試卷第=page1616頁(yè)，共=sectionpages1616頁(yè)07一元二次方程的判別式及根與系數(shù)關(guān)系1．已知關(guān)于x的方程．(1)試說(shuō)明：無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根都為正整數(shù)，求k的值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)k=-1或-2【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，原方程為，解得：；當(dāng)時(shí)，方程是一元二次方程．∵，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；∴綜上所述，無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：即解得：方程的兩實(shí)數(shù)根都為正整數(shù)或的值為或2．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：不論m取何值，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，且，若，求m的值．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)m=5或m=-1【詳解】（1）解：∴．不論取何值，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）的兩個(gè)根分別為，且，∴，∵∴即∴解得：或3．設(shè)是一元二次方程的兩個(gè)根，求和的值．【答案】，【詳解】解：由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得．∴；．4．設(shè)是一元二次方程的兩個(gè)根．求：(1)．(2)．【答案】(1);(2)【詳解】（1）解：∵是一元二次方程的兩個(gè)根，∴，∴；（2）解：∵又∵，∴．5．已知關(guān)于x的方程的兩實(shí)數(shù)根，．(1)求k的取值范圍；(2)若此方程的兩實(shí)數(shù)根，滿足，求k的值．【答案】(1);(2)【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得：，∴k的取值范圍是；（2）解：∵方程的兩實(shí)數(shù)根，，∴，∵，∴，∴，解得：．6．關(guān)于x的一元二次方程．(1)當(dāng)時(shí)，利用根的判別式判斷方程根的情況；(2)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，寫(xiě)出一組滿足條件的m，n的值，并求此時(shí)方程的根．【答案】(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)時(shí)，【詳解】（1）解：由題意得：，∵，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，若，則原方程為，因式分解得：，∴．7．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)當(dāng)時(shí)，求該一元二次方程的根；(2)若該一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1);(2)且【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，原方程為，∴，即，解得：；（2）解：∵該一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴且，解得：且．8．已知關(guān)于的一元二次方程，其中，，為的三邊長(zhǎng)．(1)如果是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；(2)如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；(3)如果△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根．【答案】(1)△ABC是等腰三角形，理由見(jiàn)解析;(2)△ABC是直角三角形，理由見(jiàn)解析;(3)，【詳解】（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：將代入原方程，得，即．．是等腰三角形．（2）△ABC是直角三角形，理由如下：方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，．．∴△ABC是直角三角形．（3）∵△ABC是等邊三角形，，且，，都不等于零．原方程可化為．解得，．這個(gè)一元二次方程的根為，．9．已知關(guān)于的方程．(1)求證：無(wú)論為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若該方程的兩個(gè)根為，滿足，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)，【詳解】（1）方法一：證明：整理原方程，得．，∴無(wú)論為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；方法二：證明：解方程．解得：．，∴無(wú)論為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得．．解得：．10．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論k為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足，求k的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)或【詳解】（1）證明：由題意得，∴無(wú)論k為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：由題意得，又∵，∴，∴，∴，解得或．11．已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍．(2)若，求的值．【答案】(1);(2)【詳解】（1）解：由題意得：，，，∴，解得；（2）由題意得：，，∴，∴，，∵，∴，，整理得，解得（舍去），，．12．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)或【詳解】（1）證明：∵∴所以，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：由題意得∴∴解得或．13．已知：關(guān)于x的方程．(1)求證：無(wú)論取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)，另兩邊長(zhǎng)，恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)5【詳解】（1）∵在方程中，有：，∴無(wú)論k取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）根據(jù)，恰好是方程的兩個(gè)根，即可知方程有兩個(gè)相等的根，即有：，解得：，則原方程為，解得：，∴△ABC的周長(zhǎng)為：．14．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，且，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)【詳解】（1）解：在關(guān)于x的一元二次方程中，，，，，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，由根與系數(shù)關(guān)系可知，，，，∴，即，解得．15．已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)已知5是關(guān)于的方程的一個(gè)根，而這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰△ABC的兩條邊長(zhǎng)，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴不論k取何值，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：把代入方程得，解得；方程為，解得，，因?yàn)檫@個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)，，，5不能構(gòu)成三角形，所以這個(gè)等腰三角形三邊分別為、5、5，所以△ABC的周長(zhǎng)為．16．已知關(guān)于x的方程．(1)求證：無(wú)論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為整數(shù)，求m的值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)-1或1．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可知：，，無(wú)論m取何值，恒成立，無(wú)論m取何值，恒成立，無(wú)論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，均為整數(shù)，或，或，或，的值為或1．17．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，求方程的根．【答案】(1);(2)【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得＝．解得．（2）解：∵為正整數(shù)且，∴．∴方程可化為，解得．18．已知關(guān)于x的方程．(1)求證：不論k取何值，方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的一個(gè)根為，求k的值及方程另一個(gè)根．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)k的值為2，方程的另一個(gè)根為0．【詳解】（1）證明：，，，即，論k取何值，方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：將代入原方程可得：，解得：，關(guān)于x的方程為：，，方程另一個(gè)根為，答：k的值為2，方程的另一個(gè)根為0．19．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)若，求此方程的解；(2)若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．【答案】(1)，;(2)【詳解】（1）把代入得：，，∴，．（2）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴．20．關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩根分別為，且，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)【詳解】（1）因?yàn)橹?，，，，所以，∵，所以，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）∵方程的兩根分別為，∴，∵，∴，∴．21．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)試證明：無(wú)論k取何值，此方程總有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；(2)若其兩根x1，x2滿足，求k的值．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)或【詳解】（1）證明：無(wú)論k取何值，此方程總有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．（2）解：由得，，（解得，或．22．已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是(1)求的取值范圍；(2)若兩個(gè)根，滿足，求的值．【答案】(1);(2)【詳解】（1）解：∵關(guān)于的方程的有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得：．（2）∵關(guān)于的方程的有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∵，∴，∴，解得：，∵，∴．23．已知關(guān)于x的方程(1)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；(2)設(shè)方程的兩根分別為，（），若，求m的值．【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）根據(jù)題意可得，，∴；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，∴，解得，或，，∴，∴．24．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論m取何值時(shí)，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若，是原方程的兩根，且，求m的值．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)，【詳解】（1）證明：∵∴無(wú)論m取何值時(shí)，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵，∴，又∵∴，解得：，．25．已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．【答案】(1);(2)【詳解】（1）解：由題意可得：解得；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，由可得即，化簡(jiǎn)可得：解得，又∵∴26．閱讀材料：有些數(shù)學(xué)問(wèn)題雖然表面與一元二次方程無(wú)關(guān)，但是我們能夠通過(guò)構(gòu)造一元二次方程、并利用一元二次方程的有關(guān)知識(shí)將其解決．下面介紹兩種基本構(gòu)造閉法：方法1：利用根的定義構(gòu)造．例如，如果實(shí)數(shù)、滿足、，且，則可將、看作是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．方法2：利用韋達(dá)定理逆向構(gòu)造．例如，如果實(shí)數(shù)、滿足、，則可以將、看作是方程的兩實(shí)數(shù)根．根據(jù)上述材料解決下面問(wèn)題：(1)已知一元二次方程的兩根，，則______，______；(2)已知實(shí)數(shù)滿足，，求的值．(3)已知實(shí)數(shù)滿足、，且，求c的最大值．【答案】(1)；;(2)或;(3)【詳解】（1）解：一元二次方程的兩根，，，；（2）解：當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)、滿足，，、可看作方程的兩根，，，原式，當(dāng)，則原式；綜上所述，原式的值為或2；（3）解：，，將、看作是方程的兩實(shí)數(shù)根，△，，即，，，即，的最大值為1．27．在等腰三角形中，，，的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，b和c是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的周長(zhǎng)．【答案】7或【詳解】解：分兩種情況計(jì)算：（1）當(dāng)a為底邊時(shí)，b和c為腰，即，b和是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，解得或，當(dāng)時(shí)，原方程為，解得，不符合題意，舍去．當(dāng)時(shí)，原方程為，解得，符合題意．故△ABC的周長(zhǎng)是；（2）當(dāng)a為腰時(shí)，b和c一個(gè)為腰一個(gè)為底，令，b和是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，將代入，得，解得，則原方程為，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知，則，故△ABC的周長(zhǎng)是，綜上可知，△ABC的周長(zhǎng)是7或．28．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若方程的一個(gè)根為2，求出方程的另一個(gè)根．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)方程的另一個(gè)根1【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，方程總有實(shí)數(shù)根（2）把代入原方程，得，解得：把代入原方程，得，即，，或，∴，，∴方程的另一個(gè)根是．29．已知關(guān)于的一元二次方程（為實(shí)數(shù)）．(1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，且，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)或．【詳解】（1）證明：，所以方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，又，解得：，∵，∴整理得，解得，，的值為或．30．已知關(guān)于x的一元二次方程①有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)從因式分解法可知，方程①也可轉(zhuǎn)化為②．把方程②的左邊展開(kāi)化成一