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文檔簡介
2025-2026年高一上學(xué)期人教版A版必修第一冊數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的
概念與性質(zhì)強(qiáng)化練習(xí)試卷3【含答案】
一、單選題(本大題共8小題)
1.設(shè)函數(shù)/(X)=cosx+戾iM(人為常數(shù)),則“力=0”是7(x)為偶函數(shù)”的
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
2.已知函數(shù)/(力和g(x)的定義域均為R.若f(x+l)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),且
/'(X)-g(x-2)=2-x,則/(g(-1))=()
A.-1B.0C.1D.2
(X+Q)2%<0
3.設(shè)f(%)=;若/(0)是/(%)的最小值,則Q的取值范圍為()
XH■一+Q,X>U,
A.[-1,0]B.[-1,2]C.[—2,—1]D.[—2,0]
4.已知函數(shù)/(X)=bg;(夕+9)T,若/(4+2)2/(2。一1)成立,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為()
A.(一》,3]B.
-°04丫艮+8)
C.,3D.
4,Z
5.設(shè)函數(shù)/("的定義域?yàn)镽,”x+l)為奇函數(shù),/(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)x?l,2]時,
?+b.若/⑼+/(3)=6,則/(?)=()
95
A.——D.
4仁72
,I:;:;回"。滿足對任意實(shí)數(shù)為,山尸力都有
6.已知4>0且函數(shù)/。)=
3-%2)[/(內(nèi))-/(超)]>。成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()
A.(2,3)B.(2,31C.(2,g)D.d,2]
7.若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-8,0)單調(diào)遞減,且/V)=:),則滿足可(%-1)20的x的取值范圍
是()
A.[1,1]u[3,Ioo)B.[3,1]u[0,1]C.[1,0]u[1,18)D.[1,0]u[1,3]
8.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(2x+l)為奇函數(shù),/(x)+/(x+2)=2/⑴,則()
A./(力為奇函數(shù)
B./(X)的圖象關(guān)于直線x=3對稱
C./(2x)的最小正周期為4
D./(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(則對稱
二、多選題(本大題共3小題)
第1頁,共17頁
9.已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足〃2x+6)=/(—2x),且〃x—l)+/(x+l)=/(—2),若則
()
A./(2024)=1B./(X)的圖象關(guān)于直線x=-3對稱
20251
C./(X)是周期函數(shù)D.£(-l)AW--)=2025
k=\2
10.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)/(X)滿足〃x+2)=-/(-x),當(dāng)xe(l,2]時/(x)=2,-2,則下列結(jié)論正
確的有()
A./(-1)-0
B./(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)成中心對稱
C./(2024)>/(2025)
11.“二元函數(shù)”是指含有兩個自變量的函數(shù),通常表示為已知關(guān)于實(shí)數(shù)'J的二元函數(shù)
/(x,j)=(x+l)y,則()
A./(1,5)=/(5,1)
B.Vx>0,^>>4
㈠y)
'35"
C.VxeRJ(2x,x-則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是一弓;
■乙乙■
D.3x>2J(2x,x-a)<-a-2,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是[3,內(nèi))
三、填空題(本大題共3小題)
12.函數(shù)/(%)=|sinx|+cosx的最小值為.
,+4x+3x<0
1、n'一’給出下列四個結(jié)論:
{—x,X>U.
①函數(shù)f(%)的值域是R;
②力速2W(-2,+8)(必Hx2),有空與3>0;
③北o>O,使得/(一々)=/(q);
④若互不相等的實(shí)數(shù)為1/2/3滿足f(%l)=f(X2)=f(X3)t則%i+小+%3的取值范圍是(一3,+8).
其中不正確的結(jié)論的序號是_.
14.已知八幻是定義域?yàn)?-應(yīng)+⑼的奇函數(shù),滿足/(I-X)=/(l+X).若/⑴=2,則
/(l)+/(2)+/(3)+A+/(50)=
四、解答題(本大題共5小題)
15.已知定義在(-1,1)上的函數(shù)/(%)滿足下列兩個條件:
①對任意〉,ye(-1,1),都有/(%)+/8)=/(急);
②對任意x,y6(-14)且x+yHO,都有.
第2頁,共17頁
請解答下列問題:
⑴求/(0)的值;
(2)判斷fM的奇偶性及在定義域內(nèi)的單調(diào)性并證明:
⑶證明:對任意正整數(shù)…雇…
—工)
(提示:i2—1——
n+3n4-1=(n+l)(n+2)—1ii(n+l)(n+2)n+1n+2
16.定義:若函數(shù)/&)圖象上恰好存在相異的兩點(diǎn)憶。,滿足曲線》=/*)在。和。處的切線重合,則
稱R。為曲線y=/(x)的“雙重切點(diǎn)”,直線尸。為曲線,=f(x)的“雙重切線''.已知函數(shù)
f(x)=ovsinx+bcosx.
(I)當(dāng)a=1,8=0時
IT7T
(i)判斷/(x)的奇偶性,并求/(M在-泉5的極值;
(ii)設(shè)“X)在(0,+oo)內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列4的,…M,求證:5<%+「/<兀;
(2)當(dāng)。=0力=1時,直線也為曲線y=/(x)的“雙重切線”,記直線夕。的斜率所有可能的取值為
k15
k,k,A.,k,若攵]>左2>匕(,=3,4,5,A,〃),證明:.
]2nO
17.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)〃(、)滿足:對于任意的xeR,都有日x+2勸=為力+〃(2句,則稱函數(shù)〃(x)
具有性質(zhì)P.
⑴判斷函數(shù)/(x)=2x,g(x)=cosx是否具有性質(zhì)產(chǎn);(直接寫出結(jié)論)
⑵已知函數(shù)/(x)=sin(5+。)判斷是否存在。,。,使函數(shù)/(x)具有性質(zhì)P?若存
在,求出外。的值;若不存在,說明理由;
(3)設(shè)函數(shù)/(x)具有性質(zhì)P,且在區(qū)間[。,2兀]上的值域?yàn)閨7(()),/(2兀)].函數(shù)g")=sin(/(x)),滿足
g(x+27u)=g(x),且在區(qū)間(0,2兀)上有且只有一個零點(diǎn).求證:/(2兀)=2九
18.若函數(shù)"X)在代句時,函數(shù)值V的取值區(qū)間恰為,就稱區(qū)間可為〃x)的一個“倒域區(qū)
間”.定義在[-2,2]上的奇函數(shù)g(x),當(dāng)xw[0,2]時,g(x)=-x2+2x.
(I)求g(x)的解析式;
(2)求函數(shù)g(x)在口、2]內(nèi)的“倒域區(qū)間”;
(3)若函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)所有“倒域區(qū)間”上的圖象作為函數(shù)1=數(shù)%)的圖象,是否存在實(shí)數(shù)小,使集
合{(x,y)|y=〃(x)}i恰含有2個元素?若存在,求出機(jī)的值;若不存在,請說明理由.
19.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)榭?力,其中常數(shù)。>1.若存在常數(shù)7>0,使得對任意的都有
f(ax)=T/(x),則稱函數(shù)/(x)具有性質(zhì)P.
(I)當(dāng)xe[l』00]時,判斷函數(shù)y=/和歹=cos;rx是否具有性質(zhì)(結(jié)論不要求證明)
(2)若”=3,函數(shù)/(工)具有性質(zhì)P,且當(dāng)x?l,3]時,/(x)=sin(今x),求不等式〃力>3的解集;
(3)已知函數(shù)/(X)具有性質(zhì)尸,/(1)=0,且/(力的圖象是軸對稱圖形.若/(力在。句上有最大值
第3頁,共17頁
參考答案
【知識點(diǎn)】充分條件與必要條件、函數(shù)奇偶性的判斷與證明
1.【答案】C
【詳解】Z)=0時,/(x)=cosX4-sinX=cosx,/(x)為偶函數(shù):
/(A)為偶函數(shù)時,/(一幻可口)對任意的X恒成立,
f(-x)=cos(-x)+bsin(-x)=cosx-bsinx
cosx+bsinx=cosx-bsinx,得bsinx=0對任意的x恒成立,從而b=0.從而“b=0”是“f(x)為偶函數(shù)”
的充分必要條件,故選C.
【知識點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
2.【答案】D
【詳解】因?yàn)?6+1)是奇函數(shù),則f(-x+l)=-f(x+l),
令x=0,可得〃1)=一/"⑴,可得/⑴=0,
在/")一8"一2)=2-1中令工=1得〃1)一8(-1)=1,所以g(—l)=-l,
在/(x)-g(x-2)=2T中令』=3得〃3)-g⑴=-1,
所以/(3)=g⑴-l=g(T)-l=2
所以/(g(—l))=/(-l)=/(-2+l)=—/(2+l)=—〃3)=2.
故選D.
【知識點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)與最大(小)值的求法、分段函數(shù)
3.【答案】A
((x+a)2,x<0,
【詳解】因?yàn)閒(%)=1所以當(dāng)%=0時,f(0)=a?.由于/(0)是/(x)的最小值,則(一8,0]為
xH--X-Fa,x>0,
fa)的單調(diào)遞減區(qū)間,即有aW0(提示:由于/1(0)是/(%)的最小值,則f(%)是在3=0處取得最小值,說明
(-8,0]為/'(%)的單調(diào)遞減區(qū)間,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得一a20),且/Wx+g+a,%>0恒成立.因?yàn)?/p>
x+;>2Jx^=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號,所以a242+a,解得-14a42.綜上,a的取道范圍為[-
1,0].故選A.
【知識點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
4.【答案】B
【詳解】對任意的xwR,9、+9>(),即函數(shù)/("的定義域?yàn)镽,
r
K/(x)=log3(9^+9)-x=log3(9'+9)-log.3=log3^2.log3f+3),
因?yàn)?(27)=嗯(尹+戶2巧=嗯(尹+3)=心,
所以,函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線4=1對稱,
a
令〃=g(x)=3*+32*=3'+《,其中xwK,
第5頁,共17頁
任孜為、/£[1,*°)且用>9,即故演+乙>2,
所以3M—34>0,3*+3>9,
則8&)-8(9)=(3"+.卜卜+.)=(37>償一.)
=(37).岑/=竺普工1。,即g(』)>g㈤,
所以,函數(shù)g(x)在[L+00)上為增函數(shù),
又因?yàn)楹瘮?shù)),=1。&〃為增函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)/(X)在[1,+8)上為增函數(shù),
因?yàn)?(4+2)2/(2Q_1),貝IJ|Q+2_1,|2Q_1_1|,Hp|^+l|>|2d-2|,
即(2"2『-(a+l)2=.-3)(34-1)40,解得;4心3,
因比,實(shí)數(shù)〃的取值范圍是;,3.
故選B.
【知識點(diǎn)】函數(shù)周期性、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
5.【答案】D
【詳解】[方法一]:
因?yàn)?(x+1)是奇函數(shù),所以/(-x+l)=—/(x+l)①;
因?yàn)?(1+2)是偶函數(shù),所以/(x+2)=/(—x+2)②.
令由①得:/(0)=-/(2)=-(4〃+6),由②得:/(3)=/(1)=。+6,
因?yàn)?(0)+/(3)=6,所以一(4。+6)+“+b=6na=-2,
令x=0,由①得:/(l)=-/(l)=>/(l)=0n8=2,所以/("二一2/+2.
思路一:從定義入手.
《卜/(叫吒河=/(焉
《小卜河?加f圖
-4述;
所以順―圖《
[方法二]:
因?yàn)?(X+1)是奇函數(shù),所以/(T+l)=-/(x+l)①:
因?yàn)?(x+2)是偶函數(shù),所以〃x+2)=/(r+2)②.
令》=1,由①得:/(0)=—/(2)=-(4〃+/)),由②得:f(3)=f[\)=a+b,
因?yàn)閒(0)+f(3)=6,所以一(44+6)+。+6=6=>4=-2,
第6頁,共17頁
令x=0,由①得:/(1)=—/(l)n/(l)=0n/>=2,所以/("二一2犬2+2.
思路二:從周期性入手
由兩個對稱性可知,函數(shù)的周期7=4.
所以?名)"/恥
故選D.
【知識點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、分段函數(shù)
6.【答案】D
【詳解】解:。對任意實(shí)數(shù)為,々(X產(chǎn)與),都有(占一X2)[/(?M)一/(X2)]>O成立,
.??/(X)在定義域上是增函數(shù),
函數(shù)/(x)=T%+3q-6|在(-CO,0]上是增函數(shù),
歹=。'在(0,+8)上也是增函數(shù),且-13“-6|a0,
-3a+6瞪)
<1,
-|3a-6|1
解可得,2.
故選D.
【知識點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
7.【答案】D
【詳解】奇函數(shù)/(%)在(-8,0)單調(diào)遞減,且/?(2)=0,則fa)在(0,+8)單調(diào)遞減,且f(-2)=0.
由x/a-i)zo,
得0或{/(;一>1;20或X=o,
即亡建一“0或{打3-或…,
解得-1<x<0sgl<x<3.故選D.
【知識點(diǎn)】函數(shù)周期性、函數(shù)奇偶性的判斷與證明、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)對稱性
8.【答案】D
【詳解】因?yàn)?(2x+l)為奇函數(shù),所以/(2x+l)+/(—2x+l)=0,
所以/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,則/(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(則對稱,D項(xiàng)正確;
因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的定義域?yàn)镽,易知/(2x+l)的定義域?yàn)镽,
因?yàn)?(2x+l)為奇函數(shù),所以〃:2x0+l)=/⑴=0,
則/、(x)+/(x+2)=2/⑴=0,所以/(力=一/卜+2),
根據(jù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(LO)對稱,得/(x+2)=-/(-x),
所以/(X)=/(T),故/(“為偶函數(shù),A項(xiàng)錯誤;
因?yàn)?(x+2)=—/(x+2+2)=—/(x+4),
所以/a)=/(-x)=-/(x+2)=f(x+4),所以/(x)的最小正周期為4,
則f(2x)的最小正周期為2,C項(xiàng)錯誤;
第7頁,共17頁
根據(jù)/(X)為偶函數(shù),且關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,最小正周期為4,
易知/(%)的所有對稱軸為宜線工二2左(左eZ),故B項(xiàng)錯誤.
故選D.
【知識點(diǎn)】函數(shù)周期性、函數(shù)對稱性
9.【答案】BCD
【分析】根據(jù)給定的等式,結(jié)合賦值法推導(dǎo)出函數(shù)"X)及對稱軸,再逐項(xiàng)分析計(jì)算得解.
【詳解】對于C,由/(x-l)+〃x+l)=/(—2),得/(x+l)+/G+3)=/(—2),
則/a-l)=/(x+3),即/(x)=〃x+4),因此是周期為4的周期函數(shù),C正確;
對于A,令L1,得/(-2)+/(0)=/(—2),則/(0)=0,因此f(2024)=/(0)=0,A錯誤;
對于B,由于2x+由=Q(-2x),得/(x+6)=/(—x),則/(一切=/[(%-12)+6]=/。-6),
因比/(幻的圖象關(guān)于直線x=-3對稱,B正確;
對于D,由/(x+6)=/(-x),得/J)的圖象關(guān)于直線x=3對稱,
因比直線x=-3+4〃及工=3+4〃伊€Z)均為/(x)圖象的對稱軸,
75333
從而/(一2)=/(0)=0,/(5)=/(5)=1,令x=5,得/(5-1)+/(5+1)=0,
15139
GP./'(-)=-/(-)=-1,則/份)=/(-)=/(-)=-1,
2025113574049
故£(一0長弓)=-/E)+2/0-3/(|)+4/04-2025/{-y
二(1-2-3+4)+A+(2021-2022-2023+2024)+2025=2025,D正確.
故答案為:BCD
【知識點(diǎn)】函數(shù)周期性、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)對稱性
10.【答案】ABD
【分析】對A,利用賦值法再結(jié)合偶函數(shù)即可求解;對B,先推出/(x)的周期,再結(jié)合中心對稱的結(jié)論
即可求解;對C,利用周期性即可求解;對D,利用函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,再結(jié)合函數(shù)的對稱性即可
求解.
【詳解】對A,滿足/(x+2)=—/(—x),
令x=-l,
則/(1)=一/(1),即/⑴=0,
又。/(X)為偶函數(shù),.../(一1)=/⑴=0,故A對;
對B,0f(x+2)=-f{-x)=-f(x)t
:.f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
故/(4)的周期7=4,
再根據(jù)/(x+2)=—/(r),Hp/(x+6)=-/(-x),
.??/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)成中心對稱,故B對;
對C,由B知:/(力的周期7=4,
第8頁,共17頁
故/(2024)=/(506x4)=/(0),
令x=0,
則f(2)=-f(0),
又。當(dāng)xe(l,2]時/(x)=2:2,
,-./(2)=22-2=2,
即/(0)=-/(2)=-2,
即/'(2024)=/⑼=-2,
/(2025)=/(506x4+l)=/(l)=0,
故/(2024)</(2025),故C錯誤;
對D,/(1)滿足/(x+2)=—/(-x),
???/(%)關(guān)于(1,0)中心對稱,
又正當(dāng)xe(l,2]時/(力=2'-2,
???/(X)在[0,2]上單調(diào)遞增;
當(dāng)x=0時,/(0)=_2</出=22-2=金2,
當(dāng)XH0時,。/(X)為偶函數(shù),
00<-^-r<-
如"
當(dāng)且僅當(dāng)W=R時,即X=1時等號成立,
X"圖,故D對.
X2+1;
故選ABD.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】解答此類有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的題目,關(guān)鍵點(diǎn)在于要結(jié)合函數(shù)性質(zhì),利用賦值法以及代換法,推
出函數(shù)相應(yīng)的性質(zhì).
【知識點(diǎn)】函數(shù)新定義問題
II.【答案】BCD
【詳解】因?yàn)?(xM=(x+i)y.
對于選項(xiàng)A:因?yàn)?(l,5)=(l+l)x5=10J(5,l)=(5+l)xl=6,
所以/(1,5)工/(5,1),故A錯誤;
對于選項(xiàng)B:因?yàn)閤>0,y>0,/—|=f—+11—,
(xy)\x)y
第9頁,共17頁
則f(xj)/化1,1]=(x+11=l2>
r+++2=4.
I(*xy)(x)yX
當(dāng)且僅當(dāng)X=『即Z時,等號成立,
所以/(“)七ii
>4,故B正確;
由題意可得:f(2x,x-a)=(2x+l)[x-a)=2x2+(l-2a)x-a,
對于選項(xiàng)C:因?yàn)?(2x,x-a)N-a-2,可得2/+(]-2a)x+220,
BPVxeR,2A2+(1—2tz)x+2>0,
則/=(1-2〃)2-1640,解得-
所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是-翡,故C正確;
對于選項(xiàng)D:因?yàn)?(2x,x-a)?-a—2,且x22,可得x+’W與1
x2
x2
因?yàn)間(x)=x+L在[2,+8)內(nèi)單調(diào)遞增,則8(力28(2)=1,
Xz
2a-\>|,解得
可得
2
所以實(shí)數(shù)〃的取值范闈是[3,+8),故D正確;
故選BCD.
【知識點(diǎn)】函數(shù)的值域、分段函數(shù)
12.【答案】一1
【詳解】當(dāng)x€[2/CTT,TT+2km(kWZ)時,f(x)=sinx+cosx=V2sin(x+:);當(dāng)x6[2/cn+TT,2n+
2kn)(kEZ)時,/(x)=-sinx+cosx=-V2sin(x-:).
V2sin(%+;),2kix<x<n+2/cn,keZ,
所以f(%)=「/y丁畫出/(%)在[0,2n)內(nèi)的圖象如圖所示,所以
-v2sin(x一[),2kix+n<x<2n+2/cn,kEZ,
/Wmin=f5)=-V2sin(n-:)=-1.
【一題多解】
因?yàn)閨sinx|工0,cos工之一1,所以|sinx|+cosx工-1,當(dāng)%=n時,取等號,所以f(K)m1n=f(R)=-L
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明、分段函數(shù)
13.【答案】②
第10頁,共17頁
x2+4x+3%v0
f‘一‘及二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)可畫出函數(shù)放
的圖象,如圖①所示,由的圖象,可得外幻的值域是R,所以①正確;
圖①
對于②,若②正確,則/(盼在(-2,+8)上單調(diào)遞增,由圖①可知,/(%)在(-2,+8)上并不是單調(diào)遞增,
所以②錯誤;
對于③,假設(shè)址。>0,使得。一切)=/(7),則(一劭)2+4(-與)+3=—’,
x0
即或一4%o+3,即y=x2-4x+3(x>0)與y=--(x>0)的圖象有交點(diǎn),
X
作出函數(shù)y="2-4x+3(x>0)和y=-:(又>0)的圖象,如圖②所示,顯然假設(shè)成立,所以③正確;
圖②
對于④,不妨設(shè)必VX?<X3,
由?、?,可得手=—2,則必+.=一4,
因?yàn)?(—2)=-1,所以-1</(%3)V0,即—1<....-<0?解得>1,所以X[+“2+*3=—4+刀3>—
4+1=-3,即%1+孫+無3的取值范圍是(一3,+8),所以④正確.
【知識點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
14.【答案】2
【詳解】[方法一]:
因?yàn)樵赗上是奇函數(shù),且/(I—x)=/(l+x).
所以/丫+1)=-/(1-1),即/(x+2)=-/(x).
因比/*+4)=/5),則函數(shù)次X)是周期為4的函數(shù),
由于負(fù)1-x)=/(l+x),/(I)=2,
故令x=l,得/(0)=/(2)=0,
令x=2,得/(3)=/(-1)=-/(1)=~2,
令x=3,得/(4)=/(-2)=-/(2)=0,
故/⑴4-/(2)+/(3)+/⑷=2+()—2+0=0,
所以/(I)+/(2)+/(3)+...+/(50)=12x0+/(1)+/(2)=2.
[方法二]:特值法
第11頁,共17頁
取一個符合題意的函數(shù)/(x)=2sin—,則結(jié)合該函數(shù)的圖象易印數(shù)列"(〃)}(〃仁N*)是以4為周期的周期數(shù)
x
列.
故/XI)+/(2)+/(3)+…+/'(50)=12x[/(l)+/(2)4-/(3)+/(4)]+/(1)+/(2)=
12K[2+0+(—2)+0]+2+0=2.
I方法三]:
因?yàn)?⑶是定義域?yàn)?-叫”)的奇函數(shù),且/(lr)=/(l+x),
所以/(I+x)=/(3+x)=-f[x+1)=/(x-l).*.r=4,
因比/⑴+/(2)+/(3)+A+/(50)=12[/(1)+/(2)+/⑶+/(4)]+/(1)+/(2),
因?yàn)椤?)=-/⑴,八4)=一/(2),所以/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=0,
0/(2)=/(-2)=-/(2)..〃2)=0,從而〃1)+/(2)+/(3)+A+/(50)=/(I)=2
【知識點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
15.【答案】(l)f(0)=0;(2)fQ)在(-1,1)上單調(diào)遞減;(3)證明見詳解.
【詳解】(1)令尢=y=0,得2/(0)=f(0),所以/'(0)=0.
(2)令、=一不,得/(x)+/(-X)=/(0)=0,所以f[-x)=-/(x),
所以f(x)是奇函數(shù),.
/W(-1,1)上單調(diào)遞減,下面證明:任取不,%2e(-1,1)且XiV%2,
所以/O1)-/(M)=f(巧)+/(-%2)=+(-%2)1,
“1+(一42)
因?yàn)橐籰V/Vx2Vl,所以TV-%2<一/<1,
而與一工2<"0,又因?yàn)橐籭vqvi,所以f(%D-/a2)>o,
所以‘嗎”)V。,所以八4)>/(X2),所以/(%)在(T,l)上單調(diào)遞減.
⑶因?yàn)?(』)=f=47^:1
L(n+l)(n+2)J
=f國圖“島)十八-焉)“島)-/(總),
所以fG)+/佶)+…+fGd^r)=[啕-fG)]+M)-/期+…+上島)一/島)卜
哨一/(焉)
=嗚+/(一專)’
由⑴,(2)知/(X)在(一1,1)上單調(diào)遞減,/(0)=0,
所以當(dāng)xG(-1,0)時,/(x)>/(0)=0,
因?yàn)門V—W<°,所以八—焉)>。,
所以(一擊)>/(;)?
【知識點(diǎn)】函數(shù)新定義問題
16.【答案】(1)(i)偶函數(shù),極小值為/(0)=0,無極大值;(ii)見詳解
(2)見詳解
【詳解】(1)(i)當(dāng)a=l,b=0時,/(x)=xsinr,
第12頁,共17頁
因?yàn)?(f)=一工sin(-x)=xsinx=f(x),故/(犬)是偶函數(shù),
由/'(x)=sinx+xcosx,xe-y,—,
?\
當(dāng)xw-pO時,/'(x)<0,/(X)單調(diào)遞減,
,7
當(dāng)xw0微時,f(x)>0,/(刈單調(diào)遞增,
故/(X)在卜的極小值為"0)=0,無極大值.
(ii)由(i)得/'(x)=sinx+xcosx,令廣(x)=O,則sinx+xcosx-0,
對滿足方程的x有cosxH0,所以x=-tanx,
設(shè)%是/'(X)=0的任意正實(shí)根,則.%=-tanx0,
則存在一個非負(fù)整數(shù)左,使/£6+配/依),即/為第二或第四象限角,
因?yàn)閒'W=sinx+xcosx=cosx(tanx+x),
所以在第二或第四象限x變化時,/'(X)變化如下,
X(%,九+版)
八X)(%為奇數(shù))—0+
/V)(女為偶數(shù))+0—
所以滿足f\x)=0的正根%都為函數(shù)/(x)的極值點(diǎn),
由題可知《,生,…,0”,…為方程x=-tanx的全部正實(shí)根,
且滿足q<a2<…〈4“<…,(〃=1,2,…),
所以%-an=-(tanaff+1-tana?)=-(l+tan%tanan)tan(an+l-an)f
因?yàn)閊■+(〃-1)兀<a。<7t+(/?-1)7i,]+〃兀<q
<兀+〃兀,(〃=l,2,…),
則<a^-an<y>由tan凡+Jan勺>°,可得tan(。用-%)<0,
故5<凡“一勺<兀得證.
(2)由題意得/(x)=arsitu+bcosx,
當(dāng)。=0,6=1時,f(X)=cosx,
第13頁,共17頁
設(shè)h對應(yīng)的切點(diǎn)為(X),cosx]),(x/,cosx:)>&<x;,
f
內(nèi)對應(yīng)的切點(diǎn)為(42,cosx2),(x2.COSX;)?x2<%2',
由于(cos。=-sinX,所以K=-sinX[=-sinx:,k2=-sinx2=-sinx2',
由余弦函數(shù)的周期性,只要考慮-兀<.<A<-5的情形,
又結(jié)合余弦函數(shù)的圖象,只需考慮內(nèi)+父=兀,Z+4=3兀情形,
,cosx/-COSX]_C0S(7t-X])_COS%-2COSX[
"'x'-.r,TI-2r,'
k_cosx/-cos.r2_cos(3兀-乙)-cosx?-2cosx,
x/-x2(3花一/)一工23兀一
3冗
廿L,兀4Hz-.i^1cosx.~2~X1
其中一冗<x,<王<一7,得至lJ;-=------------,
2k、cosx,2E_
*2~X]
,-2cosx,.,-2cosx,.
又勺=---T—=-smx,,k2=--—-=-sinx2,
7t-2工[3x-2X2
即cos$=(]-$)sinXI,cosx2=-x2)sinx2,
當(dāng)FVX<—時,sinx<0,cosx<0,
2
人L/、cosx兀,兀、
令F(x)=----+X——(-7C<X<——),
sinx22
則/(%)=0,U(x)=-sm,x二cos,x+]___絲20,
sin2xsin2xsin2x
產(chǎn)(x)在(f上單調(diào)遞減,又尸(一當(dāng)=百—斗—?<0,所以―兀<玉<—乎,
26626
所以一71<X2<X]〈一胡,此時一IVCOSX2<COSX]<0,則0<::::V1,
3兀x3兀/、
故人=/Y~2丁(一兀);得證.
<
kcosx.7171/5兀、X
2一一X一-(----)
2126
【知識點(diǎn)】函數(shù)新定義問題
17.【答案】⑴函數(shù)/(x)=21具有性質(zhì)。;g(x)=cosx不具有性質(zhì)P.
(2)69=2,*=0
(3)證明見解析
【詳解】(1)因?yàn)?(x)=2x,貝lJ/(x+27r)=2(x+27r)=2x+4兀,又/(2兀)=4兀,
所以f(x+2兀)=/。)+/(2兀),故函數(shù)f(x)=2x具有性質(zhì)P;
因?yàn)間(x)=8sx,則g(x+27t)=cos(x+2?r)=cosX,又g(2i)=cos2北=1,
第14頁,共17頁
g(x)+g(27t)=cos.r+Iwg(x+2兀),故g(x)=cosx不具有性質(zhì)P.
(2)若函數(shù)/(x)具有性質(zhì)P,則/(0+2兀)=/(0)+/(2冗),即/(0)=sin°=0,
因?yàn)榕?lt;'|,所以0=。,所以/(x)=sin(5):
若"2兀)工0,不妨設(shè)〃2")>0,由/@+2兀)=/(工)+/(2兀),
得/(2砌=/(0)+y(2兀)二以(2歐丘2)(*),
只要k充分大時,”(2九)將大于1,而/(x)的值域?yàn)椋?1川,
故等式(*)不可能成立,所以必有/(2兀)=0成立,
HPsin(2<yn)=0,因?yàn)橐?lt;e<2,所以37t<20冗<5兀,
所以2。兀=4兀,則口=2,此時/(x)=sin2x,
則/(X+2H)=sin2(x+2n)=sin2A,
而/。)+/(2冗)=5吊21+5也4幾=$巾改,即有/(x+2兀)=/(x)+/(2九)成立,
所以存在“=2,。=。使函數(shù)/(工)具有性質(zhì)P.
(3)證明:由函數(shù)/(工)具有性質(zhì)P及(2)可知,/(0)=0,
由g(x+27t)=g(x)可知函數(shù)g(x)是以2元為周期的周期函數(shù),則g(2幾)=g(0),
即5皿(/(2兀))=sin(/(0))=0,所以f(2n)=桁,AreZ;
由/(0)=0,/(2兀)二"以及題設(shè)可知,
函數(shù)/")在[0,2句的值域?yàn)椋?,履],所以keZ且Q0:
當(dāng)k>2,/(工)=兀及/(力=2兀時,均有g(shù)(x)=sin(/(x))=0,
這與g(x)在區(qū)間(0,271)上有且只有一個零點(diǎn)矛盾,因此攵=1或%=2;
當(dāng)上=1時,/(2冗)=兀,函數(shù)/(.X)在[0,2兀]的值域?yàn)椋?,可,
此時函數(shù)g(x)的值域?yàn)椋?』,
而f(x+2冗)=/(%)+兀,于是函數(shù)/(x)在[2冗,4〉的值域?yàn)椋畚?2句,
此時函數(shù)g(x)的值域?yàn)椋跿0],
函數(shù)g(x)=sin(/(A))在當(dāng)xe[0,2可時和xw[2冗,4司時的取值范圍不同,
與函數(shù)g(x)是以2幾為周期的周期函數(shù)矛盾,
故七=2,即八2幾)=2兀,命題得證.
【知識點(diǎn)】函數(shù)新定義問題
-x2+2x,xe[0,2]
18.【答案】(1)g(「)=;(2);(3)存在,加=一2
x2+2x,xe[-2,0)
【詳解】(1)當(dāng)XC[-2,0)時,g(x)=-g(-x)=-[-(-x)2+2(-x)]=x2+2x,
2
riMz\f-x+2x,xe[0,2]
并以g(X)=,2r「r八」
x~+2x,xe[-2,0)
(2)設(shè)14"b42,因?yàn)間(x)在x<l,2]上遞減,
第15頁,共17頁
^-=(b)=-b2+2b
g(a-\)(a2-?-1)=()a=1
所以;,整理得(小乂"1)=。’解得,,1+V5,
2b=-----
—=g(a)=-a+2a2
I。
所以g(x)在[1,2]內(nèi)的“倒域區(qū)間”為卜與亙]
(3)因?yàn)間(x)在xe,,“時,函數(shù)值y的取值區(qū)間恰為11,其中a豐
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