傳熱學

HeatTransfer主講：王曉墨能源與動力工程學院華中科技大學傳熱學

HeatTransfer主講：王曉墨E-mail:wxm_hust@263.netOffice：87542618Home:63730105E-mail:wxm_hust@263.net《傳熱學》許國良編著《傳熱學》楊世銘陶文銓第三版《HeatTransfer》J.P.Holman8thedition《數值傳熱學》陶文銓第二版參考書教材《傳熱學》許國良編著《傳熱學》楊世銘陶文銓第三版參考書教第一章緒論§1-1

傳熱學概述§1-2

熱量傳遞的基本方式§1-3

傳熱過程與傳熱系數第一章緒論§1-1傳熱學概述§1-1傳熱學概述1傳熱學的概念①

研究熱量傳遞規(guī)律的一門科學，具體來講主要有熱量傳遞的機理、規(guī)律、計算和測試方法§1-1傳熱學概述1傳熱學的概念①研究熱量傳遞規(guī)律的一②熱量傳遞過程的推動力：溫差熱力學第二定律：熱量可以自發(fā)地由高溫熱源傳給低溫熱源

有溫差就會有傳熱溫差是熱量傳遞的推動力②熱量傳遞過程的推動力：溫差Energyflowsfromhotobjectstocold.Thereisnoenergyflowbetweentwoobjectsatthesametemperature.Energyflowsfromhotobjects熱量來源鉆木取火太陽電熱器地熱熱量來源鉆木取火太陽電熱器2傳熱學的基本任務①求解溫度分布②

計算熱量傳遞的速率熱力學+傳熱學=熱科學(ThermalScience)

系統(tǒng)從一個平衡態(tài)到另一個平衡態(tài)的過程中傳遞熱量的多少。

關心的是熱量傳遞的過程，即熱量傳遞的速率。水，M220oC鐵塊,M1300oC熱力學：tm,Q傳熱學2傳熱學的基本任務①求解溫度分布大規(guī)模太陽能熱氣流綜合發(fā)電大規(guī)模太陽能熱氣流綜合發(fā)電熱力學研究：熱力學循環(huán)和能量轉換效率1234透平能量損失煙囪能量損失透平溫降（壓降）煙囪溫降（壓降）動能損失太陽能煙囪電站空氣循環(huán)溫熵圖TS太陽能熱氣流能機械能電能熱力學研究：熱力學循環(huán)和能量轉換效率1234透平能煙囪能透平傳熱學研究：系統(tǒng)內的溫度、壓力和速度場傳熱學研究：系統(tǒng)內的溫度、壓力和速度場傳熱學以熱力學第一定律和第二定律為基礎，即熱量始終從高溫熱源向低溫熱源傳遞，如果沒有能量形式的轉化，則熱量始終是守恒的。傳熱學以熱力學第一定律和第二定律為基礎，即熱量始終從高溫熱源3傳熱學應用舉例自然界與生產過程到處存在溫差—傳熱很普遍①日常生活中的例子：為什么水壺的提把要包上橡膠？3傳熱學應用舉例自然界與生產過程到處存在溫差—傳熱很普遍為不同材質的湯匙放入熱水中，哪個黃油融解更快？不同材質的湯匙放入熱水中，哪個黃油融解更快？②特別是在下列技術領域大量存在傳熱問題：動力、化工、制冷、建筑、機械制造、新能源、微電子、核能、航空航天、微機電系統(tǒng)（MEMS）、新材料、軍事科學與技術、生命科學與生物技術…③幾個特殊領域中的具體應用②特別是在下列技術領域大量存在傳熱問題：a)航空航天：高溫葉片氣膜冷卻；火箭推力室的再生冷卻；衛(wèi)星與空間站熱控制；空間飛行器重返大氣層冷卻；超高音速飛行器（Ma=10）冷卻；核熱火箭、電火箭；微型火箭（電火箭、化學火箭）；太陽能高空無人飛機a)航空航天：高溫葉片氣膜冷卻；火箭推力室的再生冷卻；衛(wèi)星與b)微電子：電子芯片冷卻c)生物醫(yī)學：腫瘤高溫熱療；生物芯片；組織與器官的冷凍保存d)軍事：飛機、坦克；激光武器；彈藥貯存e)制冷：跨臨界二氧化碳汽車空調/熱泵；高溫水源熱泵f)新能源：太陽能；燃料電池b)微電子：電子芯片冷卻4傳熱學分類依據物體溫度與時間的依變關系，可將傳熱過程分為穩(wěn)態(tài)傳熱過程和非穩(wěn)態(tài)傳熱過程。若物體中各點溫度不隨時間改變，則對應的傳熱過程為穩(wěn)態(tài)熱傳遞過程；若物體中各點溫度隨時間改變，則對應的傳熱過程為非穩(wěn)態(tài)熱傳遞過程。穩(wěn)態(tài)過程和非穩(wěn)態(tài)過程又稱為定常過程和非定常過程。4傳熱學分類依據物體溫度與時間的依變關系，可將傳熱過程分為§1-2熱量傳遞的基本方式熱量傳遞基本方式：熱傳導、熱對流、熱輻射§1-2熱量傳遞的基本方式熱量傳遞基本方式：熱傳導、熱對流華中科技大學教學課件—工程傳熱學1王曉墨1熱傳導（導熱）①熱傳導的定義

②物質的屬性：可以在固體、液體、氣體中發(fā)生溫度不同的物體各部分之間或溫度不同的各物體之間直接接觸時，依靠分子、原子及自由電子等微觀粒子的熱運動而進行熱量傳遞的現象1熱傳導（導熱）①熱傳導的定義②物質的屬性：可以在固體、華中科技大學教學課件—工程傳熱學1王曉墨③導熱的特點必須有溫差物體直接接觸依靠分子、原子及自由電子等微觀粒子熱運動而傳遞熱量不發(fā)生宏觀的相對位移③導熱的特點④導熱機理氣體：氣體分子不規(guī)則運動時相互碰撞的結果導電固體：自由電子運動非導電固體：晶格結構振動液體：兼有氣體和固體導熱的機理④導熱機理Wecomparehydrogen(yellow,mass=2)withoxygen(blue,mass=32)totheleft.Asthetemperaturegoesup,thespeedofthemoleculesincreases.ConductioningasWecomparehydrogen(yellow,mConductioninMetalsAllmetalsaregoodconductorsof

electricity.

Forasimilarreason,theyarealsogoodconductorsofheat.Inmetals,notonlydothe

atomsvibrate

morewhenheated,butthe

freeelectrons

chargearoundmoreaswell.Thesetransfertheenergy

muchfaster

thanjustvibrationsinbonds.ConductioninMetalsInmetals,ConductioninNon-MetalsEveryatomisphysicallybondedtoitsneighboursinsomeway.If

heatenergy

issuppliedtoonepartofasolid,theatoms

vibratefaster.Astheyvibratemore,thebondsbetweenatomsare

shakenmore.Thispassesvibrationsontothenextatom,andsoon:Eventuallytheenergyspreadsthroughoutthesolid.Theoveralltemperaturehasincreased.ConductioninNon-MetalsEventu⑤導熱基本定律—傅立葉定律

：熱流量，單位時間傳遞的熱量[W]；q：熱流密度，單位時間通過單位面積傳遞的熱量；A：垂直于導熱方向的截面積[m2]；

：導熱系數（熱導率）[W/(mK)]。1822年，法國數學家Fourier：t1t2

l⑤導熱基本定律—傅立葉定律：熱流量，單位時間傳遞的熱量[W當溫度t沿x方向增加時，dt/dx>0，q<0，說明熱量沿x減小的方向傳遞；反之，dt/dx<0，q<0，說明熱量沿x增加的方向傳遞。

負號表示熱量傳遞的方向與溫度升高的方向相反。當溫度t沿x方向增加時，dt/dx>0，q<0，說明熱量沿x熱導率（導熱系數）(Thermalconductivity)表征材料導熱能力的大小，是一種物性參數，與材料種類和溫度有關。熱導率（導熱系數）(Thermalconductivity⑥熱流量與熱阻t1t2

l大平板穩(wěn)態(tài)導熱，由于是一維問題，且

和q為常量，積分傅立葉定律：

⑥熱流量與熱阻t1t2l大平板穩(wěn)態(tài)導熱，由于是一維問題，這里有必要引入熱阻的概念。熱量傳遞是自然界中的一種轉移過程。各種轉移過程有一個共同規(guī)律，就是：導熱熱阻單位導熱熱阻這里有必要引入熱阻的概念。熱量傳遞是自然界中的一種轉移過程。t1t2

lQt1t2lQ2熱對流若流體有宏觀的運動，且內部存在溫差，則由于流體各部分之間發(fā)生相對位移，冷熱流體相互摻混而產生的熱量傳遞現象稱為熱對流。若熱對流過程使具有質量流量G的流體由溫度t1處流至溫度t2處，則此過程傳遞的熱流量為：

①熱對流與對流換熱2熱對流若流體有宏觀的運動，且內部存在溫差，則由于流體各部流體中有溫差—

熱對流必然同時伴隨著熱傳導，自然界不存在單一的熱對流在日常生活及工程實踐中，人們遇到更多的是流體流過一個溫度不同的物體表面時引起的熱量傳遞，這種情況稱為對流換熱。ut

tw

A流體中有溫差—熱對流必然同時伴隨著熱傳導，自然界不存在單當實際流體流過物體表面時，由于粘性作用，緊貼物體表面的流體是靜止的，熱量傳遞只能依導熱的方式進行；離開物體表面，流體有宏觀運動，熱對流方式將發(fā)生作用。所以，對流換熱是熱對流和導熱兩種基本傳熱方式共同作用的結果。②對流換熱的特點對流換熱與熱對流不同，既有熱對流，也有導熱，當實際流體流過物體表面時，由于粘性作用，緊貼物體表面的流體是不是基本傳熱方式，導熱與熱對流同時存在的復雜熱傳遞過程必須有直接接觸（流體與壁面）和宏觀運動；也必須有溫差③對流換熱的分類a)根據流動原因，分為：強制對流換熱和自然對流換熱。b)是否相變，分為：有相變的對流換熱和無相變的對流換熱不是基本傳熱方式，導熱與熱對流同時存在的復雜熱傳遞過程④

對流換熱公式—牛頓冷卻公式ut

tw

A

—

熱流量[W]，單位時間傳遞的熱量q—熱流密度h—表面?zhèn)鳠嵯禂礎—

與流體接觸的壁面面積—

固體壁表面溫度—

流體溫度Convectionheattransfercoefficient④對流換熱公式—牛頓冷卻公式uttwA—熱流量[W——

當流體與壁面溫度相差1度時、每單位壁面面積上、單位時間內所傳遞的熱量h是表征對流換熱過程強弱的物理量影響h因素：流體的物性（導熱系數、粘度、密度、比熱容等）、流動的形態(tài)（層流、紊流）、流動的成因（自然對流或強制對流）、物體表面的形狀、尺寸，換熱時有無相變（沸騰或凝結）等?！斄黧w與壁面溫度相差1度時、每單位壁面面積上、單位時間研究對流換熱的基本任務就是用理論分析或實驗方法得出不同情況下表面?zhèn)鳠嵯禂档挠嬎汴P系式。TypicalvaluesofhProcessH(W/m2-°C)FreeConvectionGasesLiquidsForcedConvectionGasesLiquidsLiquidmetalsPhasechangeBoilingliquidsCondensation5-3020-100020-30050-20,0005,000-50,0002,000-100,0005,000-100,000研究對流換熱的基本任務就是用理論分析或實驗方法得出不同情況下⑤對流熱阻Thermalresistanceforconvection⑤對流熱阻Thermalresistanceforco3熱輻射(Thermalradiation)①熱輻射的定義與特點定義：由熱運動產生的，以電磁波形式傳遞能量的現象特點：a)任何物體，只要溫度高于0K，就會不停地向周圍空間發(fā)出熱輻射；b)可以在真空中傳播；c)伴隨能量形式的轉變；d)輻射能與溫度和波長均有關3熱輻射(Thermalradiation)①熱輻射的定②輻射換熱的定義與特點定義：物體間靠熱輻射進行的熱量傳遞特點：a)不需要介質的存在，在真空中就可以傳遞能量；b)在輻射換熱過程中伴隨著能量形式的轉換

物體熱力學能

電磁波能

物體熱力學能c)無論溫度高低，物體都在不停地相互發(fā)射電磁波能、相互輻射能量②輻射換熱的定義與特點③

斯蒂芬-玻爾茲曼定律黑體：能全部吸收投射到其表面輻射能的物體?；蚍Q絕對黑體。（Blackbody）黑體的輻射能力與吸收能力最強。黑體向外發(fā)射的輻射能：—絕對黑體輻射力—黑體表面的絕對溫度（熱力學溫度）—斯蒂芬-玻爾茲曼常數，

③斯蒂芬-玻爾茲曼定律黑體：能全部吸收投射到其表面輻射能實際物體輻射能力：低于同溫度黑體—實際物體表面的發(fā)射率（黑度），0~1；與物體的種類、表面狀況和溫度有關。④

特殊情況下的兩表面輻射換熱實際物體輻射能力：低于同溫度黑體—實際物體表面的發(fā)射率（黑T1T2QAT1T2QA例：一根水平放置的蒸汽管道，其保溫層外徑d=583mm，外表面實測平均溫度及空氣溫度分別為，此時空氣與管道外表面間的自然對流換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂礹=3.42W/(m2K),保溫層外表面的發(fā)射率問：（1）此管道散熱必須考慮哪些熱量傳遞方式；（2）計算每米長度管道的總散熱量。解：（1）此管道的散熱有輻射換熱和自然對流換熱兩種方式。（2）把管道每米長度上的散熱量記為ql例：一根水平放置的蒸汽管道，其保溫層外徑d=583mm，近似地取墻壁的表面溫度為室內空氣溫度，于是每米長度管道外表面與室內物體及墻壁之間的輻射為：討論：計算結果表明，對于表面溫度為幾或幾十攝氏度的一類表面的散熱問題，自然對流散熱量與輻射具有相同的數量級，必須同時予以考慮。當僅考慮自然對流時，單位長度上的自然對流散熱近似地取墻壁的表面溫度為室內空氣溫度，于是每米長度管道外表面§1-3傳熱過程與傳熱系數1傳熱過程熱量由熱流體通過間壁傳給冷流體的過程。導熱對流輻射對流傳熱過程通常由導熱、熱對流、熱輻射組合形成k為傳熱系數，W/(

m2oC)。在數值上，傳熱系數等于冷、熱流體間溫差=1oC、傳熱面積A＝1m2時的熱流量值，是一個表征傳熱過程強烈程度的物理量?！?-3傳熱過程與傳熱系數1傳熱過程熱量由熱流體通過間壁2傳熱系數的計算熱流體tf1到tw1：tw1到tw2：tw2到冷流體：2傳熱系數的計算熱流體tf1到tw1：tw1到tw2：tw單位熱阻或面積熱阻k越大，傳熱越好。若要增大k，可增大h，λ，減小δ?！褑挝粺嶙杌蛎娣e熱阻k越大，傳熱越好。若要增大k，可增大h，λ例:一房屋的混凝土外墻的厚度為

=200mm，混凝土的熱導率為

=1.5W/(m·K)，冬季室外空氣溫度為tf2=-10℃,有風天和墻壁之間的表面?zhèn)鳠嵯禂禐閔2=20W/(m2·K)，室內空氣溫度為tf1=25℃,和墻壁之間的表面?zhèn)鳠嵯禂禐閔1=5W/(m2·K)。假設墻壁及兩側的空氣溫度及表面?zhèn)鳠嵯禂刀疾浑S時間而變化，求單位面積墻壁的散熱損失及內外墻壁面的溫度。解：

由給定條件可知，這是一個穩(wěn)態(tài)傳熱過程。通過墻壁的熱流密度，即單位面積墻壁的散熱損失為例:一房屋的混凝土外墻的厚度為=200mm，混凝土的熱導根據牛頓冷卻公式，對于內、外墻面與空氣之間的對流換熱，根據牛頓冷卻公式，對于內、外墻面與空氣之間的對流換熱，第一章作業(yè)習題：1-3，1-6，1-16，1-18第一章作業(yè)習題：1-3，1-6，1-16，1-18傳熱學主講：王曉墨能源與動力工程學院華中科技大學傳熱學主講：王曉墨第二章穩(wěn)態(tài)導熱§2-1

基本概念§2-2

一維穩(wěn)態(tài)導熱第二章穩(wěn)態(tài)導熱§2-1基本概念§2-2一維穩(wěn)態(tài)導熱分析傳熱問題基本上是遵循經典力學的研究方法，即針對物理現象建立物理模型，而后從基本定律導出其數學描述(常以微分方程的形式表達，故稱數學模型)，接下來考慮求解的理論分析方法。導熱問題是傳熱學中最易于采用此方法處理的傳熱方式。

分析傳熱問題基本上是遵循經典力學的研究方法，即針對物理現象建§2-1基本概念1溫度場(TemperatureField)①定義某一瞬間，空間(或物體內)所有各點溫度分布的總稱。溫度場是個數量場，可以用一個數量函數來表示。溫度場是空間坐標和時間的函數，在直角坐標系中，溫度場可表示為：t—為溫度;x,y,z—為空間坐標;

-時間坐標

§2-1基本概念1溫度場(TemperatureFi②分類

a)隨時間劃分穩(wěn)態(tài)溫度場：物體各點溫度不隨時間改變。非穩(wěn)態(tài)溫度場：溫度分布隨時間改變。b)隨空間劃分三維穩(wěn)態(tài)溫度場：一維穩(wěn)態(tài)溫度場②分類2等溫面與等溫線①定義等溫面：溫度場中同一瞬間同溫度各點連成的面。等溫線：在二維情況下等溫面為一等溫曲線。②特點a)

溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交b)在連續(xù)的溫度場中，等溫面或等溫線不會中止，它們或者是物體中完全封閉的曲面（曲線），或者就終止與物體的邊界上2等溫面與等溫線①定義等溫面：溫度場中同一瞬間同溫度各點連c)物體中等溫線較密集的地方說明溫度的變化率較大，導熱熱流也較大。

tt-Δtt+Δtc)物體中等溫線較密集的地方說明溫度的變化率較大，導熱熱流也3溫度梯度（Temperaturegradient）溫度的變化率沿不同的方向一般是不同的。溫度沿某一方向x的變化率在數學上可以用該方向上溫度對坐標的偏導數來表示，即溫度梯度是用以反映溫度場在空間的變化特征的物理量。3溫度梯度（Temperaturegradient）溫度

系統(tǒng)中某一點所在的等溫面與相鄰等溫面之間的溫差與其法線間的距離之比的極限為該點的溫度梯度，記為gradt。

注：溫度梯度是向量；正向朝著溫度增加的方向系統(tǒng)中某一點所在的等溫面與相鄰等溫面之間的溫差與其法線4付里葉定律(Fourier’sLaw)第一章中給出了穩(wěn)態(tài)條件下的付里葉定律，這里可推廣為更一般情況。熱流密度在x,y,z方向的投影的大小分別為：

t1

t20x

δndtdntt+dt4付里葉定律(Fourier’sLaw)熱流密度在x,負號是因為熱流密度與溫度梯度的方向不一致而加上。n--是該點等溫線上的法向單位矢量，指向溫度升高的方向；q--是熱流密度矢量。

5導熱系數①定義傅利葉定律給出了導熱系數的定義:w/m·℃

導熱系數在數值上等于單位溫度梯度時的熱流密度的模（大?。Ｘ撎柺且驗闊崃髅芏扰c溫度梯度的方向不一致而加上。5導熱系數根據一維穩(wěn)態(tài)平壁導熱模型，可以采用平板法測量物質的導熱系數。對于圖所示的大平板的一維穩(wěn)態(tài)導熱，流過平板的熱流量與平板兩側溫度和平板厚度之間的關系為：只要任意知道三個就可以求出第四個。由此可設計穩(wěn)態(tài)法測量導熱系數實驗。

根據一維穩(wěn)態(tài)平壁導熱模型，可以采用平板法測量物質的導熱系數。②導熱系數的影響因素導熱系數是物性參數，它與物質結構和狀態(tài)密切相關，例如物質的種類、材料成分、溫度、濕度、壓力、密度等，與物質幾何形狀無關。它反映了物質微觀粒子傳遞熱量的特性。不同物質的導熱性能不同：②導熱系數的影響因素保溫材料：溫度低于350度時熱導率小于0.12W/(mK)的材料（絕熱材料）同一種物質的導熱系數也會因其狀態(tài)參數的不同而改變。一般把導熱系數僅僅視為溫度的函數，而且在一定溫度范圍還可以用一種線性關系來描述。

保溫材料：溫度低于350度時熱導率小于0.12W/(mK)5導熱微分方程（HeatDiffusionEquation）①一般形式付里葉定律：確定導熱體內的溫度分布是導熱理論的首要任務。建立導熱微分方程，可以揭示連續(xù)溫度場隨空間坐標和時間變化的內在聯系。

理論基礎：傅里葉定律+能量守恒方程

5導熱微分方程（HeatDiffusionEquati假設：(1)所研究物體是各向同性的連續(xù)介質；

(2)熱導率、比熱容和密度均為已知

(3)物體內具有內熱源；強度

[W/m3];

表示單位體積的導熱體在單位時間內放出的熱量xyzd

xdx+dxdydy+dydz+dzdz導入微元體的總熱流量+內熱源的生成熱=導出微元體的總熱流量+內能的增量假設：(1)所研究物體是各向同性的連續(xù)介質；xyzdxyzd

xdx+dxdydy+dydz+dzdz導入微元體的總熱流量為導出微元體的總熱流量為根據付里葉定律xyzdxdx+dxdydy+dydz+dzdxyzd

xdx+dxdydy+dydz+dzdz單位時間內能增量xyzdxdx+dxdydy+dydz+dzd微元體內熱源的生成熱為：最后得到：

xyzd

xdx+dxdydy+dydz+dzdz單位時間內微元體的內能增量（非穩(wěn)態(tài)項）擴散項（導熱引起）源項②導熱微分方程的簡化形式(a)導熱系數為常數時微元體內熱源的生成熱為：最后得到：xyzdxdx+a稱為熱擴散率，又叫導溫系數。

(thermaldiffusivity)

熱擴散率

a反映了導熱過程中材料的導熱能力（

）與沿途物質儲熱能力（

c）之間的關系.a稱為熱擴散率，又叫導溫系數。熱擴散率a反映了導熱過程a值大，即

值大或

c值小，說明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴散熱擴散率表征物體被加熱或冷卻時，物體內各部分溫度趨于均勻一致的能力，所以a反應導熱過程動態(tài)特性，研究不穩(wěn)態(tài)導熱重要物理量在同樣加熱條件下，物體的熱擴散率越大，物體內部各處的溫度差別越小。a值大，即值大或c值小，說明物體的某一部分一旦(b)無內熱源，導熱系數為常數時(c)常物性、穩(wěn)態(tài)泊桑（Poisson）方程(d)常物性、穩(wěn)態(tài)、無內熱源拉普拉斯（Laplace）方程(b)無內熱源，導熱系數為常數時(c)常物性、穩(wěn)態(tài)泊桑（Po(e)

園柱坐標系和球坐標系的方程(e)園柱坐標系和球坐標系的方程華中科技大學教學課件—工程傳熱學1王曉墨6定解條件導熱微分方程式的理論基礎：傅里葉定律+能量守恒。它描寫物體的溫度隨時間和空間變化的關系；沒有涉及具體、特定的導熱過程。通用表達式。單值性條件：確定唯一解的附加補充說明條件，包括四項：幾何、物理、初始、邊界完整數學描述：導熱微分方程+單值性條件6定解條件導熱微分方程式的理論基礎：傅里葉定律+能量守恒。①幾何條件：說明導熱體的幾何形狀和大小，如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等②物理條件：說明導熱體的物理特征如：物性參數

、c和

的數值，是否隨溫度變化；有無內熱源、大小和分布；③初始條件：又稱時間條件，反映導熱系統(tǒng)的初始狀態(tài)④邊界條件:反映導熱系統(tǒng)在界面上的特征，也可理解為系統(tǒng)與外界環(huán)境之間的關系。①幾何條件：說明導熱體的幾何形狀和大小，如：平壁或圓筒壁；厚（Boundaryconditions）邊界條件常見有三類

(a)第一類邊界條件:給定系統(tǒng)邊界上的溫度值，它可以是時間和空間的函數，也可以為給定不變的常數值一般形式：

tw=f(x,y,z,τ)

t=f(y,z,τ)

0x1x

穩(wěn)態(tài)導熱：tw=const；非穩(wěn)態(tài)導熱：tw=f(

)（Boundaryconditions）邊界條件常見有三類(b)第二類邊界條件:該條件是給定系統(tǒng)邊界上的溫度梯度，即相當于給定邊界上的熱流密度，它可以是時間和空間的函數，也可以為給定不變的常數值一般形式：qw=f(x,y,z,τ)0x1x

特例：絕熱邊界面(b)第二類邊界條件:該條件是給定系統(tǒng)邊界上的溫度梯度，即相(c)

第三類邊界條件:該條件是第一類和第二類邊界條件的線性組合，常為給定系統(tǒng)邊界面與流體間的換熱系數和流體的溫度，這兩個量可以是時間和空間的函數，也可以為給定不變的常數值0x1x

(c)第三類邊界條件:該條件是第一類和第二類邊界條件的線性導熱微分方程＋單值性條件＋求解方法

溫度場導熱問題求解方法：分析解法，試驗解法，數值解法

積分法、杜哈美爾法、格林函數法、拉普拉斯變換法、分離變量法、積分變換法、數值計算法導熱微分方程＋單值性條件＋求解方法導熱問題求解方法：分析解§2-2一維穩(wěn)態(tài)導熱穩(wěn)態(tài)導熱直角坐標系:1通過平壁的導熱平壁的長度和寬度都遠大于其厚度，因而平板兩側保持均勻邊界條件的穩(wěn)態(tài)導熱就可以歸納為一維穩(wěn)態(tài)導熱問題?！?-2一維穩(wěn)態(tài)導熱穩(wěn)態(tài)導熱直角坐標系:1通過平壁的導熱從平板的結構可分為單層壁，多層壁和復合壁等類型。a.單層壁導熱b.多層壁導熱c.復合壁導熱從平板的結構可分為單層壁，多層壁和復合壁等類型。①通過單層平壁的導熱o

xt1tt2直接積分，得：無內熱源，λ為常數，并已知平壁的壁厚為

，兩個表面溫度分別維持均勻而恒定的溫度t1和t2①通過單層平壁的導熱oxt1tt2直接積分，得：無內熱源，帶入邊界條件：o

xt1tt2帶入Fourier

定律線性分布導熱熱阻帶入邊界條件：oxt1tt2帶入Fourier線性分布導假設各層之間接觸良好，可以近似地認為接合面上各處的溫度相等②通過多層平壁的導熱多層平壁：由幾層不同材料組成例：房屋的墻壁—白灰內層、水泥沙漿層、紅磚（青磚）主體層等組成t2t3t4t1qt1r1t2r2t3r3t4假設各層之間接觸良好，可以近似地認為接合面上各處的溫度相等②總熱阻為：

t2t3t4t1q由和分比關系

t1r1t2r2t3r3t4推廣到n層壁的情況:

總熱阻為：t2t3t4t1q由和分比關系t1問：現在已經知道了q，如何計算其中第i層的右側壁溫？第一層：

第二層：第i層：t2t3t4t1q問：現在已經知道了q，如何計算其中第i層的右側壁溫？第一③無內熱源，λ不為常數(是溫度的線性函數)λ0、b為常數最后可求得其溫度分布

③無內熱源，λ不為常數(是溫度的線性函數)λ0、b為常數最后二次曲線方程λ=λ0(1+bt)b>0b<0t1

t20δx二次曲線方程λ=λ0(1+bt)b>0b<0t1其拋物線的凹向取決于系數b的正負。當b>0，λ=λ0(1+bt)，隨著t增大，λ增大，即高溫區(qū)的導熱系數大于低溫區(qū)。Q=-λA(dt/dx)，所以高溫區(qū)的溫度梯度dt/dx較小，而形成上凸的溫度分布。λ=λ0(1+bt)b>0b<0t1

t20δx當b<0，λ=λ0(1+bt)，隨著t增大，λ減小，高溫區(qū)的溫度梯度dt/dx較大。其拋物線的凹向取決于系數b的正負。λ=λ0(1+bt)b>0熱流密度的計算公式或熱流密度的計算公式或④接觸熱阻在推導多層壁導熱的公式時，假定了兩層壁面之間是保持了良好的接觸，要求層間保持同一溫度。而在工程實際中這個假定并不存在。因為任何固體表面之間的接觸都不可能是緊密的。t1t2Δtxt此時，兩壁面之間只有接觸的地方才直接導熱，在不接觸處存在空隙。熱量是通過充滿空隙的流體的導熱、對流和輻射的方式傳遞的，因而存在傳熱阻力，稱為接觸熱阻。

④接觸熱阻t1t2Δtxt此時，兩壁面之間只有接觸的地方才由于接觸熱阻的存在，使導熱過程中兩個接觸表面之間出現溫差

t。接觸熱阻是普遍存在的，而目前對其研究又不充分，往往采用一些實際測定的經驗數據。通常，對于導熱系數較小的多層壁導熱問題接觸熱阻多不予考慮；但是對于金屬材料之間的接觸熱阻就是不容忽視的問題。

t1t2Δtxt由于接觸熱阻的存在，使導熱過程中兩個接觸表面之間出現溫差t影響接觸熱阻的主要因素：接觸表面的粗糙度接觸表面的硬度接觸表面的壓力影響接觸熱阻的主要因素：例：一鍋爐爐墻采用密度為300kg/m3的水泥珍珠巖制作，壁厚

=100mm，已知內壁溫度t1=500℃，外壁溫度t2=50℃，求爐墻單位面積、單位時間的熱損失。解：材料的平均溫度為：t=(t1+t2)/2=(500+50)/2=275℃由p238附錄4查得：例：一鍋爐爐墻采用密度為300kg/m3的水泥珍珠巖制作，壁若是多層壁，t2、t3的溫度未知：可先假定它們的溫度，從而計算出平均溫度并查出導熱系數值，再計算熱流密度及t2、t3的值。若計算值與假設值相差較大，需要用計算結果修正假設值，逐步逼近，這就是迭代法。若是多層壁，t2、t3的溫度未知：例：一雙層玻璃窗，高2m，寬1m，玻璃厚0.3mm，玻璃的導熱系數為1.05W/(m

K)，雙層玻璃間的空氣夾層厚度為5mm，夾層中的空氣完全靜止，空氣的導熱系數為0.025W/(m

K)。如果測得冬季室內外玻璃表面溫度分別為15℃和5℃，試求玻璃窗的散熱損失，并比較玻璃與空氣夾層的導熱熱阻。[解]這是一個三層平壁的穩(wěn)態(tài)導熱問題。根據式(2-41)散熱損失為：例：一雙層玻璃窗，高2m，寬1m，玻璃厚0.3mm，玻璃的導如果采用單層玻璃窗，則散熱損失為

是雙層玻璃窗散熱損失的35倍，可見采用雙層玻璃窗可以大大減少散熱損失，節(jié)約能源?？梢?，單層玻璃的導熱熱阻為0.003K/W，而空氣夾層的導熱熱阻為0.1K/W，是玻璃的33.3倍。如果采用單層玻璃窗，則散熱損失為是雙層玻璃窗散熱損失的352通過圓筒壁的導熱穩(wěn)態(tài)導熱柱坐標系：圓筒壁就是圓管的壁面。當管子的壁面相對于管長而言非常小，且管子的內外壁面又保持均勻的溫度時，通過管壁的導熱就是圓柱坐標系上的一維導熱問題。①通過單層圓筒壁的導熱

2通過圓筒壁的導熱穩(wěn)態(tài)導熱柱坐標系：圓筒壁就是圓管的壁面。采用圓柱坐標系，設導熱系數為常數，這是沿半徑方向的一維導熱，微分方程為：邊界條件為：積分得：應用邊界條件對數曲線分布采用圓柱坐標系，設導熱系數為常數，這是沿半徑方向的一維導熱，圓筒壁內溫度分布曲線的形狀？

，r大，面積A大，dt/dr必然??；反之，A小處，dt/dr必然大。

圓筒壁內溫度分布曲線的形狀？

長度為l

的圓筒壁的導熱熱阻雖然是穩(wěn)態(tài)情況，但熱流密度q與半徑r成反比！長度為l的圓筒壁的導熱熱阻雖然是穩(wěn)態(tài)情況，但熱流密度②通過多層圓筒壁的導熱

由不同材料構成的多層圓筒壁帶有保溫層的熱力管道、嵌套的金屬管道和結垢、積灰的輸送管道等由不同材料制作的圓筒同心緊密結合而構成多層圓筒壁，如果管子的壁厚遠小于管子的長度，且管壁內外邊界條件均勻一致，那么在管子的徑向方向構成一維穩(wěn)態(tài)導熱問題。②通過多層圓筒壁的導熱由不同材料構成的多層圓筒壁帶有保溫層單位管長的熱流量

單位管長的熱流量3通過球壁的導熱溫度分布：熱流量：熱阻：r1r2t1t2熱流密度：3通過球壁的導熱熱流量：熱阻：r1r2t1t2熱流密度：例2-3溫度為120℃的空氣從導熱系數為

1=18W/(m

K)的不銹鋼管內流過，表面?zhèn)鳠嵯禂禐閔1=65W/(m2

K),管內徑為d1=25mm，厚度為4mm。管子外表面處于溫度為15℃的環(huán)境中，外表面自然對流的表面?zhèn)鳠嵯禂禐閔2=6.5W/(m2

K)。(1)求每米長管道的熱損失；(2)為了將熱損失降低80%，在管道外壁覆蓋導熱系數為0.04W/(m

K)的保溫材料，求保溫層厚度；(3)若要將熱損失降低90%，求保溫層厚度。解：這是一個含有圓管導熱的傳熱過程，光管時的總熱阻為：

例2-3溫度為120℃的空氣從導熱系數為1=18W/((1)每米長管道的熱損失為：(2)設覆蓋保溫材料后的半徑為r3，由所給條件和熱阻的概念有

(1)每米長管道的熱損失為：(2)設覆蓋保溫材料后的半徑為r由以上超越方程解得r3=0.123m故保溫層厚度為123

16.5=106.5mm。由以上超越方程解得r3=0.123m(3)若要將熱損失降低90%，按上面方法可得r3=1.07m這時所需的保溫層厚度為1.07

0.0165=1.05m由此可見，熱損失將低到一定程度后，若要再提高保溫效果，將會使保溫層厚度大大增加。(3)若要將熱損失降低90%，按上面方法可得對于穩(wěn)態(tài)、無內熱源、第一類邊界條件下的一維導熱問題，可以不通過溫度場而直接獲得熱流量。此方法對一維變物性、變傳熱面積非常有效。由付里葉定律：絕熱絕熱xt1t24變截面或變導熱系數問題求解導熱問題的主要途徑分兩步：求解導熱微分方程，獲得溫度場；根據Fourier定律和已獲得的溫度場計算熱流量；對于穩(wěn)態(tài)、無內熱源、第一類邊界條件下的一維導熱問題，可以不通分離變量：（由于是穩(wěn)態(tài)問題，

與x無關）絕熱絕熱xt1t2

當隨溫度呈線性分布時，即＝0(1＋bt)時分離變量：（由于是穩(wěn)態(tài)問題，與x無關）絕熱絕熱xt1t5內熱源問題電流通過的導體；化工中的放熱、吸熱反應；反應堆燃料元件核反應熱。在有內熱源時，即使是一維穩(wěn)態(tài)導熱：熱流量沿傳熱方向也是不斷變化的，微分方程中必須考慮內熱源項。①具有內熱源的平壁5內熱源問題

xh,tfh,tfo邊界條件為：對微分方程積分:代邊界條件(1)得c1=0如果平壁內有均勻的內熱源，且認為導熱系數λ為常數，平壁的兩側均為第三類邊界條件，由于對稱性，只考慮平板一半：微分方程：xh,tfh,tfo邊界條件為：對微分方程積分:代邊

xh,tfh,tfo微分方程變?yōu)椋涸俜e分:求出c2后可得溫度分布為：任一位置處的熱流密度為：

注意： ①溫度分布為拋物線分布； ②熱流密度與x成正比， ③當h

時，應有tw

tfxh,tfh,tfo微分方程變?yōu)椋涸俜e分:求出c2后故定壁溫時溫度分布為：例：核反應堆燃料元件模型。三層平板，中間為

1=14mm的燃料層，兩側均為

2=6mm的鋁板。燃料層發(fā)熱量為1.5×107W/m3，

1=35W/(m·K),鋁板無內熱源,

2=100W/(m·K),

tf=150℃水冷，h=3500W/(m2·K),求各壁面溫度及燃料最高溫度。故定壁溫時溫度分布為：例：核反應堆燃料元件模型。三層平板，中解：因對稱性只研究半個模型。燃料元件總發(fā)熱量為

1/2

2xh,tfh,tfot0t1t2qtft1t2

2/(A

2)1/(Ah)對鋁板:而:對鋁板:解：因對稱性只研究半個模型。燃料元件總發(fā)熱量為1/22x由內熱源導熱公式：

注意：熱阻分析從t1開始，而不是從t0開始。這是因為有內熱源，不同x處的q不相等。由內熱源導熱公式：注意：熱阻分析從t1開始，而不是從t0開②有內熱源的圓柱體采用圓柱坐標系，設導熱系數為常數，微分方程為：邊界條件為：

積分得：通解為：twR②有內熱源的圓柱體邊界條件為：積分得：通解為：twR代入邊界條件得：

故溫度分布為拋物線：twR代入邊界條件得：故溫度分布為拋物線：twR例：一直徑為3mm、長度為1m的不銹鋼導線通有200A的電流。不銹鋼的導熱系數為

=19W/(m

K)，電阻率為

=7

10-7

m。導線周圍與溫度為110℃的流體進行對流換熱，表面?zhèn)鳠嵯禂禐?000W/(m2

K).求導線中心的溫度。[解]這里所給的是第三類邊界條件，而前面的分析解是第一類邊界條件，因此需先確定導線表面的溫度。由熱平衡，導線發(fā)出的所有熱量都必須通過對流傳熱散出，有：例：一直徑為3mm、長度為1m的不銹鋼導線通有200電阻R的計算如下：

故熱平衡為：(200)2(0.099)=4000

(3

10-3)(tw–110=3960W

由此解得： tw=215℃電阻R的計算如下：

電阻R的計算如下：故熱平衡為：電阻R的計算如下：由式(2-60)

得導線中心的溫度為：

由式(2-60)得導線中心的溫度為：第二章作業(yè)習題：2-2，2-4，2-13，2-17第二章作業(yè)習題：2-2，2-4，2-13，2-17傳熱學主講：王曉墨能源與動力工程學院華中科技大學傳熱學主講：王曉墨第三章非穩(wěn)態(tài)導熱

§3-1

非穩(wěn)態(tài)導熱過程§3-2

集總參數法§3-3

一維非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解第三章非穩(wěn)態(tài)導熱§3-1非穩(wěn)態(tài)導熱過程§3-2集總第三章非穩(wěn)態(tài)導熱UnsteadyHeatConduction定義：導熱系統(tǒng)內溫度場隨時間變化的導熱過程為非穩(wěn)態(tài)導熱。特點：溫度隨時間變化，熱流也隨時間變化。自然界和工程上許多導熱過程為非穩(wěn)態(tài)，t=f(

)例如：冶金、熱處理與熱加工中工件被加熱或冷卻；鍋爐、內燃機等裝置起動、停機、變工況；自然環(huán)境溫度；供暖或停暖過程中墻內與室內空氣溫度第三章非穩(wěn)態(tài)導熱定義：導熱系統(tǒng)內溫度場隨時間變化的導熱非穩(wěn)態(tài)導熱：周期性和非周期性（瞬態(tài)導熱）周期性非穩(wěn)態(tài)導熱：在周期性變化邊界條件下發(fā)生的導熱過程，物體溫度按一定的周期發(fā)生變化。非周期性非穩(wěn)態(tài)導熱：在瞬間變化的邊界條件下發(fā)生的導熱過程，物體的溫度隨時間不斷地升高（加熱過程）或降低（冷卻過程），在經歷相當長時間后，物體溫度逐漸趨近于周圍介質溫度，最終達到熱平衡非穩(wěn)態(tài)導熱：周期性和非周期性（瞬態(tài)導熱）§3-1非穩(wěn)態(tài)導熱過程1溫度分布一平壁初始溫度為t0，令其左側表面的溫度突然升高到t1，右側與溫度為t0的空氣接觸。首先，物體緊挨高溫表面的部分溫度上升很快，經過一定時間后內部區(qū)域溫度依次變化，最終整體溫度分布保持恒定，當

為常數時，最終溫度分布為直線?！?-1非穩(wěn)態(tài)導熱過程(a)

=

1

(b)

=

2

(c)

=

3

(d)

=

4非穩(wěn)態(tài)導熱的不同時刻物體的溫度分布(a)=1(b)=22兩個階段：非正規(guī)狀況階段（初始狀況階段）、正規(guī)狀況階段非正規(guī)狀況階段（初始狀況階段）：在

=

3時刻之前的階段，物體內的溫度分布受初始溫度分布的影響較大。必須用無窮級數描述t0t1=3正規(guī)狀況階段：在

=

3時刻之后，初始溫度分布的影響已經消失，物體內的溫度分布主要受邊界條件的影響，可以用初等函數描述。2兩個階段：非正規(guī)狀況階段（初始狀況階段）、正規(guī)狀況階段t3熱量變化：與穩(wěn)態(tài)導熱的另一區(qū)別：由于有溫度變化要積聚或消耗熱量，同一時刻流過不同界面的熱流量是不同的。通過截面A的熱流量是從最高值不斷減小，在其它各截面的溫度開始升高之前通過此截面的熱流量是零，溫度開始升高之后，熱流量才開始增加。3熱量變化：與穩(wěn)態(tài)導熱的另一區(qū)別：由于有溫度變化要積聚或消(a)

=

1

(b)

=

2

(c)

=

3

(d)

=

4(a)=1(b)=24邊界條件對溫度分布的影響x0xtt∞(b)(a)(c)環(huán)境（邊界條件）對系統(tǒng)溫度分布的影響是很顯著的,這里以一維非穩(wěn)態(tài)導熱過程（也就是大平板的加熱或冷卻過程）為例來加以說明。圖表示一個大平板的加熱過程，并畫出在某一時刻的三種不同邊界情況的溫度分布曲線（a）、（b）、（c）4邊界條件對溫度分布的影響x0xtt∞(b)(a)(c)環(huán)這實質上是表明在第三類邊界條件下可能的三種溫度分布。

按照傳熱關系式作一個近似的分析。

x0xtt∞(b)(a)(c)這實質上是表明在第三類邊界條件下可能的三種溫度分布。按照傳曲線（a）表示平板外環(huán)境的換熱熱阻遠大于平板內的導熱熱阻,即從曲線上看，物體內部的溫度幾乎是均勻的，這也就說物體的溫度場僅僅是時間的函數，而與空間坐標無關。我們稱這樣的非穩(wěn)態(tài)導熱系統(tǒng)為集總參數系統(tǒng)（一個等溫系統(tǒng)或物體）。x0xtt∞(b)(a)(c)曲線（a）表示平板外環(huán)境的換熱熱阻遠大于平板內曲線（b）表示平板外環(huán)境的換熱熱阻相當于平板內的導熱熱阻,即

這也是正常的第三類邊界條件x0xtt∞(b)(a)(c)曲線（b）表示平板外環(huán)境的換熱熱阻相當于平板內曲線（c）表示平板外環(huán)境的換熱熱阻遠小于平板內的導熱熱阻,即從曲線上看，物體內部溫度變化比較大，而環(huán)境與物體邊界幾乎無溫差，此時可用認為。那么，邊界條件就變成了第一類邊界條件，即給定物體邊界上的溫度。

x0xtt∞(b)(a)(c)曲線（c）表示平板外環(huán)境的換熱熱阻遠小于平板內t0t

t01/h<</2t

/<<1/h2t

1/h~/2t0t0tt01/h<</2t/<<1/h2t把導熱熱阻與換熱熱阻相比可得到一個無因次的數，我們稱之為畢歐（Boit）數，即那么，上述三種情況則對應著Bi<<1、Bi

1和Bi>>1。畢歐數是導熱分析中的一個重要的無因次準則，它表征了給定導熱系統(tǒng)內的導熱熱阻與其和環(huán)境之間的換熱熱阻的對比關系。把導熱熱阻與換熱熱阻相比可得到一個無因次的數，我們稱之為畢歐類似于Bi數這種表征某一類物理現象或物體特征的無量綱數稱為特征數，特征數中的幾何尺度稱為特征尺度。類似于Bi數這種表征某一類物理現象或物體特征的無量綱數稱為特§3-2集總參數法

(Lumpedheatcapacitymethod)1定義忽略物體內部導熱熱阻、認為物體溫度均勻一致的分析方法。此時，，溫度分布只與時間有關，即，與空間位置無關，因此，也稱為零維問題?！?-2集總參數法

(Lumpedheatcap以下幾種情況Bi很小，可用集總參數法：（1）導熱系數相當大；（2）幾何尺寸很??；（3）表面換熱系數很小。2溫度分布h,t

AQcΔΕρ,c,V,t0一個集總參數系統(tǒng)，其體積為V、表面積為A、密度為

、比熱為c以及初始溫度為t0，突然放入溫度為t

、換熱系數為h的環(huán)境中。以下幾種情況Bi很小，可用集總參數法：h,tAQcΔΕρ引入過余溫度：初始條件為：能量守恒：單位時間物體熱力學能的變化量應該等于物體表面與流體之間的對流換熱量α,t0AQcΔΕρ,c,V,t0引入過余溫度：初始條件為：能量守恒：單位時間物體熱力學能的變積分得：指數可寫成：

是傅立葉數積分得：指數可寫成：是傅立葉數無量綱熱阻無量綱時間Biv越小，表示內部熱阻小或外部熱阻大，則內部溫度就越均勻，集總參數法的誤差就越小。Fo越大，熱擾動就能越深入傳播到物體內部,物體各點地溫度就越接近周圍介質的溫度。無量綱熱阻無量綱時間Biv越小，表示內部熱阻小或外部熱阻大，物體中的溫度呈指數分布方程中指數的量綱：3時間常數稱為系統(tǒng)的時間常數，記為

s，也稱弛豫時間。物體中的溫度呈指數分布方程中指數的量綱：3時間常數稱為系如果導熱體的熱容量（

Vc

）小、換熱條件好（hA大），那么單位時間所傳遞的熱量大、導熱體的溫度變化快，時間常數(Vc/h

A)小反映了系統(tǒng)處于一定的環(huán)境中所表現出來的傳熱動態(tài)特征，與其幾何形狀、密度及比熱有關，還與環(huán)境的換熱情況相關。可見，同一物質不同的形狀其時間常數不同，同一物體在不同的環(huán)境下時間常數也是不相同。

如果導熱體的熱容量（Vc）小、換熱條件好（hA大），那如圖所示，時間常數越小，物體的溫度變化就越快，物體就越迅速地接近周圍流體的溫度。這說明，時間常數反映物體對環(huán)境溫度變化響應的快慢，時間常數小的響應快，時間常數大的響應慢。用熱電偶測量流體溫度，總是希望熱電偶的時間常數越小越好，時間常數越小，熱電偶越能迅速地反映流體的溫度變化，故熱電偶端部的接點總是做得很小如圖所示，時間常數越小，物體的溫度變化就越快，物體就越迅速地θ/θ0τ/τs0.368101當物體冷卻或加熱過程所經歷的時間等于其時間常數時，即τ=τs，τ=4τs，工程上認為

=4τs時導熱體已達到熱平衡狀態(tài)θ/θ0τ/τs0.368101當物體冷卻或加熱過程所經歷的4瞬態(tài)熱流量導熱體在時間0~

內傳給流體的總熱量：5集總參數系統(tǒng)的判定

4瞬態(tài)熱流量導熱體在時間0~內傳給流體的總熱量：5如何去判定一個任意的系統(tǒng)是集總參數系統(tǒng)？V/A具有長度的因次，稱為集總參數系統(tǒng)的特征尺寸。為判定系統(tǒng)是否為集總參數系統(tǒng)，M為形狀修正系數。如何去判定一個任意的系統(tǒng)是集總參數系統(tǒng)？V/A具有長度的因厚度為2

的大平板直徑為2r的長圓柱體

直徑為2r的球體復雜形體厚度為2的大平板直徑為2r的長圓柱體例：一溫度計水銀泡是圓柱形，長20mm，內徑4mm，測量氣體溫度，表面?zhèn)鳠嵯禂礹=12.5W/(m2·K),若要溫度計的溫度與氣體的溫度之差小于初始過余溫度的10%，求測溫所需要的時間。水銀

=10.36W/(m·K),=13110kg/m3,c=0.138kJ/(kg·K).解：例：一溫度計水銀泡是圓柱形，長20mm，內徑4mm，測量氣體故可以用集總參數法。由上式解得：

=333s=5.6min為了減小測溫誤差，測溫時間應盡量加長。故可以用集總參數法。由上式解得：=333s=5.§3-3一維非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解

AnalyticalSolutiontoOne-DimensionalSystem

當幾何形狀及邊界條件都比較簡單時可獲得分析解。1無限大的平板的分析解§3-3一維非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解

Analytical厚度2

的無限大平壁，

、a為已知常數；

=0時溫度為t0;突然把兩側介質溫度降低為t

并保持不變；壁表面與介質之間的表面?zhèn)鳠嵯禂禐閔。兩側冷卻情況相同、溫度分布對稱。中心為原點。厚度2的無限大平壁，、a為已知常數；=0時溫度為導熱微分方程：初始條件：邊界條件：(第三類)導熱微分方程：初始條件：邊界條件：(第三類)華中科技大學教學課件—工程傳熱學1王曉墨采用分離變量法求解：取只能為常數：只為

的函數只為x的函數采用分離變量法求解：取只能為常數：只為的函數只為x的函數對積分得到式中C1是積分常數，常數值D的正負可以從物理概念上加以確定。當時間τ趨于無窮大時，過程