對(duì)稱圖形一一圓（27知識(shí)點(diǎn)回顧+40題型練習(xí)）

?題型匯聚

題型一圓的基本概念辨析題型二十一判斷三角形外接圓的圓心位置

題型二求圓中弦的條數(shù)題型二十二圓周角定理

題型三求過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦題型二十三同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等

題型四圓的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題題型二十四半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角

題型五判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系題型二十五90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑

題型六利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑題型二十六已知圓內(nèi)接四邊形求角度

題型七已知半徑和圓上兩點(diǎn)作圓題型二十七求四邊形外接圓的直徑

題型八利用垂徑定理求值題型二十八判斷直線和圓的位置關(guān)系

題型九利用垂徑定理求解其他問(wèn)題題型二十九已知直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值

題型十垂徑定理的推論題型三十已知直線和圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離

題型十一垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用題型三十一有關(guān)切線的概念辨析

題型十二利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解題型三十二判斷或補(bǔ)全使直線為切線的條件

題型十三利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證題型三十三正多邊形和圓的綜合

題型十四判斷確定圓的條件題型三十四求正多邊形的中心角

題型十五確定圓心（尺規(guī)作圖）題型三十五已知正多邊形的中心角求邊數(shù)

題型十六畫(huà)圓（尺規(guī)作圖）題型三十六求弧長(zhǎng)

題型十七三角形外接圓的概念辨析題型三十七求扇形半徑

題型十八求三角形外心坐標(biāo)題型三十八求圓心角

題型十九求特殊三角形外接圓的半徑題型三十九求圓錐側(cè)面積

題型二十已知外心的位置判斷三角形的形狀題型四十求圓錐的高

知識(shí)點(diǎn)1.圓的定義

(1)動(dòng)態(tài)：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做

圓，固定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段0A叫做半徑.以點(diǎn)0為圓心的圓，記作，讀作“圓0”.

要點(diǎn)詮釋：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.

(2)靜態(tài)：圓心為0,半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)。的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合.

要點(diǎn)詮釋：

①定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑；

②圓指的是圓周，而不是圓面；

③強(qiáng)調(diào)“在一個(gè)平面內(nèi)”是非常必要的，事實(shí)上，在空間中，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球面，一個(gè)閉

合的曲面.

知識(shí)點(diǎn)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(1)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)。。的半徑為r,點(diǎn)尸到圓心的距離。尸=%則有：

①點(diǎn)P在圓外

②點(diǎn)P在圓上Qd=r

①點(diǎn)P在圓內(nèi)

(2)點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位

置關(guān)系.

(3)符號(hào)“Q”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端.

知識(shí)點(diǎn)3.弦

弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.

直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑.

弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.

要點(diǎn)詮釋：

直徑是圓中通過(guò)圓心的特殊弦，也是圓中最長(zhǎng)的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.

為什么直徑是圓中最長(zhǎng)的弦？如圖，AB是。。的直徑，CD是。。中任意一條弦，求證：ABNCD.

?.?AB=AO+OB=CO+OD》CD（當(dāng)且僅當(dāng)CD過(guò)圓心O時(shí)，取“=”號(hào)）

二直徑AB是。O中最長(zhǎng)的弦.

知識(shí)點(diǎn)4.弧

?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作彘，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.

半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧；

劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧.

要點(diǎn)詮釋：

①半圓是弧，而弧不一定是半圓；

②無(wú)特殊說(shuō)明時(shí)，弧指的是劣弧.

知識(shí)點(diǎn)5圓心角定義

如圖所示，/AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

知識(shí)點(diǎn)6.同心圓與等圓

圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓.

圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.

知識(shí)點(diǎn)7.等弧

在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.

要點(diǎn)詮釋：

①等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；

②圓中兩平行弦所夾的弧相等.

知識(shí)點(diǎn)8：垂徑定理

(1)垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

(2)垂徑定理的推論

推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.

知識(shí)點(diǎn)9：垂徑定理的應(yīng)用

垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見(jiàn)的有：

(1)得到推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

(2)垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題.

這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握.

知識(shí)點(diǎn)10：圓心角、弧、弦的關(guān)系

(1)定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.

(2)推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分

別相等.

說(shuō)明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧.

(3)圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等

注意：

(1)正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)

相等，其余二項(xiàng)皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合.

(2)在具體應(yīng)用上述定理解決問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分..

知識(shí)點(diǎn)11:確定圓的條件

不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.

注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫(huà)一個(gè)圓.“確

定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過(guò)一點(diǎn)可畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè)圓，過(guò)兩點(diǎn)也

能畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè)圓，過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫(huà)且只能畫(huà)一個(gè)圓.

知識(shí)點(diǎn)12：三角形的外接圓與外心

(1)外接圓：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓.

(2)外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心.

(3)概念說(shuō)明：

①“接”是說(shuō)明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn).

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外

部.

③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)

接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)..

知識(shí)點(diǎn)13.圓周角定理

(1)圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可.

(2)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

推論：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

(3)在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握.

(4)注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形.利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)

化.②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”——圓心角轉(zhuǎn)化.③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，

在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角.

知識(shí)點(diǎn)14.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

(1)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：

①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角(就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角).

(2)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來(lái).在應(yīng)用時(shí)

要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ).

知識(shí)點(diǎn)15.直線與圓的位置關(guān)系

(1)直線和圓的三種位置關(guān)系：

①相離：一條直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn).

②相切：一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn).

③相交：一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線.

(2)判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)。。的半徑為r,圓心O到直線I的距離為d.

①直線I和。。相交

②直線/和O。相切Qd=r

③直線I和。。相離

知識(shí)點(diǎn)16.切線的性質(zhì)

(1)切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).

③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.

(2)切線的性質(zhì)可總結(jié)如下:

如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過(guò)圓心；②直線

過(guò)切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直.

(3)切線性質(zhì)的運(yùn)用

運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，常常作的輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造直角三角形或相似三角形解決問(wèn)題.

知識(shí)點(diǎn)17.切線的判定

(1)切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

(2)在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：

①切線必須滿足兩個(gè)條件：°、經(jīng)過(guò)半徑的外端；6、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線.

②切線的判定定理實(shí)際上是從“圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切“這個(gè)結(jié)論直接得出來(lái)的.

③在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線的垂線段，

證明該線段的長(zhǎng)等于半徑，可簡(jiǎn)單的說(shuō)成“無(wú)交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)

時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡(jiǎn)單地說(shuō)成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”.

知識(shí)點(diǎn)18.切線的判定與性質(zhì)

(1)切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).

③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.

(2)切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

(3)常見(jiàn)的輔助線的：

①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線的垂線”；

②有切線時(shí)，常常“遇到切點(diǎn)連圓心得半徑”.

知識(shí)點(diǎn)19.弦切角定理

(1)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.

(2)弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.

如右圖所示，直線PT切圓O于點(diǎn)C,BC、AC為圓O的弦，則有=8c(APCA為弦切

T、

角).

知識(shí)點(diǎn)20.切線長(zhǎng)定理

(1)圓的切線長(zhǎng)定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).

(2)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角.

(3)注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別

是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量.

(4)切線長(zhǎng)定理包含著一些隱含結(jié)論：

①垂直關(guān)系三處；

②全等關(guān)系三對(duì)；

③弧相等關(guān)系兩對(duì)，在一些證明求解問(wèn)題中經(jīng)常用到.

知識(shí)點(diǎn)21.切割線定理

(1)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).

幾何語(yǔ)言：

：尸7切。。于點(diǎn)T,PBA是。。的割線

，尸7的平方=力?尸8(切割線定理)

(2)推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等.

幾何語(yǔ)言：

,:PBA,PDC是的割線

：.PD，PC=PQPB(切割線定理推論)(割線定理)

由上可知：PT1=PA-PB=PC-PD.

知識(shí)點(diǎn)22.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

(1)內(nèi)切圓的有關(guān)概念：

與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三

角形.三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn).

(2)任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形.

(3)三角形內(nèi)心的性質(zhì)：

三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角..

知識(shí)點(diǎn)23.正多邊形和圓

(1)正多邊形與圓的關(guān)系

把一個(gè)圓分成〃(”是大于2的自然數(shù))等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫

做這個(gè)正多邊形的外接圓.

(2)正多邊形的有關(guān)概念

①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心.

②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.

③中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.

④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

知識(shí)點(diǎn)24.弧長(zhǎng)的計(jì)算

(1)圓周長(zhǎng)公式：C=2nR

(2)弧長(zhǎng)公式：/=巨蟲(chóng)(弧長(zhǎng)為/,圓心角度數(shù)為"，圓的半徑為R)

180

①在弧長(zhǎng)的計(jì)算公式中，"是表示1。的圓心角的倍數(shù)，〃和180都不要帶單位.

②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長(zhǎng).

③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長(zhǎng)用7T表示.

④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長(zhǎng)三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長(zhǎng)不一定相等，弧長(zhǎng)相等的弧不一定是等弧，只有在同

圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一.

知識(shí)點(diǎn)25.扇形面積的計(jì)算

(1)圓面積公式：S=TO-2

(2)扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形.

(3)扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是武，圓的半徑為R的扇形面積為S,則

S扇形=———TTM或S扇形=1/7?(其中/為扇形的弧長(zhǎng))

3602

(4)求陰影面積常用的方法：

①直接用公式法；

②和差法；

③割補(bǔ)法.

(5)求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.

知識(shí)點(diǎn)26.圓錐的計(jì)算

(1)連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.連接頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫圓錐的高.

(2)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).

(3)圓錐的側(cè)面積：S惻

2

(4)圓錐的全面積：S金=S底+S惻=TU2+TU”

(5)圓錐的體積=Lx底面積又高

3

注意：①圓錐的母線與展開(kāi)后所得扇形的半徑相等.

②圓錐的底面周長(zhǎng)與展開(kāi)后所得扇形的弧長(zhǎng)相等.

知識(shí)點(diǎn)27.圓柱的計(jì)算

（1）圓柱的母線（高）等于展開(kāi)后所得矩形的寬，圓柱的底面周長(zhǎng)等于矩形的長(zhǎng).

（2）圓柱的側(cè)面積=底面圓的周長(zhǎng)X高

（3）圓柱的表面積=上下底面面積+側(cè)面積

題型一圓的基本概念辨析

1.（24-25九年級(jí)上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）如圖，48是。的直徑，點(diǎn)C、。在（。上，ZJ8OC=U0°,AD//OC,

貝！IZAOD=.

c~

題型二求圓中弦的條數(shù)

2.（九年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）點(diǎn)A、0、D與點(diǎn)B、O、C分別在同一直線上，圖中弦的條數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

題型三求過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦

3.（九年級(jí)上?江蘇宿遷?期中）如圖，AB為的直徑，AB=6cm,點(diǎn)C在AB延長(zhǎng)線上且BC=3cm,點(diǎn)P為。0

上動(dòng)點(diǎn)，則aopc的面積的最大值是cm2.

題型四圓的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題

4.（23-24九年級(jí)上?江蘇南京?開(kāi)學(xué)考試）如圖，從/地到2地有兩條路可走，一條路是大半圓，另一條路是4個(gè)小

半圓.有一天，一只貓和一只老鼠同時(shí)從/地到8地.老鼠見(jiàn)貓沿著大半圓行走，它不敢與貓同行（怕被貓吃掉），

就沿著4個(gè)小半圓行走.假設(shè)貓和老鼠行走的速度相同，那么先到達(dá)8地

題型五判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

5.（24-25九年級(jí)上?江蘇蘇州?期末）如圖，在8x8的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)4,B,C,P,Q,M,N都在格點(diǎn)上（正方形

的頂點(diǎn)即格點(diǎn)），若O。是以B,C為頂點(diǎn)的三角形的外接圓，則下列各點(diǎn)中，在上的是（）

:;p;

III

L_____________1_____」__I_____I___

IIl「

IIiCz

r------1-r-r-r-?-

\B\_\\

I\M\；

N、:

A.點(diǎn)尸B.點(diǎn)QC.點(diǎn)MD.點(diǎn)N

題型六利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑

6.（24-25九年級(jí)上?江蘇連云港?階段練習(xí)）閱讀理解：

如圖1、圖2,點(diǎn)尸分別在。外、在。內(nèi)，直線。尸分別交（。于點(diǎn)4B,則尸4的長(zhǎng)度是點(diǎn)P到:。上的點(diǎn)的最短

距離，網(wǎng)的長(zhǎng)度是點(diǎn)尸到，。上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離，這個(gè)模型被稱為“一箭穿心”.

圖1圖2圖3

(1)請(qǐng)就圖1中尸3為何最長(zhǎng)進(jìn)行證明;

(2)若平面內(nèi)的點(diǎn)P到，。上的點(diǎn)的最短距離為3,最長(zhǎng)距離為7.則。的半徑為；

⑶如圖3,正比例函數(shù)＞=2x與反比例函數(shù)了=勺左＞0)的圖象交于43兩點(diǎn)，點(diǎn)P在以點(diǎn)C(-2,0)為圓心，1為半徑

3

的：C上，。是4P的中點(diǎn)，已知。。長(zhǎng)的最大值為之,求左的值.

2

題型七已知半徑和圓上兩點(diǎn)作圓

7.(23-24九年級(jí)上?江蘇連云港?期中)【深度閱讀】蘇格蘭哲學(xué)家托馬斯?卡萊爾(1795-1881)曾給出了一元二次

方程/+瓜+。=0的幾何解法：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)刈0，1),以43為直徑作，P.若P

交x軸于點(diǎn)嘰0),N(〃,0),則加，〃為方程x2+6x+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

2222222

【自主探究】⑴由勾股定理得，AM=U+m,BM=c+(-b-my,AB=(l-c)+b,在RtjBM?中，

AM2+BM~—AB1＞所以12+〃?2+c?。一加y=(l-c)2+%2,化簡(jiǎn)得：機(jī)？+Zwi+c=0.同理可得_

所以“7,〃為方程x2+6x+C=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

【遷移運(yùn)用】（2）在圖2中的X軸上畫(huà)出以方程尤2-3尤-2=0兩根為橫坐標(biāo)的點(diǎn)"，N.

（3）已知點(diǎn)5（4,-3）,以N5為直徑作「C.判斷C與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【拓展延伸】（4）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)/（O,a）,B（-b,c）,若以48為直徑的圓與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M,N,

則以點(diǎn)M,N的橫坐標(biāo)為根的一元二次方程是

題型八利用垂徑定理求值

8.（24-25九年級(jí)上?江蘇蘇州?期中）如圖，是：。的弦，OCLNB于點(diǎn)C,ZOAB=3Q°,AB=26,點(diǎn)、P為O

所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且。尸=3,則點(diǎn)尸與：。的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)尸在；。內(nèi)B.點(diǎn)尸在］。外C.點(diǎn)尸在|。上D.無(wú)法確定

題型九利用垂徑定理求解其他問(wèn)題

9.（24-25九年級(jí)上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①直徑是圓中最長(zhǎng)的弦②平分弦的直徑垂直于弦③長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧?AB.CD是的兩條弦，被

CD垂直平分，則484CD.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

題型十垂徑定理的推論

10.（24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期中）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，顧老師提出了一個(gè)問(wèn)題：

如圖1,已知4B，在48上作一點(diǎn)尸，使4P=3aB.

小亮同學(xué)很快就給出了下列思路：

如圖2,連接48,作42的垂直平分線CD交48于點(diǎn)￡,交AB于點(diǎn)、F,再作用的垂直平分線G”,交48于尸，交4B

于點(diǎn)0,則點(diǎn)P即為滿足">=3P8的點(diǎn).

結(jié)合圖2回答下列問(wèn)題：

（1）AE與EB是否相等?請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）小亮的做法是否正確?若正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不正確，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在圖1中作出所求的點(diǎn)尸.

題型十一垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

11.（24-25九年級(jí)上?江蘇蘇州?期中）蘇州是一座擁有4000多年歷史的文化名城，蘇州古城坐落在水網(wǎng)之中，街道依

河而建，水陸并行；建筑臨水而造，前巷后河，形成“小橋、流水、人家”的獨(dú)特風(fēng)貌.如圖，某座蘇州古橋的橋拱可

看作一段圓弧，現(xiàn)測(cè)得橋下水面N3寬度16m時(shí)，拱頂高出水平面4m.

c

(1)求此圓弧形拱橋的半徑；

(2)若有一艘寬12m的船準(zhǔn)備從橋下穿過(guò)，船艙頂部為矩形并高出水面3m,請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷，該船能否安全穿過(guò)橋洞,

并說(shuō)明理由.

題型十二利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解

12.(24-25九年級(jí)上?江蘇蘇州?期末)如圖，N5是半圓的直徑，點(diǎn)。為圓心，C是半圓上一點(diǎn)，連接NC.

(1)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在半圓上確定一點(diǎn)尸，使得尸8=PC(保留作圖痕跡);

(2)在(1)的條件下,連接尸8,PC,若48=10,AC=6,求四邊形4BPC的面積.

題型十三利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證

13.（24-25九年級(jí)上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A,B,C,。在。上，AB=CD-求證：AC=BD.

題型十四判斷確定圓的條件

14.（24-25九年級(jí)上?江蘇?階段練習(xí)）下列說(shuō)法：①優(yōu)弧比劣弧長(zhǎng)；②三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓；③長(zhǎng)度相等的弧是等

弧;④經(jīng)過(guò)圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條弦；⑤三角形的外心到三角形三條邊的距離相等.其中不正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

題型十五確定圓心（尺規(guī)作圖）

15.（24-25九年級(jí)上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)4（0,4）、

3（-4,4）、C（-6,2）,請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中進(jìn)行如下操作：

AV

c

-----------7）r

（i）利用網(wǎng)格線找出該弧所在圓的圓心。點(diǎn)，在圖上標(biāo)出。點(diǎn)；

（2）連接N。、CD,貝。。的半徑長(zhǎng)為.（結(jié)果保留根號(hào)）

⑶如果點(diǎn)￡坐標(biāo)為（2,-2）,則E點(diǎn)在＞D.（填“內(nèi)”、“外”或"上”）

題型十六畫(huà)圓（尺規(guī)作圖）

16.（24-25九年級(jí)上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）如圖是一殘破圓輪，A,B,C是其弧上的三個(gè)點(diǎn).用尺規(guī)作出圓輪的圓心;

（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

題型十七三角形外接圓的概念辨析

17.（24-25九年級(jí)上?江蘇連云港?階段練習(xí)）有下列五個(gè)命題：①等弧所對(duì)的圓心角相等；②經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)一定可以作

圓；③三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等；④長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧；⑤直角三角形的外心是斜邊的中

點(diǎn).其中正確的有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

題型十八求三角形外心坐標(biāo)

18.（24-25九年級(jí)上?江蘇泰州?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中的網(wǎng)格中，有一個(gè)格點(diǎn),N2C（即三角形的頂

點(diǎn)都在格點(diǎn)上），其中點(diǎn)4（2,5）,點(diǎn)5（5,4）,點(diǎn)C（5,2）.

⑴填空：N8C的外心”的坐標(biāo)為；ABC的外接圓半徑長(zhǎng)為:

（2）僅用無(wú)刻度的直尺，作出的中點(diǎn)（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

題型十九求特殊三角形外接圓的半徑

19.（24-25九年級(jí)上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）如圖，已知以N2為直徑的半圓。，C為弧48上一點(diǎn)，ZABC=60,尸為

弧3c上任意一點(diǎn)，CD工CP交AP于D,連接50,若48=4,則AD的最小值為.

c

A

O

題型二十已知外心的位置判斷三角形的形狀

20.(2024?江蘇鎮(zhèn)江?一模)如圖，/、。在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1,在此網(wǎng)格中找兩個(gè)格

點(diǎn)(即小正方形的頂點(diǎn))B、C,使。為/8C的外心，則2c的長(zhǎng)度是()

O

A

A.3A/2B.275C.4D.#7

題型二十一判斷三角形外接圓的圓心位置

21.(24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,7),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)

C的坐標(biāo)為(3,0).

(1)若4BC的外接圓的圓心為M,則圓心M的坐標(biāo)為.M的半徑為.

(2)48C的外接圓與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是

(3)"■中/C所對(duì)的圓周角是..度，/C的長(zhǎng)度

題型二十二圓周角定理

22.(24-25九年級(jí)上?江蘇鹽城?階段練習(xí))如圖，43、C是O上的三個(gè)點(diǎn)，4408=60。，則4C4的度數(shù)是()

A.60°B.45°C.30°D.120°

題型二十三同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等

23.（23-24九年級(jí)上?江蘇宿遷?期中）（1）如圖①，點(diǎn)/、8、尸均在。上，乙408=90。，則銳角//P2的大小為

度.

（2）【探究】小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖②，是等邊/2C的外接圓，點(diǎn)P在/C上（點(diǎn)尸不與點(diǎn)A、C重合），

連結(jié)P4、PB、PC.求證：P8=P4+PC.小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)尸4至點(diǎn)E,使4E=PC,連結(jié)6E,通過(guò)證明一尸8C四AEBN,

可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證.下面是小明的部分證明過(guò)程：

證明：延長(zhǎng)乃至點(diǎn)￡,使/￡=PC,連接BE

?.?四邊形48cp是1。的內(nèi)接四邊形，

；.NBAP+NBCP=180°,

?：NBAP+NBAE=18Q°,

ZBCP=ZBAE,

age是等邊三角形，

：.BA=BC,

PBC瑪EBA（SAS）.

請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程.

（3）【應(yīng)用】如圖③，已知四邊形48c尸內(nèi)接于圓。，ZABC=90°,AB=BC,連接/C、PB,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段

PA、PB、尸C之間的數(shù)量關(guān)系

題型二十四半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角

24.（24-25九年級(jí)上?江蘇常州?期中）已知：如圖，AB是。的直徑，點(diǎn)C在。上，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺畫(huà)圖（保留作

圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法）.

（1）如圖①，若“是半圓的中點(diǎn)，且與C點(diǎn)在同一側(cè)，畫(huà)出，/C3的平分線CN.并說(shuō)明理由;

（2）如圖②，若DE〃AB,畫(huà)出//C8的平分線CP；

⑶在（2）的作圖下，已知NC=4,2C=3,CP交直徑N8于點(diǎn)孔則么尸=

題型二十五90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑

25.（24-25九年級(jí)上?江蘇鎮(zhèn)江?期末）如圖，在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，定點(diǎn)A、B、C為3個(gè)格點(diǎn)，以點(diǎn)C

為圓心作圓，使點(diǎn)A落在）C內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A任意作弦?！?取?！甑闹悬c(diǎn)“，則8H的最小值為（）

A.5-75B.V5-1C.2A/5-1D.275

題型二十六已知圓內(nèi)接四邊形求角度

26.（23-24九年級(jí)上?江蘇宿遷?期中）如圖，在。中，NC為直徑，點(diǎn)8,。在C。上，且40=。。，作。E/4B于

點(diǎn)、E,DE=4

D

⑴求點(diǎn)。到直線的距離

（2）求四邊形/BCD的面積

題型二十七求四邊形外接圓的直徑

27.（24-25九年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）【推理證明】

（1）如圖①，在四邊形4BCD中，NB=ND=90。,求證：A、B、C、。四點(diǎn)共圓.小明認(rèn)為：連接/C,取/C的

中點(diǎn)。，連接08、OD即可證明，請(qǐng)你按照小明思路完成證明過(guò)程.

【嘗試應(yīng)用】

（2）如圖②，在正方形48co中，點(diǎn)E是邊上任意一點(diǎn)，連接。￡,交NC于點(diǎn)尸，請(qǐng)利用無(wú)刻度的直尺與圓規(guī)

在線段CF上確定點(diǎn)P,使ZZ）尸￡=90。.（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

【拓展延伸】

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若N8=6,BE=2AE,直接寫(xiě)出線段。尸的長(zhǎng).

圖②

題型二十八判斷直線和圓的位置關(guān)系

28.（24-25九年級(jí)上?江蘇南京?期末）己知線段/3=11,則平面內(nèi)與點(diǎn)A的距離為5,且與點(diǎn)8的距離為6的直線有

A.1條B.2條C.3條D.4條

題型二十九已知直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值

29.（24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期中）如圖，直線a,/；,垂足為〃，點(diǎn)尸在直線6上，P"=4,點(diǎn)。在線段尸"上,

若以點(diǎn)。為圓心，OP長(zhǎng)為半徑的圓與直線。相交，則。P的取值范圍為.

題型三十已知直線和圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離

30.（23-24九年級(jí)上?江蘇泰州?階段練習(xí)）如圖，。的半徑為4,直線/與。相離，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)尸，垂足

為尸，且。尸=6,點(diǎn)A是］。上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)。，垂足為。，則NQ+P0的最大值是—.

題型三十一有關(guān)切線的概念辨析

31.（24-25九年級(jí)上?江蘇南京?期中）已知點(diǎn)/在|。上，用尺規(guī)按下列要求畫(huà)圖:

⑴在圖①中畫(huà)出點(diǎn)P,使4