§6.6數(shù)列中的綜合問(wèn)題

【考試要求】數(shù)列的綜合運(yùn)算問(wèn)題以及數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識(shí)的交匯問(wèn)題，是歷年高考

的熱點(diǎn)內(nèi)容.一般圍繞等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)命題，涉及數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、通項(xiàng)公式、

前〃項(xiàng)和公式等.

題型一等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運(yùn)算

例1(2023?廈門(mén)模擬)已知數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和為S,”且斗=|層++?,遞增的等比數(shù)列出”｝

滿足〃1+力4=18,岳。3=32.

()求數(shù)列｛%｝,｛瓦｝的通項(xiàng)公式;

(2)若a=4也，〃￡N',求數(shù)列｛金｝的前〃項(xiàng)和

解(1)當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn-Sn-i

=恭+32-9〃-1)2+/—|)J=3M—1,

又；當(dāng)〃=1時(shí)，〃i=S]=2符合上式，

=

an?>n—1.

■:b2b3=bib4,

???濟(jì),仇是方程f-l8x+32=()的兩根，

又?：b?bi,

，解得"=2,d=16,

.卬*8，

:.q=2,:.bn=bW'=21

(2)???斯=3〃-1,bn=2\

則c”=(3〃-l>2”,

:.7:,=2-2|+5-22+8-23+11-24+-4-(3?-1)-2//,

27],=2-224-5-23+8-244-11-25d----F(3?-l)-2,,+l,

將兩式相減得一7；=221+3(2?+23+24+…+2")一(3〃-1)2產(chǎn)1

-22(1—

=4+3————(3〃-1)?2〃"=(4一3〃)?2"+1-8,

:.。=(3〃-4).2"+1+8.

思維升華數(shù)列的綜合問(wèn)題常將等差、等比數(shù)列結(jié)合，兩者相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，解答這類

問(wèn)題的方法：尋找通項(xiàng)公式，利用性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

跟蹤訓(xùn)練1(2022?全國(guó)甲卷)記S〃為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.已知甘+〃=2小+1.

⑴證明：｛斯｝是等差數(shù)列；

(2)若％,(17,。9成等比數(shù)列,求S”的最小值.

⑴證明由呼+〃=2%+1,

得2s“+〃2=24”〃+〃，①

所以2S“+i+(〃+1)2=2〃#1(〃+1)+(以+1),②

②一①，得2a”+i+2〃+1=2。“+|(〃+1)—1,

化簡(jiǎn)得an+\—an=I,

所以數(shù)列｛斯｝是公差為1的等差數(shù)列.

⑵解由(1)知數(shù)列｛斯｝的公差為1.

由四，。7,成等比數(shù)列，

得病=。4。9,

即Si十6尸=(。|十3)(。1十8),

解得0=-12.

所以*=—12〃+迎尹=學(xué)

If_25\_625

=Z22)8，

所以當(dāng)〃=12或13時(shí)，S”取得最小值，最小值為一78.

題型二數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題

命題點(diǎn)1數(shù)列與不等式的交匯

例2(1)已知數(shù)列｛如｝滿足ai+ge+gsH----I~/H=〃2+〃(〃￡N"),設(shè)數(shù)歹滿足：b,,=

現(xiàn)整，數(shù)列｛乩｝的前〃項(xiàng)和為T(mén)?,若4〈節(jié)O(〃￡N,)恒成立，則實(shí)數(shù)A的取值范圍為()

4必”+1〃十1

A.eqB.eq

C.cqD.eq

答案D

解析數(shù)列｛小｝滿足41+/2+；〃3H---h/=/+〃，①

當(dāng)“22時(shí)，0+%+$3T---卜=Ip+Oi—1),②

乙D〃1

①一②得焉=2〃，故〃“=2〃2,當(dāng)〃=1時(shí)，。］=2也滿足上式.

j..3r2〃+12〃+1

數(shù)列｛九｝滿足：兒=薪丁4〃2(〃+1)2

由于4<#［2（〃￡N）恒成立，

故￡一舟正］飾,整理得所提,

因?yàn)楫a(chǎn)借出1+擊）在i*上單調(diào)遞減,

3

故當(dāng)"=1時(shí)，篇-

8

3

所以A>g.

（2）已知數(shù)列｛6｝滿足41=，，3“〃,2斯+|,。山1+1成等差數(shù)列.

①證明：數(shù)列［土一1｝是等比數(shù)列，并求｛如｝的通項(xiàng)公式；

②記｛斯｝的前〃項(xiàng)和為s”求證：￥［i—

_3

①解由已知得4%+|=3斯+〃必「”，因?yàn)椤ㄊ?0,所以由遞推關(guān)系可得小#0恒成立,

所以4安=」3一+1,所以支4一4=33一一3,

1Cl”Cln+1

即士一］=1??

又因?yàn)镠r/所以數(shù)列｛9"是首項(xiàng)為*公比為抽等比數(shù)列,

所以/一|=4

K所以a“=

4〃3,

1+

3圖

-X-

②證明由①可得知=圖7

十

所以*2,+^乂0

5-削

。375

S尸造

A.2023B.IC.-1D.-2023

答案D

解析由題意“2,是1—x—2023=0的兩根.由根與系數(shù)的關(guān)系得〃2。3=—2023.

又0。4=〃2〃3,所以4144=-2023.

(2)數(shù)列3｝滿足m=1,%+|=%〃(〃￡N*),工為其前〃項(xiàng)和.數(shù)列｛瓦｝為等差數(shù)列,且滿足

b\—67i,b?=S3.

①求數(shù)列｛斯｝，｛兒｝的通項(xiàng)公式：

②設(shè)C"=7T^----，數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為7”，證明：

/??-10g2d2rt+232

①解由題意知，｛〃“｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，所以〃”=32c=2"」.所以&=2〃

設(shè)等差數(shù)列｛仇｝的公差為d,則從=夕=1,九=1+3"=7,

所以d=2,瓦=1+(〃—l)X2=2/i—1.

②證明因?yàn)閘og2〃2"+2=10g222M+1=2〃+1,

所以C'"=>,rk)g242”+2=(2/L1)(2〃+l)=iG〃-1-2〃+1)'

所以〃=至一鴻T+…+/-肅)

因?yàn)椤╳N,所以。=氐1一日7)4，

7)=垢

n/?-1_______1

當(dāng)〃22時(shí)，Tn—Tn-

2〃+l2n—I(2〃+1)(2〃-1)

所以數(shù)列｛〃｝是一個(gè)遞增數(shù)列，所以7；2八=：

綜上所述，

課時(shí)精練

立基礎(chǔ)保分練

1.(2022?汕頭模擬)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛〃”｝的前4項(xiàng)和為15,4可，加3,。5成等差數(shù)

列，則0等于()

A.55一5B.572+5C.5限D(zhuǎn).5

答案A

解析設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛〃”｝的公比為外乎>0,

由前4項(xiàng)和為15,4^1,2^3,。5成等差數(shù)列，

可得ai+aq+aq2+aq3=i5,

4?3=4?i+a5?即4ai+mq4=4aq2,即/―2=0,解得“=蛆，〃i=56一5.

2.（2023?焦作模擬）直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前受到了廣大消費(fèi)者的

追捧，針對(duì)這種現(xiàn)狀，某傳媒公司決定逐年加大直播帶貨的資金投入，若該公司今年投入的

資金為2（X）0萬(wàn)元，并在此基礎(chǔ)上，以后每年的資金投入均比上一年增長(zhǎng)12%,則該公司需

經(jīng)過(guò)一年其投入資金開(kāi)始超過(guò)7000萬(wàn)元（）

（參考數(shù)據(jù)：1g1.12比0.049,lg2^0.301,1g7^0.845）

A.14B.13C.12D.II

答案C

解析設(shè)該公司經(jīng)過(guò)〃年投入的資金為m萬(wàn)元，則0=2000X1.12,

由題意可知,數(shù)列｛?。且?000X1.12為首項(xiàng)，以1.12為公比的等比數(shù)列,

7|o7—In2

所以??=2000X1.12",由斯=2000X1/2">7000可得心log1,%=嗦丁赤%"1,

因此，該公司需經(jīng)過(guò)12年其投入資金開(kāi)始超過(guò)7000萬(wàn)元.

3.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛?。?，小為。6與04的等比中項(xiàng)，則43+3.7的最小值為（）

A.2小B.89C.6D.3

答案C

解析因?yàn)椋。钦?xiàng)等比數(shù)列，且小為由與的等比中項(xiàng)，所以“604=3=43?！保?/p>

則當(dāng)且僅當(dāng)。3=3時(shí)，等號(hào)成立，所以的+307的最小

JG

值為6.

4.（2023?岳陽(yáng)模擬）在等比數(shù)列｛〃“｝中，。2=—2的,1〈的<2,則數(shù)列匕3〃）的前5項(xiàng)和Ss的取值

范圍是（）

A.eqB.eq

C.cqD.cq

答案A

解析設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為%

則/=腎=一數(shù)列3〃1是首項(xiàng)為。3,公比為/=一：的等比數(shù)列,

v<24乙

,1iipiin

則niIS5=-----71—=苻3￡（諱，yj.

,+2

5.（多選）（2023?貴陽(yáng)模擬）已知函數(shù)例）=lgx,則下列四個(gè)命題中,是真命題的為（

A./2),/VTO),火5)成等差數(shù)列

B.貝2),耳4),寅8)成等差數(shù)列

C.42),川2),貝72)成等比數(shù)列

D.「2),44),川6)成等比數(shù)列

答案ABD

解析對(duì)于A,彤)+加)=lg2+lg5=lg10=1,紈也)=21g?=l,

故人2),及/歷)，次5)成等差數(shù)列，故是真命題；

對(duì)于B,犬2)+人8)=愴2+愴8=他16,2/(4)=21g4=lg16,

故欠2),膽),爪8)成等差數(shù)列，故是真命題；

對(duì)于C,12)式72)=愴2乂吆72＜產(chǎn)野衛(wèi))2=電212=/(12),

故＜2),7(12),犬72)不成等比數(shù)列，故是假命題；

對(duì)于D,1A21A16)=lg2X|g16=41g22=(21g2)2=lg24=/(4),

故貝2),#4),#16)成等比數(shù)列,故是真命題.

6.數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤，如法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于164。年提出了巳=22〃+1(〃=0」,2,…)

是質(zhì)數(shù)的猜想，直到1732年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出尸5=641義，不是質(zhì)數(shù).現(xiàn)設(shè)

d,z=log4(F?—1)(/:=1,2,??1),S“表示數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若32sz：=63所則〃等于()

A.5B.6C.7D.8

答案B

解析因?yàn)榫?22"+1(〃=0,1,2,…)，所以知=1哂(4一I)=log4(22〃+l-l)=log422”=2“r,

所以｛m｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1,公比為2,所以S,尸竿12=2〃-1.

所以32(2"—1)=63X2〃I解得〃=6.

7.宋元時(shí)期我國(guó)數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中“落一形”就是

每層為“三角形數(shù)”的三角錐垛，三角錐垛從上到下最上面是1個(gè)球，第二層是3個(gè)球，第

三層是6個(gè)球，第四層是10個(gè)球，…，則這個(gè)三角錐垛的第十五層球的個(gè)數(shù)為.

三角錐垛

答案120

解析???“三角形數(shù)”可寫(xiě)為1,1+2,1+2+3,1+2+3+4J+2+3+4+5,…,

〃。?+1)

“三角形數(shù)”的通項(xiàng)公式為斯=1+2+3+…+〃=2

???這個(gè)三角錐垛的第十五層球的個(gè)數(shù)為.5=一丁=120.

8.已知數(shù)列伍”｝的通項(xiàng)公式為4=ln〃，若存在〃￡R，使得對(duì)任意的〃￡N”都成立,

則〃的取值范圍為.

答案［￥-+8)

解析數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為a〃=ln〃，若存在p￡R,使得a”Wp〃對(duì)任意的〃￡N?都成立，

Inx.

設(shè)凡0=｝，則/。)=匕^，令。)=:^=0,解得X

故函數(shù)凡0的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+8),

所以函數(shù)在1=e處取最大值，

由于〃￡N”,所以當(dāng)〃=3時(shí)函數(shù)最大值為竽.

所以p的取值范圍是［牛，+8).

9.記關(guān)于X的不等式f-4依+3〃2<0(〃￡N*)的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為斯，數(shù)列｛仇｝的前〃項(xiàng)和為

Tn，滿足4%=3日一斯—2.

⑴求數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)c“=2〃”7(一前，若對(duì)任意〃￡N*,都有金<金+［成立，試求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

解(1)由不等式.1—4雄43〃240可得，

??〃〃=2〃+19

113

-

4-不

2,?

當(dāng)〃=1時(shí)，b\=T\=\,

當(dāng)“22時(shí)，b?=T,-Tn-x=^xy-^

=l適合上式，

n

.*.^n=zX3—X.

(2)由(1)可得,

4

???（-1）以>一5><2",

4

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，X<7X2\

4

于-X

5/〃的增大而增大，當(dāng)〃=1時(shí)，]x2〃的最小值為今

8

-

z<5，

4

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，>一5乂2",

由于一14X2〃隨著〃的增大而減小，當(dāng)〃=2時(shí)，一41X2”的最大值為一1夕6

JJJ

.._16

?.Q—5'

綜上可知，一號(hào)<A<1.

10.設(shè)/i￡N*,有三個(gè)條件：①如是2與S”的等差中項(xiàng)；②四=2,5〃+1=的(工+1);③S〃=

2一1一2.在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題的橫線上，再作答.

若數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和為S”，且________.

(I)求數(shù)列伍”)的通項(xiàng)公式；

(2)若｛斯?①｝是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列｛0〃｝的前〃項(xiàng)和7；.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分.

解(1)選擇條件①：

因?yàn)榧词?與5”的等差中項(xiàng)，所以2%=2+&,

所以當(dāng)〃22時(shí)，2aI=2+S,I,

=

兩式相減得,2a,i—2an-\(2ni即〃〃=2a〃-i(〃22),

在%”=2+S〃中，令〃=1,可得“1=2,

所以數(shù)列｛斯｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

故斯=22"-1=2”.

選擇條件②：

由m=2,S〃+i=<?i(S”+1),知S”+]=2(S〃+1),

當(dāng)n=\時(shí)，可求得6=4,

所以當(dāng)〃22時(shí)，Srt=2(S?-i+l),

兩式相減得，1=2a”(〃22),

又m=2,々2=4也滿足上式，

所以數(shù)列｛為｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

故為=2-2L|=2".

選擇條件③：在S“=2〃+i—2中，令〃=1,則0=2於|-2二2,

當(dāng)〃22時(shí)，有Si=2〃-2,

兩式相減得，?！?2"（〃三2）,

當(dāng)〃=1時(shí)，4|=2滿足上式，

所以0=2”.

（2）因?yàn)椋??九｝是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，

所以an-btl=2+（n—1）-4=4z?—2,

2〃—1

由（1）知，a”=2",所以1%=,廠］,

所以0=1乂（；）。+3乂4+5乂（§2+...+誓1,

/尸小&+3乂俳+..?+鋁+號(hào),

兩式相減得，/尸1XQ）十2x（5）'+2XQ）2H---I-2X一券"=1+2X-----:

1-2

2〃-12〃+3

2〃-J-2rt

2〃+3

所以。=6—2〃-1

國(guó)綜合提升練

11.（2022?北京）設(shè)｛詞是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列,則”｛〃“｝為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)

No，當(dāng)心M＞時(shí)，?。?"的（）

A.充分不必要條件

B,必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條小

答案C

解析設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列｛為｝的公差為"3W0）,則a〃=m+（〃-1）4=血+0-4.若｛斯｝為遞增

數(shù)列,則冷0,則存在正整數(shù)M,使得當(dāng)心NQ時(shí)，斯=加+0—才＞0,所以充分性成立；若

存在正整數(shù)No,使得當(dāng)心Mo時(shí)，詼=川+內(nèi)一比＞0,即后與產(chǎn)對(duì)任意的心No,〃￡N"均成立，

由于〃一+8時(shí)，寧-0,且4#0,所以冷0,｛斯｝為遞增數(shù)列，必要性成立.故選C.

12.己知〃1，他，43，04成等比數(shù)列,且的+42+。3+。4—皿（41+〃2+。3）-若41＞1,貝"

A.O2<?4B.Cl\>a3,。2<田

C.4|<43，。2>&D.。2>〃4

答案B

解析因?yàn)镮n.iWx—1（X>O）,所以0+42+〃3+。4=11131+42+43戶41+〃2+。3—1,

所以—1.由0>1,得g〈0.

若q&-l,則ln（0+42+03）=〃1+42+43+44=0（1+q>（l+q2）W0.

又41+他+〃3=41（1+q+/）2〃i>l,所以ln（ai+a2+〃3）>0,矛盾.因此一

所以0—。3=。1（1—靖）>0，42—。4=。聞（1—/）<0,所以川>。3，O2<a4.

13.函數(shù)y=/u）,XW[1,+°°）,數(shù)列｛斯｝滿足?！?加2）,〃￡N",

①函數(shù)火幻是增函數(shù)；

②數(shù)列｛?。沁f增數(shù)列.

寫(xiě)出一個(gè)滿足①的函數(shù)fix）的解析式.

寫(xiě)出一個(gè)滿足②但不滿足①的函數(shù)兒T）的解析式.

答案五幻=@一32（答案不唯一）

解析由題意，可知在x￡[l,+8）這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)的函數(shù)有許多，可寫(xiě)為凡1）=1.

第二個(gè)填空是找一個(gè)數(shù)列是遞增數(shù)列，而對(duì)應(yīng)的函數(shù)不是增函數(shù)，可寫(xiě)為/U）=（x-/）.

則這個(gè)函數(shù)在[1,力上單調(diào)遞減，在后，+8）上單調(diào)遞噌，

.7/U）=（x—§2在口，+8）上不是增函數(shù)，不滿足①.

而對(duì)應(yīng)的數(shù)列為斯=（〃一號(hào)2在〃仁N'上越來(lái)越大，屬于遞增數(shù)列.

X-4,%這一3,

14.設(shè)函數(shù)數(shù)列｛"〃｝滿足a〃+i=yS”）（〃WN"）,若｛斯｝是等差數(shù)列.則

一廠+2,X>-3,

3的取值范圍是.

答案（一8,一3]U｛-2,1｝

解析畫(huà)出函數(shù)/U）的圖象如圖所示，

當(dāng)41W—3時(shí)，他=/（41）=41—4W—7,43=/（。2）=。2—4W—II,…,

數(shù)列他〃）是首項(xiàng)為公差為一4的等差數(shù)列，符合題意，

當(dāng)m>一3時(shí)，因?yàn)椋梗堑炔顢?shù)歹L

①若其公差力0,則mh)￡N*,使得c%>2,這與知+|=沸斯)=2-*五2矛盾，

②若其公差4=0,則42=一3+2=仙，即山+山一2=0,解得m=—2或m=I,

則當(dāng)他=-2時(shí)，m=—2為常數(shù)列，當(dāng)0=1時(shí)，小=1為常數(shù)列，此時(shí)｛斯｝為等差數(shù)列，

符合題意，

③若其公差d<0,則m&()W