第23章圖形的相似（章節(jié)復(fù)習(xí)）（重點(diǎn)練）一、單選題1．某地圖上面積表示實(shí)際面積，則該地圖的比例尺是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先設(shè)該地圖的比例尺是1:x,根據(jù)面積比是比例尺的平方比,列出方程,求得x的值即可.【詳解】解:設(shè)該地圖的比例尺是1:x,根據(jù)題意得:則1:=1:9000000,解得=3000,=-3000(舍去).則該地圖的比例尺是1:3000;所以B選項(xiàng)是正確的.【點(diǎn)睛】此題考查了比例線段,用到的知識(shí)點(diǎn)是比例尺,關(guān)鍵是根據(jù)面積比是比例尺的平方比,列出方程.2．把米的線段進(jìn)行黃金分割，則分成的較短的線段長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割的定義列式進(jìn)行計(jì)算即可得解.【詳解】解:較短的線段長=2(1-)=2-+1=3-.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的概念,熟記黃金分割的比值()是解題的關(guān)鍵.3．如圖，在中，點(diǎn)、分別是、上的點(diǎn)，，，若，則A． B． C． D．【答案】D【分析】首先證明△ADE~△ABC,進(jìn)而證明=;可得::=4:6:15,由,可得的值.【詳解】解：=，:=2:3,=,=,DE∥BC,△ADE~△ABC,=,::=4:6:15,;=4，=25.故選D.【點(diǎn)睛】該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題;解題的關(guān)鍵是牢固掌握相似三角形的判定及其性質(zhì),這是靈活運(yùn)用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.4．如圖，將矩形ABCD沿GH對(duì)折，點(diǎn)C落在Q處，點(diǎn)D落在AB邊上的E處，EQ與BC相交于點(diǎn)F，若AB=6,AD=8，AE=4，則△EBF周長的大小為()A．8 B．10 C．12 D．6【答案】A【分析】根據(jù)折疊之后對(duì)應(yīng)邊相等，找出等量關(guān)系，再根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比進(jìn)而求出三角形EBF的周長．【詳解】解:設(shè)AH=a,則DH=AD-AH=8-a,在Rt△AEH中,∠EAH=90,AE=4,AH=a,EH=DH=8-a,EH=AE+AH,即(8-a)=4+a,解得:a=3.∠BFE+∠BEF=90,∠BEF+∠AEH=90,∠BFE=∠AEH.又∠EAH=∠FBE=90,△EBF~△HAE,===,=AE+EH+AH=AE+AD=12==8,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理與折疊及相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性大，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確形.5．如圖，一天晚上，小穎由路燈A下的B處走到C處時(shí)，測(cè)得影子CD的長為1米，當(dāng)她繼續(xù)往前走到D處時(shí)，測(cè)得此時(shí)影子DE的一端E到路燈A的仰角為45o，已知小穎的身高為1.5米，那么路燈A的高度AB為（）A．3米 B．4.5米 C．6米 D．8米【答案】B【分析】如圖，由已知可得∠DPE=∠E=45，AB=BE，設(shè)AB=x米,BD=(x-1.5)米，可得△ABD~△FCD,則，代入各數(shù)據(jù)可得答案.【詳解】解：如圖所示,設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別為F、P,根據(jù)題意得FC=DP=DE=1.5米,故∠DPE=∠E,在Rt△PDE中,∠DPE=∠E=45,又知DP//BA,故∠BAE=∠DPE=∠E,則AB=BE.設(shè)AB=x米,BD=(x-1.5)米.因?yàn)镕C//AB,即∠DFC=∠DAB,∠FDC=∠ADB,所以△ABD~△FCD,則即：，移項(xiàng)并合并系數(shù)化為1,解得：x=4.5,即AB=4.5米，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì).6．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC延長線上一點(diǎn)，AE交CD于點(diǎn)F，且CE=BC，則=（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)先證△ADF∽△ECF，△ECF∽△EBA，即可得出△ADF∽△EBA，然后利用相似三角形的面積的比等于相似比的平方可以得到答案．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BE，CD∥AB，AD=BC，∴△ADF∽△ECF，△ECF∽△EBA，∴△ADF∽△EBA，∵CE=BC，∴BE=CE+BC=CE+AD=3CE，∴，∴.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì).利用平行證明兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵.7．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，EC交對(duì)角線于點(diǎn)F，若S△DEC=9，則S△BCF=（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】由已知條件求出△DEF的面積，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC和△DEF∽△BCF，根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方即可得到答案．【詳解】∵E是邊AD的中點(diǎn)，∴DEADBC，∴，∴△DEF的面積S△DEC＝3?！咚倪呅蜛BCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△DEF∽△BCF，∴（）2=，∴S△BCF＝12．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)；掌握三角形相似的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，注意：相似三角形的面積比是相似比的平方．8．如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，動(dòng)點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)止，動(dòng)點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)止.點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/秒，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2cm秒.如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△

ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是(

)A．3或2.8 B．3或4.8 C．1或4 D．1或6【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，由題意可知有兩種相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3秒或4.8秒．【詳解】根據(jù)題意得：設(shè)當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是x秒，①若△ADE∽△ABC，則AD：AB＝AE：AC，即x：6＝（12﹣2x）：12，解得：x＝3；②若△ADE∽△ACB，則AD：AC＝AE：AB，即x：12＝（12﹣2x）：6，解得：x＝4.8．所以當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3秒或4.8秒．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題時(shí)要注意此題有兩種情況，不要漏解；還要注意運(yùn)用方程思想解題．9．如圖，?ABCD，BE：AE＝4：1．若△AEF的面積為2cm2，則△ADF的面積為（）cm2A．8 B．10 C．18 D．32【答案】B【分析】證明△DFC∽△EFA，得，根據(jù)已知得，所以5，由同高三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)底邊的比，可得結(jié)論．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，AB＝CD，∴△DFC∽△EFA，∴．∵BE：AE＝4：1，∴，∴5，∴5．∵△AEF的面積為2cm2，∴△ADF的面積為10cm2．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若CA′＝AA'，則折痕DE的長為()A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】△ABC沿DE折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,可得∠DEA=∠DEA′=90°,AE=A′E,所以,△ACB∽△AED,A′為CE的中點(diǎn),所以,可運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求得.【詳解】解：∵△ABC沿DE折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,∴∠DEA=∠DEA′=90°,AE=A′E,∴DE∥BC,

∴△ACB∽△AED,∵CA′=AA',AE=A′E,∴AE=AC,∵△ACB∽△AED,∴,即,∴DE=2,故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換和相似三角形的判定與性質(zhì),熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．11．（2020·河北九年級(jí)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上的一點(diǎn)，且BF＝3CF，連接AE、AF、EF，下列結(jié)論：①△ADE∽△ECF，②∠DAE＝∠EAF，③AE2＝AD?AF，④S△AEF＝5S△ECF，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】設(shè)正方形的邊長為4a，根據(jù)題意用a表示出FC，BF，CE，DE，根據(jù)相似三角形的判定定理，勾股定理，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)定理判斷即可．【詳解】設(shè)正方形的邊長為4a，則FC＝a，BF＝3a，CE＝DE＝2a，∴＝2，＝2，∴，又∠D＝∠C，∴△ADE∽△ECF，①正確；由勾股定理得，EF＝，AE＝，AF=，tan∠DAE＝，tan∠EAF＝，∴∠DAE＝∠EAF，②正確；AE2＝(2a)2＝20a2，AD?AF＝4a?5a＝20a2，∴AE2＝AD?AF，③正確；∵AE2＝AD?AF，∴，又∠DAE＝∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴△ECF∽△AEF，∴＝5，∴S△AEF＝5S△ECF，⑤正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．12．如圖，矩形ABCD中，折疊矩形一邊AD,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知折痕AE=,且CE:CF=3:4,則矩形ABCD的周長為（

）A．36cm B．3 C．72cm D．7【答案】C【分析】由CE：CF=3：4．在Rt△EFC中可設(shè)CF=4k，EF=DE=5k，根據(jù)∠BAF=∠EFC，利用相似三角形的性質(zhì)求出AF，然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出k，繼而代入可得出答案．【詳解】設(shè)CE=3k，則CF=4k，由勾股定理得：EF=DE=5k，∴DC=AB=8k．∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，∴∠BAF=∠EFC．∵∠B=∠C=90°，∴△ABF∽△FCE，∴AB：BF=FC：CE=4：3，∴BF=6k，AF=BC=AD=10k．在Rt△AFE中由勾股定理得：，解得：k=2，則矩形ABCD的周長=2（AB+BC）=2（8k+10k）=72（cm）．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，解答本題關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，表示出每條線段的長度，然后利用勾股定理進(jìn)行解答，有一定難度．13．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC邊在x軸正半軸上，中線BD的反向延長線交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)E．雙曲線y＝一條分支經(jīng)過點(diǎn)A，若S△BEC＝4，則k等于()A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】先根據(jù)題意證明△BOE∽△CBA，根據(jù)相似比及面積公式得出BO×AB的值即為|k|的值，再由函數(shù)所在的象限確定k的值．【詳解】∵BD為Rt△ABC的斜邊AC上的中線，∴BD＝DC，∠DBC＝∠ACB，又∠DBC＝∠EBO，∴∠EBO＝∠ACB，又∠BOE＝∠CBA＝90°，∴△BOE∽△CBA，∴＝，即BC×OE＝BO×AB．又∵S△BEC＝4，即BC×OE＝8＝BO×AB＝|k|．又由于反比例函數(shù)圖象在第一象限，k＞0．所以k等于8．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)

y＝中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S=|k|．14．（2020·四川）如圖，過點(diǎn)作y軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線l的垂線，交y軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)，…，這樣依次下去，得到，，，…，其面積分別記為，，，…，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題需先求出OA1和OA2的長，再根據(jù)題意得出OAn=2n，把縱坐標(biāo)代入解析式求得橫坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求得S100．【詳解】∵點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴，∵點(diǎn)在直線上，∴，，∴，∴，∴，得出，∴，∴，，∵，∵，∴，∴，∴故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了如何根據(jù)一次函數(shù)的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)求線段的長度，以及如何根據(jù)線段的長度求出點(diǎn)的坐標(biāo)，解題時(shí)要注意相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用．二、填空題15．（2020·安徽臨泉·九年級(jí)期末）如圖，在中，點(diǎn)在上，請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使與相似，那么要添加的條件是__________．(只填一個(gè)即可)【答案】或【分析】已知與的公共角相等，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似再添加一組對(duì)應(yīng)角相等即可.【詳解】解：（公共角）（或）（兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.16．如圖，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，，，點(diǎn)、分別是和的重心，則點(diǎn)、間的距離為_．【答案】2【分析】取BD的中點(diǎn)G，連接AG，CG，AC，根據(jù)點(diǎn)、分別是和的重心，得到在AG上，在CG上，求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)已知條件得到是等邊三角形，求得，于是得到結(jié)論．【詳解】解：取BD的中點(diǎn)G，連接AG，CG，AC，點(diǎn)、分別是和的重心，在AG上，在CG上，，，∽，，，，是等邊三角形，，，故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．17．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E是重心，點(diǎn)D在斜邊AB上，CD過點(diǎn)E，作EF∥AB交CB于點(diǎn)F，若EF＝6，則AB的長為_____．【答案】18【分析】依據(jù)重心的性質(zhì)即可得出CE＝2DE，再根據(jù)△CEF∽△CDB，即可得到BD＝9，依據(jù)Rt△ABC中，CD是中線，可得AB＝2BD＝18【詳解】∵點(diǎn)E是重心，∴CE＝2DE，∴＝，又∵EF∥AB，∴△CEF∽△CDB，∴＝，即＝，∴BD＝9，又∵Rt△ABC中，CD是中線，∴AB＝2BD＝18，故答案為18【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的重心及相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，E為線段AB的中點(diǎn)，D點(diǎn)是射線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿線段DE翻折，得到△A′DE，當(dāng)A′D⊥AB時(shí)，則線段AD的長為_____．【答案】或．【分析】①延長A'D交AB于H，則A'H⊥AB，然后根據(jù)勾股定理算出AB，推斷出△ADH∽△ABC，即可解答此題②同①的解題思路一樣【詳解】解：分兩種情況：①如圖1所示：設(shè)AD＝x，延長A'D交AB于H，則A'H⊥AB，∴∠AHD＝∠C＝90°，由勾股定理得：AB＝＝13，∵∠A＝∠A，∴△ADH∽△ABC，∴，即，解得：DH＝x，AH＝x，∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝AB＝，∴HE＝AE﹣AH＝﹣x，由折疊的性質(zhì)得：A'D＝AD＝x，A'E＝AE＝，∴sin∠A＝sin∠A'＝,解得：x＝；②如圖2所示：設(shè)AD＝A'D＝x，∵A'D⊥AB，∴∠A'HE＝90°，同①得：A'E＝AE＝，DH＝x，∴A'H＝A'D﹣DH＝x﹣＝x，∴cos∠A＝cos∠A'＝，解得：x＝；綜上所述，AD的長為或．故答案為或．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，三角形相似，關(guān)鍵在于做輔助線19．（2020·浙江湖州·）如圖，將放在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C均落在格點(diǎn)上.（I）計(jì)算的值等于____________；（Ⅱ）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出一個(gè)以AB為一邊、面積等于的矩形，并簡要說明畫圖方法（不要求證明）_____________.【答案】13取格點(diǎn)D，E，連接AD，BE：取格點(diǎn)F，G，連接FG，交AD于點(diǎn)H，交BE于點(diǎn)l，則四邊形AHIB即為所求.【分析】(1)由格點(diǎn)的長度及勾股定理求出AC,BC長度即可求解;(2)取格點(diǎn)D，E，連接AD，BE：取格點(diǎn)F，G，連接FG，交AD于點(diǎn)H，交BE于點(diǎn)l，則四邊形AHIB即為所求.【詳解】(1)由圖可知，∴.(2)首先作垂直于AB的兩條邊，取格點(diǎn)D，E，連接AD，BE，因?yàn)锳B=,則矩形的另一邊長為，構(gòu)造與△BPE相似的△EIG，且其中BI=，由對(duì)應(yīng)邊成比例可求出EG=1，所以可找到格點(diǎn)G，并過G作平行于AB的線段FG即可,連接FG，交AD于點(diǎn)H，交BE于點(diǎn)l，則四邊形AHIB即為所求.【點(diǎn)睛】本題考查作圖題，主要是根據(jù)相似求出邊之間的關(guān)系，找到對(duì)應(yīng)的重要格點(diǎn)，最垂直平行是常見的方法.20．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（Ⅰ）AC的長是_____________；（Ⅱ）將四邊形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)4重合，折痕EF交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q，得五邊形.請(qǐng)用無刻度的直尺在網(wǎng)格中畫出折疊后的五邊形，并簡要說明點(diǎn)的位置是如何找到的____________________.【答案】如圖所示，取格點(diǎn)連接HO并延長分別交AD，BC于點(diǎn)F，E，連接BN，DM相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)E，F(xiàn)，為所求.【分析】（Ⅰ）根據(jù)勾股定理計(jì)算可得AC的長；（Ⅱ）如圖所示，取格點(diǎn)連接HO并延長分別交AD，BC于點(diǎn)F，E，連接BN，DM相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)E，F(xiàn)，為所求.【詳解】解：（Ⅰ）在Rt中，由勾股定理得：AC==，（Ⅱ）如圖所示根據(jù)折疊的性質(zhì)折痕EF垂直平分AC，取AC的中點(diǎn)格點(diǎn)O，根據(jù)AC是直角邊長分別為2，4的直角三角形的斜邊，要找過O與AC垂直的直線需找過點(diǎn)O且直角邊長分別為2，4的直角三角形的斜邊，取格點(diǎn)H,連接HO并延長分別交AD，BC于點(diǎn)F，E，則點(diǎn)E，F(xiàn)，為所求.根據(jù)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q，可知點(diǎn)D和點(diǎn)Q得關(guān)于OH對(duì)稱，則OH垂直平分DQ，需QD//AC，QF=DF，取格點(diǎn)M使AM=2=CD，連接DM可得DM//AC；根據(jù)，可得DF=1.5，則PF=1.5，QF=1.5，則需PQ⊥DQ，所以取點(diǎn)N連接BN即可【點(diǎn)睛】本題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，相似三角形的性質(zhì)與判定以及勾股定理的運(yùn)用，解題時(shí)首先要理解題意，弄清問題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．21．（2020·甘肅臨洮·九年級(jí)）如圖，已知：△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB＝6，AE＝2，則EC＝_______.【答案】4【分析】△ABC中，DE∥BC，應(yīng)用平行線分線段成比例的性質(zhì)，可解答．【詳解】∵△ABC中，DE∥BC，∴，∵AD=3，DB=6，AE=2，∴，∴EC=4．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段分線段成比例定理的理解及運(yùn)用；找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，避免錯(cuò)選其他答案．22．在△ABC中，AB＝AC，CD是AB邊上的中線，點(diǎn)E在邊AC上（不與A，C重合），且BE＝CD．設(shè)＝k，若符合條件的點(diǎn)E有兩個(gè)，則k的取值范圍是_____．【答案】且【分析】符合條件的點(diǎn)E有兩個(gè)E、E1，則AC邊上的高垂直平分EE1，由等腰三角形的性質(zhì)得出BE是中線，AE=CE，求出當(dāng)CD⊥AB時(shí)，BE⊥AC，滿足條件的點(diǎn)E有一個(gè)，此時(shí)△ABC是等邊三角形，AB=BC，=1；求出當(dāng)滿足條件的一個(gè)點(diǎn)E1與點(diǎn)A重合時(shí)，=；當(dāng)滿足條件的一個(gè)點(diǎn)E1與點(diǎn)C重合時(shí)，BE=BC，證明△BCE∽△ABC，得出=，求出AB=BC，得出=,即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)=k，若符合條件的點(diǎn)E有兩個(gè)E、E1，則AC邊上的高垂直平分EE1，∵AB=AC，CD是AB邊上的中線，BE=CD，∴BE是中線，AE=CE，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，BE⊥AC，滿足條件的點(diǎn)E有一個(gè)，此時(shí)△ABC是等邊三角形，AB=BC，=1；當(dāng)滿足條件的一個(gè)點(diǎn)E1與點(diǎn)A重合時(shí)，BE=AB，作BG⊥AC于G，如下圖所示：則AG=EG=AE=AC=AB，由勾股定理得：BG2=AB2-AG2，BC2=BG2+CG2=AB2-AG2+CG2=AB2-（AB）2+（AB）2=AB2，∴BC=AB，∴=；當(dāng)滿足條件的一個(gè)點(diǎn)E1與點(diǎn)C重合時(shí)，BE=BC，如下圖所示：∴∠BCE=∠BEC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠BCE=∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴△BCE∽△ABC，∴=，∴BC2=AB×CE=AB2，∴AB=BC，∴=；綜上所述，設(shè)=k，若符合條件的點(diǎn)E有兩個(gè)，則k的取值范圍是：＜k＜，且k≠1；故答案為＜k＜，且k≠1．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的中線；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．23．如圖,正方形ABCD的邊長為2,點(diǎn)E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn),連接CE并將其繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CF,連接DF,以CE、CF為鄰邊作矩形CFGE,GE與AD、AC分別交于點(diǎn)H、M,GF交CD的延長線于點(diǎn)N.現(xiàn)有以下結(jié)論:①△DCF≌△BCE;②BE·AH=AE·DN;③若MN∥EF,則AE=4-;④當(dāng)AE=1時(shí),DH取得最小值.其中正確的結(jié)論是__.(填寫所有正確結(jié)論的序號(hào))

【答案】①②④【分析】①先判斷出∠BCE=∠DCF，即可用SAS得出結(jié)論；②只要證明∠HEA=∠DFN，從而證得△DFN∽△AEH即可.③只要證明△CFN≌△CEM，推出∠FCN=∠ECM，由∠MCN=45°，可得∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°，在BC上取一點(diǎn)P，使得PC=PE，則△BPE是等腰直角三角形，設(shè)BE=BP=a，則PC=PE=，可得，求出a即可解決問題；④設(shè)AE=x,DH=y,則AH=2-y,BE=2-x,證得△ECB∽△HEA,得=,有=,整理得y=x2-x+2=(x-1)2+,即可求出y的最小值【詳解】∵四邊形ABCD是正方形,∴CD=CB,∠BCD=∠B=∠ADC=90°,由旋轉(zhuǎn)知:CE=CF,∠ECF=90°,∴∠ECF=∠DCB,∴∠DCF=∠BCE.在△DCF和△BCE中,∴△DCF≌△BCE(SAS),故結(jié)論①正確;∵△DCF≌△BCE,∴BE=DF,∠CDF=∠B=90°.∴A,D,F三點(diǎn)在同一直線上.∵四邊形ABCD是正方形,∴∠FDN=∠EAH=90°,∵四邊形CFGE是矩形,∴∠DFN+∠FHG=90°,∵∠EHA+∠HEA=90°,∠EHA=∠FHG,∴∠HEA=∠DFN,∴△DFN∽△AEH,∴=,∴DF·AH=AE·DN,∵BE=DF,∴BE·AH=AE·DN,故結(jié)論②正確;∵四邊形CFGE是矩形,CF=CE,∴四邊形CFGE是正方形,∴GF=GE,∠GFE=∠GEF=45°,∵NM∥EF,∴∠GNM=∠GFE,∠GMN=∠GEF,∴∠GMN=∠GNM,∴GN=GM,∴FN=EM.在△CEM和△CFN中,∴△CFN≌△CEM(SAS),∴∠FCN=∠ECM.∵∠MCN=45°,∴∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°,如圖所示,在BC上取一點(diǎn)P,使得PC=PE,則△PBE是等腰直角三角形,設(shè)PB=BE=a,∴a+a=2,∴a=2-2,∴AE=AB-BE=4-2,故結(jié)論③錯(cuò)誤;設(shè)AE=x,DH=y,則AH=2-y,BE=2-x,∵四邊形CFGE是矩形,∴∠CEG=90°,∴∠CEB+∠AEH=90°,∵∠CEB+∠ECB=90°,∴∠ECB=∠AEH,∵∠B=∠EAH=90°,∴△ECB∽△HEA,∴=,∴=,∴y=x2-x+2(0<x<2).∵y=x2-x+2=(x-1)2+,∴當(dāng)AE=x=1時(shí),DH=y取得最小值,最小值為,故結(jié)論④正確.【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．24．如圖，在正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與B，C重合），CN⊥DM，CN與AB交于點(diǎn)N，連接OM，ON，MN．下列四個(gè)結(jié)論：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN≌△OAD；④AN2+CM2＝MN2；其中正確的結(jié)論是_____．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②④【分析】①易證△CNB≌△DMC（ASA），①正確;②由△CNB≌△DMC得CM＝BN，證得△CON≌△DOM（SAS），②正確;③證得△MON是等腰直角三角形，可得△OMN∽△OAD，③不正確;④由勾股定理得在Rt△BMN中，BM2+BN2＝MN2，由AB＝BC，CM＝BN，推出BM＝AN，可得AN2+CM2＝MN2，④正確【詳解】∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，∴∠BCN+∠DCN＝90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN＝90°，∴∠BCN＝∠CDM，在△CNB和△DMC中，，∴△CNB≌△DMC（ASA），①正確；∴CM＝BN，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB＝OD，在△OCM和△OBN中，，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM＝ON，∠COM＝∠BON，∴∠DOC+∠COM＝∠COB+∠BPN，即∠DOM＝∠CON，在△CON和△DOM中，，∴△CON≌△DOM（SAS），②正確；∵∠BON+∠BOM＝∠COM+∠BOM＝90°，∴∠MON＝90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，③不正確；∵AB＝BC，CM＝BN，∴BM＝AN，,④正確；故答案為①②④．【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形的綜合題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)注意掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.25．（2020·全國九年級(jí)期末）如圖，已知中，，，，、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，，與關(guān)于直線對(duì)稱，若是直角三角形，則的長為___．【答案】或【分析】分三種情況：①當(dāng)∠PAD＝90，由平行四邊形的性質(zhì)得出CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，AD∥BC，證明△ABP∽△CBA，得出，求出BP＝，由軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得出結(jié)果；②∠APD＝90，當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，得出該情況不成立；③當(dāng)點(diǎn)P與C不重合時(shí)，∠APD＝90，作AG⊥BC于G，則EF與AG重合，根據(jù)三角形面積及勾股定理求出BF＝．【詳解】分三種情況：①當(dāng)∠PAD＝90，如圖1所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，AD∥BC，∴∠APB＝∠PAD＝90°，∵AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90，∴AC＝＝4，∵∠B＝∠B，∴△ABP∽△CBA，∴，即，解得：BP＝，∵EF⊥BC，△BEF與△PEF關(guān)于直線EF對(duì)稱，∴BF＝PF＝BP＝；②當(dāng)∠APD＝90時(shí)，點(diǎn)P與C重合時(shí)，如圖2所示：∵AB∥CD，∴∠APD＝∠ACD＝∠BAC＝90，∵E在AB上，E和A重合，而AB≠AC，則△BEF與△PEF關(guān)于直線EF不對(duì)稱，∴該情況不存在；③當(dāng)點(diǎn)P與C不重合時(shí)，∠APD＝90，如圖3所示：作AG⊥BC于G，則EF與AG重合，∵AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90，∴AC＝＝4，∴AF=∴BF＝=；綜上所述，若△APD是直角三角形，則BF的長為或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．26．（2020·陜西九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)F在邊AC上，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處．若，則點(diǎn)P到AB距離的最小值為________．【答案】【詳解】如解圖，延長交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離最小(點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上)．，，，∴，，，，，，，，，∴點(diǎn)到邊距離的最小值是．三、解答題27．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°．（1）尺規(guī)作圖：在BC上求作E點(diǎn)，使得△ABE與△ABC相似；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，AC＝3，AB＝4，求△AEC的周長．【答案】（1）見解析；（2）△AEC的周長＝【分析】（1）過點(diǎn)A作BC的垂線即可；（2）在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理可求出BC長，由（1）知，△ABE與△ABC相似，相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例，由此，可求出AE,CE長，即知△AEC的周長.【詳解】解：（1）如圖所示，點(diǎn)E即為所求；（2）由（1）可得，△ABE∽△CBA，∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5，∴AE＝，CE＝，∴△AEC的周長＝3++＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，確定相似三角形成比例的線段是解題的關(guān)鍵.28．在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，.動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿，沿折線，均以每秒1個(gè)單位長度的速度移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間記為秒，連接.（Ⅰ）如圖1，當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，求此時(shí)的值及點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）在移動(dòng)過程中，將沿直線翻折，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.①如圖2，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處時(shí)，求此時(shí)的值；②當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）.【答案】（Ⅰ）,點(diǎn)坐標(biāo)為;（Ⅱ）①;②點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，以求得AB的長，由于N是AB的中點(diǎn)，可得AN的長度，從而求出t，即可求M點(diǎn)胡坐標(biāo);(2)①由翻著的性質(zhì)可得四邊形為菱形，則有軸，可得到，即，從而求出t.②根據(jù)相似可以求出N()，設(shè)E(x,y),根據(jù)勾股定理列出方程組:EM=6,EN=5,解得即可求出點(diǎn)E.【詳解】（Ⅰ）∵，，∴，，∴.當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，由題意可得，∴.∵，∴點(diǎn)坐標(biāo)為.（Ⅱ）①由題意可得，∵沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，∴，∴四邊形為菱形，∴，軸，∴，∴，，解得.（Ⅱ）②過N做X軸的垂線，垂足為Q，由△CNQ∽△BCO，又∵BN=1,AC=6,BC=5,∴,∴N()，設(shè)E(x,y),且CE=6,EN=5,則解得：點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】此題是幾何中的點(diǎn)及翻著問題，并涉及到了菱形的判定及性質(zhì)，相似三角形的知識(shí)的靈活應(yīng)用，有一定的綜合性.29．如圖所示，AD，BE是鈍角△ABC的邊BC，AC上的高，求證：．【分析】根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似證明△ADC∽△BEC即可．【詳解】證明：∵AD，BE分別是BC，AC上的高∴∠D=∠E=90°又∠ACD=∠BCE（對(duì)頂角相等）∴△ADC∽△BEC∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握形似三角形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．①有兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相；②有兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個(gè)三角形相似；③三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，則兩個(gè)三角形相似．30．（2020·山東東平·九年級(jí)期末）如圖，四邊形中，，平分，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，且.（1）證明：；（2）若與相交于點(diǎn)，，求的長.【答案】（1）詳見解析；（2）【分析】（1）直接利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合互余的定義得出∠BDC=∠PDC；（2）首先過點(diǎn)C作CM⊥PD于點(diǎn)M，進(jìn)而得出△CPM∽△APD，求出EC的長即可得出答案．【詳解】解：（1）：∵，平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，∵，∴，∵，∴，解得：，∴.【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確得出△CPM∽△APD是解題關(guān)鍵．31．（2020·上海上外附中）已知直角三角形斜邊上的高為，且斜邊上的高把斜邊分成兩段，則斜邊上的中線長是__________【答案】【分析】設(shè)兩段分別為CD=3x，AD=4x，根據(jù)列出方程，求得x然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】由題意得下圖：∵，∴又∵∴∴設(shè)兩段分別為CD=3x，AD=4x∴，解得或（舍去）∴∴斜邊中線的長為故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程方程的實(shí)際應(yīng)用，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是要舍去一元二次方程的不合理的根．32．已知：在正方形ABCD中，AB＝3，E是邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），連接AE，點(diǎn)H是BC延長線上一點(diǎn)．過點(diǎn)B作BF⊥AE，交AE于點(diǎn)G，交DC于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝BF；（2）過點(diǎn)E作EM⊥AE，交∠DCH的平分線于點(diǎn)M，連接FM，判斷四邊形BFME的形狀，并說明理由；（3）在（2）的條件下，∠EMC的正弦值為，求四邊形AGFD的面積．【答案】（1）見解析；（2）四邊形BFME是平行四邊形，見解析；（3）S四邊形ADFG＝.【分析】（1）結(jié)合正方形的性質(zhì)證△ABE≌△BCF即可；（2）要證四邊形BFME是平行四邊形，由（1）知△ABE≌△BCF（ASA）且AE＝BF，若能證AE=EM，則BF=EM，只需再證BF∥EM即可，因此為證AE=EM，可構(gòu)造以AE為邊的三角形使其與△ECM全等，可在AB上截取BN＝BE，構(gòu)造三角形AEN，進(jìn)行證明即可;（3）如圖2，連接BD，過點(diǎn)F作FN⊥BD于點(diǎn)N，由正方形、平行線及角平分線的性質(zhì)可知∠EMC＝∠DBF，所以sin∠EMC＝sin∠DBF＝＝，設(shè)NF＝a，BF＝10a，由正方形的性質(zhì)，可知BD,ND長，BN=BD-ND,在直角三角形BNF中BF2﹣NF2＝BN2，據(jù)此求出a的值，即知NF，BF長，同樣，DF,FC，BE,EC的長也能求出，再由△BGE∽△BCF求出BG，GE長，此時(shí)，可求出四邊形ADEC，ECFG的面積，作差即得四邊形AGFD的面積.【詳解】解：證明：（1）∵在正方形ABCD中，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，∵∠BAE+∠ABF＝90°，∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，且∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（ASA）∴AE＝BF，（2）四邊形BFME是平行四邊形理由如下：如圖1：在AB上截取BN＝BE，∵△ABE≌△BCF∴∠BAE＝∠FBC∵AB＝BC，BN＝BE，∴AN＝EC，∠BNE＝45°∴∠ANE＝135°∵CM平分∠DCH∴∠DCM＝∠MCH＝45°∴∠ECM＝135°＝∠ANE∵AE⊥EM∴∠AEB+∠MEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°∴∠BAE＝∠MEC，且AN＝EC，∠ANE＝∠DCM∴△ANE≌△ECM（SAS）∴AE＝EM，∠BAE＝∠MEC∴∠BAE＝∠FBC＝∠MEC∴BF∥EM，且BF＝AE＝EM∴四邊形BFME是平行四邊形（3）如圖2，連接BD，過點(diǎn)F作FN⊥BD于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝3，∠DBC＝∠BDC＝45°，∴BD＝3，∠DBF+∠FBC＝45°∵∠MCH＝∠MEC+∠EMC＝45°，∠FBC＝∠MEC∴∠EMC＝∠DBF∴sin∠EMC＝sin∠DBF＝＝∴設(shè)NF＝a，BF＝10a，∵∠BDC＝45°，F(xiàn)N⊥BD∴DN＝NF＝a，DF＝NF＝2a∴BN＝3﹣a∵BF2﹣NF2＝BN2，∴98a2＝（3﹣a）2，∴a＝∴DF＝2×＝∴FC＝∵△ABE≌△BCF∴BE＝CF＝，∴EC＝，BF＝＝∵∠FBC＝∠FBC，∠BGE＝∠BCF∴△BGE∽△BCF∴∴∴BG＝，GE＝∴S四邊形ADFG＝S四邊形ADEC﹣S四邊形ECFG，∴S四邊形ADFG＝【點(diǎn)睛】本題是正方形、三角形、平行四邊形的綜合題，難度較高，主要涉及的知識(shí)點(diǎn)有正方形的性質(zhì)、全等三角形的證明、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、平行四邊形的性質(zhì)與判定，輔助線的添加是本題的突破點(diǎn)，理清題中邊與角的關(guān)系，熟練應(yīng)用正