專題20.1二次根式及其性質(zhì)（第1課時）

教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)

1.由算術(shù)平方根引出二次根式的概念；

2.知道二次根式有意義的條件；

教學(xué)目標(biāo)

3.了解二次根式的雙重非負(fù)性；

4.掌握二次根式的性質(zhì)1和性質(zhì)2；根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡二次根式。

1重.點(diǎn)

（1）根據(jù)二次根式有意義的條件求參數(shù)范圍；

（2）二次根式非負(fù)性的應(yīng)用：

教學(xué)重難點(diǎn)（3）二次根式性質(zhì)化簡二次根式的應(yīng)用。

2難.點(diǎn)

（1）二次根式性質(zhì)2中，對a的理解，整體思想；

（2）二次根式與其他數(shù)學(xué)模塊結(jié)合，如數(shù)軸，乘法公式，幾何圖形的性質(zhì)等。

知識清單

知識點(diǎn)1二次根式

1.復(fù)習(xí)引入：在“實數(shù)”一章，我們學(xué)習(xí)了開平方運(yùn)算，知道了當(dāng)心0時，、儲表示a的算術(shù)平方根.

2.二次根式

易知而K）,所以二次根式具有“雙重非負(fù)性”。它與前面學(xué)的算術(shù)平方根的“雙重非負(fù)性”是一致的。

【即學(xué)即練】

A.5個B.4個C.3個D.2個

【答案】C

【分析】本題主要考查二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵；

所以，二次根式有3個.

故選：C

2.寫出使下列式子有意義的x的取值范圍.

（3）:?為任意實數(shù)

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)大于等于0,也考查了分式有意義的條件.

（1）根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列出不等式求解即可.

（2）根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列出不等式求解即可.

（3）根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列出不等式求解即可;

（4）根據(jù)被開方數(shù)大于等于0以及分母不為0列出不等式組求解即可.

則工為任意實數(shù)

【答案】B

故選：B.

知識點(diǎn)2二次根式的性質(zhì)1、性質(zhì)2

1.性質(zhì)1：）2=。（，之0）（任何個非負(fù)數(shù)都可以寫成個數(shù)的平方的形式）.

2.性質(zhì)2：

當(dāng)a=0時，a?的算術(shù)平方根為0;

當(dāng)a<0時，a?的算術(shù)平方根為a.

這是二次根式的又一性質(zhì)。

總結(jié)：

a（a>0）

Ta7=mi=<o（4=0）

—a（a<0）

【即學(xué)即練】

【答案】32

故答案為：3,2.

【分析】本題主要考杳了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式性質(zhì)求解即口J,熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

3.計算：

【答案】⑴申；

⑵20：

⑷2a.

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，暴的乘方，合并同類項，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可；

（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)和積的乘方進(jìn)行化簡即可；

（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可；

（4）根據(jù)二次根式的性質(zhì)和合并同類項進(jìn)行化簡即可；

5

=-?

2，

=20；

4.計算:

【答案】⑴:

⑵-12

⑷/

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡與性質(zhì).

（1）利用二次根式的性質(zhì)化簡運(yùn)算即可；

（2）利用二次根式的性質(zhì)化簡運(yùn)算即可；

（3）利用二次根式的性質(zhì)化簡運(yùn)算即可；

（4）利用二次根式的性質(zhì)化簡運(yùn)算即可；

（5）利用二次根式的性質(zhì)化簡運(yùn)算即可.

題型精講

題型01判斷二次根式

【典例1】.下列式子中，是二次根式的是（）

【答案】B

【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的定義，需滿足兩個條件：①根指數(shù)為2；②被

開方數(shù)非負(fù).逐項判定即可.

【詳解】解：選項A：Q,被開方數(shù)為-1（負(fù)數(shù)），不符合條件②，排除.

選項C：遙，根指數(shù)為3,屬于三次根式，不符合條件①，排除.

綜上，正確答案為B.

故選：B.

【變式1】.下列各式一定是二次根式的是（）

【答案】B

【分析】此題主要考杳了二次根式的定義，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵.直接利用二次根式有意

義的條件以及二次根式的定義分析得出答案.

B、&一定是二次根式，故此選項符合題意；

故選：B.

【變式2】.下列式子中，不屬于二次根式的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式的定義，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，逐一分析即可.

【詳解】解：A、G是二次根式，故本選項不符合題意；

D、由于被開方數(shù)是正數(shù)，是二次根式，故本選項不符合題意.

故選：C.

【變式3】.下列式子一定是二次根式的是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了二次根式和平方的運(yùn)算，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式和平方的運(yùn)算，即可選出正確結(jié)果.

故選：D

【變式3】.下列各式化簡錯誤的是（）

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)二次根式的性

質(zhì)逐項分析，即可求解.

故選：D.

【變式4].若二次根式療的值為9,則x的值為.

【答案】±9

故答案為：±9.

題型05二次根式性質(zhì)2的應(yīng)用

題型06根據(jù)參數(shù)范圍化簡二次根式

【答案】。

故答案為：a.

【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行化簡即可.

【答案】1

故答案為：1.

【答案】4

二4,

故答案為：4.

題型07根據(jù)數(shù)軸上參數(shù)的位置化簡二次根式

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)實數(shù)d0在數(shù)軸上的位置.，確定和0的大小關(guān)系，本題在化

簡求值過程中應(yīng)用r絕對值的性質(zhì).先根據(jù)實數(shù)。力在數(shù)軸上的位置，確定。力和o的大小關(guān)系，然后根據(jù)

絕對值的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)億簡即可.

故選：B.

【答案】一力

故答案為：-2b.

題型08根據(jù)化簡二次根式的結(jié)果求參數(shù)范圍

【答案】C

故選：C.

A.a>0B.a>0C.a=0D.a任何實數(shù)

【答案】B

【分析】分別求出以與標(biāo)的被開方數(shù)中a的取值范圍即可得到答案.

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的性質(zhì)：雙重非負(fù)性，二次根式的被開方數(shù)滿足大于等于零的條件.

【答案】B

【分析】本題主要考查了一次根式的性質(zhì)和解一元一次不等式，掌握一次根式的非負(fù)性成為解題的關(guān)鍵.

直接根據(jù)二次根式的非負(fù)性列關(guān)于。的不等式計算即可.

故選B.

【分析】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

（1）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案；

（2）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案；

題型09二次根式的值（含最值問題）

【答案】4

【分析】本題主要考查了二次根式的運(yùn)算，

故答案為：4.

【答案】6（答案不唯一）

【分析】本題考查二次根式有意義的條件，熟練掌握相關(guān)的知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)二次根式的被開方

數(shù)不小于零的條件進(jìn)行解題即可.

【詳解】解：由題可知,

故答案為：6（答案不唯一）.

【答案】7

所的最小值是7.

故答案是：7.

題型10二次根式的非負(fù)性

【答案】473

【分析】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，和代數(shù)式求值，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

故答案為：46..

【答案】

2

【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，二次根式化簡：由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得。與〃的值，再代入二次根式中

化簡即可.

故答案為：g.

2

（1）求代數(shù)式而的值.

【答案】41

【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式被開方數(shù)具備的條件，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

（1）利用二次根式的被開方數(shù)成立的條件求得x,y的值，再將乂的值代入運(yùn)算即可；

（2）將x,y的值代入運(yùn)算即可.

故答案為：4：

=1,

故答案為：1.

題型11二次根式性質(zhì)的綜合應(yīng)用

【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、二次根式的化簡、絕對值的化簡，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的

關(guān)鍵.

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系對式子化藺即可.

（3）利用你總結(jié)的規(guī)律完成下列問題：

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系.

（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可；

（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可；

（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可；

（4）加，b,c?為三角形的三邊長，

【變式2】.閱讀材料：

善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：

請你參考小明的方法探索并解決下列問題：

【分析】本題考查二次根式的化簡、完全平方公式，理解題中計算方法，利用類比思想求解是解答的關(guān)鍵.

團(tuán)”，人都是整數(shù)，

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.下列代數(shù)式中，不一定是二次根式的是（）

A.6B.gC.7?D-A

【答案】D

【分析】直接利用二次根式的定義分析得出答案.

此題主要考查了二次根式的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：A、是二次根式，故此選項錯誤；

B、R,是二次根式，故此選項錯誤；

C、是二次根式，故此選項錯誤；

故選:D.

2.下列計算正確的是（）

【答案】D

【分析】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，根據(jù)二次根式的性質(zhì)逐項判斷即可，熟練掌握以上知

識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

故選：D.

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式和分式有意義的條件，明確二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，分式的分母不為

零是解題關(guān)鍵.根據(jù)二次根式和分式有意義的條件進(jìn)行解答即可.

故選；D.

4.如果。是任意實數(shù)，下列各式中一定有意義的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式有意義和分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).根

據(jù)二次根式有意義，二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分式有意義，分母不為零進(jìn)行分析即可.

c.。是任意實數(shù)，77都有意義，故此選項正確；

故選:C.

A.非負(fù)數(shù)B.0C.正實數(shù)D.負(fù)實數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

即“為正實數(shù)，故C正確.

故選：C.

A.1B.-1C.7D.-7

【答案】A

根據(jù)二次根式性質(zhì)即可得解.

故選：A.

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握以上知識及計算是關(guān)鍵.

故選：B.

A.-9B.-8C.8D.9

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件的運(yùn)用，掌握二次根式被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到xy的值，代入計算即可.

故選：c.

【答案】B

故選:B.

A.4B.4C.6D.6

【答案】B

【分析】本題考查求不等式的解集，化簡二次根式.先求出不等式的解集，進(jìn)而確定式子的符號，再根據(jù)

二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可.

故選B.

二、填空題

【答案】5

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，即可求解.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【分析】本題考查代數(shù)式有意義的條件，根據(jù)分式的分母不為0,二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解

即可.

【答案】2n-6/6-2n

【分析】先寫成絕對值的形式，再判斷62n的大小，根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出結(jié)果.

=162nl

=2R6；

故答案為：2TI6.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握二次根式的基本性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

【答案】2x

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可.

故答案為：2x.

【答案】1

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和絕對值的非負(fù)性即可求解.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，絕對值的非負(fù)性，熟練掌握算術(shù)平方根的概念及絕對值的概念

是解決本題的關(guān)鍵.

【答案】-7或—I

故答案為：-