專題04幾何圖形初步

IUABI)?

常見的立體圖形

從正面看

從不同的方向看立體圖形從左面看

從上面看

立體圖形的平面展示圖

表示方法

直線特點(diǎn)

基本事實(shí):兩點(diǎn)確定一條直線

表示方法

射線------------

特點(diǎn)

表示方法

線

特點(diǎn)

比較方法

線段基本事實(shí):兩點(diǎn)之間線段最短

兩點(diǎn)之間的距離

線段的中點(diǎn)

線段的和、差與畫法

定義

表示方法

比較大小的方法

互余

兩角的特殊關(guān)系——

互補(bǔ)

角的度量

角平分線

知識(shí)點(diǎn)1:認(rèn)識(shí)平面圖形、立體圖形和圖形分類

（1）幾何圖形：幾何圖形是數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象之一.物體的形狀、大小和位置關(guān)系是幾何研究的內(nèi)容.像

長(zhǎng)方體、圓柱、球、長(zhǎng)方形、正方形、圓、線段、點(diǎn)、三角形、梯形……它們都是幾何圖形.

（2）立體圖形：有些幾何體（如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等）各個(gè)部分都不在同一

平面內(nèi)，它們是立體圖形.

QOB（D

（3）平面圖形：有些幾何圖形（如線段、角、三角形、長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形、圓等）的各

部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形.

□DOOZ7

X7OO

知識(shí)點(diǎn)2：立體圖形的展開圖

立體圖形的展開圖:有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形.

這樣的平面圖形稱為立體圖形的展開圖.

如正方體的展開圖有如下幾種情況：

中間四個(gè)面，上下各一面：

巾「r~|jIInu11r|jin?口?口11

中間三個(gè)面，一二隔河見：

中間兩個(gè)面，樓梯天天見：中間沒有面，兩兩連成線:

uJT1""1

知識(shí)點(diǎn)3：點(diǎn)、線、面、體

點(diǎn)：線和線相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形中最基本的圖形.

線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線.

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面.

體：幾何體也簡(jiǎn)稱體.

點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體.

知識(shí)點(diǎn)4：直線、射線與線段的概念

端點(diǎn)

類型圖例表示方法書寫規(guī)范

個(gè)數(shù)

直線直線43或直線

./.0個(gè)兩個(gè)大寫字母無(wú)順序

84或直線/

AB

兩個(gè)大寫字母中的第一個(gè)表

_/

射線射線。/或射線/1個(gè)

AB示端點(diǎn)

________1______.線段AB或線段

線段2個(gè)兩個(gè)大寫字母無(wú)順序

AB或線段/

知識(shí)點(diǎn)5：基本事實(shí)

1.經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線.

2.兩點(diǎn)之間的線段中，線段最短，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)間線段最短.

知識(shí)點(diǎn)6：基本概念

1.兩點(diǎn)間的距離：兩個(gè)端點(diǎn)之間的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)間的距離.

2.線段的等分點(diǎn)：把一條線段平均分成兩份的點(diǎn)，叫做這個(gè)線段的中點(diǎn).

知識(shí)點(diǎn)7：雙中點(diǎn)模型

C為線段A3上任意一點(diǎn)，M、N分別為AC,BC中點(diǎn)，則MN=-AB.

2

知識(shí)點(diǎn)8：角的概念

1.角的定義：

(1)定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩

條邊.如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)0,邊是射線0A、0B.

B1

圖1圖2

(2)定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部.如圖2

所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止

位置0B是角的終邊.

注意：

(1)兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān).

(2)平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形

成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，0B和0A重合時(shí)，所形成的角叫做周角.

_4--------------------■—

BOAX—A(B)

平角周角

圖1圖2

2.角的表示法：角的幾何符號(hào)用“N”表示，角的表示法通常有以下四種：

①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如Nl,Z2,N3等；

②用小寫的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如/a,Zp,Zy,等；

③用一個(gè)大寫英文字母表示一個(gè)獨(dú)立(在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角)的角，如/B,/C等；

④用三個(gè)大寫英文字母表示任一個(gè)角，如/BAD,ZBAE,NCAE等.

注意：用三個(gè)大寫英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè).

3.角的畫法

(1)用三角板可以畫出30。、45°>60。、90。等特殊角.

(2)用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角.

(3)利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角.

知識(shí)點(diǎn)9：角度制及其換算

角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1。的角，1。的上為1分，記作“1”'，

60

1，的3為1秒，記作“1"”.這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.

60

1周角二360。，1平角=180。，1°=60\r=60\

知識(shí)點(diǎn)10：鐘表上有關(guān)夾角問題

鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30。的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6。，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30。，時(shí)

針1分鐘轉(zhuǎn)0.5。，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題.

知識(shí)點(diǎn)11:方位角

在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角.例如，圖中射線0A的方向是北偏東60。；射線OB的

方向是南偏西30。.這里的“北偏東60?！焙汀澳掀?0?！北硎痉较虻慕牵徒凶龇轿唤?

北

西卡■:

B南

注意：

（1）正東、正西、正南、正北4個(gè)方向不需要用角度來(lái)表示.

（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60?！币话悴徽f(shuō)成“東偏北30。”.

（3）在同一問題中觀測(cè)點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀測(cè)點(diǎn)的正

東、正西、正南、正北的方向.

（4）圖中的點(diǎn)O是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線（射線）都必須以O(shè)為端點(diǎn).

知識(shí)點(diǎn)12：角平分線

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線.如圖所示，OC是/AOB

的角平分線，ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,ZAOC=ZBOC=-ZAOB.

2

注意：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣.

知識(shí)點(diǎn)13：角的運(yùn)算

如圖所示，NAOB是/I與/2的和，記作：ZAOB=Z1+Z2；N1是/AOB與/2的差，記作：Zl=

ZAOB-Z2.

注意：

（1）用量角器量角和畫角的一般步驟：①對(duì)中（角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊）；②重合（一邊與刻度尺上的零

度線重合）；③讀數(shù)（讀出另一邊所在線的度數(shù)）.

（2）利用三角板除了可以做出30。、45。、60。、90。外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°,75°,105°,

120°,135°,150°,165°的角.

知識(shí)點(diǎn)14：余角和補(bǔ)角

（1）余角：

如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么稱這兩個(gè)角互為余角，簡(jiǎn)稱互余，也可以說(shuō)其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余

角.NA+NC=90。，ZA=90°-ZC,ZC的余角=90。-/。,即NA的余角=90%/A.

（2）補(bǔ)角：

如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角叫互為補(bǔ)角.其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的補(bǔ)角.

ZA+ZC=180°,ZA=180°-ZC,NC的補(bǔ)角=18（T-/C,即/A的補(bǔ)角=180"NA.

（3）補(bǔ)角的性質(zhì):

同角的補(bǔ)角相等.比如：ZA+ZB=180°,ZA+ZC=180°,則NC=/B.

等角的補(bǔ)角相等.比如:ZA+ZB=180°,ZD+ZC=180°,ZA=ZD,則NC=NB.

（4）余角的性質(zhì)：

同角的余角相等.比如：ZA+ZB=90°,ZA+ZC=90°,則NC=/B.

等角的余角相等.比如:ZA+ZB=90°,ZD+ZC=90°,ZA=ZD,則NC=/B.

A考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一：直線、射線、線段、角的相關(guān)概念

【典例1】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.直線AB和直線54表示同一條直線B.過一點(diǎn)能作無(wú)數(shù)條直線

C.射線A3和射線54表示不同射線D.射線比直線短

【答案】D

【解析】A、直線A3和直線54表示同一條直線，選項(xiàng)正確，不符合題意；

B、過一點(diǎn)能作無(wú)數(shù)條直線，選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、射線A3和射線54表示不同射線，選項(xiàng)正確，不符合題意；

D、射線、直線都是無(wú)限長(zhǎng)的，不能比較長(zhǎng)短，選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意.

故選：D.

【變式1-1】把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程，其道理用幾何知識(shí)解釋正確的是（）

A.兩點(diǎn)確定一條直線B.垂線段最短

C.線段的長(zhǎng)度可以測(cè)量D.兩點(diǎn)之間線段最短

【答案】D

【解析】把彎曲的公路改成直道，其道理是兩點(diǎn)之間線段最短.故選：D.

【變式1-2］下列說(shuō)法正確的是（）

OB

A.點(diǎn)。在線段AB上B.點(diǎn)8是直線AB的一個(gè)端點(diǎn)

C.射線和射線A3是同一條射線D.圖中共有3條線段

【答案】D

【解析】A、點(diǎn)O在線段A3外，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、點(diǎn)2是直線"的一個(gè)點(diǎn)，直線沒有端點(diǎn)，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、射線和射線不是同一條射線，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、圖中共有3條線段，選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意.

故選：D.

【變式1-3】圖中直線、射線、線段能相交的是（）

【答案】B

【解析】A、因?yàn)榫€段不可無(wú)限延長(zhǎng)，兩線沒有交點(diǎn)，所以A選項(xiàng)不符合題意；

B、因?yàn)橹本€兩端都可以無(wú)限延長(zhǎng)，射線另一邊無(wú)限延長(zhǎng)后兩線有交點(diǎn)，所以B選項(xiàng)符合題意；

C、因?yàn)橹本€兩端都可以無(wú)限延長(zhǎng)，射線另一邊無(wú)限延長(zhǎng)后兩線沒有交點(diǎn)，所以C選項(xiàng)不符合題意;

D、因?yàn)閮芍本€無(wú)限延長(zhǎng)沒有交點(diǎn)，所以D選項(xiàng)不符合題意，故選B.

【變式1-4］已知A、B、C三點(diǎn)，若過其中任意兩點(diǎn)畫一條直線，則畫出的不同直線（）

A.一定有三條B.只能有一條

C.可能有三條，也可能只有一條D.以上結(jié)論都不對(duì)

【答案】C

【解析】有兩種情況如圖所示：

【典例2】下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.一個(gè)周角就是一條射線B.平角是一條直線

C.角的兩邊越長(zhǎng)，角就越大D.—AQ5也可以表示為ZBO4

【答案】D

【解析】A、周角的兩邊在同一射線上,不是一條射線，故錯(cuò)誤，不合題意;

B、平角的兩邊在同一直線上，平角有頂點(diǎn)，而直線沒有，故錯(cuò)誤，不合題意;

C、角的大小和兩邊的長(zhǎng)度沒有關(guān)系，故錯(cuò)誤，不合題意；

D、—A03也可以表示為故正確，符合題意，

故選：D.

【變式2-1】如圖所示，圖中共有多少個(gè)小于平角的角（）

A.10個(gè)B.9個(gè)C.8個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【解析】ZAOD,ZAOC,ZAOE,ZAOB,ZDOC,ZDOE,NDOB,NCOE,ZCOB,ZEOB.

一共有10個(gè)角.故選：A.

【變式2-2】下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.兩條射線組成的圖形叫做角

B.有公共端點(diǎn)的兩條線段組成的圖形叫做角

C.角可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形

D.角的邊越長(zhǎng)，角越大

【答案】C

【解析】A、有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、角可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

D、角度的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【變式2-3］圖中角的個(gè)數(shù)是（）

【答案】D

【解析】圖中屬于角的有：ZAOB,ZAOC,ZAOD,ZBOC,ZBOD,ZCOD,共6個(gè)，故選D.

【變式2-4］如圖，下列說(shuō)法正確的是（）

A

2

OR

A.4=N2B.圖中只有兩個(gè)角，即N1和N2

C.N2與—AO3表示同一個(gè)角D.N1與—3OC表示同一個(gè)角

【答案】D

【解析】A.N1與/2不一定相等，該選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，故不符合題意；

B.圖中有三個(gè)角，分別為Nl、/2和-AO3,該選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，故不符合題意；

C./2與NAOC表示同一個(gè)角，該選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，故不符合題意；

D.N1與/30C表示同一個(gè)角，該選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意.

故選：D.

考點(diǎn)二：根據(jù)線段間的關(guān)系判斷結(jié)論

【典例3】杭衢高鐵線上，要保證衢州、金華、義烏、諸暨、杭州每?jī)蓚€(gè)城市之間都有高鐵可乘，需要印制

不同的火車票（）

A.20種B.15種C.10種D.5種

【答案】A

【解析】需要印制不同的火車票的種數(shù)是：2（1+2+3+4）=20（種）.故選：A.

【變式3-1］如圖，在線段AD上有兩點(diǎn)B,C,則圖中共有條線段，若在車站。之間的線路中再

設(shè)兩個(gè)站點(diǎn)及C,則應(yīng)該共印刷種車票.

IIII

ABCD

A.3,3B.3,6C.6,6D.6,12

【答案】D

【解析】從A開始的線段有AB,AC,AD三條；從B開始的線段有BC,BD二條；

從C開始的線段有CD一條，所以共有6條線段；

車票從A到B和從B到A是不同的，所以車票數(shù)恰好是線段條數(shù)的2倍，所以需要12種車票，

故選D.

【變式3-2】將一段72cm長(zhǎng)的繩子，從一端開始每3cm作一記號(hào)，每4cm也作一記號(hào)，然后從有記號(hào)的地

方剪斷，則這段繩子共被剪成的段數(shù)為（）

A.37B.36C.35D.34

【答案】B

【解析】：繩子長(zhǎng)72cm,

.?.每3cm作一記號(hào)，可以把繩子平均分成72+3=24（段），可以做24-1=23個(gè)記號(hào)，

每4cm也作一記號(hào)，可以把繩子平均分成72+4=18（段），可以做18T=17個(gè)記號(hào)，

和4的最小公倍數(shù)是12,所以重合的記號(hào)有：7272T=5（個(gè)），

有記號(hào)的地方共有23+17-5=35,

.??這段繩子共被剪成的段數(shù)為35+1=36（段）.

故選：B.

【變式3-3】數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，某數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1厘米，若在這個(gè)數(shù)軸上隨

意畫出一條長(zhǎng)為18厘米的線段AB,則線段蓋住的整點(diǎn)數(shù)是（）

A.17個(gè)或18個(gè)B.17個(gè)或19個(gè)C.18個(gè)或19個(gè)D.18個(gè)或20個(gè)

【答案】C

【解析】依題意得：①當(dāng)線段起點(diǎn)在整點(diǎn)時(shí)覆蓋19個(gè)數(shù)；

②當(dāng)線段起點(diǎn)不在整點(diǎn)，即在兩個(gè)整點(diǎn)之間時(shí)覆蓋18個(gè)數(shù).

故選C.

【變式3-4］下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.在所有連接兩點(diǎn)的線中，直線最短

B.線段A3與線段54是不同的兩條線段

C.如果點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，那么=

D.如果=那么點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)

【答案】C

【解析】A.在所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.線段與線段54是同一條線段，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.如果點(diǎn)尸是線段A3的中點(diǎn)，那么AP=P3,故該選項(xiàng)正確；

D.如果=那么點(diǎn)尸不一定是線段AB的中點(diǎn)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選：C.

考點(diǎn)三：根據(jù)線段間的關(guān)系求線段的長(zhǎng)度

【典例4】如圖，線段鈿=20,C是線段A3的中點(diǎn)，。是線段3C的中點(diǎn).

ACDB

（1）求線段AD的長(zhǎng)；

⑵在線段AC上有一點(diǎn)￡,CE=〈BC,求AE的長(zhǎng).

【解析】（1）：線段AB=20,C是線段A3的中點(diǎn)，。是線段BC的中點(diǎn).

Z.AC=BC=10,CD=BD=5,

：.AD=AC+CD=10+5=15；

（2）易得CE=（3C=：xl0=2,

:在線段AC上有一點(diǎn)E,

故點(diǎn)E在C點(diǎn)的左邊時(shí)，AE=AC-C￡=10-2=8,

綜上：AE的長(zhǎng)為8.

【變式4-1］如圖，線段AB=20,BC=15,點(diǎn)加是AC的中點(diǎn).

1111■

AMCNB

(1)求線段力〃的長(zhǎng)度；

(2)在CB上取一點(diǎn)N,使得CN:NB=2：3.求MN的長(zhǎng).

【解析】(1),：AB=20,3c=15,

AC=AB-BC=20-15=5.

又：點(diǎn)/是AC的中點(diǎn).

AAM=^AC=1X5=|,即線段A"的長(zhǎng)度是

2222

(2)VBC=15,CN.NB=2.3,

：.CN=-BC=6.

5

又：點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，AC=5,

：.MC=-AC=-,

22

1717

:.MN=MC+NC=—,即MN的長(zhǎng)度是一.

22

【變式4-2］如圖，點(diǎn)E是線段A3的中點(diǎn)，C是EB上一點(diǎn),且EC:CB=1:4,AC=12cm.

IJi.1J

AEC~T~~B

⑴求A3的長(zhǎng)；

(2)若尸為CB的中點(diǎn)，求所長(zhǎng).

【解析】(1)如圖所示：

AiTc~t~S

設(shè)召C的長(zhǎng)為X,

￡C:CB=1:4,

/.BC=4x,

又BE=BC+CE,

:.BE=5x,

又：E為線段A3的中點(diǎn)，

:.AE=BE=-AB,

/.AE=5x,

X.AC=AE+EC,AC=12cm,

6x=12,解得：x=2,

AB=10%=20cm；

(2).廣為線段CB的中點(diǎn),

CF=—BC=2x,

2

又：EF=EC+CF,

EF=3x-6cm.

考點(diǎn)四：鐘表中的角度計(jì)算

【典例5】在上午8:30時(shí)，鐘表上的時(shí)針與分針的夾角是（

A.45B.60C.75D.90

【答案】C

【解析】上午8:30時(shí)，時(shí)針和分針中間相差2.5個(gè)大格，

鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30。，

上午8:30分針與時(shí)針的夾角是：2.5義30。=75。.

故選：C.

【變式5-1］從8:13分到8:37分，時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度是（）

A.148°B.1440C.136°D.108°

【答案】B

【解析】鐘面上每?jī)蓚€(gè)數(shù)字之間所對(duì)應(yīng)的圓心角為m3600=30。，每一個(gè)“小格”所對(duì)應(yīng)的圓心角為130-°=6。，

從&13分到8:37分，分針轉(zhuǎn)過37-13=24個(gè)小格”，

所以從8:13分到&37分，分針轉(zhuǎn)過的角度是6。、24=144。，

故選:B.

【變式5-2】實(shí)驗(yàn)中學(xué)上午10:10時(shí)通常準(zhǔn)時(shí)上第三節(jié)課，此時(shí)時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角是（）

A.105°B.110°C.115°D.120°

【答案】C

【解析】時(shí)鐘上每一大格是30。，

?.T0:10時(shí)時(shí)針與分針之間有四個(gè)大格，且此時(shí)時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)30。＞＜（10+60）=5。，

此時(shí)時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角是3（Fx4-5。=115。，

故選：C.

【變式5-3］鐘表的指針在不停地轉(zhuǎn)動(dòng)，從3時(shí)至IJ5時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了度.

【答案】60

【解析】鐘表時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周的角度為360。，平均分成12個(gè)刻度，每?jī)蓚€(gè)刻度的角度為三-=30。，所以從

3時(shí)到5時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)刻度，角度為30。、2=60。.

故答案為：60.

考點(diǎn)五：根據(jù)角與角之間的關(guān)系判斷結(jié)論

【典例6］如圖，兩個(gè)直角NAOC和有公共頂點(diǎn)。，下列結(jié)論：

@ZAOB=ZCOD；

②ZAOB+NCOD=90°；

?ZAOD+Z.BOC=180°；

④若OB平分ZAOC,則OC平分NBOD；

⑤ZAOD的平分線與-3OC的平分線是同一條射線.其中正確的有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【解析】VZAOC=ZBOD=90°,：.ZAOC-ZBOC=Z.BOD-ZBOC,即ZAOB=/COD,故①正確;

當(dāng)NAOB=45。時(shí)，ZAOB+ZCOD=90°,故②不正確；

ZAOC=ZBOD=90°,二ZAOB+Z.BOC=90°,

ZAOD+NBOCMN3QD+ZAOB+N3OCMNBOD+ZAOC=180。，故③正確；

?.?。8平分/40。，：.ZBOC=-ZAOC=45°,

2

,?ZBOD=9Q°,，NCOD=45。，；.OC平分/30。，故④正確；

設(shè)ZAOD的平分線為OE,平分ZAOD,Z.ZAOE=ZDOE,

■：ZAOB=ZCOD,/.ZAOE-ZAOB=ADOE-Z.COD,/.ABOE=NCOE,

即OE平分/3OC,故⑤正確.

綜上：正確的有①③④⑤，共4個(gè).

故選：C.

【變式6-1］已知/夕=30。18',40=30.18。，々=30.3。，則相等的兩個(gè)角是()

A.4a=B./a=勺C.4=々D.無(wú)法確定

【答案】B

【解析】由已知得，Na=30°18'=30.3°,Z^=30.18°,々=30.3°,

故選：B.

【變式6-2］在下列說(shuō)法中，正確的是()

A.比較角的大小就是比較角的度數(shù)大小

B.從角的頂點(diǎn)出發(fā)的一條射線把這個(gè)角分成兩個(gè)角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線

C.若NAOC=」NAOB,貝i|OC是NAOB的平分線

2

D.用一個(gè)放大鏡能夠把一個(gè)圖形放大，也能夠把一個(gè)角的度數(shù)放大

【答案】A

【解析】A.比較角的大小就是比較角的度數(shù)大小，故本選項(xiàng)正確；

B.從角的頂點(diǎn)出發(fā)的一條射線把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C.^ZAOC=-ZAOB,且OC在—AO3內(nèi)部，則OC是/AO3的平分線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2

D.放大鏡能夠把一個(gè)圖形放大，不能夠把一個(gè)角的度數(shù)放大，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

【變式6-3］如圖，OC為/AO5內(nèi)一條射線，下列條件中能確定OC平分/AO3的是()

B.ZAOC+ZCOB=ZAOB

C.ZAOB=2ZAOCD.ZCOB=ZAOB-ZAOC

【答案】C

【解析】A、NBOC=；NAOC,不能確定OC平分/493,故此選項(xiàng)不合題意;

B、ZAOC+ZCOB=ZAOB,不能確定OC平分/493,故此選項(xiàng)不合題意；

C、ZAOB^2ZAOC,能確定OC平分/AOB,故此選項(xiàng)符合題意；

D、ZCOB=ZAOB-ZAOC,不能確定OC平分NAO3,故此選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

考點(diǎn)六：根據(jù)角與角之間的關(guān)系求角度

【典例7】如圖，已知OE是/AOC的角平分線，。。是NBOC的角平分線.

(1)若N4OE=70。，NCOD=20。，求—AQB的度數(shù)；

(2)若/DOE=45°,且NAOC+/8OC=180。，求NCC?的度數(shù).

B

【解析】(1)因?yàn)?。是N30C的角平分線，ZCOD=20°,

所以ZBOC=2Z.COD=40°.

因?yàn)镺E是ZAOC的角平分線，

所以ZAOC=2AAOE=140°.

所以ZAOB=ZAOC-NBOC=140-40°=100°.

(2)因?yàn)椤?。是?OC的角平分線，

設(shè)NCOD=NBOD=x.

因?yàn)?￡>OE=45。，所以ZBOE=45°-x,ZCOE=45°+x.

因?yàn)镺E是/AOC的角平分線，所以NAOE=NCOE=45o+x

因?yàn)閆AOC+ZBOC=180。，所以2(45°+x)+2x=180。，

所以x=22.5。，即/COD=22.5。.

【變式7-1】已知：如圖NAO3=150。，在/AOB內(nèi)部有NCOD=20°{ZAOC<ZAOD).

(1)如圖1,求NAOD+N30c的度數(shù)；

(2)如圖2,平分/3OC,ON平分ZAOD,求NMON的度數(shù)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)NCOD從NAOC=10。的位置開始，繞著點(diǎn)O以每秒2。的速度順時(shí)針旋

3

轉(zhuǎn)f秒時(shí)，使N80M=-/A0N,求t的值.

2

【解析】(1)ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZCOD+ZBOD=ZAOB+ZCOD=150°+20°=170°.

(2)：ON平分/AOD,OM平分NBOC,

/.ZAON+ZBOM=1(ZAOD+ZBOC)=1xl70°=85°,

ZMON=ZAOB-(ZAON+ZBOM)=150°-85°=65°.

(3)VZAON=1-ZAOD=y(10+20+2t)0=(15+t)0,

ZBOM=1-ZBOC=1-(150-10-2t)0=(70-t)

3

又「NBOM二一NAON,

2

3

;.70-t=-(15+t)，

2

At=19.

【變式7-2］如圖，已知直線A3和CD相交于點(diǎn)0,在NC03的內(nèi)部作射線OE.

(1)若NA0O36。，ZCOE=90°,求N80E的度數(shù)；

(2)若/COE：ZEOB：ZBOD=4：3：2,求NAOE的度數(shù).

【解析】(1)VZAOC=36°,ZCOE=90°,

ZBOD=36°,ZEOD=90°,

???ZBOE=90-36°=54°.

(2)ZCOE：ZEOB：ZBOD=4：3：2,

3

ZEOB=180°x=60°,

4+3+2

ANAOE=180°-ZEOB=180。-60。=120°.

【變式7-3］如圖，。在直線A5上，射線0。平分/AOC,射線OE在N5O。內(nèi).

⑴若NDQE=90。，求證：射線OE是ZBOC的平分線;

(2)若NCOE=；NEOB,/DOE=48。，求/EO5的度數(shù).

【解析】(1)???"0石=90。.

JZDOC+ZCOE=90°,

ZAOB=180°,

：.ZDOA+ZBOE=180°-ZDOE=90°.

??,射線0。平分/A。。，

ZDOA=ZDOC,

：.ZDOC+ZBOE=90°,

：.ZCOE=ZBOE,

：.射線OE是ZBOC的平分線；

(2)VZCOE=-ZEOB,

3

設(shè)NCOE=x,貝ij/EOB=3x,

"?NDOE=48°,

：.ZDOC=NDOE-ZCOE=48°-x,

???射線。。平分NAOC,

ZAOC=2/DOC=2(48°-x).

ZAOC+Z.COE+ZBOE=180°,

2(48°-x)+x+3尤=180°,

解得x=42。，

^EOB=126°.

考點(diǎn)七：線段中的分類討論思想問題

【典例8】點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)。是線段A3上一點(diǎn)，CD=|BC,若線段AC=9,則AD=

【答案】6或12

【解析】點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，線段AC=9,

.-.BC=AC=9.

CD=-BC,

3

.-.CD=-x9=3.

3

如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段AC上時(shí)，AD=AC-CD=9-3=6；

如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，AD=AC+CD=9+3=12.

綜上所述，AD的長(zhǎng)為6或12.

故答案為：6或12.

I_________I____I_____________I

ADCB

圖1

IIII

ACDB

圖2

【變式8-1】點(diǎn)A、B、C在直線/上，線段AB=4,線段AC=6,則線段8C的長(zhǎng)是()

A.10B.2C.2或5D.10或2

【答案】D

【解析】分兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，如圖:

ABC

▲.▲

:.BC=AC-AB=6-4=2,

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，

BC=AB+AC=4+6=10,

，線段BC的長(zhǎng)為:2或10,

故選：D.

【變式8-2】已知線段AB=18cm,點(diǎn)。是線段A3的中點(diǎn)，直線A3上有一點(diǎn)C,且CD=25C,則線段CD=

cm.

【答案】6或18

【解析】：AB=18cm,點(diǎn)〃是線段AB的中點(diǎn)，3O=9cm,

設(shè)BC=xcm,則CD=2BC=2xcm,

當(dāng)C點(diǎn)在8、。之間時(shí)，如圖：

IIII

ADCB

VDC=BD-BC,：.2x=9-x,解得x=3,ACr>=6cm；

當(dāng)C點(diǎn)在。3的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：

III

DBC

"：DC=DB+BC,，2x=9+x,解得元=9,CD=18cm.

故答案為：6或18.

考點(diǎn)八：角度中的分類討論思想問題

【典例9】將直角三角板OMN的直角頂點(diǎn)。放在直線A3上，射線OC平分NAON.

(1)如圖，若NBON=60。,求/AOM的度數(shù);

⑵若ZAOM=2Z.COM,求ZAON的度數(shù)；

⑶將直角三角板OMN繞頂點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)-5ON=120。時(shí)，求NCOM的度數(shù).

【解析】(1),??直角三角板QWN的直角頂點(diǎn)為點(diǎn)。，

.\ZMON=90°,

/BON=64。,

ZAOM=180?！猌MON-ZBON=30°.

(2)設(shè)NCOM=x,則ZAOM=2x,

/.ZAOC=ZAOM+ZCOM=3x,

射線OC平分ZAON,

.\ZAON=2ZAOC=6x,

又二ZAON=ZAOM+AMON,

.\6x=2x+90°,

解得％=22.5。，

ZAON=6x=135°.

(3)①如圖，當(dāng)ON在直線AS上方時(shí)，

NBON=120。，

ZAON=60°,

.射線OC平分NAON,

NCON==NAON=30°,

2

“ON=90°,

ZCOM=ZMON-ZCON=60°；

②如圖，當(dāng)ON在直線AB下方時(shí)，

4—---B

/X

/

NBON=120°,

:.ZAON=60°,

射線OC平分NAON,

:"CON^-ZAON=30°,

2

ZMON=90°,

ZCOM=AMON+/CON=120°,

綜上，/COM的度數(shù)為60?；?20。.

【變式9-1】劉星對(duì)幾何中角平分線等興趣濃厚，請(qǐng)你和他一起探究下面問題吧，已知4403=100。，射線

OE,OF分別是ZAOC和/COB的角平分線.

(1)如圖1,若射線OC在—493的內(nèi)部，且NAOC=30。，求NEOF的度數(shù)；

(2)如圖2,若射線OC在/AC?的內(nèi)部繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，則NEO尸的度數(shù)；

(3)若射線OC在NAO3的外部繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)中NAOC,—3OC均指小于180。的角)，其余條件不變,

請(qǐng)借助圖3探究ZEOF的大小.

【解析】(1)ZAOB=100°,ZAOC=30°,

ZBOC=ZAOB-ZAOC=70°,

.OE,OF分別是/AOC和NCOB的角平分線，

ZEOC=-ZAOC=15°,ZFOC=-ZBOC=35°,

22

ZEOF=ZEOC+ZFOC=15°+35°=50°；

(2)OE,OF分別是—AOC和NCO3的角平分線，

ZEOC=-ZAOC,ZFOC=-ZBOC,

22

NEOF=ZEOC+ZFOC=1(ZAOC+ZBOC)=|ZAOB=：x100°=50°；

(3)①射線OE,OF只有1個(gè)在—403外面，如圖3①,

A

圖3①

Z.ZEOF=ZFOC-ZCOE=-NBOC--ZAOC=-(NBOC-ZAOC)^-ZAOB=-xlOO0=50°；

222''22

②射線OE,OF都在—493外面，如圖3②，

圖3②

/EOF=ZEOC+ZCOF=-ZAOC+-ZBOC=-（ZAOC+ZBOC）=-（360°-ZAOB）=-x260°=130°.

222'72V'2

A過關(guān)檢測(cè)

一、選擇題

1.如圖，是一個(gè)圓柱體模型，若從這個(gè)圓柱的左邊向右看，則得到的平面圖形是（）

【解析】從左邊向右看這個(gè)幾何體可看到長(zhǎng)方形.故選:A.

2.如果一個(gè)角的補(bǔ)角是120,那么這個(gè)角的余角是（）

A.30B.40C.50D.60

【答案】A

【解析】??,一個(gè)角的補(bǔ)角是120。，.?.這個(gè)角為：180。-120。=60。，

.?.這個(gè)角的余角是：90。-60。=30。.故選A.

3.如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片A2C。沿E尸折疊，點(diǎn)A、B分別落在點(diǎn)48'處，若Nl=55。，則N4即的度數(shù)

是（）

【答案】C

【解析】由翻折可得：Z1=ZFEA'=55°,.?./A￡D=180-55x2=70°.故選C.

4.如圖所示，O是直線AB上的一點(diǎn)，ZAOC=ZFOE=90°,則圖中/EOC與NBOF的關(guān)系是（）

A.相等B.互余C.互補(bǔ)D.互為鄰補(bǔ)角

【答案】C

【解析】ZAOC=ZFOE=90°,ZAOF+ZCOF=90°,ZEOC+ZCOF=90°,

???ZAOF=ZEOC.ZAOF+ZBOF=180°,

ZEOC+ZBOF=180°,即/EOC與/BOF的關(guān)系是互補(bǔ).

故選C.

5.下列圖形中，能用NABC,ZB,N1表示同一個(gè)角的是（）

【答案】D

【解析】A、以8為頂點(diǎn)的角不是一個(gè)，因此N1不能表示為故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、以B為頂點(diǎn)的角不是一個(gè)，因此N1不能表示為-3,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、以8為頂點(diǎn)的角不是一個(gè)，因此N1不能表示為故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、能用/ABC,NB,N1表示同一個(gè)角，故此選項(xiàng)正確.

故選：D.

6.如圖，已知OC是/A03的平分線，則下列結(jié)論：①ZAOB=/BOC；②ZAOC=NBOC；③

ZAOC=^ZAOB；④NAO8=2/3OC.其中正確的有（）

A

O

B

A.②③④B.①②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】；OC是/AOB的平分線，，/AOC=/BOC=^ZAO3,.?.②③④正確，故選：A.

2

7.如圖，通常我們描述點(diǎn)B和點(diǎn)C的方向，分別為（）

A.南偏東25。,北偏西60°B.東偏南65。,西偏北60°

C.北偏東155。,南偏西120。D.西偏南115。,東偏北150。

【答案】A

【解析】根據(jù)圖可知，點(diǎn)B的方向?yàn)槟掀珫|25。，點(diǎn)C的方向?yàn)楸逼?0。，故選A.

8.如圖，已知。是直線48上一點(diǎn)，Zl=40°,0。平分/3OC,則N2的度數(shù)是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】C

【解析】VZl=40°,ZB（9C=180°-Z1=140°,；OD平分/BOC,Z2=-ZBOC=70°,

2

故選：C.

9.在直線/上取三點(diǎn)A、B、C,使線段AB=8cm,AC3cm,則線段8c的長(zhǎng)為（）

A.5cmB.8cmC.5cm8cmD.5c:w或11?！?/p>

【答案】D

【解析】①當(dāng)點(diǎn)C在線段崩的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示：

CAB

可得BC=AB+AC=]Icm；

②當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖所示:

ACB

可得BC=AB-AC=5cm,

綜上所述，線段BC的長(zhǎng)為或

故選：D.

10.一副三角尺按如圖所示方式擺放，且1I比12大40。，則/2的度數(shù)是（）

A.20°B.25°C.40°D.50°

【答案】B

【解析】根據(jù)圖示可知Nl+/2=90°,Zl=Z2+40°,所以N2=（90°-40°）+2=25°.

故選：B.

11.下列換算中，錯(cuò)誤的是（）

A.47.28°=47°16'48"B.83.5°=83°50'

C.16°5'24"=16.09°D.0.25°=900"

【答案】B

【解析】A.47.28°=47°16'48",正確，不合題意；

B.83.5。=83。301故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

C、16°5'24"=16°5.4'=16.09°,正確，不合題意；

D、0.25°=15'=900",正確,不合題意.

故選B.

12.小亮利用星期天進(jìn)行社會(huì)調(diào)查活動(dòng)，早晨8:00出發(fā)，中午12:30到家，則小亮出發(fā)和到家時(shí)時(shí)針和分

針的夾角分別為（）

A.120°和180°B.120°和165°C.90°和180°D.165°和120°

【答案】B

【解析】早晨8：00,時(shí)針和分針夾角是4份，每份30。，

故4x30°=120°.

時(shí)針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)0.5°,分針每分鐘轉(zhuǎn)6。，

鐘表上12時(shí)30分鐘時(shí)，時(shí)針與分針的夾角可以看成時(shí)針轉(zhuǎn)過12時(shí)0.5。*30=15。，分針在數(shù)字6上.

?.?鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30°,

：.12時(shí)30分鐘時(shí)分針與時(shí)針的夾角6x30°-15°=165°.