(gè)條件，使得△B。。是等

腰三角形，則你補(bǔ)充的條件不能是（）

C.ZABO=ZDCOD.ZABC=ZDCB

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定；三角形全等的判定（/ISA）；三角形全等的判定（A4S）

【解析】【解答】解：A、在"08和中

ZA=ZD

OA=OD

/AOB=/COD

：.^AOB^ADOC（ASA）

???OB=OC

???△BOC是等腰三角形，故A不符合題意；

B、在aAOB和△OOC中

/A=N。

</A08=乙COD

AB=CD

：.LAOB^/^DOC(AAS)

：,OB=OC

???△8OC是等腰三角形，故8不符合題意；

C、補(bǔ)充N4BO=NZ)CO,不能證明△人03且△OOC,

因此不能證明△soc是等腰三角形，故。符合題意；

D、在△AC8和△O8C中

ZA=ZD

,ZABC=ZDCB

BC=CB

???△AC8四△O8C(AAS)

：./ACB=/DBC

：.OB=OC

???△50C是等腰三角形，故。不符合題意；

故答案為：C.

【分析】圖形中的隱含條件為：ZAOB=ZDOC,BC=CB,利用4sA可證得△A080△

DOC,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可證得O8=OC,可對(duì)A作出判斷；利用AAS可

證得△AOB0ZkDOC,利用仝等三角形的性質(zhì)，可證得OB=CO,可對(duì)3作出判斷：再

根據(jù)證明兩三角形全等至少要有一組對(duì)應(yīng)邊相等，可對(duì)C作出判斷;利用A4S證明AAC8

必DBC,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可證得NACB=N/)8C,利用等角對(duì)等邊，

可證得08=0C,可對(duì)。作出判斷.

6.如圖，在ZkABC中，AB.AC的垂直平分線分別交8。于點(diǎn)E、F,若N8AOUO。，

則/EAF為()

A.35°B.40°C.45°D.50°

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)：等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：???N84C=U0。,

AZC+ZB=70o,

?:EG、叫/分別為AC、A8的垂直平分線，

：.EC=EA,FB=FA,

：.ZEAC=ZC,NFAB=/B,

：.ZEAC+ZFAB=70°,

：.ZEAF=40°,

故答案為：B.

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/C+/6的度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線定理得出

EC=EA,FB=FA,從而求出NE4C+N后W的度數(shù)，即可求得/七4”的度數(shù)。

7.如圖，△題0的面積為8cm2,AP垂直N8的平分線BP于P,則△尸8c的面積為()

A.2cm2B.3cm2C.4cm2D.5cm2

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】如圖，延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)E,

???AQ垂直N8的平分線BP于P,ZABP=ZEBP,

又知BP=BP,NAPB=NEPB=90。,

，4ABp三△EBP(ASA)

S△AHP=S△EBP,AP=PE,

???△川「。和4CPE等底同高，

5△ACP=5AECP,

S△PHC=S△EHP+S△EC產(chǎn)—S△A8C=4cm2.故答案為：C.

2

【分析】本題主要考瓷面積及等積變換的知識(shí)，證明出的面積和原三角形△A8C

的面積之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：

8.在三角形ABC中，己知ZA=70°,ZB=40°,那么AABC的形狀

是.

【答案】等腰三角形

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定

【解析】【解答】解：???NA+N8+NC=180。，且ZA=70°,ZB=40°

???ZC=180°-ZA-ZB=180o-70°-40o=70o

???ZA=ZC

???AR=CB

所以這個(gè)三角形是等腰三角形.

故答案為：等腰三角形.

【分析】先求出NC=70。，再求出NA=NC,最后計(jì)算求解即可。

9.如圖，在8c中，BD平分ZABC,ED//BC,已知48=3,AD=\,貝的

周長(zhǎng)為_________

【答案】4

【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：???8。平分N/WC,

/.NARD=NCRD,

'：ED//BC,

：.NCBD=NBDE,

???NABD=NBDE,

：?BE=DE,

△AEDt^J^^=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+ADf

:48=3,AD=\t

???△八七。的周長(zhǎng)=3+1=4.

故答案為：4

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得/ABANCA。，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得

/CBD=/BDE,從而得到NA8/XNB/)E,再根據(jù)等角對(duì)等邊可得然后求出

△AED的周長(zhǎng)=A8+A。，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解.，

10.如圖，在aABC中，N48C和NACB的平分線交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作MN〃8c交A8

于〃，交人。于N,若BM+CN-9,則線段A/N的長(zhǎng)為.

A

【答案】9

【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；帶平分線的定義

【解析】【解答】解：???NA8C、/ACB的平分線相交于點(diǎn)E,

:?NMBE=NEBC,ZECN=ZECB,

,:MN〃BC,

：?NEBC=/MEB,ZNEC=ZECB,

：?NMBE=/MEB,ZNEC=ZECN,

：.BM=ME,EN=CN,

:?MN=ME+EN,

即MN=BM+CN.

?:BM+CN=9

:.MN=9,

故答案為：9.

【分析】由NA8C、NACB的平分線相交于點(diǎn)O,NMBE=NEBC,NECN=NECB,利

用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等量代換可NM8斤NMEB,NNEC=NECN,然后即

可求得結(jié)論.

11.如圖，在"BC中，/W=4C,點(diǎn)E在。延長(zhǎng)線上，EPLBC于點(diǎn)P,交A3于點(diǎn)R

若4"=2,BF=3,則CE的長(zhǎng)度為.

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】證明：在NBC中,

'：AB=AC,

???N4=NC,

?:EP2BC,

：.ZC+ZE=90°,NB+NBFP=90°,

:.NE=NBFP,

又NBFP=NAFE,

：.ZE=ZAFE,

：,AF=AE,

???△/AEF是等腰三角形.

又?.?4F=2,BF=3,

CA=AB=5,AE=2,

：.CE=7.

【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角得出N8=NC,再根據(jù)EPJ_8C,得出NC+NE=90。，NB+N

BFP=90°,從而得出再根據(jù)對(duì)頂角相等得出NE=NAFE,最后根據(jù)等角對(duì)

等邊即可得出答案.

12.如圖，△48C中，Z4CB=90°,CO_LA8于。，4E是N8AC的平分線，點(diǎn)石到48

的距離等于3cm,則CF=cm.

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：???/AC8=9()。，CO_LAB于點(diǎn)DAE是N8AC的平分線，

.?.CE二點(diǎn)、E到AB的距離=3cm,NBAE=NCAE,

VZAEC+ZCAE=90Q,ZAFD+ZBAE=90G,

:.ZAEC=ZAFD,

*：ZCFE=ZAFD,

：?NCEF=/CFE,

/.CF=CE=3cm.

故答案為：3.

【分析】利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，就可證得CE二點(diǎn)E到AA的距離=3cm,

再證明NCE代NCFE,就可得出CE=C凡就可得到C尸的長(zhǎng)。

13.如圖，在“8C中，8C=5cm,BP、CP分別是NA8C和NACB的角平分線，且PO

//AB,PE//AC,則△口＞￡：的周長(zhǎng)是cm.

B

【答案】5

【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：TBP、CP分別是/ABC和/4C3的角平分線，

???NABP=NPBD,ZACP=NPCE,

,:PD〃AB,PE//AC,

ZABP=/BPD,ZACP=NCPE,

???ZPBD=/BPD,ZPCE=ACPE,

：?BD=PD,CE=PE,

/,ePDE的周長(zhǎng)=尸。+DE+PE=8D+O￡>EC=3C=5cm.

故答案為：5.

【分析】由BP、CP為ABC、AC8的角平分線，可知/A8P=NP8Q,/ACP=/PCE；

再由PO〃48,PE//AC,可知N4BP=N8P。，NACP二NCPE；由上述結(jié)論可知NP8Q=

NBPD,NPCE=NCPE,由等角對(duì)等邊可得8D;P力，PE=CE,所以三角形POE的周

長(zhǎng)為PD+DE+PE=BD+DE+CE二BC。

三、解答題：

14.如圖，在中，AB=AC,高80、CE相于點(diǎn)O.證明08=00

【答案】證明：???A3=AC,

AZABC=ZACB,

又,：CE、BD是AABC的高,

:?/CEB=NBDC=9Q。,

???在△8EC和&CDB中，

ZABC=NACB

<NCEB=4BDC,

CB=BC

:?&BEC烏4CDB(AAS),

:?/ECB=/DBC，

：?OB=OC.

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高；等腰三角形的判定與性質(zhì)；三角形仝等的判定:人AS)

【解析X分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NA8C=4c8,根據(jù)高線的概念可得NCE慶

/8。。=90。，然后用AAS證明絲△CO8,得至I」/EC8=NQBC,最后根據(jù)等角對(duì)等

邊進(jìn)行證明.

15.如圖，在△ABC中，N4AO2NC,4。平分NB4C,求證：AB+I3D=AC.

【答案】解：如圖，在AC上截取AE=A8,

：.ZCAD=ZBAD,

在△人3。和△/[￡0中，

AE=AB

<乙CAD=NBAD,

AD=AD

A^ABD^/\AED(SAS),

：,DE=BD,ZAED=ZABC,

VZAED=ZC+ZCDE,ZAK=2ZC,

：.ZCDE=ZC,

:?CE=DE,

-：AE+CE=AC,

：,AB+BD=AC.

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定

【解析】【分析】結(jié)合圖形，要證AB+BD=AC,通常先在AC上截取然后證得

CE=BD.由AO平分N8AC,得出NCAD=NB4。，又AE=AB,AD=AD,利用SAS證得

△ABD色AAED,DE=BD,ZAED=ZABC,再由NAEO=NC+NCQE,及NABC=2NC,

得NCQE二NC,根據(jù)等角對(duì)等邊可得CE=QE,進(jìn)而得CE=8D.

16.如圖，己知在8c中，A。是8c邊上的中線，尸是4。上一點(diǎn)，延長(zhǎng)8/交4C

于E,且AE=EF,求證：BF=AC.

【答案】證明：如圖，延長(zhǎng)尸。到G,使OG=OR連結(jié)CG.

???A。是8c邊的中線,

BD=CD.

在ABDF和△CQG中

BD=CD

,ZBDF=ZCDG,

DF=DG

???△BO儂△COG(SAS),

:?BF=CG,NBFD=NG.

?；AE=EF,

???ZEAF=ZEFA=ZBFD,

:./G=/CAG,

.\AC=CG,

：.BF=AC.

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高；等腰三角形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定(SAS)

【解析】【分析】如圖，延長(zhǎng)尸。到G,使。G=QF,連結(jié)CG,利用SAS證明

^△CDG,可得8/=CG,/BFD=/G,由等腰三角形性質(zhì)及對(duì)頂角相等可得/EA/

=/EFA=/BFD,即得NG=NC4G,由等角對(duì)等邊可得AC=CG,即得BF=AC.

能力提升篇

一、單選題：

I.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1.已知A、8是兩格點(diǎn),若△ABC為

等腰三角形，且S"8c=1.5,則滿足條件的格點(diǎn)C有（）

B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定

如上圖：分情況討論.

①為等腰AABC底邊時(shí)，符合AABC為等腰三角形的C點(diǎn)有4個(gè);

②4。為等腰4人8。其中的一條腰時(shí)，符合△人"（:為等腰三角形的C點(diǎn)有4個(gè).

因?yàn)镾^ABC=1.5,

所以滿足條件的格點(diǎn)C只有兩個(gè)，如圖中藍(lán)色的點(diǎn).

故選B.

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①A3為等腰△ABC底邊；②48為等

腰△A8C其中的一條腰；然后根據(jù)SD8UL5,再確定點(diǎn)C的位置.

2.如圖，ZABC=50°,8。平分N48C,過。作OE〃AB交BC于點(diǎn)E,若點(diǎn)F在AB

上，且滿足。尸二。七，則/。尸8的度數(shù)為（)

B.130°C.50。或130。D.25?；?/p>

130°

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，

,

DF=DF=DEi

???8。平分/A8C,由圖形的對(duì)稱性可知：

△BDEWABDF,

：.ZDFB=ZDEB；

?：DE//AB,/48G50。：

???ZDEB=180°-50°=130°；

.?.Z￡)ra=l30°；

當(dāng)點(diǎn)Z7位于點(diǎn)尸處時(shí)，

?：DF=DF,

：.NDFB=NDFF=50。,

故選C.

【分析】如圖，證明NO/8=NOE8,此為解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論；求出NDE8=130。,

即可解決問題.

3.如圖，在/kA8c中,NA8C和NAC8的平分線相交于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作EF〃BC交AB于E,

交AC于凡過點(diǎn)G作GDLAC于。，下列四個(gè)結(jié)論：①EF=BE+CF；②N8GL90+-

2

N4;③點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等；④設(shè)GQ=/〃，4E+A尸二〃，則S^AEr其中正

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：①:/ABC和NAC8的平分線相交于點(diǎn)G,

???/EBG=/CBG,NBCG=/FCG.

，：EF〃BC,

：.ZCBG=ZEGB,ZBCG=ZCGF,

:.ZEBG=ZEGB,ZFCG=ZCGF,

:?BE=EG,GF=CF,

；?EF=EG+GF=BE+CF,故本小題正確；

②???/A8C和N4CB的平分線相交于點(diǎn)G,

:?/GBC+/GCB=-CZABC+ZACB）=-（180。-/A）,

22

：.ZBGC=\SO0-（ZGBC+ZGCB）=180。--（180。-NA）=90°+-NA,故本小題

22

正確；

③?.?/AAC和NAC4的平分線相交于點(diǎn)G,

???點(diǎn)G是aABC的內(nèi)心，

???點(diǎn)G到ZkABC各邊的距離相等，故本小題正確；

,?,點(diǎn)G是的內(nèi)心,GD=m,AE+AF=nf

:?SSE產(chǎn)-AE^GD+-AF?GD=-(AE+AF)?GD=-mn,故本小題錯(cuò)誤.

2222

故答案為：C.

【分析】利用角平分線的性質(zhì)可證得NE8G=NC8G,ZBCG=ZFCG,再根據(jù)平行線的

性質(zhì)，可證得NC8G=NEG8,NBCG=NCGF,再證明NE8G=NEG8,NFCG=NCGF,

就可得出BE=EG,GF=CF,從而可證①的結(jié)論；利用角平分線的定義及三角形的內(nèi)

角和定理，可對(duì)②作出判斷；BG、CG是AABC的兩個(gè)角的平分線的交點(diǎn)，可證得點(diǎn)

G時(shí)內(nèi)心，利用三角形角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可對(duì)③作出判斷；由已知

條件：點(diǎn)G是AABC的內(nèi)心，GD=m,AE+AF=nt就可得出△AEf'的面積(AE+AF)

?GZ),代入計(jì)算，可對(duì)④作出判斷，綜上所述，可得出正確結(jié)論的個(gè)數(shù)。

二、填空題：

4.如圖，在AA3C中，AB=ACfN8=40。，點(diǎn)。在線段8c上運(yùn)動(dòng)(。不與5,

C重合)，連接A。，作/4。石=40°,OE與4c交于邑在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，NBDA

的度數(shù)為__________________時(shí)，AADE的形狀是等腰三角形.

【答案】110。或80。

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：???A8=AC,

.\ZB=ZC=40°,

①當(dāng)AO=4石時(shí)，ZADE=ZAED=40Q,

ZAED>ZC,

???此時(shí)不符合；

②當(dāng)DA二。E時(shí)，即=,(180°-40°)=70°,

2

,/ZBAC=\800-40°-40°=100°,

.,.Z^D=100°-70°=30°；

ZBDA=180°-30°-40°=110°：

③當(dāng)EA=ED時(shí)，ZADE=ZDAE=40°,

AZB/1D=100°-40°=60°,

ZI3DA=180O-60o-40o=80°；

???當(dāng)"DE是等腰三角形時(shí)，NBDA的度數(shù)是110?；?0。，

故答案為：110?；?0。.

【分析】利用等邊對(duì)等角可求出NC的度數(shù)，再利用等腰三角形的定義，分情況討論:

當(dāng)時(shí)，可得到NAEZX40。，利用三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任意一個(gè)

內(nèi)角，可知此時(shí)不符合；當(dāng)。4=。七時(shí)-，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理

可求出ND4E的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出N8AC,/氏4。的度數(shù)；然后利

用三角形的內(nèi)角和定理求出N8D4的度數(shù)；當(dāng)E4二也時(shí)，ZADE=ZDAE=40°f由此

可求出NBA。的度數(shù)；然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出N8/M的度數(shù).

5.如圖，在三角形48C中，OE垂直平分8C,交BC、A8分別于。、E,連接CE,

B/平分/A8C,交CE7F,若BE=AC,ZACF=16°,則NEF8二

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】TOE垂直平分8C,

:?BE=EC,

\'BE=AC,

：.CE=AC,

???/VICE是等腰三角形，

??ZACE=16°,

，Z/AEC=ZA=82°,

,/RE=CE,

:,NEBC=/ECB=-ZAEC=-x82°=41°,

22

斤平分NA8C,

：?/EBF=-NEBC=-x41°=20.5°,

22

???ZEFB=N4EC-NE8〃=82°-20.50=61.5°,

故答案為；61.5°

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)解答即可.

6.如圖，已知點(diǎn)尸是射線8M上一動(dòng)點(diǎn)（P不與8重合），乙408=30。，ZABM=60°,

當(dāng)NOAP=時(shí)，以A、0、B中的其中兩點(diǎn)和尸點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角

形是等腰三角形.

【答案】75?；?20?；?0°

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定

【解析】【解答】解：如圖，

???NA8M=NAO8+NO4B,

,NOA8=30。,

①當(dāng)AOP1是等腰三角形時(shí),

VOA=OP\,

V403=30。,

AZOAP\=(180°-30°)92=75°；

②當(dāng)8P2是等腰三角形時(shí)，

???ZABM=60°f

???△A8P2是等邊三角形，

JN8AP2=60°,

O

，ZOAP2=ZOAB+ZBAP2=90；

③當(dāng)△OAP3是等腰三角形，

,：OA=AP3,

???/4。3=/仍0,

ZOAP3=]800-2ZA=120°.

綜上，/O4P為75?；?20?；?0。

故答案為：75。或120?；?0°.

【分析】分三種情況討論，即當(dāng)。A=OP,AB=AP2,或04=AP3,然后根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出/O4P的度數(shù).

7.如圖，在“磯？中，ZABC和ZACB的平分線相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。作EFilBC

交AB于E,交4c于F,過點(diǎn)。作OO_L4C于Q,有下列結(jié)論：①

EF=BE+CF；②點(diǎn)。到△A8C各邊的距離相等；③N80C=90。+』NA；④

2

AD=^(AB+AC-BC).其中正確的結(jié)論是(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序

號(hào)都填上).

【答案】????

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理：直角三角形全等的判定("L)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角

形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：???在AABC中，N/WC和NACB的平分線相交于點(diǎn)0,

：,/OBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,ZA+ZABC+ZACB=180°,

22

AZO^C+ZOCT=90°--/A,

2

AZfiOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=90。+-Z/\；故③正確；

2

???在“8C中，NA8C和NAC8的平分線相交于點(diǎn)O,

:.ZOBC=ZOBE,ZOCB=ZOCF,

*：EF〃BC,

：?4OBC=4EOB,ZOCB=ZFOC,

:?/EOB=/OBE,4FCC=4OCF,

：.BE=OE,CF=OF,

：.EF=OE+OF=BE+CF,

故①正確；

過點(diǎn)。作OM_LAB于M,作ON_L8c于N,連接04,

???在NBC中，NA8C和N4C8的平分線相交于點(diǎn)O,

???點(diǎn)。到△ABC各邊的距離相等，故②正確.

在R仙AMO與RsADO中，

*：OM=OD,AO=AO,

:?RmAM0/MbAD0

：,AM=AD,

同理BM=8N,CD=CN,

?.?AM+8A仁AB,AD+CD=AC,BN+CN=BC,

：.AD=-CAB+AC-BC)故④正確，

2

故答案為：①②?④.

【分析】由在AABC中，/A8C和/4CB的平分線相交千點(diǎn)O,根據(jù)角平分線的定義與

三角形內(nèi)角和定理，即可求得③正確；由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出△BEO

和△CR)是等腰三角形得出以三8E+C/故①正確；由角平分線的性質(zhì)得出點(diǎn)。至IJAABC

各邊的距離相等，故②正確；根據(jù)〃L可以證出△AM。與4斗。。全等，根據(jù)全等三角形

的對(duì)應(yīng)邊相等得出AM二人D,同理AA仁AMCD=CN,最后算-(AB+AC-BC)即

2

可得出判斷出④.

三、解答題：

8.如圖，已知1在aABC中，"BC的外角NA8D的平分線與N4C8的平分線交于點(diǎn)O,

M