暑假預習專題14募函數(shù)

預習三步曲

第一步：導

思維導圖助力掌握知識框架、學習目標明確內(nèi)容掌握

第二步：學

教材精講精析、全方位預習

核心考點精準練

第三步：測

過關(guān)測點提升小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升

串知識?訊框架

蹩知識導圖慌理

定義

賽函數(shù)的概念

定義域

賽函數(shù)的圖像

r嚴格增函數(shù)

單調(diào)性卜

L嚴格減函數(shù)

圖像的平移變換

一應用賽函數(shù)的圖像性質(zhì)解不等式

應用幕函數(shù)的性質(zhì)比較大小

砥析教材學知識

知識點1幕函數(shù)的概念

a

定義當指數(shù)a固定，等式J=x確定了變量J隨變量x變化的規(guī)律，稱為指數(shù)為a的幕函

數(shù).

使得x"有意義的x的取值范圍，稱為此幕函數(shù)的定義域.幕函數(shù)的定義域可以是不相同的，它與

指數(shù)。的值有關(guān).

*知識剖析

需函數(shù)y=xa的定義域由指數(shù)a決定，指數(shù)a不同，解函數(shù)的定義域是不同的.特別地，當指數(shù)a

取有理數(shù)二時（〃為正整數(shù)，m為整數(shù)），需函數(shù)v=x°的定義域是使得根式而■有意義的x

n

的全體.

知識點2塞函數(shù)的圖像重占

作函數(shù)的大致圖像的步驟：列表一描點一連線.在平面直角坐標系中把滿足j=xa的一切點（X,y）描繪

出來，就構(gòu)成累函數(shù)y=x”的圖像.需要注意幕函數(shù)的圖像依賴于指數(shù)a的值，可以有不同的形狀。

曾方法總結(jié)

五個常用需函數(shù)的圖像如下：

（1）V=x；（2）y=x2;（3）y=x3;（4）；（5）y=x-l.

JJy一九，

知識以3塞函數(shù)的性質(zhì)重占

所有的幕函數(shù)在（o,+s）上都是有定義的，并且圖像都過點（1,1）.

1.當a＞0時，耍函數(shù)y=xa有下列性質(zhì)：

（1）圖像都過點（U）和（0,0）；

（2）在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大，此時稱幕函數(shù)＞=/在（0,+co）上是嚴格增函數(shù)；

（3）在第一象限內(nèi)，當0＜。＜1時，圖像上凸；當a＞\時，圖像下凸.

2.當。＜0時，幕函數(shù)y=xa有下列性質(zhì)：

（1）圖像都過點（U）；

a

（2）在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小，此時稱累函數(shù)y=x在區(qū)間（o,+s）上是嚴格減函

數(shù)，圖像都下凸；

(3)在第一象限內(nèi)，當X的值從右趨于原點時，圖像在X軸上方無限逼近V軸，當X趨于+8

時，圖像在X軸上方無限逼近X軸.

3.當?=0時，暴函數(shù)y=xa有下列性質(zhì)：

j=x°是直線y=l去掉一點(0,1)，它的圖像不是直線.

拓展

(D當o=i時，森函數(shù)y=x的圖像是經(jīng)過原點的一條直線.

(2)指數(shù)互為倒數(shù)的幕函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像關(guān)于直線y=x對稱.

(3)所有的賽函數(shù)的圖像都會過第一象限.

知識點4五個常用幕函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)y=xy=^23-1

y=xy=x2y=x

定義域RRR[0,+oo){xxw0}

在(0,+co)上在(0,+oo)上

是增函數(shù)，在是減函數(shù)，在

單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)

(-oo,0］上(-co,0)上

是減函數(shù)是減函數(shù)

定點(0,0),(1,1)。,1)

您練考點裝知識

題型一、判斷函數(shù)是否是幕函數(shù)

例1下列函數(shù)是幕函數(shù)的是()

A.y=2xB.y=2x-l

C.y=(x+l)2D.y=^

1-1下列函數(shù)為塞函數(shù)的是()

22

A.y=2x2B.V=2X2-1C.y=—D.y=x

X

3

1-2下列函數(shù)中，＞==，y=2x+l,y=x+x,y=m是基函數(shù)的個數(shù)是（）

X

A.1B.2C.3D.4

1-3基函數(shù)的定義

當指數(shù)〃固定，等式歹=￡確定了的規(guī)律，稱為指數(shù)為〃的幕函數(shù).

題型二、求幕函數(shù)的值

7例2（24-25高一上?上海寶山?期末）幕函數(shù)＞=/（%）的圖像過點（9,3）,則/（4）的值為（）

A.64B.2C.16D.8

2-1（24-25高一上?上海?期末）己知嘉函數(shù)”x）=/圖象經(jīng)過點（9,3）,則/g］_____.

2-2（24-25高一上?上海徐匯?期末）已知幕函數(shù)了=/（x）的圖像經(jīng)過點［2,則.

2-3（24-25高一上?上海松江?階段練習）若函數(shù)〃力=（2-2卜2是哥函數(shù)，則拒卜.

題型三、求幕函數(shù)的解析式

/例3已知累函數(shù)＞=彳0,當a取不同的正數(shù)時，在區(qū)間［0』上它們的圖象是一族曲線（如圖）.設點

4（1,0）,5（0,1）,連接線段恰好被其中的兩個募函數(shù)y=x。，丁=/的圖象三等分，即有

C.1D.3

3-1（24-25高一上?上海金山?期末）已知點（后,2）在某一個幕函數(shù)的圖像上.求幕函數(shù)的表達式為

（

3-2（24-25高一上?上海寶山?階段練習）已知累函數(shù)的圖象經(jīng)過點2,半，則此累函數(shù)的表達式為.

I2）

3-3（24-25高一上?上海浦東新?階段練習）若累函數(shù)？=/的圖像經(jīng)過點（2,2亞），貝匹=

題型四、根據(jù)函數(shù)是塞函數(shù)求參數(shù)值

_例4（24-25高一上?上海松江?期末）已知幕函數(shù)y=（m2-4m+4）x2n1-4在（0,+co）上是嚴格減函數(shù),

則實數(shù)加=

4-1（24-25高一上?上海寶山?階段練習）幕指數(shù)為整數(shù)的幕函數(shù)y=x川田"的圖像關(guān)于y軸成軸對稱，且與x

軸、了軸均無公共點，則m的取值集合為.

4-2（23-24高一上?上海?期末）已知累函數(shù)>=（小一2加+1）/+*2的圖象過原點，則於=.

1

4-3（24-25高一上?上海金山?期中）函數(shù)昨"+2加-2卜病是嘉函數(shù)，則加=.

4-4（24-25高一上?上海?階段練習）已知函數(shù)丁=/（x）的表達式為〃力="-加-1卜謂+而是基函數(shù)，且當

xe（0,+co）時，函數(shù)了=/（x）是嚴格增函數(shù)，求〃x）的解析式.

題型五、求幕函數(shù)的定義域

、/，例5（24-25高一上?上海寶山?期中）基函數(shù)〃x）=￡的定義域是（）

A.x>0B.[0,+oo）C.x>QD.（0,+oo）

5-1下列幕函數(shù)中，定義域為（0,+co）的是（）

23_2_3

A.B.y=JC.y-x3D.y=x2

5-2（24-25高三上?上海?階段練習）設若幕函數(shù)尸x"的定義域與值域相同，則。的所

有可能取值組成的集合為.

5-3函數(shù)夕=的定義域為.

1

5-4求函數(shù)了=廣3+（%一2）°+尤5的定義域.

題型六、求與幕函數(shù)有關(guān)的復合函數(shù)定義域

7/例6函數(shù)〃力=（1-以；+（2X-1）°的定義域是（）

A.B.一co,]卜口C.(-<?,-1)

6-1函數(shù)y=（x-l尸的定義域是.

6-2若累函數(shù)（加為整數(shù)）的定義域為R,則〃z的值為.

3

6-3若要使（5x-有意義，貝拉取值范圍是.

6-4若（3》+1R有意義，則實數(shù)x的取值范圍是

題型七、求幕函數(shù)的值域

.、//例7下列四組函數(shù)中，同組兩個函數(shù)的值域相同的是（）

A.〃無）=，與8（%）=無3B./（%）=—與g（x）=x「2

12

C./卜）=/與8（》）=工5D.〃無）=十與g（x）=x，

7-1已知〃x）=xa是累函數(shù)，則“a是正偶數(shù)”是““X）的值域為［0,+8）”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

23

7-2下列四個鼎函數(shù)：①y=尸3；②y=x3③y=x「3；④了=戶的值域為同一區(qū)間的是?（只需

填寫正確答案的序號）

題型八、根據(jù)幕函數(shù)值域求參數(shù)或范圍

44

/例8若關(guān)于x的不等式「+2》+。+/-2x-a22的解集為R,則實數(shù)。能取到的最小值為.

Y

8-1（21-22高一上?上海浦東新?期中）已知a為奇數(shù)且a>0,則關(guān)于x的不等式---<尤"的解集為_________.

2x-1

8-2已知幕函數(shù)/四=化2-"1卜無（丘7?）,且在區(qū)間（0,+⑹內(nèi)函數(shù)圖象是上升的.

（1）求實數(shù)左的值；

（2）若存在實數(shù)a,6使得函數(shù)/（x）在區(qū)間［a,切上的值域為［a,b］,求實數(shù)a,6的值.

題型九、幕函數(shù)圖象的判斷及應用

/例9（24-25高一上?上海奉賢?期中）下列圖象中，最符合函數(shù)了=）的圖象的是（）

9-1（24-25高一上?上海閔行?期末）對任意的aeR,幕函數(shù)y=x"的圖象一定不經(jīng)過第象限

9-2（24-25高一上?上海?期中）對任意的加eZ,?3,函數(shù)＞和y的圖象的公共點個數(shù)可能是.

9-3（24-25高一上?上海?期中）已知事函數(shù)＞=（二-4加-4）/皿的圖像與坐標軸沒有交點，則2咻刀=.

9-4（24-25高一上?上海浦東新?階段練習）已知關(guān)于x的暴函數(shù)了=%"

（1）求證：幕函數(shù)在第一象限內(nèi)一定有圖像.

（2）命題江兩個幕函數(shù)有三個公共點，命題"：兩個幕函數(shù)相同；判斷命題機是命題〃的什么條件并說明

理由.

（3）求證：除原點外，塞函數(shù)的圖像一定與坐標軸無交點.

題型十、幕函數(shù)圖象過定點問題

/例10設＞=〃x）與尸g（x）是兩個不同的塞函數(shù)，記知=k|/（*）=8（、）｝,則初中的元素個數(shù)的可

能是（）.

A.0、1、2、B.1、2、3C.1、2、3、4D.0、1、2、3

10-1（24-25高一上?上海?期中）函數(shù)y=x"+l（。是有理數(shù)）的圖象過一定點P,則P的坐標為.

10-2（23-24高一上?上海浦東新?階段練習）幕函數(shù)y=x”的圖象不可能在第四象限，但所有圖象過定點，定

點坐標為.

21

10-3解關(guān)于x的不等式：＜/5.

題型十一、判斷一般塞函數(shù)的單調(diào)性

,、01例11（24-25高一上?上海?期中）在區(qū)間（0,+8）上是嚴格增函數(shù)，且圖象關(guān)于y軸成軸對稱的幕函數(shù)

可以是（）

2_i_2_2

A.y=B?y=C?y=D?y=x

11-1（24?25高一上?上海?期中）下列函數(shù)是募函數(shù)且在（0,+s）上是減函數(shù)的是（）

91_2

A.y=xB.y=C.y=2xD.y=x3

11-2（24-25高一上?上海?階段練習）己知ae卜若函數(shù)y=x“在（0,+動上了隨x增大而減小,

且圖象關(guān)于y軸對稱，則々=.

11-3（24-25高一上?上海?期中）不等式（x+2）,＜（5-2x）3的解集為.

題型十二、由幕函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

、,，/例12（24-25高一上?上海?期末）已知幕函數(shù)〃=加_3叫，且y=/（x）在xe（O,+⑹嚴格遞

減，貝1］心=.

12-1（24-25高一上?上海?期末）己知累函數(shù)〃x）=（蘇-2〃L7）/在（0,+8）上是嚴格減函數(shù)，則

m=

(x+1)"，X>-1

12-2（24-25高一上?上海?階段練習）已知〃x）=，,滿足任意X[,X2eR,x^x2,

(1-3a)x+5,x<-1

都有‘a(chǎn)）-""）＞0,則實數(shù)。的取值范圍為

西-x2

12-3（24-25高一上?上海浦東新?階段練習）已知幕函數(shù)了=煌'2+*"（〃?€2）的圖像關(guān)于原點對稱，且在區(qū)間

（0,+對上是嚴格增函數(shù).

⑴求累函數(shù)的表達式;

⑵令求滿足不等式〃2°-1）＜〃4+1）的實數(shù)0的取值范圍.

12-4（24-25高一上?上海黃浦?期中）已知。，b,ceR,基函數(shù)/卜）=工^^包（加仁z）在區(qū)間（0,+向上是

嚴格增函數(shù).

⑴求函數(shù)/（X）的表達式；

（2）若關(guān)于x的不等式/+。48/（x）的解集中有且僅有5個整數(shù),求實數(shù)。的范圍；

（3）若6＞c,關(guān)于x的方程/（[_6+=（；）_°=1的兩實根分別為X[,x2（其中國＜%）,求歸-4+昆-4的

值.

題型十三、由耨函數(shù)的單調(diào)性解不等式

_/例13（24-25高一上?上海?期末）己知（”_2產(chǎn)＜（30+1戶，則實數(shù)。的取值范圍是.

44

13-1（24-25高一上?上海?階段練習）已知m_3）「3＜（20+l）-3，則實數(shù)。的取值范圍是.

13-2（24-25高一上?上海?期中）不等式卜+2）'＜（5_2工,的解集為

13-3（24-25高一上?上海金山?期中）己知幕函數(shù)y=x"%eR）經(jīng)過點（4,；

（1）求此幕函數(shù)的表達式和定義域；

（2）已知點/（。+2,%），點8（3-2a,%）（aeR）在此幕函數(shù)的圖象上，且滿足必＜%，求實數(shù)。的取值范圍.

13-4已知（0+1廣<（3-2a尸,求實數(shù)a的取值范圍.

題型十四、由幕函數(shù)的單調(diào)性比較大小

、/例14（24-25高一上?廣西南寧?階段練習）設6>a>0,ceR,則下列不等式中正確的是（）

A.2hiB.c<--cC.:~->—D.ac2<be2

a>babb+2b

14-1（24-25高一上?上海?期中）比較下列兩數(shù)的大小關(guān)系，0.24。。0.35。。的大?。ㄌ?gt;、<或=符號）

14-2設幕函數(shù)）=工"'（機eR,用<0）.

（1）求證：該函數(shù)在區(qū)間（0,+”）上是嚴格減函數(shù)；

（2）設a>6>0,c>0,利用（1）的結(jié)論，比較弓］與的大小?

14-3比較下列各組數(shù)的大小.

5.5

（1）3.14一萬與兀一萬；

3,3

⑵（一行尸與（一百尸.

14-4利用函數(shù)的性質(zhì)比較2；,3L6L

題型十五、幕函數(shù)的單調(diào)性的其他應用

、/例15（24-25高一上?上海長寧?期末）如圖是4個累函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像，則（）

A.a<b<c<dB.b<a<c<d

C.a<b<d<cD.b<a<d<c

15T如圖是累函數(shù)y=J的部分圖像，已知a分別取;、3、-3、-；這四個值，則與曲線G、C2,C3,C“相應

的"依次為（）

3、一、一3、—

15-2（23-24高一上?上海浦東新?期中）設a、b、c是實數(shù)，對于下列命題：①如果。=6,那么a"=6",其

中”是正整數(shù)；②如果ac=6c,那么。=6；③如果（a—6y+（6-cP=0,那么a=b=c；④如果a"=6",

那么a=b,其中"是正整數(shù);⑤如果/>凡那么a>6；⑥如果03>見那么°>&.其中真命題的序號為.

題型十六、判斷五種常見塞函數(shù)的奇偶性

、/例16（23-24高一上?上海奉賢?期中）下列幕函數(shù)在區(qū)間（。，+8）上是嚴格增函數(shù)，且圖像關(guān)于原點

成中心對稱的有.（請?zhí)钊肴空_的序號）

①〉②了=/；③y=x§；?y=x

16-1（22-23高一上?上海徐匯?期末）設〃x）=x“（。為常數(shù)），則“函數(shù)y=〃x）的圖象經(jīng)過點是“函

數(shù)y=/（x）為偶函數(shù)”的條件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要””、“既不充分也不必

2

16-2（22-23高一上?上海青浦?期末）已知事函數(shù)/（幻=爐，寫出函數(shù)定義域，奇偶性，單調(diào)區(qū)間，值域,

零點，并做出大致圖像.

16-3已知累函數(shù)/（x）=（r_4"5）xM+4"'（7weZ）的圖像關(guān)于y軸對稱且在（。,+動上是嚴格增函數(shù).求加

和k的值.

題型十七、幕函數(shù)的奇偶性的應用

_/例17（24-25高一上?上海靜安?階段練習）若幕函數(shù)/（x）=（療+5加+7）x"（xxO）的圖象分布在第一、

三象限，則加=.

17-1已知引-2,-1,-生,1,2,31,若幕函數(shù)尸x”的圖像關(guān)于原點對稱，且在（。,+句上是嚴格減函數(shù)；

則口取值的集合是.

17-2如果一個幕函數(shù)在（0,+。）上是嚴格減函數(shù)，且圖像關(guān)于y軸對稱，寫出符合條件的事函數(shù)的一個表達

式：.

17-3若幕函數(shù)的圖象經(jīng)過點則該函數(shù)的圖象關(guān)于.（填“原點中心對稱”或。軸成軸對稱”）

17-4（22-23高一上?上海楊浦?期末）己知ae卜2,-1,-生,1,2,31.若塞函數(shù)/（x）=J為奇函數(shù)，且在（0,+劃

上遞減，則々=.

@過關(guān)測?德提升

A組

1.（24-25高一上?上海楊浦?期中）命題相：兩個累函數(shù)有三個公共點，命題〃：兩個幕函數(shù)相同，則命題"2

是命題〃的（）

A.充分非必要