期末考前滿分沖刺之優(yōu)質(zhì)壓軸題

思

類型一、分式方程無解與增根（選、填）類型六、規(guī)律問題（解）

類型二、陰影部分面積（選、填）類型七、三角板旋轉(zhuǎn)平行求t（解）

類型三、正確結(jié)論的是（選、填）類型八、綜合與實(shí)踐（解）

優(yōu)質(zhì)易錯(cuò)題

類型四、折疊問題（選、填）類型九、根據(jù)信息，探索任務(wù)解決問題（解）

類型五、配方法求最值（選、填、解）類型十、新定義應(yīng)用（解）

【專題過關(guān)】

類型一、分式方程無解與增根

1.已知關(guān)于X的分式方程d」x\=」4二+1,若該方程有增根，則。的值為（）.

x-2x-2

A.2B.1C.0D.-2

【答案】A

【分析】本題考查了分式方程的增根問題，確定方程的增根是解題的關(guān)鍵.方程去分母化為

整式方程，求得尤的值，根據(jù)方程有增根即可確定機(jī)的值.

【詳解】解：方程去分母得：依=4+x-2,

2

解得：x=--）

a-1

2

由于方程的增根為尤=2,則工=2,

a-\

解得：a=2；

故選：A.

2.已知。是實(shí)數(shù)，若分式方程主要=1無解，則。的值為（）

x+2

A.6B.3C.0D.-3

【答案】A

【分析】本題主要考查了分式方程無解的情況，解分式方程求出x=i-■!，因?yàn)榉质椒匠虩o

解，所以可得：=解關(guān)于“一元一次方程求出。的值即可.

【詳解】解：主土f=1,

x+2

去分母：

3x+CIF=X+2,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)：2x=2-a,

去分母：x=l-|,

：?關(guān)于X的分式方程也多=1無解，

x+2

x+2=0,

解得：x=—2,

:A--=-2,

2

解得：a=6.

故選：A.

3.若關(guān)于x的分式方程=-1=產(chǎn)無解，則加的值為()

X—1X—1

A.2B.3C.4D.0或3

【答案】A

【分析】本題考查了分式方程的解法，分式方程無解的條件，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本

題的關(guān)鍵.

兩邊同乘(X-1),得2m-(x-l)=3x+l,由原分式方程無解得x-1=0,求出x的值代入

2〃z-(x-l)=3x+l中即可求得m的值.

【詳解】解：兩邊同乘(x-1),得2〃z—(x—l)=3x+l,

「原分式方程無解，

x—1=0,

..犬=1,

將x=1代入2加一(九一1)=3x+l,得2m=4,

..in=2,

故選：A.

31x+a八

4.若關(guān)于x的分式方程7-777+;7777Vo有增根，則〃=

XX十AXIX十1I

【答案】-3或0

【分析】本題考查分式方程的增根，理解增根的概念和產(chǎn)生過程是正確解答的關(guān)鍵.

根據(jù)增根的概念，代入分式方程去分母后所得到的整式方程，求。即可.

31x+a八

【詳解】解：rq+e'

去分母可化為3(x+l)-x+(x+Q)=0,

整理得：3x+3+a=0,

團(tuán)a=-3x—3

31x+a八

又因?yàn)殛P(guān)于尤的分式方程二-R+ZT不=°有增根尤=?；騲=T，

當(dāng)尤=0時(shí)，a=—3,

當(dāng)x=-1時(shí)，a=0,

31x+a八

綜上所述：若關(guān)于x的分式方程+八=°有增根，貝Ua=-3或。=0.

故答案為：-3或0.

5.關(guān)于無的方程注+2=再無解，則加的值為.

【答案】3

【分析】本題考查了分式方程的無解問題，理解分式方程無解的情況是解題關(guān)鍵.先去分母

將分式方程化為整式方程求解，再根據(jù)分式方程無解，得到％=1,即可求出加的值.

x+7八m+5

【詳解】解:------+2=-------

x—1x—1

去分母得：x+7+2（%—1）=772+5,

解得：x=g

x+7八m+5

關(guān)于X的方程------+2=-------無解,

X—1x-1

x—1=0,

..X=1,

m1

.*in=3,

故答案為：3.

6.若關(guān)于x的分式方程二-1==有增根，則a的值為_________.

x+2x+2

【答案】2

【分析】本題考查了分式方程增根問題，熟練掌握分式方程的解法是解題關(guān)鍵.先將分式方

程化成一元一次方程,解方程可得x=a-4,再根據(jù)分式方程有增根可得x=-2,貝ija-4=-2,

由此即可得.

【詳解】解：號(hào)-■，

方程兩邊同乘以(x+2),得a-(%+2)=2,

解得x=a—4,

團(tuán)關(guān)于X的分式方程七-1=上；有增根,

x+2尤+2

0.r+2=0,即了=—2,

回a—4=-2,

解得a=2,

故答案為：2.

類型二、陰影部分面積

1.如圖，已知正方形ABCD和正方形CEFG,點(diǎn)E在CD邊上，連接AG交C。于點(diǎn)H,連

接BE,BH,GE.若要求出圖中陰影部分的面積，只需知道()

A.正方形CEFG的面積B.三角形的面積

C.正方形ABCD的面積D.三角形AO”的面積

【答案】A

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式在幾何圖形中的應(yīng)用，連接AE,

由平行線的性質(zhì)可得S&BEH=SfH,則s陰影=SAAGE,設(shè)正方形ABCD和正方形CEFG的邊

長分別為。、b,貝!]￡)￡=〃一萬BG=a+b,根據(jù)S陰影=入收七=S梯形"位+3根即一S”加可得

S陰影=；"，據(jù)此可得答案?

【詳解】解：如圖所示，連接AE,

BAB//CD,

團(tuán)S/\BEH=S/\AEH，

回S陰影—S4BEH+S^GEH~S^AEH+S/\GEH~S叢AGE，

設(shè)正方形ABC。和正方形CEFG的邊長分別為a、b,則。石=a—b,BG=a+b,

回S陰影=S^AGE=§梯形A8CE+S^cEG~/XABG

a+b1/21/7、

222v7

=—a2+—ab+—b2——(^——ab

22222

=4,

2

團(tuán)只需要知道正方形CEFG的面積就可以知道陰影部分的面積，

2.如圖，將兩張長為。，寬為6的長方形紙片按圖1,圖2兩種方式放置，圖1和圖2中兩

張長方形紙片重疊的部分分別記為①和②，正方形中未被這兩張長方形紙片覆蓋的

部分用陰影表示，①和②的面積分別記為'和S?.若知道下列條件，可以求工-$2值的是

()

②：

圖1圖2

A.長方形紙片的面積

B.長方形紙片的周長

C.長方形紙片和①的面積差

D.圖1與圖2陰影部分的面積差

【答案】D

【分析】本題考查了整式乘法、完全平方公式在圖形中的應(yīng)用，熟記運(yùn)算法則是解題的關(guān)

鍵.設(shè)正方形ABC。的邊長為x,分別求出岳-邑、①和②的面積、長方形紙片的面積與

周長，再逐項(xiàng)判斷即可得.

【詳解】解：如圖，設(shè)正方形A3C。的邊長為x,

則S]=(4+8——cr+6。+尤2+2a6—2av—26x,

2

S2=(2a-x^2b-x")=4ab-2ax-2bx+x,

S]_S]—a?_2ab+b~=(a_b)=(a+Z?)—4ab,

囪若知道長方形紙片的周長和面積或長方形紙片長和寬的差，能求出I-S?,即選項(xiàng)A、B

不符合題意；

回圖1的陰影部分的面積為：(x-a)~=2x2-lax+cT-2bx+b2,

圖2的陰影部分的面積為：2(x-<7)(x-Z7)=2x2-2Zzr-2<2r+2aZ?,

團(tuán)長方形紙片和①的面積差為。6—S]=—a2—b~—x2—ab+2ax+2bx,故C不符合題意；

回①和②的面積差為片-2ab+b2=(?-/?)"=(a+Z?)2-4ab,

回若知道①和②的面積差，能求出S1-S2,即選項(xiàng)D符合題意；

故選：D.

3.在學(xué)習(xí)完《整式乘法》后，數(shù)學(xué)興趣小組探究了這樣一個(gè)問題：如圖，現(xiàn)有甲、乙兩張

正方形紙片.小勇將甲正方形移至乙正方形的左上角按方式一擺放，小偉將甲、乙正方形并

列放置在一個(gè)更大的正方形中按方式二擺放.若按方式一擺放時(shí)陰影小正方形部分的面積為

2,按方式二擺放時(shí)陰影部分的面積為8,則甲、乙兩張正方形紙片的面積之和為()

A.12B.10C.8D.6

【答案】B

【分析】本題考查了完全平方公式在幾何中的應(yīng)用.熟練掌握完全平方公式在幾何中的應(yīng)用

是解題的關(guān)鍵.

設(shè)甲的邊長為。，乙的邊長為6,依題意得，方式一中、魚-4=2,即/一2/+/=2；

方式二中、（。+6）2-（°2+加）=8,即2必=8；根據(jù)/+/=2+2仍，計(jì)算求解即可.

【詳解】解：設(shè)甲的邊長為。，乙的邊長為6,

依題意得,方式一中、0-"=2,即/一2曲+/=2；

方式二中、（0+匕）2-（。2+62）=8,即2奶=8；

國辦2+“2=2+2。。=10，

故選：B.

4.如圖，由5個(gè)大小，形狀完全相同的小長方形構(gòu)造出一個(gè)大長方形，大長方形的周長為

60,且陰影部分的面積為116,則每個(gè)小長方形的面積為.

【分析】本題主要考查了完全平方公式變形求值；找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元二次方程組

是解題的關(guān)鍵.設(shè)每個(gè)小長方形的長為。，寬為A則每個(gè)小長方形的面積為必，根據(jù)大長方

形的周長為60,且陰影部分的面積為116,列出二元二次方程組，再求出必的值，即可得

出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)每個(gè)小長方形的長為。，寬為6,則每個(gè)小長方形的面積為必，

由題意得：

2。+。+2。+a=—x60

2

（2Q+Z?）（20+Q）-5QZ?=116

Q+Z?=10①

整理得:

a2+b2=58@

由①得：（a+6f=100,

即/+2。匕+廿=100③，

③-②得：2而=42,

:.ab-21,

即每個(gè)小長方形的面積為21,

故答案為：21.

5.如圖，C是線段A8上的一點(diǎn)，以AC,8C為邊在的兩側(cè)作正方形.若48=6,兩個(gè)

正方形的面積和H+星=20,則圖中陰影部分的面積為

【答案】4

【分析】本題考查了完全平方公式，巧妙的運(yùn)用完全平方公式，將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于直角

邊長的乘積是解決本題的關(guān)鍵.

首先設(shè)三角形直角邊長，利用。+邑=20得到關(guān)于直角邊長的等式，再根據(jù)完全平方公式求

出兩條直角邊的乘積，進(jìn)而求得陰影面積.

【詳解】解：設(shè)AC=;〃,BC=",

22

則S1=m,S2=n,

S]+邑=in2+n2=20.

AB=6,

:.m+n=6,

(m+n)2=36,

m2+n2+2mn=36，

.,.mn=8f

01

5AACF=/根"=44.

故答案為：4.

6.如圖，將兩張周長為10,面積為4的長方形紙片按圖1,圖2兩種方式放置，正方形ABCD

中未被這兩張長方形紙片覆蓋部分用陰影表示，圖1和圖2中陰影部分的面積分別記為航和

Si.則岳一顯=

【答案】9

【分析】本題考查了完全平方公式的運(yùn)用，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容

是解題的關(guān)鍵.結(jié)合圖一和圖二，^S^VDxDT+BWxBG,S2=DYxPD+BLxBK,再

代數(shù)化簡，得E=2廠—2(a+b)x+,S2=2x"—2.(^a+b^x+2.ab,貝!]R—S,=(a—6),

再根據(jù)。+6=5,仍=4,進(jìn)行計(jì)算，即可作答.

【詳解】解：依題意，設(shè)正方形的邊長為明

回H=VDxDT+BWxBG

=—2<xx+a2+尤2—2bx+b~

=2廠——2bx+/+b-

=2x-—2(a+b)x+ci~+b~,

^S2=DYxPD+BLxBK

=（x一人）（%-〃）+（%一人）（x一〃）

=2d-2（〃+Z?）x+2次?，

團(tuán)S]-S2

—2%2—2（〃+/?）%+a?+/?2—2x2+2（a+Z?）x—2ah

—Q?+Z??—2ab

=（〃-6）2；

由題意可得：2（a+b）=W,ab=4,

^\a+b-5,ab=4,

回（a-6）2=（a+6,-4ab=25—4x4=9,

故答案為：9.

類型三、正確結(jié)論的是

1.如圖，AB//CD,尸為4B上一點(diǎn)，F(xiàn)D//EH,且正■平分/A/G,過點(diǎn)尸作/G_LE”于

點(diǎn)G,且NAFG=2/O,則下列結(jié)論：①"=30。；②2"+Z￡HC=90°；③ED平

分NHFB；④FH平分NGFD.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】延長FG交C。于點(diǎn)/,根據(jù)角平分線的定義，直角三角形的兩個(gè)銳角互余和平行線

的性質(zhì)即可解答.

此題考查了角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì).

【詳解】解：延長FG交于點(diǎn)/,

⑦FG上EH,

0Z/GH=9O°,

團(tuán)NGZH+NGm=90。，

⑦FD〃EH,

團(tuán)ND=NGHZ,

^\AB//CD,

?NGIH=NAFG,

0ZAFG+ZD=9O°,

團(tuán)NAFG=2ND,

02Z￡>+ZD=9O°,

解得NO=30。；

故①正確；

團(tuán)2ND+N及〃=90。，

故②正確；

0AB//CD,

0ZBFD=ZD=3O°,

無法判定NHFO=30。，

故③錯(cuò)誤；

RFD//EH,

田NHFD=NFHG,

無法判定ZGFH=ZFHG,

故④錯(cuò)誤，

D

H

故選：B.

x+y=l+4a、

2.已知關(guān)于x、y的方程組c,得出下列結(jié)論，正確的是（）

2x-y=-a-7

①當(dāng)。=0時(shí)，方程組的解也是方程尤+y=i的解；②當(dāng)x=y時(shí)，G=-|；③不論a取什

么實(shí)數(shù)，3x-y的值始終不變：④不存在a使得2x=3y成立；

A.①②③B.①②④C,①③④D.②③④

【答案】A

【分析】①把a(bǔ)看做已知數(shù)表示出方程組的解，把a(bǔ)=0代入求出x與y的值，代入方程檢

驗(yàn)即可；②令x=y求出a的值，即可作出判斷；③把x與y代入3x-y中計(jì)算得到結(jié)果，判

斷即可；④令2x=3y求出a的值，判斷即可.

尤+y=1+4。①

【詳解】解:

2尤—y=—Q—7(2)

①+②得：3x=3a-6,

解得：x=a-2,

把*=2-2代入①得：y=3a+3,

當(dāng)a=0時(shí)，x=-2,y=3,

把x=-2,y=3代入x+y=l得：左邊=-2+3=1,右邊=1,是方程的解；

當(dāng)x=y時(shí)，a-2=3a+3,即a=_「；

3x-y=3a-6-3a-3=-9,無論a為什么實(shí)數(shù)，3x-y的值始終不變,為-9；

13

令2x=3y,即2a-4=9a+9,即a=-■—,存在,

則正確的結(jié)論是①②③，

故選A.

【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程組，熟

練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

3.設(shè)〃是正整數(shù)，iHP(n)=l3+23+33++/,則P（w）是〃的一個(gè)多項(xiàng)式，下列結(jié)論正確

的是（）

A.尸⑺的最高次數(shù)項(xiàng)系數(shù)為1B.P（〃）的常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為-2

C.P（"）是n的一個(gè)三次多項(xiàng)式D.尸5）的三次項(xiàng)系數(shù)是g

【答案】D

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，完全平方公式，多項(xiàng)式的定義，根據(jù)

P(n)=l3+23+33++川=(1+2+3+…+a'=?+?+(,進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷,

即可求解.

【詳解】解：013+23=9=(1+2)2,13+23+33=36=(1+2+3)2,

13+23+33+43=100=(1+2+3+4)2,......,

「/、a2aa/、2+/〃3

=13+23+33+,+/=(1+2+3d--=——5—=-^7+^~+_^7J

A.P⑺的最高次數(shù)項(xiàng)系數(shù)為:，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.P(")的常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為0,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C.P(")是"的一個(gè)四次多項(xiàng)式，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.P(〃)的三次項(xiàng)系數(shù)是T，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

4.關(guān)于1的二次三項(xiàng)式％之+如；+〃(m是常實(shí)數(shù))，現(xiàn)有以下結(jié)論：

(1)若加+〃=—1,則二次三項(xiàng)式九之+必：+幾一定含有因式(尤-1);

(2)若”=9,且x?+mx+〃=(x+p)2,貝!J〃z=6；

(3)若*+mr+〃=(x-2)(x+q),則2:〃+“=Y；

(4)若病-4"<0則無論x取何實(shí)數(shù)，+〃總是正數(shù).

其中正確結(jié)論的序號(hào)有.

【答案】(1)(3)(4)

【分析】此題考查了因式分解、完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握因式分解和完全平方公式是

關(guān)鍵.利用因式分解和完全平方公式逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解:(1)I3m+n=-l,

回￡+fnx+n

=x2+mx-m-\

=x2-1+mx,-m

=(x+1)(x-1)+m(x-1)

=(x-l)(x+l+m)

團(tuán)二次三項(xiàng)式％2+mx+n一定含有因式(x-l)；

故(1)正確，

(2)若〃=9,且爐+mx+〃=(x+〃)2,

0x2+mx+n=x2+6x+9=(x+3)2x2+mx+n=x1—6x+9=(x—3)2,

則根=6或根=-6；

故結(jié)論(2)不正確；

(3)回％2+mx+M=(x—2)(尤+q)=%2+(4—2)x—29,

^\m=q—2,n=—2q,

團(tuán)2根+幾=2(q-2)—2q=-4,

故結(jié)論(3)正確；

加2加2

22

(4)l?]x+mx+n=x+mxH-----1-n------

44

(1Ym2

=x+—m+n-----

I2)4

回[x+g>0,

團(tuán)當(dāng)九——>0時(shí)，即/-4〃<0時(shí)，

4

無論x取何實(shí)數(shù)時(shí)，％2+如+〃總是正數(shù)，

故結(jié)論(4)正確；

故答案為：(1)(3)(4)

5.定義運(yùn)算：a?b=-+X-,比如2區(qū)3=!+!".下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的幾個(gè)結(jié)論:

ab236

①20(-3)=)；

O

②此運(yùn)算中的字母。，6均不能取零；

③a?b=b?a；

@a?(b+c)=a?b+a?c.

其中正確的是.(把所有正確結(jié)論都寫在橫線上)

【答案】①②③

【分析】利用題中的新定義計(jì)算各項(xiàng)得到結(jié)果，即可做出判斷.

【詳解】解：2(8)(-3)=m，.?.①正確；

236

?

a?b=——1F—1,

ab

。W0且bW0,

?二②正確；

b?a=—+—,a?b=--\,

baab

:.a?b=b?a,

二③正確；

?7、111111211

tz?(Z?+c)=—+------,a?b+a?c=—+-+—+-=—+-+-,

ab+cabacabc

「?④不一定正確.

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

x+3y=4—々

6.已知關(guān)于無、y的方程組；,，給出下列結(jié)論:

x-5y=3a

Z-XI%=5

①I是方程組的解；

b=-i

②無論。取何值，x,y的值都不可能互為相反數(shù)；

③當(dāng)。=1時(shí)，方程組的解也是方程x+y=4-a的解；

④x,y的值都為自然數(shù)的解有2對(duì)，

其中正確的有

【答案】②③/③②

【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程

組是解法是解題的關(guān)鍵.求得二元一次方程組的解，再利用方程組解答意義對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行

逐一判斷即可得出結(jié)論.

5+a

x=-----

fx+3y=4—a2

【詳解】解：.?關(guān)于X,＞的方程組u.的解為：

[x-5y=3a1-a

12

x+3y=4—ax=5

則關(guān)于x,y的方程組/。的解為:

x-jy=3ay=-l

5+a

2

[a=5.

解得.不存在

[a=5

???①的結(jié)論不正確；

5+a1—a.

x+y=-------1------=3,

22

無論。取何值，X,＞的值都不可能互為相反數(shù)，

...②的結(jié)論正確；

當(dāng)a=l時(shí)，x+y=3,

「?當(dāng)a=l時(shí)，方程組的解也是方程x+y=4-a的解,

...③的結(jié)論正確；

x=0X=1x=3

Xy的值都為自然數(shù)的解有共4對(duì),

J=3j=2y=0

，④的結(jié)論不正確.

綜上，正確的是：②③.

故答案為：②③.

類型四、折疊問題

1.將一條長方形紙帶按如圖方式折疊，若4=112。，則N2的度數(shù)為（）

A.34°B.44°C.39°D.56°

【答案】A

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，與角平分線有關(guān)的計(jì)算，根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出N3,

再根據(jù)平角的定義和折痕是角平分線進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：團(tuán)長方形紙帶的對(duì)邊平行，

0Z3=Z1=112°,

團(tuán)折疊,

團(tuán)N2=N4=g（180。一N3）=34°

故選A.

2.如圖是一款長臂折疊LED護(hù)眼燈示意圖，石廠與桌面垂直，當(dāng)發(fā)光的燈管A3恰好與

桌面肱V平行時(shí)，ZDEF=120°,ZBCD=110。，則NCDE1的度數(shù)為（）

A.90°B.110°C.80°D.100°

【答案】D

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的意義；分別過點(diǎn)。、E作的平行線EP,

則可得〃。打〃石尸〃MN,利用平行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖，分別過點(diǎn)。、E作的平行線EP,

^\AB//MN,MN//DH,MN//EP,

^\AB//DH//EP//MNf

0Z.BCD+ZCDH=180°,NHDE=NDEP,ZPEF=ZEFM,

團(tuán)ZCDH=180°-ZBCD=70°,ZDEP=ZDEF-ZPEF=120°-ZPEF；

^\ZEFN=90°,

國NPEF=90。，

團(tuán)NDEP=120°-90°=30°,

回NHDE=NDEP=30。，

^ZCDE=ZCDH+ZHDE=700+30°=100°

故選：D.

3.如圖,將正方形ABCD的一角折疊,折痕為AE,ZFAD比NBAE大15。，設(shè)NBAE和ZFAD

的度數(shù)分別為九、兒那么%、丁所適合的一個(gè)方程組是（）

y-x=15y-x=15x+y=65y-x=15

%+y=90y=2xy=2xy+2x=90

【答案】D

【分析】首先根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①440-㈤E大15。；②/皿）+2/應(yīng)L￡=90。,

根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可.

【詳解】解：設(shè)—A4E和/E4D的度數(shù)分別為x、y,

y_x=15

依題意可列方程組:

y+2x=90

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題

目中的等量關(guān)系，列出方程組.

4.如圖，將一張長方形紙片ABCD沿跖折疊，點(diǎn)DC分別落在點(diǎn)。，C處，若4=58。，

則ZBFC的度數(shù)是.

【答案】58。/58度

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：AD//BC,D'E//FC,

0Z2=Z1=58°,ZBFC=Z2=58°；

故答案為：58°.

5.如圖，將長方形ABCL（沿對(duì)角線AC折疊，8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,AE與C。交于點(diǎn)?若

NFCE=50°,則ZCAB的度數(shù)為.

【答案】20。/20度

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)與折疊的問題.有長方形可得/BCD=90。，AB//CD,根

據(jù)折疊的性質(zhì)，得到/EC4=/3C4=70。，ZDCA=20°,由平行線的性質(zhì)，

ZDCA=ZCAB=20。即可得解.

【詳解】團(tuán)長方形ASCD,

0ZfiCD=9O°,AB//CD,

0ZFCE=50°,

0ZBCE=NFCE+ZBCD=140°,

回折疊，

EZECA=ZBCA=-ZBCE=70°,

2

0ZDCA=/ECA—NFCE=20°,

AB//CD,

0ZDC4=ZC4fi=2O°,

故答案為：20°.

6.如圖所示，將長方形紙片ABCD沿折痕所折疊，點(diǎn)、D、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為%,C,線

段￡>'C'交線段BC于點(diǎn)G,若ZDEF=53。,則NFGC'的度數(shù)是.

【答案】16/16度

【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，由折疊性

質(zhì)可知：ZDEF=ZiyEF=53°,/^^=/石尸（7',再根據(jù)4￡>〃36'得"跖=/6五￡1=53。，

再根據(jù)角度和差即可求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊和平行線的性質(zhì).

【詳解】解：由折疊性質(zhì)可知：ZDEF=ZD'EF=53°,NEFC=NEFC',

^\AD//BC,

旦NDEF=NGFE=53。,

0ZEFC=ZEFC,=180-ZGFE=ISO-53=127,

ENGFC=ZEFC-NGFE=127-53=74,

SZFGC=9Q-ZGFC=90-74=16,

故答案為：16.

類型五、配方法求最值

1.已矢口。、6、c為正整數(shù)，且/+6?+<?-4b-6c-ac=19,那么a+6+c的最小值等于（）

A.11B.10C.8D.6

【答案】B

【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用.將式子轉(zhuǎn)化為S-6）2+（6-c）2+（c-a）2=38,根據(jù)°、

匕、C為整數(shù),以及22+32+52=38,假設(shè)，則有兩種情況，a-c=5,b-c=3,a-b=2

或a-c=5,Z?-c=2,a-b=3,進(jìn)而得到當(dāng)〃-c=2時(shí),a+b+c的值最小，求解即可.

【詳解】解：^a2+b2-^-c2—ab—be—ac=19

回2/+2H+2c2—2ab—2bc—Zac=38>

0(a-Z?)2+(b-c)~+(a-c)2=38,

13。、b、c為整數(shù)，

!3a-6,〃一c,“一c均為整數(shù)，

假設(shè)a>6>c,

022+32+52=38,

國有兩種情況，

(1)a—c—5,b—c—3,a—b—2,此時(shí)：a=6,b-4-,c—\；

(2)a-c=5,b-c=2,a-b='3,此時(shí)：a=6,b=3,c=1；

回a+b+c的最小值為6+3+1=10；

故選B.

2.若多項(xiàng)式/=4+2/_24+46+2023,則M的最小值是()

A.2019B.2020C.2021D.2023

【答案】B

【分析】先將原式分解為兩個(gè)完全平方公式的形式，然后利用完全平方公式的非負(fù)性即可看

出”的最小值.

【詳解】M^(r+2b--2a+Ab+2023

=/一2。+1+2(〃+20+1)+2020

=(?-1)2+2(&+1)2+2020

.(?-1)2+2(&+1)2>0

M的最小值是2020.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的非負(fù)性，將原式分解為兩個(gè)完全平方公式的形式是

解題關(guān)鍵.

3.好一4工+2的最小值為_.

【答案】-2

【分析】本題考查了完全平方公式運(yùn)用，對(duì)式子進(jìn)行配方得到必--+2=(了-2)2-2,根

據(jù)非負(fù)性即可求出最小值.

【詳解】解：x2-4x+2-(x-2)2-2,

(X-2)2>0,

(x-2)-22-2,

，當(dāng)x=2時(shí)，式子的最小值為-2,

故答案為：—2.

4.2〃+26?+8。-206+30的最小值是.

【答案】-28

【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵；先根據(jù)完

全平方公式分解因式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：2/+2廿+8。一20，+30

=2/+8。+8+2bl-20b+50-28

=2(〃+4。+4)+2僅2-106+25)-28

=2(?+2)2+2(Z?-5)2-28,

EI2(a+2)220,2(6-5)2^0,

02a2+2b2+8a-20b+30的最小值是一28.

故答案為：-28.

5.閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如加+樂+《。70)的多項(xiàng)式變形為a(x+〃zy+〃

的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式的配方法，運(yùn)用多項(xiàng)式的配方

法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)

式最大值，最小值等.

例如：尤2+4x-5=無？+4尤—[g]-5=(尤+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(尤+5)(x—1).

例如：求代數(shù)式尤?+4x+6的最小值.

原式=x?+4x+4+2=(x+2)~+2.

.(X+2)2>0,

...當(dāng)x=-2時(shí)，尤2+4x+6有最小值是2.

根據(jù)以上材料，解答下列問題.

(1)分解因式(利用配方法)：%2+2X-8；

⑵求多項(xiàng)式41+4工-3的最小值；

⑶已知。，6,c是VABC的三邊長，且滿足6+〃+c?+5。=6。+86+10c,求VABC的周長.

【答案】⑴(x+4)(x—2)

⑵最小值為T

⑶12

【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用.熟練掌握因式分解是關(guān)鍵.

(1)讀懂題意，按題目給出的方法因式分解即可；

(2)配方后即可得出多項(xiàng)式的最值；

(3)把等式的項(xiàng)都移到一邊，配方，正好出現(xiàn)非負(fù)數(shù)相加等于0,然后非負(fù)數(shù)等于0,求出

各條邊長，再求周長即可.

【詳解】(1)解：/+2尤一8

=%2+2無+1—1—8

=(X+1)2-9

=(x+l+3)(x+l-3)

=(%+4)(x—2).

(2)解：4X2+4X-3

=4f+4x+12—產(chǎn)一3

=(2X+1)2-4,

0(2x+l)2>0,

0(2X+1)2-4>-4,

團(tuán)多項(xiàng)式4尤2+4X-3的最〃、值為Y；

(3)解：0a2++c2+50=6a+8￡>+10c,

回a"++c~+50—6<J—8b—10c=0，

0a2-6a+9+ZJ2-8Z2+16+c2-lOc+25-9-16-25+5O=O,

0(6Z-3)2+(Z?-4)2+(C-5)2=O,

團(tuán)a—3=0,Z?—4=0,c—5=0,

團(tuán)a=3,b=4,c=5,

團(tuán)3+4+5=12,

EIVABC的周長為12.

6.我們把多項(xiàng)式〃+2而+廿及/一2"+/叫做完全平方式，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平

方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，

使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不

僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)

式最大值，最小值等.

例如：分解因式Y(jié)+2x—3=(x?+2x+l)—4=(x+l)~—4=(x+l+2)(x+l-2)=(x+3)(x—1)

例如：求代數(shù)式21+4彳一6的最小值2X2+4X-6=2(/+2X-3)=2(X+1)2-8.可知

當(dāng)％=—1時(shí)，2%2+4%—6有最小值，最小值是一8.

根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：

⑴分解因式：m2—6m—16=_;

(2)若4、〃滿足4a+6〃+13=0,求底的值;

7R

(3)已知尸=石%=-正機(jī)(機(jī)為任意實(shí)數(shù))，比較P、。的大??；

(4)當(dāng)X、y為何值時(shí)，多項(xiàng)式Y(jié)—2孫+2y2+4x-10y+29有最小值，并求出這個(gè)最小值.

【答案】(1)(〃工+2)(加一8)

(2)9

(3)P<2

(4)x=l,y=3,16

【分析】此題考查了因式分解的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，完全平方公式的應(yīng)用，

(1)根據(jù)閱讀材料，先將療-6根-16變形為療-6根+9-25,再根據(jù)完全平方公式寫成

(“-3)2-25,然后利用平方差公式分解即可；

(2)利用配方法將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為完全平方式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得a=2,b=T,

進(jìn)而可得/的值；

(3)用。減P得。-尸=,/一根+1,利用配方法將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為完全平方式，然后利用非

負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；

(4)利用配方法將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為完全平方式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【詳解】(1)解：nr—6m-16

=m2—6m+9—25

=(機(jī)—3)2—25

=—3+5^772—3—5)

=(m+2)(m-8)；

(2)解：團(tuán)"+/一4〃+6人+i3=o,

團(tuán)(/一4〃+4)+僅2+60+9)=0,

0(6Z-2)2+(Z?+3)2=O,

回。一2=0,Z?+3=0,

回〃=2,Z?=—3,

回/=(-3)2=9；

78

(3)解：團(tuán)尸=一m-1,Q=m2-----m,

1515

287

^\Q-P=m-----m-----m+1

1515

=m2-m+1

(1丫3、3c

I44

團(tuán)Q>尸，即PvQ；

(4)解：J一2盯+2y2+4x—i0y+29

=x2-2xy+4x+/一分+4+J一6y+9+16

=x2-2x(j-2)+(^-2)2+y2-6y+9+16

=(x-y+2)2+(y—3)2+16216,

團(tuán)當(dāng)％—y+2=0且丁一3=0時(shí)，x2-2xy+2y2+4x-10)；+2916,

此時(shí)得：y=3,x=l,

團(tuán)%=1,>=3時(shí)，多項(xiàng)式J—2孫+2/+4%—i()y+29有最小值為16.

類型六、規(guī)律問題

1.已知下列等式：@22-12=3;②32-2J5;③42-32=7;……

(1)請仔細(xì)觀察這三個(gè)式子，寫出第④個(gè)式子：：

⑵請你找出規(guī)律，寫出第〃個(gè)式子,并證明該式成立；

⑶利用(2)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求1+3+5+7+-+99的值.

【答案］⑴9

⑵5+1)2-〃2=2W+1；證明見解析

(3)2500

【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，得出運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決

問題.

(1)由等式左邊兩數(shù)的底數(shù)可知，兩底數(shù)是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)，右邊為兩底數(shù)的和，由此

求解；

(2)等式左邊減數(shù)的底數(shù)與序號(hào)相同，由此得出第九個(gè)式子；

(3)由3=2，—儼,5=32-22,7=42-32,將算式逐一變形，再尋找抵消規(guī)律求解.

【詳解】(1)解：觀察下列等式：①2?-儼=3；②32-22=5;③42-32=7;…

可得第④個(gè)式子：52-42=9.

故答案為：9.

(2)解:由①22-儼=3;②3?-22=5;③42-32=7;......

可得第④個(gè)式子：5?-4?=9得

第“個(gè)式子為：(?+1)2-n2=2n+l.

證明：左邊：("+1)~="+2"+1-〃2=2"+1,

，左邊=右邊，

二等式成立.

故答案為：(〃+1)2-"2=2〃+1.

(3)解：由(2)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可得

1+3+5+7++99

=1+22-I2+32-22+42-32++492-482+5O2-492

=502

=2500.

2.觀察以下等式:

第1個(gè)等式：32+2xlx3=2x22+7;

第2個(gè)等式：52-2x0x4=2x32+7;

第3個(gè)等式：72-2x1x5=2x42+7;

第4個(gè)等式：92-2x2x6=2x52+7;

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

(1)寫出第5個(gè)等式：；

⑵寫出你猜想的第〃個(gè)等式(用含〃的式子表示)，并證明.

【答案】(1)1F-2X3X7=2X62+7

(2)(2n+1)2-2(n-2)(〃+2)=2(n+l)2+7,證明見解析

【分析】本題考查了數(shù)字的變化類問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察各個(gè)等式并從中找到規(guī)律.

(1)根據(jù)題意寫出第5個(gè)算式即可.

(2)根據(jù)規(guī)律寫出第w個(gè)等式，然后利用完全平方公式，平方差公式證明左邊=右邊即可.

【詳解】(1)解：第1個(gè)等式：(2xl+iy+2xlx3=2x22+7；

第2個(gè)等式：(2X2+1)2-2XOX4=2X32+7；

第3個(gè)等式：(2x3+l)2-2xlx5=2x42+7；

第4個(gè)等式：(2X4+1)2-2X2X6=2X52+7；

則第5個(gè)等式為：112-2X3X7=2X62+7;

故答案為：112-2x3x7=2x62+7;

(2)第"個(gè)等式為：(2〃+1)2-2(?-2)(〃+2)=2(/7+1)2+7.

證明：,左邊=4/+4?+1-2(?2-4)=2"+4”+9,

右邊=2(?2+2M+1)+7=2M2+4〃+2+7=2M2+4n+9,

?1?左邊=右邊，

..?原等式成立.

3.觀察以下等式.

第1個(gè)等式：0x2z+4xl=(l+l)2.

第2個(gè)等式：12X32+4X4=(4+1)2.

第3個(gè)等式：22x42+4x9=(9+1)2.

第4個(gè)等式：32X52+4X16=(16+1)2.

按照以上規(guī)律，解答下列問題.

⑴寫出第5個(gè)等式：.

(2)寫出你猜想的第〃個(gè)等式(用含w的式子表示)，并證明.

【答案】(1)42x62+4x25=(25+1)2

(2)(n-l)2(n+l)2+4n2=(n2+,見解析

【分析】本題考查數(shù)字規(guī)律探究、列代數(shù)式，整式的運(yùn)算；

(1)根據(jù)題目中等式的特點(diǎn)，可以寫出第5個(gè)等式；

(2)根據(jù)題目中等式的特點(diǎn)，可以寫出猜想，然后將等式左邊和右邊展開，看是否相等即

可證明猜想.

【詳解】(1)解：第1個(gè)等式：0x22+4xl=(l+iy,

第2個(gè)等式：12X32+4X4=(4+1)2,

第3個(gè)等式：22x42+4x9=(9+1)2,

第4個(gè)等式：32X52+4X16=(16+1)2,

第5個(gè)等式是42x62+4x25=(25+1)2；

故答案為：42X62+4X25=(25+1)2；

(2)解：猜想：第〃個(gè)等式：(n-l)2(n+l)2+4n2=(n2+l)2,

證明：13左邊1)(1+1)了+4〃2

=(”2+4n2

=("4-2*+1)+4/

=+2n2+1

=,/+1)=右邊.

4.【課本再現(xiàn)】我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在他1261年的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”.如

圖，此圖揭示了（a+b）”（〃為非負(fù)整數(shù)）、展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的一些相關(guān)規(guī)律.

左右

積積

本積C

商除

平方

立方

三乘G

四乘G

軟

今

ee甸

命

中

左