2024-2025學(xué)年山東省棗莊市高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分.）

1.（1-x）8的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)是（）

A.C：B.-C；C.C：D.-C：

2.下列命題中正確的是（）

A.若y=cos&,WJy'=-sin—

555

B.若曠=8$（2］），則J=2sin（2x）

C.若y=（3x）,則y,=—

3x

D.若y=e2',則了=2浮

3.《哪吒之魔童鬧海》《唐探1990》《熊出沒?重啟未來》三部賀歲片引爆了2025年春節(jié)電影市場(chǎng).某電影

院司時(shí)段播放這三部電影，小王和他的5位同學(xué)相約一起去看電影，每人只能選擇看其中的一場(chǎng)電影，則

不司的選擇方案有（)

A.6'種B.C；種C.3f1種D.《種

B,P(J)=1,12

4.已知隨機(jī)事件力，P(8)=§,P(A\B)=-,則尸(8|4)=(

2c7-5n4

A.—B.一C.一D.-

9999

5.函數(shù)/(幻=/-/-x+1,xE[-1.,2］的最小值為（）

32

AA.一B.0C.-3D.3

27

6.函數(shù)/(x)=ga/+一X在[1,3］上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則。的取值范圍是（

D.(-|,-KO)

A.(--,+00)B.(2,+8)C.(0,-Ko)

4

7.如圖所示，楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)的一種幾何排列，第〃行是（。+6）”的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，觀察圖

中數(shù)字的排列規(guī)律，可知下列結(jié)論不正確的是（）

第o行

行

第1

行

第2

行

第3

第4464

第55OO

.?

A.C；+C：+…+C；=83

B.第2025行所有數(shù)字之和為22°”

C.笫12行從左到右第3個(gè)數(shù)與第4個(gè)數(shù)之比為上

1（）

D.第2025行從左到右第1014個(gè)數(shù)比該行其他數(shù)都大

8.已知八用是定義在/?上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/（X）,且當(dāng)x>0時(shí)，2/（回+.U（均<0,則不等式

（x-2025）"-2025）-4/（-2）<0的解集為（）

A.（一8,2023）0（2027,+功B.（2023,2027）

C.（2027,+8）D.（-oo,2023）

二、多選題（共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)是符合題目要求的.

若全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)或不選得。分.）

（多選）9.己知〃斤%（〃,〃?uN“），則下列等式正確的是（）

m=〃?+1C"

A.C

n+1

B.

C.4：=〃婿

D.MY+c〈

（多選）1（）.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué),下列命題正確的是（）

A.若五位同學(xué)排隊(duì),甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有24種

B.若五位同學(xué)排隊(duì),最左端只能排甲或乙,最右端不能排曰，則不同的排法共有30種

C.若五位同學(xué)排隊(duì),甲乙丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊(duì)（不必相鄰），則不同的排法有60種

D.若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個(gè)社區(qū)參加志愿活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少一位同學(xué)，每位同學(xué)至

少到一個(gè)社區(qū)，則不同的分配方案有36種

（多選）11.已知/（x）=e、+x-3的零點(diǎn)為再，g（x）=/〃x+x-3的零點(diǎn)為超，則（）

A.xi+x2=3B.>x2

C.xx,<—D.e*+*>2a

-2

三、填空題（共3小題，每小題5分，滿分15分

12.在（--x-y）5的展開式中，一步項(xiàng)的系數(shù)為.

13.已知/(x)=2/(2-%)4-x2-bix,則/(x)在點(diǎn)x=l處的導(dǎo)數(shù)為.

14.已知直線)，=履+方是曲線y=ei與卜=。"2。24—2025的公切線，則4=.

四、解答題(共5小題，滿分77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

15,已知(2/-」=)"(〃eV')的展開式中，其前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46.

x/x

(1)求展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和：

(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng).

16.同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)廠供應(yīng).由長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)知，甲、乙、丙的正品率分別為0.95、().90、0.96,

甲、乙、丙生產(chǎn)該產(chǎn)品所占比例分別為2:3:5,將三家產(chǎn)品混放在一起.

(I)任取一件產(chǎn)品，計(jì)算它是次品的概率；

(2)現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為次品，叵它是由甲、乙、丙三個(gè)廠中哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性最大？說明理由.

2

17.已知函數(shù)/(x)=+2ax+b-\(a,be火)在x=2處有極值.

(1)求八刀的極值；

(2)若八幻在區(qū)間［-2,3］上有三個(gè)零點(diǎn)，求力的取值范圍.

18.(17分)已知/(x)=2。/心+；/—(。+2)x(。eA).

(1)討論/(幻的單調(diào)性；

(2)若任意的王，x,e(0,+8)(x尸占)，〃吃)-求〃的取值范圍.

19.(17分)已知函數(shù)/(x)=e'-a.l在點(diǎn)(1,f(1))處的切線經(jīng)過點(diǎn)(2,2?-5).

(I)求a的值；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)再，x2(Xj<x2),求證：xt+x2<2ln2.

故選：c.

I?2

4.已知隨機(jī)事件月，B,P(J)=-,P(B)=_,P(m4)=一，則尸(8|4)=()

233

7

A.-B.C.-D.-

9999

【答案】D

17

解：根據(jù)題意，P(A)=-,P(B)=-?P(*8)=§,

2

2

故P(")=P(B)P(41B)=:一,

9

故選：D.

5.函數(shù)/（X）=X3—X2—X+I,XU［1,2］的最小值為（）

32

A.—B.0C.-3D.3

27

【答案】B

解：對(duì)/（幻=/一/一1+1求導(dǎo)，得r（x）=3--2x-l=（3x+l）（x-l）,

令八x）=0,解得x或x=l,

3

1,一"）時(shí)，/'（X）＞0,/（X）單調(diào)遞增：

X€（—；』）時(shí)，/'（X）＜0,/（X）單調(diào)遞減；

XG（1,2］時(shí)，r（x）＞（）,/（X）單調(diào)遞增,

/（-1）=0;

1'32

/（—）=——；

327

/（I）=0；

f⑵=3，

綜上所述最小值為0.

故選：B.

6.函數(shù)/（》）=,0?+!/-彳在|1,力上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則a的取值范圍是（）

32

12

A.(——,+oo)B.(2,+x)C.(0,+oo)D.(——,+oo)

49

【答案】A

解：:函數(shù)/(x)=ga/+g/-x在[1,3]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，

3xe[l,3],使得.，(X)=Q/+X-1>0有解，

&U3xe[l,引，使得二成立，即當(dāng)xc[l,3]時(shí)，。>(二),皿，

X'X"

人/、......,,、-x2-2x(l-x)x-2

令g(x)=^-(l?x?3),則g(x)=--------J---------=——?

令g(r)=0,得x=2,

當(dāng)xe[l,2)時(shí)，g<x)<0,當(dāng)xw(2,3]時(shí)，g*(x)>0,

.?.當(dāng)x=2時(shí)，g(x)取得極小值，也是最小值，即當(dāng)xe[l,3]E寸，g(x)&(2)

4

1

a>----.

4

故選：A.

7.如圖所示，楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)的一種幾何排列，第〃行是m+與”的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，觀察圖

中數(shù)字的排列規(guī)律，可知下列結(jié)論不正確的是（）

第

0行

行

第1

行

第2

行

第3

行

第4

行

第5

A.C；+C：+…+盤=83

B.第2025行所有數(shù)字之和為22°25

C.第12行從左到右第3個(gè)數(shù)與第4個(gè)數(shù)之比為上

10

D.第2025行從左到右第1014個(gè)數(shù)比該行其他數(shù)都大

【答案】D

解：對(duì)于力，C；+C：+…+C；=C；+C；+C：+…+C；—l=C：+C：+...+C；—l=C；—l=83,

即4正確；

對(duì)于B,第2025行所有數(shù)字之和為+C：?！?...+嚙=22025,

即6正確;

12x11

對(duì)于C,第12行從左到右第3個(gè)數(shù)與第4個(gè)數(shù)之比為冬=「=3,

g12x11x101()

3x2x1

即C正確；

對(duì)于。，第2025行共2026個(gè)數(shù)，

由組合數(shù)的性質(zhì)可得：從左到右第1013個(gè)數(shù)與第1014個(gè)數(shù)相等且比該行其他數(shù)都大，

即。錯(cuò)誤.

故選：

8.已知/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為尸(x),且當(dāng)x>0時(shí)，2/(x)+M"(x)<0,則不等式

(X-2025)2/(X-2025)-4/(-2)<0的解集為()

A.(-X,2023)U(2027,+功B.(2023,2027)

C.(2027,+oo)D.(-oo,2023)

【答案】A

解:令ga)=f/(x),

?.?當(dāng)x>0時(shí)，2f(x)+xf(x)<0,

二當(dāng)工>0時(shí)，g\x)=2xf(x)+x2f(x)=x(2/(x)+<0，

/.g(x)在(0,+oc)上單調(diào)遞減:

又/(x)是定義在/e上的偶函數(shù)，且)，=/也是定義在R上的偶函數(shù)，

.?.ga)=//a)是定義在R上的偶函數(shù)，

不等式(x-2025)2/(X-2025)-4/(-2)<0可等價(jià)轉(zhuǎn)化為(x-2025)2/(x-2025)<(—2)2/(—2)=2?/(2),

即g(x-2025)vg(2),

.\|x-2025|>|2|=2,

解得x>2027或x<2023.

故選：A.

二、多選題(共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)是符合題目要求的.

若全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)或不選得0分.)

(多選)9.已知行加(〃,〃[￡N*),則下列等式正確的是()

m+1

A.C；=

〃+1

B.A：：；-A：

C.A：=fJA：：；

【答案】BCD

解：對(duì)于力，絲士1。泉〃7+lS+1)!m+1〃！6+1

C：,故4錯(cuò)誤:

n+1n+1w!(〃+1-，〃)！/?+1-mm\(n-m)\〃+1-m

(〃+D!/?!

對(duì)于8,?.?/C：-=(〃+1)=(〃+D4T，

(??-/?)!(〃_〃?)!

4J4：=(〃+1)4：-47=M；=〃2型：，故4正確;

(〃一1)!nl

對(duì)于c，〃4二：=n---------=--------=父，故。正確;

(〃_加)！(._4)!

n\〃！

對(duì)于。，C：+C,：T-----------+-------------------

(m-1)+

[n-m+I)-nlm-n!

=--------------+----------------

+1)!(〃?)！(〃-〃？+1)!

(n+1)?/?!(〃+1)!

+1)!m\(n+1-w)!

故。正確.

故選：BCD.

（多選）10.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué),下列命題正確的是（）

A.若五位同學(xué)排隊(duì),甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有24種

B.若五位同學(xué)排隊(duì),最左端只能排甲或乙,最右端不能排曰，則不同的排法共有30種

C.若五位同學(xué)排隊(duì),甲乙丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊(duì)（不必相鄰），則不同的排法有60種

D.若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個(gè)社區(qū)參加志愿活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少一位同學(xué)，每位同學(xué)至

少到一個(gè)社區(qū)，則不同的分配方案有36種

【答案】AD

解：對(duì)于力，若五位同學(xué)排隊(duì)，甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰,

則不同的排法有《?片?W=24種;

即4正確；

對(duì)于8,若五位同學(xué)排隊(duì)，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲,

則不同的排法共有M+G?d=42種；

即8錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若五位同學(xué)排隊(duì)，甲乙丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊(duì)(不必相鄰)，

則不同的排法有冬=20種，

即c錯(cuò)誤；

對(duì)于。，若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個(gè)社區(qū)參加志愿活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少一位同學(xué)，每位同學(xué)

至少到一個(gè)社區(qū)，

則不同的分配方案有空$-Al=36種，

'2

即。正確.

故選：AD.

(多選)11.已知/*)=-+工一3的零點(diǎn)為玉，g(x)=/〃x+x-3的零點(diǎn)為/，貝I")

A.X]+x2=3B.5Xj>x2

C..為工2<~~D.ex,+eX1>2\fe^

【答案】ABD

解:因?yàn)?(%)是定義在R上的增函數(shù),且/(幻=夕+'-3的零點(diǎn)為玉，

所以方程《+x-3=0存在唯一實(shí)數(shù)根再，滿足-十%-3=0,

g(x)=Inx+x-3在(0,+8)上為增函數(shù),且方程加+x-3=0存在唯一實(shí)數(shù)根々，

對(duì)于g(x)=Inx+x-3,用/代換x,可得g(e")=lnex+ex-3=^+x-3=f(x)?

所以工2=6*，可得用+%=X+-'=3"+Xj-3)+3=3,故4項(xiàng)正確：

根據(jù)/(x)=F+x-3是定義在R上的增函數(shù)，

因?yàn)閑，=\[e^<=('所以/(?)=>+[-3=e，—;<0，

結(jié)合/(1)=e+l-3>0,可得1),

根據(jù)g(2)=ln2-1<0,g(3)=ln3>0,可得,0€(2,3),

由5X1W(w，1),可得5Xj>7">3>工，所以8項(xiàng)正確；

1

根據(jù)王任弓，1),x2e(2,3),可得Xi吃>!〉乎，所以。項(xiàng)不正確；

根據(jù)基本不等式，可得爐+*>14^=277,

結(jié)合陽、吃不相等，可知以上不等式的等號(hào)不成立，故-+*>2府，所以。項(xiàng)正確.

故選：ABD.

三、填空題(共3小題，每小題5分，滿分15分.)

12.在-x-y)5的展開式中，力2項(xiàng)的系數(shù)為_一30_.

【答案】-30.

解：由多項(xiàng)式(x2-X-yY,即為(/_x—y)(/-X-刃(/-%-p)(x2-x-y)(/-x-y),

要得到x?2項(xiàng)，結(jié)合組合的運(yùn)算，可得//頂為：

C；?(-y)2?C；?(r)C.(心)2=-30?/，

所以項(xiàng)的系數(shù)為_30.

故答案為：-30.

13.已知/(x)=2/(2-x)4-x2-Inx,則/(x)在點(diǎn)x=l處的導(dǎo)數(shù)為.

3

【答案】工

3

解：f(x)=2/1(2-x)+x2-inx,

貝ij/(x)=-2/(2-x)+2x-X

x

故/(1)=-"(1)+27,解得/(1)=X

故答案為：1.

3

14.已知直線歹=去+6是曲線y=ei與y=e"2024-2025的公切線，則左=].

【答案】1.

解：因?yàn)閥=*與N=e-2024-2025的導(dǎo)數(shù)分別為/=與了=05。24,

設(shè)直線y=h+b與曲線)，=,y=小.-2025分別切于點(diǎn)(rn,em~l),(/“川⑼-2025),

“In+2024.nAnc

所以〃=1-I=/+2024=5__二——三￡二,

m-n

所以，〃=〃+2025,所以％=e/23=一些—=1.

n+2025-n

故答案為：1.

四、解答題（共5小題，滿分77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

15.已知（2/-」=）"（〃￡>?）的展開式中，其前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46.

\ix

（I）求展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和；

（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng).

【答案】（1）512；（2）18.

解：（1）前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為C：+C：+C：=l+〃+亭?=46,

解得〃=9,

所以（2/-的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為2,=512；

（2）（2--9）9的展開式的通項(xiàng)公式為：

49rrr，r

7；.+1=<（2x）-（-x2）=（-l）<2-x'丁，r=0,1,…，9,

o

令36——廠=0,解得1=8,

2

故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（-1）8XC；X2=18.

16.同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)廠供應(yīng).由長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)知，甲、乙、丙的正品率分別為0.95、0.90、0.96,

甲、乙、丙生產(chǎn)該產(chǎn)品所占比例分別為2:3:5,將三家產(chǎn)品混放在一起.

（1）任取一件產(chǎn)品，計(jì)算它是次品的概率；

（2）現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為次品，府它是由甲、乙、丙三個(gè)廠中哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性最大？說明理由.

【答案】（1）0.06；（2）次品來自乙廣的概率最大，理由見解答.

解；（1）設(shè)4表示“任取一件產(chǎn)品為次品”，

則用、層、層分別表示“任取一件，產(chǎn)品為甲、乙、丙廠生產(chǎn)“，

由己知?但）=0.2,尸（鳥）=0.3,尸（4）=0.5,

尸（川與）=0.05,P（川與）=0.1,0（川外）=0.04,

.??任取一件產(chǎn)品，它是次品的概率為:

P(A)=P(BX)P{A15,)+P(B2)P(A\B2)+P(B.)P(A\B3)

=0.2x0.05+O.3xO,l+O,5x0.04=0.06.

P(R?八一夕(力:)尸(四)夕(川))0.2x0.05_

(2)(1-0.06~

-P(A)~P(4)6

,..__P(B)P(AIZ?)_03x0.1_1

廠P(Rdaj=------=----2--------2-=-------=-，

P(⑷P(A)0.062

P(AB)尸(8JP(川4)0.5x0.04

P(厚|力)=

f\A)~l\A)-0.063

?.次品來自乙廣的概率最大.

236

17.已知函數(shù)/(外=』/+2d+力一］(”/￡2在x=2處有極值.

3

(I)求f(x)的極值;

(2)若/(外在區(qū)間［-2,3］上有三個(gè)零點(diǎn)，求力的取值范圍.

【答案】(1令.

解：(1)/(X)的定義域?yàn)镽,/'(x)=F+4奴,

由條件知/(2)=4+8。=(),得a=—g,

所以/'(戈)=出-2)，

令/'(x)=0，得x=0或2,

/'(X)?/(X)隨X的變化情況如下表：

X(-a>,0)0(0,2)2(2,+8)

fM+0—0+

/(A)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以/(幻的極大值為/(())=1,極小值為/(2)=b--.

3

(2)由(I),/(x)在［-2,0)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,3］上單調(diào)遞增,

又八―2)=力—?23</(2)=力一74，/(3)=/,—1=/(())，

JJ

7

而f(x)在［-2,3］上有三個(gè)零點(diǎn)/(2)=6—：<0且/(0)=b-\>0,

解得lvb<2,

3

所以6的取值范圍(1彳).

18.(17分)已知f(x)=2alnx+-x2~(a+2)x(aeR).

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若任意的X],x?e(O,+8)(X]HX,)，__/區(qū))>3一a,求q的取值范圍.

【答案】(1)當(dāng)。?0時(shí)，/(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,y)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<”2時(shí)，/(x)在(0,a)上單調(diào)遞增,在(d2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)。=2時(shí)，/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)。>2時(shí)，/*)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,a)上單調(diào)遞減，在(a,+oo)上單調(diào)遞增；

25

(2)aG[—?+00).

8

解：(1)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),

f\x)=—+x-(a+2)=^X~Cl^X~2).

XX

若廠(x)=0,則(X-Q)(X-2)=0.

①若〃?0,當(dāng)x>2時(shí)，f\x)>0；當(dāng)0<x<2時(shí)，,rCv)<0,

所以/(》)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+00)上單調(diào)遞增：

②若0<“<2,當(dāng)x〉2或Ovxca時(shí)，，(x)>0；當(dāng)a<x<2時(shí)，/'(》)<0,

所以/(x)在(0,4)上單調(diào)遞增,在(。,2)上單調(diào)遞減,在(2,+8)上單調(diào)遞增;

③若。=2,f(x)=-^—^>0,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)，

x

此時(shí)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增：

④若a>2,當(dāng)或0<x<2時(shí)，f\x)>0；當(dāng)2cx時(shí)，f\x)<0,

所以/(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,a)上單調(diào)遞減,在(a,+8)上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)a?0時(shí).，/(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+oo)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0va<2時(shí),/(X)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,2)上單調(diào)遞減，在(2,+00)上單調(diào)遞增;

當(dāng)a=2時(shí)，/(x)在(0,+oo)