2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期末模擬測(cè)試卷02

（滬教版2024）

一、單選題

【分析】本題主要考查識(shí)別同位角，熟練掌握同位角的定義是解決本題的關(guān)鍵.

根據(jù)同位角的定義（在被截線同一側(cè)，截線的同一方位的兩個(gè)角互為同位角）解決此題.

【解析】解：A.由圖可知，zl,N2是同位角，故A不符合題意.

B.由圖可知，zl,42是同位角，故B不符合題意.

C.由圖可知，zl,乙2是同位角，故C不符合題意.

D.由圖可知，zl,42不是同位角，故D符合題意.

故選：D.

2.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角

B.過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

C.兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

D.直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到直線的距離

【答案】D

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角，點(diǎn)到直線的距離及平行公理的概念，合理應(yīng)用相關(guān)概念

進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵；

A根據(jù)對(duì)頂角的概念即可判定；B根據(jù)平行公理，經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行即可

判定；C根據(jù)兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可判

定；D根據(jù)點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離即可判定.

【解析】解：A：因?yàn)?，有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種

位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B：因?yàn)?，?jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C：因?yàn)?，兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D：因?yàn)?，點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，所以D選項(xiàng)正確.

故選：D.

3.如圖，已知/1=/2,ZC=Z5,則△/CD也△48。的依據(jù)是（）

A.AASB.ASAC.SSSD.SAS

【答案】A

【分析】本題考查全等三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定，即可.

【解析】解：在和中，

NC=NB

<Zl=Z2,

AD=AD

.-.^ACD^AABD(AAS).

故選：A.

4.如圖，已知線段45,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)8為圓心，大于143的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于。、。兩點(diǎn),

作直線交45于點(diǎn)￡,在直線上任取一點(diǎn)尸，連接E4,FB.若E4=5,則產(chǎn)3=（)

A.3B.2.5C.7.5D.5

【答案】D

【分析】本題考查了基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法，利用

線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.根據(jù)線段垂直平分線的作法

可知直線CD是線段N8的垂直平分線，利用線段垂直平分線性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

【解析】解：由題意知：直線CD是線段的垂直平分線.

???點(diǎn)廠在直線CD上，

???FA=FB.

■■■FA=5,

FB=5.

故選D.

5.某校擬用不超過(guò)3600元的資金在新華書店購(gòu)買《九章算術(shù)》和《幾何原本》共40本供學(xué)生借閱，其中

《九章算術(shù)》每本72元，《幾何原本》每本60元，學(xué)校最多可以購(gòu)買《九章算術(shù)》多少本？設(shè)學(xué)?？梢?/p>

購(gòu)買《九章算術(shù)》x本，根據(jù)題意得()

A.72%+60(40-%)=3600B.72JC+60(40-x)<3600

C.72x+60(40-x)>3600D.72x+60(40-x)<3600

【答案】D

【分析】利用數(shù)量乘以單價(jià)等于費(fèi)用，分別計(jì)算各自需要的費(fèi)用，利用總費(fèi)用小于等于3600元，建立不等

式解答即可.

本題考查了一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握不等式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：設(shè)學(xué)?？梢再?gòu)買《九章算術(shù)》x本，根據(jù)題意得72X+60(40-X)W3600,

故選：D.

6.如圖，已知48=NC,點(diǎn)M為8c邊上的中點(diǎn)，AM交BD于N,那么下列結(jié)論中，說(shuō)

法正確的有()

②8。平分/4BC；

③NMNB=54。；

④點(diǎn)N是2。的中點(diǎn).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】設(shè)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得N4aD=/A4C=c,利用外角的性質(zhì)可得乙BDC=2a,

進(jìn)而得出/ADC=NC=/4BC=2a,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得a=36。；根據(jù)N4BC=2a,

ZABD=a,可得2。平分N/8C；根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得==18。，再利用

外角的性質(zhì)可得/肱\石=54。；最后根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可判斷④錯(cuò)誤.

【解析】解:設(shè)NA4C=a,

?「AD=BD,

??./ABD=ABAC=a,

NBDC=/BAC+/ABD=2a,

BC=BD,

Z.BDC—Z.C—loc,

???AB=AC,

：./ABC=/C=2a,

,rAABC+ZC+ABAC=180°,

2a+2a+a=180°,

a=36°,即/R4C=36。，故①符合題意；

,**/ABC=2a,/ABD—CL,

:.BD平分/4BC,故②符合題意；

???AS=/C,點(diǎn)M是8C邊上的中點(diǎn)，

ZBAM=-ZBAC=-^18°,

22a

ZMNB=ZBAM+ZABD=180+36°=54°,故③符合題意；

AM與AC不平行，BM=CM,

:.BN手ND,即點(diǎn)N不是AD的中點(diǎn)，故④不符合題意；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義等，熟練

掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

7.到UBC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三條的交點(diǎn).

【答案】中垂線

【分析】根據(jù)線段中垂線性質(zhì)即可解答.

【解析】解：到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三角形的三邊中垂線的交點(diǎn)，

故答案為：中垂線.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段中垂線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段中垂線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

8.比較大小：如果+1那么。b.（填“>”或“<”）

【答案】<

【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或整式，不等號(hào)的方向不變；

不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)

的方向改變.根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可.

【解析】解：鏟+1>-§6+1,

33

?'.a<b；

故答案為：<.

9.在ZUBC中，ZC=80°,AC=BC,則乙4的度數(shù)為.

【答案】50。/50度

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形的兩個(gè)底角相等是解決問(wèn)題

的關(guān)鍵.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可求得答案.

【解析】解：?；/C=80。，AC=BC,

故答案為：50。.

10.“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”的逆命題是.

【答案】對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)三角形全等

【分析】根據(jù)逆命題的概念，交換原命題的題設(shè)與結(jié)論即可得出原命題的逆命題.

【解析】解：命題“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”的題設(shè)是“兩個(gè)三角形是全等三角形”，結(jié)論是“它們的對(duì)應(yīng)邊

相等”，故其逆命題是對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)三角形是全等三角形.

故答案為：對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)三角形是全等三角形.

【點(diǎn)睛】此題考查了互逆命題的知識(shí)，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一

個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆

命題.

11.如圖，已知垂足為。，若N8OC=50。，則直線/C與。E的夾角為.

【答案】40

【分析】由垂直的定義可求得/COE,再利用對(duì)頂角可求得答案.

【解析】解：-.-BOLDE,

ZBOE=90°,

ZCOE=ZBOE-ZBOC=90°-50°=40°,

即直線NC與的夾角為40。,

故答案為：40.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直的定義和對(duì)頂角的性質(zhì)，由垂直的定義求得NCOE是解題的關(guān)鍵.

12.不等式-3W2X+3W7的解集是.

【答案】-3<x<2

【分析】本題考查了解一元一次不等式組.先列出不等式組，再解不等式組即可.

2x+3<7@

【解析】解：根據(jù)題意得,

2x+32-3②'

解不等式①，得xV2,

解不等式②，得xN-3,

所以不等式組-3W2尤+3W7的解集是-3VxW2,

故答案為：-34x42.

13.如圖，已知圖中兩個(gè)三角形全等，則N1的度數(shù)是

a

60°72°1

b

【答案】48。

【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.由

三角形內(nèi)角和及全等的性質(zhì)可得N1==180°-60°-72。=48。，即可求解.

【解析】解:如圖，

已知圖中的兩個(gè)三角形全等，

Z1=Z5=180°-60°-72°=48°,

所以N1的度數(shù)為48。.

故答案為：48。.

14.如圖，直線0、6被直線c所截，如果。〃b、Zl=105°,Z2=35°,則N3=

【答案】70

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角，在圖中標(biāo)注/4,利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，可求出N4的度數(shù)，結(jié)

合N2的度數(shù)，可求出N2+N4的度數(shù)，由利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，即可求出N3的度數(shù).

【解析】解：在圖中標(biāo)注/4,如圖所示.

1

a

■.■Zl+Z4=180°,Zl=105°,

,-.Z4=180°-105o=75°,

■,■Z2=35°,

.-.Z2+Z4=35o+75°=110°,

又???a//b,

.?.Z3=180°-(Z2+Z4)=180o-110o=70°.

故答案為：70.

15.如圖，己知：AB和CD相交于點(diǎn)P,CP>AC,BD>PD,ZAZB（選填“>”、“<”或“=”）。.

【答案】>

16.如圖，等邊“BC中，BD=CE,則ZAPE的度數(shù)是.

【答案】60。/60度

【分析】根據(jù)題目已知條件可證A/B〃鄉(xiāng)A3CE,再利用全等三角形的性質(zhì)可得NA4O=NC8￡,進(jìn)而結(jié)合

三角形外角定理求解.本題側(cè)重考查等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).

【解析】解：???△/3C是等邊三角形，

:"ABD=NC,AB=BC.

■：AB=BC,NABD=NC,BD=CE

,"ABDaBCElSAS),

??.ABAD=/CBE.

???ZABE+ZEBC=60°f

：.ZABE+ZBAD=60°f

???/APE=ZABP+/BAP=60°,

NAPE=60°.

故答案為：60°.

17.如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c均為偶數(shù)，且滿足則稱該三角形為“幸運(yùn)三角形”.當(dāng)6=6

時(shí)，則“幸運(yùn)三角形”有個(gè).

【答案】3

【分析】本題考查了列代數(shù)式，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用.熟練掌握這一關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形三邊關(guān)系：“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，來(lái)確定滿足條件的“幸運(yùn)

三角形”的個(gè)數(shù).

【解析】解：當(dāng)6=6時(shí)，。=2或4,

當(dāng)。=2時(shí)，6-2<c<6+2,即4<c<8,

??.c為偶數(shù)，則。=6；

當(dāng)a=4時(shí)，6-4<c<6+4,即2<c<10,

??.c為偶數(shù)，則。=6或8,滿足條件；

，三角形三邊長(zhǎng)分別為：2,6,6或4,6,6或4,6,8；

綜上，當(dāng)6=6時(shí)，"幸運(yùn)三角形”有3個(gè)；

故答案為：3；

18.如圖，已知在等腰A48C中，乙4=<=75。,將A48C繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)3落在點(diǎn)9處，A

落在點(diǎn)H處，若?恰好落在△/8C的邊上，則。.

B

AC

【答案】45。或25。

【分析】分兩種情況討論，先通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到圖像，當(dāng)/'在上時(shí)，可利用△/7TC與△8C8'全等，得到

乙BB'A=U'CB=45°；當(dāng)/'在2c上時(shí)，

【解析】解：當(dāng)A'在AB上時(shí)，如圖，

在等腰A43C中，ABAC=4CA=75°,即412C=30。，

由旋轉(zhuǎn)可得乙?。夕=30。=乙4BC,

A'B'=BC,8'C為公共邊，

；./^A'B'C三ABCB',

:.WCB'=KBB'C=15°,

由旋轉(zhuǎn)可得BC=BC,且乙8c夕=70。,

■■.^BCB'=AB'CB=55°,

?：UBC=UBC=3Q°,

."8幺'=55°—30°=25°.

故答案為：45?；?5。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，分情況討論，找準(zhǔn)圖像的位

置并理清角度關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

19.解不等式(組)：

(l)2(x-l)<10(x-3)-4:

-x+3<2x

(2)x-lx-2j,并把它的解集表示在數(shù)軸上.

152

【答案】(1)x24

O

⑵見解析

【分析】本題考查解一元一次不等式和解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式的解集是基礎(chǔ)，熟知

幾個(gè)不等式的解集的公共部分的找法是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得解集；

(2)分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)求不等式組解集的規(guī)律求出不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示

出不等式組的解集即可.

【解析】(1)解:去括號(hào)，得2x-2410x-30-4,

移項(xiàng)得：2x-10x<-30-4+2,

合并同類項(xiàng)，得-8x4-32,

系數(shù)化為1,得24.

(2)解不等式-x+3<2x,得x>l,

解不等式?—-20,得

Q

則不等式組的解集為1<XW(

將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：

⑴如圖，作△ABC邊/C上的高，垂足為點(diǎn)。，并過(guò)點(diǎn)8作直線/C的平行線3E.

（2）直線NC和直線BE的距離是線段的長(zhǎng).

【答案】（1）圖見詳解

（2）BD

【分析】（1）根據(jù)三角形的高及平行線的性質(zhì)可進(jìn)行求解;

（2）根據(jù)（1）及題意可進(jìn)行求解.

【解析】（1）解：所作圖形如下所示：

D

（2）解：由（1）可知直線/C和直線8E的距離是線段的長(zhǎng)；

故答案為20.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)與作圖及三角形的高，熟練掌握作圖是解題的關(guān)鍵.

21.已知：如圖，AD//BE,Zl=ZC,那么//=/￡嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】4=NE,理由見解析

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)4D〃8E,

可推出=再根據(jù)N1=NC,可推出進(jìn)而得到NE=NE5C,即可得到結(jié)論.

【解析】解：ZA=ZE,理由如下，

AD//BE,

N4=ZEBC,

又Z1=ZC,

DE//BC,

NE=NEBC,

ZA=NE.

22.已知：線段a,h,求作等腰△NBC,使底邊8c=a,高=h,(要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡,

不必寫作法和證明).

?h?

【答案】見解析

【分析】根據(jù)線段的基本作圖，線段的垂直平分線的基本作圖，解答即可.

本題考查了線段的基本作圖，線段垂直平分線的基本作圖，熟練掌握作圖的基本技能是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：根據(jù)基本作圖的步驟，作圖如下：

?a.

(2)在射線2G上截取BC=a；

(3)作8C的中垂線40,交8C于點(diǎn)D；

(4)截取。/=〃，

則等腰△N3C就是所求的三角形.

23.如圖，在A/BC中，。為48上一點(diǎn)，E為4c中點(diǎn),連接。E并延長(zhǎng)至點(diǎn)尸使得即=，連CF.

⑴求證：CF//AB-,

(2)若/4BC=50。，連接BE,CA平分NBCF,求//的度數(shù).

【答案】(1)見詳解

（2）65°

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)和判定、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜

合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

⑴求出“ED為CEF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出乙4=4CF,根據(jù)平行線的判定得出即可；

（2）根據(jù)（1）求出=根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可.

【解析】（1）證明：???￡為/C中點(diǎn)，

AE=CE,

在乙AED和LCEF中

AE=CE

<ZAED=ZCEF,

DE=EF

.\AAED^CEF（SAS）,

二.=ZACF,

/.CF//AB；

（2）解：???/C平分/3C產(chǎn)，

.\ZACB=ZACF,

???//=ZACF,

/.NZ=ZACB,

???/A+/ABC+ZACB=180°,/ABC=50°,

.?.4=65。.

24.黨的十九大提出實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略以來(lái)，鄉(xiāng)村特色產(chǎn)業(yè)穩(wěn)步發(fā)展.某鄉(xiāng)村振興示范點(diǎn)文創(chuàng)商店計(jì)劃購(gòu)

進(jìn)4,5兩種文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)行銷售.45兩種文創(chuàng)產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示：

AB

進(jìn)價(jià)（元/件）2533

售價(jià)（元/件）3540

若該文創(chuàng)商店欲購(gòu)進(jìn)43兩種文創(chuàng)產(chǎn)品共200件，且這兩種文創(chuàng)產(chǎn)品全部售出后總獲利不低于1600元,

則該文創(chuàng)商店最少需要購(gòu)進(jìn)4種文創(chuàng)產(chǎn)品多少件？

【答案】67件

【分析】本題主要考查不等式的運(yùn)用，理解數(shù)量關(guān)系，正確列式是關(guān)鍵.設(shè)該文創(chuàng)商店需要購(gòu)進(jìn)/種文創(chuàng)

產(chǎn)品X件，則需要購(gòu)進(jìn)8種文創(chuàng)產(chǎn)品（200-X）件，結(jié)合“總獲利不低于1600元”進(jìn)行列式求解即可.

【解析】解：設(shè)該文創(chuàng)商店需要購(gòu)進(jìn)/種文創(chuàng)產(chǎn)品x件，則需要購(gòu)進(jìn)8種文創(chuàng)產(chǎn)品（200-x）件，由題意得,

（35-25）x+（40-33）（200-x）>1600,

解得，x>^=66|,

???x為正整數(shù)，

最小的值為67,

該文創(chuàng)商店至少需要購(gòu)進(jìn)/種文創(chuàng)產(chǎn)品67件.

25.如圖，在AABC中，AD平分NBAC交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E在邊AB上，且EB=EC,NACE>NECB,AD和

EC交于點(diǎn)O.求證：DOOC.

【解題思路】證明VEB=EC,

???ZB=ZECB.

ZACE>ZECB,

ZACE>ZB.

TAD平分NBAC,

JZBAD=ZDAC.

ZODC=ZB+ZBAD,ZDOC=ZDAC+ZACE,

AZDOOZODC.

ADOOC.

26.如圖，在四邊形ZBCZ）中，AD//BC,E為CD的中點(diǎn)，連接Z￡、BE,BELAE,延長(zhǎng)/￡交5C的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

（1）請(qǐng)判斷尸C與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若/3=6,/。=2,求8c的長(zhǎng)度.

【答案】（1）FC=4D,理由見解析

⑵4

【分析】（1）根據(jù)ADWBC可知UDC=4ECF,再根據(jù)￡是C。的中點(diǎn)可求出AADE=AFCE,根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)即可解答；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出N8=3R據(jù)此求解即可.

【解析】（1）解：FC=AD,理由如下：

■：AD\\BC（已知）,

；.UDC=AECF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

???￡是CD的中點(diǎn)（已知），

：.DE=EC（中點(diǎn)的定義）.

在AADE與AFCE中,

'NADC=NECF

<DE=EC,

NAED=NCEF

：.^ADE=/\FCE（ASA）,

：.FC=AD（全等三角形的性質(zhì)）；

（2）解：「△ADEmAFCE,

.?.AE=EF,AD=CF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）,

,■BELAE,

■.BE是線段4F的垂直平分線，

：.AB=BF=BC+CF,

：.AB=BC+AD,

■：AB=6,AD=2,

.-.BC=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的

關(guān)鍵.

27.如圖1,ZUBC和△/0￡都是頂角為120。的等腰三角形，其中/胡。=40/￡=120。，點(diǎn)。在3。上.

⑴求證：BD=EC；

(2)求證：如圖2,當(dāng)點(diǎn)￡在A4的延長(zhǎng)線上，△EDC為等邊三角形.

(2)見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定；

(1)證明注AC4E(SAS)即可得到BD=EC；

(2)由△氏4D0AC4E(SAS)得到/B=N/CE=30。，當(dāng)點(diǎn)E在胡的延長(zhǎng)線上時(shí)/CMC=60。=/E/C,即

可證明ACWAC/E(SAS),得到CO=CE,NACE=/ACD=3Q°,根據(jù)一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊

三角形判定即可.

【解析】(1)證明：???△/8C和ANDE都是頂角為120。的等腰三角形，

AD=AE,AB=AC,

■:ABAC=ADAE=120°,

ABAC-ADAC=NDAE-ZDAC,

.■.ZBAD=ZCAE,

.?.△BAD注ACAE(SAS),

BD=EC-

(2)證明：當(dāng)點(diǎn)E在B4的延長(zhǎng)線上時(shí)N￡/C=180O-NB/C=60。，

ADAC=ZDAE-ZEAC=120°-60°=60°=ZEAC,

???AD=AE,AC=AC,

ACAD^ACAE(SAS),

CD=CE,NACE=NACD,

???AB=AC,ABAC=ADAE=120°,

:.NB=NACB=3Q°,

ZB=ZACE=30°,

AACE=ZACD=30°,

ZECD=60°,

.?.△EDC為等邊三角形.

28.小普同學(xué)在課外閱讀時(shí)，讀到了三角形內(nèi)有一個(gè)特殊點(diǎn)“布洛卡點(diǎn)”，關(guān)于“布洛卡點(diǎn)”有很多重要的結(jié)

論.小普同學(xué)對(duì)“布洛卡點(diǎn)”也很感興趣，決定利用學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法研究“布洛卡點(diǎn)”在一些特殊三角形中的

性質(zhì).讓我們嘗試與小普同學(xué)一起來(lái)研究，完成以下問(wèn)題的解答或有關(guān)的填空.

【閱讀定義】如圖1,△4BC內(nèi)有一點(diǎn)尸，滿足/P4B=/PBC=NPC4,那么點(diǎn)P稱為△4BC的“布洛卡

點(diǎn)”,其中一尸48、ZPBC、ZPCA被稱為“布洛卡角”.如圖2,當(dāng)ZQAC=ZQCB=AQBA時(shí)，點(diǎn)。也是AABC

的“布洛卡點(diǎn)”.一般情況下，任意三角形會(huì)有兩個(gè)“布洛卡點(diǎn)”.

圖1圖2圖3圖4

【解決問(wèn)題】(說(shuō)明：說(shuō)理過(guò)程可以不寫理由)

問(wèn)題1：等邊三角形的“布洛卡點(diǎn)”有一個(gè)，“布洛卡角”的度數(shù)為」度；

問(wèn)題2：在等腰三角形/8C中，已知=點(diǎn)/是△48C的一個(gè)“布洛卡點(diǎn)”，4c是“布洛卡角”.

(1)44八四與△NBC的底角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)?jiān)趫D3中，畫出必要的點(diǎn)和線段，完成示意圖后進(jìn)行說(shuō)

理.

(2)當(dāng)NA4c=90。(如圖4所示)，3'=5時(shí)，求點(diǎn)C到直線的距離.

【答案】問(wèn)題1：1,30；問(wèn)題2：(1)AAMB=1AABC,(2)1,

【分析】問(wèn)題1:根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和“布洛卡點(diǎn)”的定義即可知其“布洛卡點(diǎn)”個(gè)數(shù)和角度；

問(wèn)題2：