第01講平面向量的概念及線性運(yùn)算

目錄

01考情透視目標(biāo)導(dǎo)航.............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航.............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究.............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：向量的有關(guān)概念........................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：向量的線性運(yùn)算........................................................4

知識(shí)點(diǎn)3：平面向量基本定理和性質(zhì)................................................5

知識(shí)點(diǎn)4：平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算..........................................7

解題方法總結(jié)....................................................................7

題型一：平面向量的基本概念......................................................8

題型二：平面向量的線性運(yùn)算及求參數(shù)問(wèn)題..........................................9

題型三：共線定理及其應(yīng)用.......................................................10

題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用...................................12

題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算.................................................15

題型六：向量共線的坐標(biāo)表示.....................................................16

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)............................................................16

05課本典例高考素材............................................................17

06易錯(cuò)分析答題模板............................................................19

易錯(cuò)點(diǎn)：忽視平面向量基本定理的使用條件.........................................19

答題模板：用基底表示向量.......................................................19

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)向量的有關(guān)概念

2024年I卷第3題，5分

(2)向量的線性運(yùn)算和

2024年甲卷(理)第9題，5分通過(guò)對(duì)近5年高考試題分析可知，高考在

向量共線定理

2023年北京卷第3題，5分本節(jié)以考查基礎(chǔ)題為主，考查形式也較穩(wěn)定，

(3)平面向量基本定理

2022年I卷第3題，5分考查內(nèi)容一般為平面向量基本定理與坐標(biāo)運(yùn)

和性質(zhì)

2021年乙卷(文)第13題，5分算，預(yù)計(jì)后面幾年的高考也不會(huì)有大的變化.

(4)平面向量的坐標(biāo)表

2022年乙卷(文)第3題，5分

示及坐標(biāo)運(yùn)算

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.

(2)掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.

(3)了解平面向量基本定理及其意義

(4)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法'減法與數(shù)乘運(yùn)算

匐2

〃二知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

如果捻成，￡和!Wa//5；反之，

平面向量的概念及線性運(yùn)算共線向國(guó)

基本定理如果1〃加I?忌6,則一定存在唯?的實(shí)數(shù)入，使方=歷.

如果，利《是同?個(gè)平向內(nèi)的兩個(gè)不共線向反，

那么時(shí)丁該平面內(nèi)的仔響收入郡存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)人兒，

平面向甲

使雨?！?入甚我們把下共線向也；，4泗做

基本定理,

發(fā)示這一平面內(nèi)所力晌林的州草底，記為伍力,

入石+人京叫做向M?矢「M底(￡￡｝的分解式.

平面向量基本定理和性質(zhì)

苦點(diǎn)”是邊上的點(diǎn)，

線段定比分點(diǎn)&AOOI'.8cILBD=XZ>C(X#-l).

的向量表達(dá)式則向民5=專產(chǎn)

平面內(nèi)三點(diǎn)箝B,C共線的充要條件是：

三點(diǎn)共線定理

存在實(shí)數(shù)入,M，使前=人次+y。百，其中A+M=1，。為平面內(nèi)一點(diǎn).

中線向量定理在△oc中，若點(diǎn)D是邊6C9中點(diǎn)，則中線向班歷=：(近+歷

平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算

考點(diǎn)突確.題理輝寶

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:向量的有關(guān)概念

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）.

（2）向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的長(zhǎng)度，記作|AB].

（3）特殊向量：

①零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：。與任一向量平行.

④相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

【診斷自測(cè)】下列命題中，正確的是（）

A.若忖=陣貝必=6B.若W＞W(wǎng)，貝心＞6

C.若°=＞，則q//6D.若a〃b,b〃c,則a11c

知識(shí)點(diǎn)2：向量的線性運(yùn)算

（1）向量的線性運(yùn)算

運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

二一①交換律

求兩個(gè)向量和的a+b=b+a

加法

運(yùn)算aa②結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則(a+b)+c=a+(b+c)

求a與6的相反

向量-b的和的

減法Q—b=a+(—h)

運(yùn)算叫做。與ba

的差三角形法則

(1)|4(H刈〃1

幾(即)=(加)a

求實(shí)數(shù)彳與向量(2)當(dāng)2>0時(shí)，丸〃與。的方向相同；當(dāng)

數(shù)乘(2+=XQ+

a的積的運(yùn)算2<0時(shí)，4a與a的方向相同；

4(〃+b)=Aa+Ab

當(dāng)4=0時(shí)，2a=0

【注意】

U)向量表達(dá)式中的零向量寫成0,而不能寫成0.

(2)兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿足的條件是：兩個(gè)向量所在直線平行或

重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系.

(3)要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須

重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首

尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件.

(4)向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：OA-OB=BA,AM-AN=NM,

OA=OB+CA^OA-OB=CA^BA-CA=BA+AC=BC.

【診斷自測(cè)】MP+PQ-MN=()

A.QNB.NQC.PMD.MP

知識(shí)點(diǎn)3：平面向量基本定理和性質(zhì)

1、共線向量基本定理

如果。=勸(沈€??),則a/必；反之，如果。//6且人力0,則一定存在唯一的實(shí)數(shù)力，使a=勸.(口

訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘).

2、平面向量基本定理

如果e；和e；是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量a,都存在唯一的一對(duì)

實(shí)數(shù)4,4,使得a=4e；+&e2,我們把不共線向量e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記

為｛q,6｝,+Z,e2叫做向量a關(guān)于基底｛4,4｝的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量q與e?不共線，平面內(nèi)的任一向量。都可以分解成形如

“=4q+4e2的形式，并且這樣的分解是唯一的.4弓+402叫做q,與的一個(gè)線性組合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).

推論1：若°=4G=4弓+462,則4=4,4=%.

推論2：若a=4q+402=0,則4=4=0.

3、線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式

如圖所示，在△ABC中，若點(diǎn)。是邊3C上的點(diǎn)，MBD=ADC(2^-1),則向量

_在向量線性表示(運(yùn)算)有關(guān)的問(wèn)題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神

AD=AB+AAC

1+A

奇”之功效，建議熟練掌握.

A

B/C

BDC

4、三點(diǎn)共線定理

平面內(nèi)三點(diǎn)A,B,C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)4〃，使OC=2OA+〃O8,其中九+〃=1,。為

平面內(nèi)一點(diǎn).此定理在向量問(wèn)題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握.

A、B、C三點(diǎn)共線

。存在唯一的實(shí)數(shù)X,使得AC=/L4B；

o存在唯一的實(shí)數(shù);I,使得OC=OA+/L4B；

o存在唯一的實(shí)數(shù)X,使得OC=(1-㈤。4+202；

=存在；I+〃=1,^OC=AOA+juOB.

5、中線向量定理

如圖所示，在△ABC中，若點(diǎn)D走邊8C的中點(diǎn)，則中線向量AD=L(A5+AC),反之亦正確.

2

【診斷自測(cè)】在ABC中，已知。是3C邊上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，且OE=XAB+〃AC,

貝！J4+〃=()

A.—B.—1C.—D.1

22

知識(shí)點(diǎn)4：平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算

(1)平面向量的坐標(biāo)表示.

在平面直角坐標(biāo)中，分別取與X軸，y軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面

向量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使。=宜+0,我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)

(x,y)叫做向量。的坐標(biāo)，記作。=(x,y).

(2)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有

向量(％y).一對(duì)應(yīng)■向量。4.一一對(duì)應(yīng)?點(diǎn)A(x,y).

(3)設(shè)。=(占,％),》=(尤2，%)，則。+6=(玉+%，%+%)，a-b=(xl-x2,y1-y2),即兩個(gè)向量的和

與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

若a=(無(wú),y),2為實(shí)數(shù)，則幾a=(4x"y)，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相

應(yīng)坐標(biāo).

(4)設(shè)A(&%),B(x2,y2),則AB=OB-OA=(占-尤2,%-%)，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有

向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).

(5)平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

①已知點(diǎn)&>］，％),B(X2,y2),則48=(%-占，%-%)，|AB|=正2-%了+(%-%-

②已知a=(占,％),b=(x2,y2),則?！懒?(占土尤2，M±%)，幾°=(2玉"％)，

a-b=\x2+%%,Ia1=Jk+y；.

a〃b=玉%—w%=0,o_L6o\x2+y1y2=0

【診斷自測(cè)】已知點(diǎn)A(2,3),8(1,4),且4尸=_2P8,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是—.

解題方法總結(jié)

(1)向量的三角形法則適用于任意兩個(gè)向量的加法，并且可以推廣到兩個(gè)以上的非零向量相加，稱

為多邊形法則.一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向

量.

即A4+44+-"+4,-iA,=A4,?

(2)\\a\-\b\\<\a+b\<\a\+\b\,當(dāng)且僅當(dāng)a,6至少有一個(gè)為0時(shí)，向量不等式的等號(hào)成立.

(3)特別地：||a|-g|區(qū)|。±6|或|a±b|W|a|+|b|當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個(gè)為。時(shí)或者兩向量共線時(shí),

向量不等式的等號(hào)成立.

（4）減法公式：AB-AC=CB,常用于向量式的化簡(jiǎn).

（5）A、P、3三點(diǎn)共線o=+QeR）,這是直線的向量式方程.

題型洞察

題型一：平面向量的基本概念

【典例1-11（2024?高三.福建廈門?開(kāi)學(xué)考試）下列命題不正確的是（）

A.零向量是唯一沒(méi)有方向的向量

B.零向量的長(zhǎng)度等于0

ab

C.若a，b都為非零向量，則使n+KJ=°成立的條件是a與》反向共線

H\b\

D.若a=b,b=c>貝!Ja=c

【典例1-2】給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；②兩個(gè)向量不能比較大小，

但它們的模能比較大??；③若羽=6Q為實(shí)數(shù)），則4必為零；④已知九〃為實(shí)數(shù)，若"以，則。與

b共線.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【方法技巧】

準(zhǔn)確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關(guān)鍵.共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳

遞性，兩個(gè)向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，兩個(gè)向量方向相同且長(zhǎng)度相等，就是相

等向量.共線向量或相等向量均與向量起點(diǎn)無(wú)關(guān).

【變式1-11下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.若山|>歷|,^a>b

B.若|a|=|b|,貝必=6

C.若a=b,則allb

D.若a手b，則。與b不是共線向量

【變式1-2】設(shè)a是非零向量，%是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.a與2a的方向相反B.a與22a的方向相同

C.|-2a|>|a|D.-Aa>|2|a

題型二：平面向量的線性運(yùn)算及求參數(shù)問(wèn)題

【典例2-1]若網(wǎng)=7,陷=4,則罔的取值范圍是（）

A.[3,7]B.（3,7）C.[3,11]D.（3,11）

【典例2-2】在平行四邊形ABCD中，E為8。的中點(diǎn)，尸為BC上一點(diǎn)，則AB+AZ）_2AF=（）

A.2FEB.2EFC.FED.2CF

【方法技巧】

（1）兩向量共線問(wèn)題用向量的加法和減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為需要選擇的目標(biāo)向量即可，而此類問(wèn)題又以“爪

子型”為幾何背景命題居多，故熟練掌握“爪子型”公式更有利于快速解題.

（2）進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或

首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來(lái)求解.

（3）除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時(shí)還需要利用三角形中位線、相似

三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解.

【變式2-1]如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=a,AD=b,點(diǎn)E滿足則。石=（）.

3

33333333

【變式2-2]（2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，平行四邊形ABCO的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，E為AO的中

點(diǎn)，若品=2蕊+〃Ab（；l,〃wR），則4+〃等于（）.

【變式2-3】已知矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)。，E為A。的中點(diǎn)，若=+（A,〃為實(shí)數(shù)）,

則力一〃2n（）

3-2忘口1+應(yīng)

2'2

【變式2-4］（2024.高三.安徽.開(kāi)學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角

形來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù).已知48=3。=8=1,筋，8。,4。，。,4（7與&）交于點(diǎn)0,DO=kAB+^AC,貝|

丸+4=()

C.72+1D.-42-1

題型三：共線定理及其應(yīng)用

【典例3-1】已知平面向量a,b不共線,AB=4a+6b,BC=-a+3b)CD=a+36，貝!1()

A.A,B,。三點(diǎn)共線B.A,B,C三點(diǎn)共線

C.B,C,。三點(diǎn)共線D.A,C,。三點(diǎn)共線

【典例3-2］如圖，在ABC中，AC=3AN,P是3N上的一點(diǎn)，若AP=+,則實(shí)數(shù)m的值

為（）

A

.N

1221

A.B.C.D.

9933

【方法技巧】

要證明A,B,。三點(diǎn)共線，只需證明AB與BC共線，即證=4(AGT?).若已知A,B,。三

點(diǎn)共線，則必有與5C共線，從而存在實(shí)數(shù)力,使得=

2

【變式3?1】如圖，ABC中，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足AN=§A3,AM與CN交于點(diǎn)。，

AD=AAM，則；I=()

【變式3-2］(2024.重慶.模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)G是ABC的重心，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，若

+則幾+"=()

【變式3-3］已知q,%是兩個(gè)不共線的單位向量，a=ei-e2,b=-2e1+ke2,若。與Z?共線，貝!U=.

【變式3-4】已知ABC的重心為G,經(jīng)過(guò)點(diǎn)G的直線交AB于。，交AC于E,若粉=彳淺，AE=juAC,

則;+;=

【變式3-5］如圖，點(diǎn)G為AABC的重心，過(guò)點(diǎn)G的直線分別交直線AB,AC點(diǎn)。，E兩點(diǎn),

AB=3mA￡)(m>0),AC=3nAE(n>0),貝lj根+〃=；若〃>相>0,則工^的最小值為

mn—m

【變式3-6]如圖，在，ABC中，4￡>=；4民45=；4（7,8與8后交于點(diǎn)尸,筋=2,AC=3,AP-BC=1,

則淺?髏的值為;過(guò)點(diǎn)P的直線/分別交”,A。于點(diǎn)M,N,設(shè)AM=mAB,AN=nAC（m>0,n>0）,

則m+2n的最小值為.

題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用

【典例4?1】（2024.上海浦東新.三模）給定平面上的一組向量％、%,則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向

量的基底的是（）

A.26]+,和6-色B.G+34和/+3q

C.36一%和2%—66D.G和,+4

【典例4?2】如圖，在中，點(diǎn)。，D,E分別為3。和5A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)?？拷c(diǎn)3,AD交CE于

點(diǎn)尸，設(shè)BC=a，BA=b,>則BP~(

13D.L+幼

A.——a+—bB.—a+—bC.—ciH—b

77777777

【方法技巧】

應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或

數(shù)乘運(yùn)算，基本方法有兩種：

(1)運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行化簡(jiǎn)，直至用基底表示為止.

(2)將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解.

(3)三點(diǎn)共線定理：A,B,尸三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)；1,〃，使=+其中

彳+〃=1,。為AB外一點(diǎn).

Art

【變式4-1](2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))在ABC中，點(diǎn)。在邊上且滿足==2,E為的中點(diǎn)，直線

DB

交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E則3/=()

A.BA+2BCB.-BA+2BCC.2BA-BCD.-1BA+BC

【變式4-2](2024?山西呂梁?三模)已知等邊的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)3E分別為的中點(diǎn)，若

DF=3EF，則4歹=()

13

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

iuim3uum

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【變式4?3】在ABC中，AB=2,AC=3,BC=4,/為.ABC的內(nèi)心，若=+則32+6〃的值

為()

A.1B.2C.3D.4

【變式4-4](2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè))在“ABC中，0c=23。M為線段A。的中點(diǎn)，過(guò)"的直線分別

2

與線段交于P、Q,S.AP=-AB,AQ=AAC,則％=()

A.-B.-C.；D.-

6323

【變式4-5]如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量。4,OB，OC，其中0Ao8=120，OA,OC=30,且

OA|=|OB|=1,|oc|=2A/3,oc=mOA+nOB,則加+〃=

rC

B120°

【變式4-6］（2024.福建漳州.模擬預(yù)測(cè)）在ABC中，。是邊BC上一點(diǎn)，且3。=2。。,石是AC的中點(diǎn)，記

AC=m,AD=n,則2E=（）

A.-n-3mB.-n-3mC.-m-3nD.-m-3n

3222

【變式4-7］（2024.河北衡水.模擬預(yù)測(cè)）在ABC中，。是3。的中點(diǎn),直線I分別與A民AD,AC交于點(diǎn)

4

M,E,N,^AB=-AMAE=2ED,AC=AAN,貝!)丸=()

3f

575_

AB.C.D.

-1342

【變式4?8】（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）在中,點(diǎn)￡為人。的中點(diǎn)，AF=2FB，BE與CF交于點(diǎn)P,且

滿足5P=45石，則4的值為（）

2

ABC.D

-1-I3-1

【變式4-9］在ABC中，=戶=：（3A+3C）,點(diǎn)尸為AE與族的交點(diǎn)，AP=XAB+JLLAC,則

%一〃=—.

【變式440】（2024?高三?河南?期中）已知，ABC為等邊三角形，分別以CA,C8為邊作正六邊形，如圖所

7

B.EF=-AD+3GH

2

9

C.EF=5AD+4GHD.EF=-AD+3GH

2

題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

【典例5-1]已知。為二ABC的外心，若40,0),5(2,0),4。=1,/54?=120,且4?=幾48+〃47,則

%+〃=()

213

A.—■B.2C.1D.—

36

.1―

【典例5-2】。為坐標(biāo)原點(diǎn)，46,3),若點(diǎn)尸在直線Q4上，且。尸=]FA,p是。8的中點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐

標(biāo)為—,

【方法技巧】

(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，

則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).

(2)解題過(guò)程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解.

【變式5-1]已知點(diǎn)0(0,0),向量04=(1,3),。3=(-3,5),點(diǎn)尸滿足"=2/>3,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【變式5-2】已知梯形ABC。中，AB//CD,AB=2CD,三個(gè)頂點(diǎn)4(4,2),3(2,4),。(1,2).則頂點(diǎn)。的坐

標(biāo).

【變式5-3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在平行四邊形ABCO中，點(diǎn)A(0,0),B(-4,4),￡>(2,6).若AC與BD

的交點(diǎn)為則DM的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為,

【變式5-4】如圖所示，在四邊形ABCD中，已知A(2,6),8(6,4),C(5,0),。(1,0),則直線AC與

交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【變式5-5](2024.高三.上海普陀?期末)在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，此。,0),把向量謂順時(shí)針旋轉(zhuǎn)定角

。得到0。，。關(guān)于>軸的對(duì)稱點(diǎn)記為匕-1=0』，-』0,則%的坐標(biāo)為

題型六：向量共線的坐標(biāo)表示

【典例6-1】已知。=（4,-2）,t=（6,y）,且°〃b，則＞=—.

【典例62］已知向量AB=（2,3）,3C=（2〃2,5）,CZ）=（3,-1）,若A,民。三點(diǎn)共線，則機(jī)=

【方法技巧】

12

（1）兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若。=（占,乂），b=（x2,y2）,貝Ja〃。的充要條件是

玉②若”〃。（匕/0），貝!Ja=46.

（2）向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí),

也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來(lái)求解.

【變式6-11已知向量1=（3,4）Z=（T5）,l=（2,3）,若d-d與先+b共線，則實(shí)數(shù)/=.

【變式6-2】已知向量a=（l,l）,6=（"z,-2）,若。〃（a+方），貝［］“?=

【變式6-3］在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知點(diǎn)4-1,2）,C（-3,l）.則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為;當(dāng)

實(shí)數(shù)加=時(shí)，(mOC+OB)//AB.

1.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知向量°,6滿足a+》=（2,3）,a-6=（-2,1）,則一（）

A.-2B.-1C.0D.1

2.（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）在ABC中，點(diǎn)。在邊上，BD=2DA.記C4=〃?,CO=〃，則

CB=（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

3.（2020年新高考全國(guó)卷H數(shù)學(xué)試題（海南卷））在vWC中，。是邊上