廣東省深圳市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷

2025.7

本試卷共6頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生請(qǐng)務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.將

條形碼橫貼在卡“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂

黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)

位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答的答案無(wú)效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,直線％+y_2=o和圓必+產(chǎn)—2%=0的位置關(guān)系為（）

A.相交B.相離C.相切D.相交且過(guò)圓心

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑比較即可求解.

【詳解】x2+y2-2x^0圓心和半徑分別為（1,0）,=1,

則圓心到直線x+y-2=0的距離為d=1——-1=-=<r=l,

A/12+12A/2

故直線與圓相交但不經(jīng)過(guò)圓心，

故選：A

2.已知等差數(shù)列｛4｝公差為2,和等比數(shù)歹4也｝,出="。5=4嗎4=4,則數(shù)列也｝的前4項(xiàng)和為

（）

A.16B.120C.168D.192

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量運(yùn)算得4=6也=18,利用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算得9=3,4=3,

最后利用等比數(shù)列的求和公式求解即可.

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列｛4｝公差為2,和等比數(shù)列｛包｝,。2=4,。5="，64=4，

所以4.4=a5—a2=3x2=6,4—a=64—%—9x2=18,

設(shè)等比數(shù)列色,｝的公比為g,則為一片=4（4一1）=6,4—方2=4（/-q）=18,

解得4=3也=3,所以數(shù)列｛bn｝的前4項(xiàng)和為3義（1-3，）=120.

1-3

故選：B

3.設(shè)曲線y=ln（依）,（a>0）在x=a處的切線與尤+2y+l=。垂直，則a=（）

A.也B.2C.1D.Ji

【答案】C

【解析】

【分析】先對(duì)曲線丁=111（依）,（。>0）進(jìn)行求導(dǎo)，將x=a代入導(dǎo)函數(shù)中求出切線斜率，在根據(jù)切線與已知

直線垂直的關(guān)系列出方程求解即可.

【詳解】因?yàn)閥=ln（ax）,（a>0）,所以y=工（以）'=!，

axx

所以曲線在X=。處的切線斜率為：k=~,

1a

由直線x+2y+l=0的斜率為：k=--,

22

又因?yàn)榍€y=In（以）在1=〃處的切線與％+2y+1=0垂直，

所以左1?左2=-1n[―—=-1，

所以a=—,

2

故選：C.

4.已知變量尤和y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表，若由表中數(shù)據(jù)得到回歸直線方程為$=—32%+。，則x=4時(shí)的殘差

為（）

X44.555.56

y76421

A.0.2B,-0.3C.0.4D.-0.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由條件可得樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到得到線性回歸方程，然后求得x=4時(shí)的

預(yù)測(cè)值，再由殘差定義即可求解.

_1_1

【詳解】因?yàn)閤=《(4+4.5+5+5.5+6)=5,y=-(7+6+4+2+l)=4,

則樣本中心點(diǎn)為(5,4),代入5=—3.2%+&可得。=4+5義3.2=20，

所以回歸直線方程為J=—3.2x+20,

當(dāng)x=4時(shí)，y=—3.2x4+20=7.2,

所以x=4時(shí)的殘差為7—7.2=-0.2.

故選：D

5.(x+2y)(x—y)5的展開式中爐黃的系數(shù)為()

A.5B,-5C.15D.-15

【答案】D

【解析】

【分析】把(x-y)5按照二項(xiàng)式定理展開，可得(x+2y)(x-y)5的展開式中的系數(shù).

5432

【詳解】(x+2y)(x—y丫=2j)-(C°-%-C*-xy+Cj-x/-C,-x/+C"?-C^?/),

故它的展開式中的系數(shù)為C；-2C；=-15,

故選：D.

6.小張上班有四種方式，有步行，騎自行車，乘坐公汽，自己開車.他記錄了100次用這四種方式上班所

花費(fèi)的時(shí)間，分別用隨機(jī)變量Xi，X2，X3，X4來(lái)表示用這四種方式上班所用時(shí)間(分鐘).經(jīng)數(shù)據(jù)分析，

2222

X]~2V(60,10),X2~2V(40,10),X3~^V(40,15),X4~2V(30,40),如果某天有70分鐘可用，他

該選擇哪種方式上班不遲到的概率最大()

P(〃一cr<X<〃+cr)B0.6827,P(〃一2cr<X<〃+2cr)a0.9545,

P(〃—3cr<X<〃+3cr)a0.9973

A.步行B.騎自行車C.乘坐公汽D.自己開車

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布中3b原則分別計(jì)算不同方式下不遲到的概率，即求計(jì)算不同方式下尸(XW70)的

大小，然后分析即可.

【詳解】①當(dāng)小張步行方式上班時(shí)，由XI~N(60,102)知，4=60,2=10,

所以他上班不遲到的概率為：

P(X1<70)=1+1xP(A-Cy1<X1<A+Cy1)

=-+-x0.6827=0.84135,

22

②當(dāng)小張騎自行車上班時(shí)，由X2~N(40』()2)知，4=40,%=10，

所以他上班不遲到的概率為：

-70)=5+5x—3CF9VX、<+3tr2)

=-+-x0.9973=0.99865,

22

③當(dāng)小張乘坐公汽上班時(shí)，由X3~N(40,152)知，〃3=40,，=15,

所以他上班不遲到的概率為：

P(Xj<70)=—+—x尸(〃3-2%―X3V4+2%)

=-+-x0.9545=0.97725,

22

④當(dāng)小張自己開車上班時(shí)，由X4~N(30,4()2)知，4=30,%=40,

所以他上班不遲到的概率為：

0(X4^70)=—+—xP(JJ4—cr4<X4<jti4+cr4)

=-+-x0.6827=0.84135,

22

由P(X2<70)>P(X3<70)>P(X1<70)=P(X4<70),

所以小張騎自行車上班時(shí)不遲到的概率最大，

故選：B.

7.某學(xué)校一名學(xué)生參加體育和AI兩個(gè)興趣小組，該同學(xué)每周只能選擇其中一個(gè)興趣小組學(xué)習(xí)，第一周選

23

擇體育興趣小組的概率是一，如果第一周選擇AI興趣小組，那么第二周去AI興趣小組的概率為一；如果

35

第一周去體育興趣小組，那么第二周去AI興趣小組的概率為2.已知該同學(xué)第二周去AI興趣小組，則第

3

一周去AI興趣小組的概率為（）

1242

B.——D.

2915

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)第一周去AI興趣小組為事件A,第二周去AI興趣小組為事件B,根據(jù)條件概率公式及全概率

公式求解即可.

【詳解】設(shè)第一周去AI興趣小組為事件A,第二周去AI興趣小組為事件B,

則P（可=|,P（8|A）=|,P（B|A）=

所以P（A5）=P（B|A）P（A）=]x[l_：）=（,

P（B）=P（B|A）xP（A）+P（B|A）xP（A）=|x|+|x|=||,

1

_5_=2_

29—29,

45

故選：A.

8.已知函數(shù)g（x）=e'-ln（x+機(jī)），當(dāng)相＜2時(shí)，則（）

A.g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)B.g（x）有極大值C.g（x）可以是負(fù)數(shù)D.g（x）一定是正數(shù)

【答案】D

【解析】

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)確定g'（x）的單調(diào)性，從而確定g'（x）的零點(diǎn)與存在，得出其為極小值點(diǎn)

判斷選項(xiàng)AB,由g'（Xo）=O得/,加間的關(guān)系，代入g（無(wú)。）變形，然后由基本不等式結(jié)合條件得g（x）＞0

判斷CD.

1

【詳解】g(x)的定義域?yàn)?-八位)，/(%)=]—

x+m

設(shè)/(x)=g'(x)=e'------，則/⑴=e*+^一［7>0,故g'(x)是增函數(shù)，

x+m(x+m)

當(dāng)Xf—機(jī)時(shí)，g'(%)f—8,Xf+8時(shí)，g'(X)f+8,

x1,

所以存在維,e(一〃2,+oo),使得e°=-----,且xe(一m,/)時(shí)，g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

x0+m

xe(Xo，+co)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)有一個(gè)極小值點(diǎn)與,無(wú)極大值點(diǎn)即無(wú)極大值，所以選項(xiàng)AB錯(cuò)誤，

從而當(dāng)x=x0時(shí)，g(無(wú))取得最小值，

結(jié)合m<2,則g(x)2g(xo)=e*°-皿/+加)=--—+x0

XQ+Z72

二——bx0+m-m>2/——--(x0+m)-m=2-m>0,

x+mx0+m

0、

當(dāng)且僅當(dāng)玉)=1一機(jī)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)g(Xo)=e~>0,

故g(x)>0恒成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.則下列說(shuō)法正確的是()

A.用0,1,2,3,4可組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的3位偶數(shù)有30個(gè).

5

5

B.若二項(xiàng)展開式(2+x)5=%+%%+4%2++a5x,則Z(U)=405

i=\

C.樣本相關(guān)系數(shù)r為正數(shù)，越接近于1,則成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)且線性相關(guān)程度越強(qiáng)

D.用殘差來(lái)比較兩個(gè)模型的擬合效果時(shí)，殘差和越小，模型的擬合效果越好

【答案】ABC

【解析】

【分析】對(duì)于A,利用分類加法原理與分步乘法原理，根據(jù)偶數(shù)的特性，可得其正誤；對(duì)于B,對(duì)等式兩邊

分別求導(dǎo)，利用賦值法，可得其正誤；對(duì)于CD,根據(jù)相關(guān)系數(shù)以及殘差的相關(guān)概念，可得其正誤.

【詳解】對(duì)于A,由三位偶數(shù)可知個(gè)位只能選0,2,4,

當(dāng)個(gè)位選0時(shí)，沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有4x3x1=12個(gè)，

當(dāng)個(gè)位選2或4時(shí)，沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有3x2x3=18個(gè)，

則共有30個(gè)，故A正確；

對(duì)于B,對(duì)（2+X）5=4+%%+兩邊求導(dǎo)，

24

可得5x（2+*1=4+2a2x+3a3A：+4%丁+5a5x,

5

令x=l,可得+2%+3a3+44+5%=5x3,=405,故B正確;

i=l

對(duì)于c,根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念，易知c正確；

對(duì)于D,當(dāng)殘差平方和越小時(shí)，擬合程度越好，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.設(shè)。已知隨機(jī)變量4的分布列如下表，則下列結(jié)論正確的是（）

4012

Pp-p2P?l-p

A.尸（4=0）〈尸（4=2）B.P（J=2）的值最大

C.E（J）隨著p的增大而增大D.當(dāng)。==時(shí)，。情）=耳

216

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)夕的范圍可判斷選項(xiàng)A正確；

給P取特殊值驗(yàn)證選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

求出E?，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷選項(xiàng)C；

根據(jù)方差公式求出，從而判斷選項(xiàng)D.

【詳解】尸（4=0）=〃一22=°。一〃）＜1一〃，所以A正確；

令則尸（J=2）=；,P（J=1）=［雪=△＞；，所以B錯(cuò)誤；

由題意得E⑶=/+2（l—p）=（p—11+1,

因?yàn)椤Ｋ訣g）隨著p的增大而減小，所以C錯(cuò)誤；

當(dāng)p=；時(shí)'E（J）=lx1）+2x1-1,

￡>（J）=（0—tx；+（l—x；+"—義；="，所以D正確.

故選：AD.

11.已知直線y=—%+2分別與函數(shù)y=e'和y=Inx的圖象交于點(diǎn)A（%,%）,3（馬,%），下列結(jié)論正確

的是（）

In21?1111

±32

A.%+4=2B.e^+e為<2C.—+x2lnx2<0D.-e<^<-e

xi3~2

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用數(shù)形結(jié)合方式來(lái)解決函數(shù)的綜合問(wèn)題，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性得到坐標(biāo)間的關(guān)系，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)運(yùn)

用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決即可.

【詳解】函數(shù)y=e*與y=lnx互為反函數(shù)，則y=e*與y=lnx的圖象關(guān)于y=%對(duì)稱,

將y=—%+2與y=%聯(lián)立，則x=l,y=l,

由直線y=-％+2分別與函數(shù)y=e-"和y=lnx的圖象交于點(diǎn)4（%,%）,5（%2，%），

作出函數(shù)圖象：

則人（%,％）,5（孫%）的中點(diǎn)坐標(biāo)為。，1），

對(duì)于A,由"1；犬2=1,得藥+々=2,故A正確;

對(duì)于B，QX'+e也>2\Ze*e*=2y/ex'+X2=2A/?=2e,

因?yàn)槭吹忍?hào)不成立，所以e'i+e'2>2e，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由圖可知，0<%<1<々<2,

因?yàn)?<%々<[土產(chǎn)]=1，所以0<玉<!<1,

令9(x)=U^,xe(O,l),則0(x)=l

XX

Inv

所以當(dāng)0<%<1時(shí)，9(x)〉0,函數(shù)9(x)=——在(0,1)上單調(diào)遞增，

]11J\nx

所以。(xj<9(一),故包A<=—/in%,即」+<0,故C正確；

x2X]x1

x2

對(duì)于D,令g(x)=2_x_lnx,則g(庭)=2_/_；=g_/>0,^(>/e)=2-Ve-^=|--Ve<0,

所以娓</(五，

由對(duì)稱可知，=y2=lnx2,所以占%=%In%，

令g(尤)=xln光，求導(dǎo)得g'(x)=lnx+l,當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,

所以g(x)=xlnx在(1,+oo)上單調(diào)遞增，

又爬<々〈五，所以孤山/〈/In%<血1n也，即§”<x/2<5”，故D正確..

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.

12.已知函數(shù)/(x)=x(x—。尸在x=2處有極大值，則/(%)的單增區(qū)間為.

【答案】(-00,2)和(6,+8)

【解析】

【分析】運(yùn)用極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為。算出C的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)為正，函數(shù)單增，導(dǎo)數(shù)為負(fù)，函數(shù)單減，判斷此時(shí)

%=2是否是極大值點(diǎn)和計(jì)算單增區(qū)間即可.

【詳解1f(x)=x(x-c)2,

fr(x)-(x)'(x-c)2+x[(x-c)?]'=(x-c)2+2x(x-c)-3x2-4cx+c~,

由/(x)=x(x—c)2在X=2處有極大值可知/'(2)=0,

即c2—8c+12=0，（c-6）（c-2）=0,解得c=6或c=2,

當(dāng)c=6時(shí)，/'（x）=3爐一24x+36=（3x-6）（x-6）,令/''（尤）>0,解得x<2或光>6,令/''（x）<0,

解得2<x<6,因此/（x）在（-8,2）和（6,+oo）上單調(diào)遞增，在（2,6）上單調(diào)遞減，

此時(shí)％=2是極大值點(diǎn)，符合題意，單增區(qū)間是（一92）和（6,+8）；

當(dāng)c=2時(shí)，/'（用=3/—8x+4=（3x—2）（x—2）,

29

4rw>o,解得x<—或%>2,令/'（x）<0,解得:<x<2,

33

22

因此于（X）在（-?）,-）和（2,+8）上單調(diào)遞增，在（§，2）上單調(diào)遞減，

此時(shí)％=2是極小值點(diǎn)，不符合題意，

綜上，c=6,函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是（-嗎2）和（6,+8）.

故答案為：（一*2）和（6,+oo）.

13.將某保護(hù)區(qū)分為面積大小相近的多個(gè)區(qū)域，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取其中6個(gè)區(qū)域，統(tǒng)計(jì)這些區(qū)域內(nèi)

的某種水源指標(biāo)占和某植物分布的數(shù)量a?=1,2,...,6）,得到樣本（七,y）,且其相關(guān)系數(shù)廠=與，記〉

16

66

關(guān)于X的線性回歸方程為5f=6+%.經(jīng)計(jì)算可知：元=9,?；=550,2（%-歹）一=256,則另=

z=li=l

￡（%-項(xiàng)y-y）￡（%-元）（％-9）

參考公式：石二旦N日口

1（%-可悔?歸yf

【答案】—##1.875

8

【解析】

【分析】根據(jù)參考數(shù)據(jù)及公式先利用相關(guān)系數(shù)求出2（玉-無(wú)）（%-9），再求另即可.

1=1

【詳解】因?yàn)樵?9,￡x；=550,

i=l

66

所以2（%—元）2=Xx：—6元2=550—6x92=64,

z=li=\

6

Z（x,-無(wú)）（x-刃

i=]=2

764x7256-16

6

解得xa—元)(%一歹)=I2。,

Z=1

6

■a-元)(％-刃

120_15

所以g=j-----------

名(%-元)2~64~~8

Z=1

故答案為：—

8

14.在平面直角坐標(biāo)系上的一只螞蟻從原點(diǎn)處出發(fā)，每次隨機(jī)地向上、下、左、右四個(gè)方向移動(dòng)一個(gè)單位，

移動(dòng)4次，則螞蟻移動(dòng)到圓好+;/=3內(nèi)部的概率為.

33

【答案】77

64

【解析】

【分析】若螞蟻移動(dòng)到圓好+產(chǎn)=3的內(nèi)部，則移動(dòng)4次后，螞蟻可能的位置為原點(diǎn)，(1,1),(-1,1),

(-1,-1),(1,-1),共5種情況.把向上、下、左、右四個(gè)方向的步數(shù)分別記為U,D，L,R,則

U+￡>+L+R=4.通過(guò)分析U,D，L,R的取值計(jì)算概率即可.

【詳解】把向上、下、左、右四個(gè)方向的步數(shù)記分別為U,D，L,R,則U+￡>+L+R=4.

若螞蟻移動(dòng)到圓好+產(chǎn)=3的內(nèi)部，則移動(dòng)4次后，螞蟻可能的位置為原點(diǎn)，(1,1),(-1,1).(-L-1)，

(1,」)，共5種情況.

若螞蟻移動(dòng)到原點(diǎn)，則U—。=0,L-R=0,故。=D=2,L=R=0或。=￡>=0,L=R=2或

U=D=L=R=1,有2Cj+C；C；C；=36種走法；

若螞蟻移動(dòng)到點(diǎn)(1,1),則U—￡)=1,R-L=l，故。=1,D=Q,R=2,乙=1或。=2,0=1,

R=l,Z=0,有2C；C；C；=24種走法.

36+24x433

由對(duì)稱可知，螞蟻移動(dòng)到圓/+V=3內(nèi)部的概率為——--二—.

4464

33

故答案為：--.

64

四、解答題：本大題共5小題，共計(jì)77分.解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說(shuō)明，證明

過(guò)程或演算步驟.

22

15.已知橢圓二+==1,(?！怠！?),耳,居為該橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，P為該橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，橢圓的離

ab

心率e=4心面積的最大值為如.

(1)求橢圓的方程.

(2)已知A,B為該橢圓的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，"(1,0),在直線x=2上是否存在一點(diǎn)N,使直線和

直線AN的交點(diǎn)在該橢圓上，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

V-2

【答案】(1)—+/=1

4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)離心率以及焦點(diǎn)三角形的相關(guān)計(jì)算，建立方程，可得答案；

(2)由已知點(diǎn)求得直線方程，聯(lián)立橢圓方程求得交點(diǎn)，根據(jù)題意求得直線方程，可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

c_A/3

2

V-2

由題意可得l〈.2c?=百，解得］b=1，所以橢圓的方程為±+y2=i.

2石4

a2=b2+c2M=

【小問(wèn)2詳解】

由題意可作圖如下：

由（1）可得4（0』），5（0,-1）,則由M（l,0）得直線的方程為尸尤-1,

y=x-1

8

聯(lián)立If，化簡(jiǎn)可得5%2一8x=0，解得玉=0，%2

—+y=1一5

I4-

o3（83、

將》==代入＞可得y=g,由題意可得在直線A7V上，

1-1

工］1

直線⑷V的斜率左=—=——，則直線A2V的方程為丁=—Lx+1,

0-§44

5

將x=2代入y=—：x+l,可得y=；,則

16.為研究某市居民的身體素質(zhì)與戶外體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該市某社區(qū)100名居民平均每天的戶外體育

鍛煉時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:

平均每天戶外體育鍛煉的時(shí)間（分

[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

鐘）

總?cè)藬?shù)10182225205

規(guī)定：將平均每天戶外體育鍛煉時(shí)間在［0,40）分鐘內(nèi)的居民評(píng)價(jià)為“戶外體育鍛煉不達(dá)標(biāo)”，在［40,60］分鐘

內(nèi)的居民評(píng)價(jià)為“戶外體育鍛煉達(dá)標(biāo)”.

（1）請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值。=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否

認(rèn)為性別與戶外體育鍛煉是否達(dá)標(biāo)有關(guān)聯(lián)？

戶外體育鍛煉不達(dá)標(biāo)戶外體育緞練達(dá)標(biāo)合計(jì)

男

女1055

合計(jì)

（2）從上述“戶外體育鍛煉不達(dá)標(biāo)”的居民中，按性別用分層抽樣的方法抽取5名居民，再?gòu)倪@5名居民中

隨機(jī)抽取3人了解他們戶外體育鍛煉時(shí)間偏少的原因，記所抽取的3人中男性居民的人數(shù)為隨機(jī)變量X,

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率來(lái)估計(jì)全市的情況，現(xiàn)在從該市所有居民中隨機(jī)抽取3人，求其

中恰好有2人“戶外體育鍛煉達(dá)標(biāo)”的概率.

2n（ad-be）。

參考公式：X=7-----7X7Jw-------一八，其中〃=a+6+c+d.

參考數(shù)據(jù)：（??獨(dú)立性檢驗(yàn)中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值）

a0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，認(rèn)為性別與戶外體育鍛煉是否達(dá)標(biāo)無(wú)關(guān)聯(lián);

（2）分布列見(jiàn)解析，E（X）=|;

（3）—.

64

【解析】

【分析】（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)列出2x2列聯(lián)表，即可得出結(jié)果；

（2）由題意，可知X可取123,求出分布列，再求數(shù)學(xué)期望即可；

（3）設(shè)所抽取的4名學(xué)生中，課外體育達(dá)標(biāo)的人數(shù)為可知，即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

戶外體育鍛煉不達(dá)標(biāo)戶外體育鍛煉達(dá)標(biāo)合計(jì)

男301545

女451055

合計(jì)7525100

零假設(shè)為"o：性別與戶外體育鍛煉是否達(dá)標(biāo)無(wú)關(guān)聯(lián)?

100x（30x10-15x45）2

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到力2箸。3.030<3.841=%°.05,

75x25x45x55

根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H。不成立,

因此可以認(rèn)為“°成立，即認(rèn)為性別與戶外體育鍛煉是否達(dá)標(biāo)無(wú)關(guān)聯(lián).

【小問(wèn)2詳解】

3045

易知，所抽取的5名居民中男性為5x—=2名，女性為5x—=3名.

7575

X的所有可能取值為0,1,2,

322

P（X=。）增C$1，P（X=1）=餐c'CT3P（X=2）=等cC'43,

Ax_zJJ-

所以X的分布列為

X012

133

P

105W

6

所以E（X）=0X—+1XN+2*3=

V'105105

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)所抽取的3名居民中“戶外體育鍛煉達(dá)標(biāo)”的人數(shù)為

251

列聯(lián)表中居民“戶外體育鍛煉達(dá)標(biāo)”的頻率為次=:，

1004

將頻率視為概率則J~,

所以年=2)=斗''|吟，

9

所以從該市所有居民中隨機(jī)抽取3人，其中恰有2人“戶外體育鍛煉達(dá)標(biāo)”的概率為三.

64

17.己知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，且a〃M=2S.+2,(“eN*)

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)在a“與4+1之間插入〃個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為4的等差數(shù)列，在數(shù)列｛4｝中是否存在3項(xiàng)44，。

(其中八人，。成等差數(shù)列)成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)4=2x3"T,〃eN*；

(2)不存在，理由見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】(1)退位作差得到公比4=3,令〃=1求得/,進(jìn)而得到數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)反證法，假設(shè)存在，由等差中項(xiàng)性質(zhì)得到2左=m+。，等比中項(xiàng)性質(zhì)得到左2=初，聯(lián)立解得力=。=左，

與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則不存在.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,

%+1=25,,+2,2時(shí)，a“=2S"_]+2,兩式相減得。用—a0=2a”，

即4+1=3%,所以4=3，

令〃=1得a?=2sl+2—1ax+2,即3al=1ax+2,解得6=2,

所以a“=2x3"T,〃eN*

【小問(wèn)2詳解】

不存在，理由如下：

由(1)得a”=2x3"T,an+1=2x3”,

在凡與4+1之間插入〃個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為媒的等差數(shù)列，則4+1=4+5+2—1)4，

即2x3"=2X3"T+("+1)4，則4,=413"：

H+1

假設(shè)在數(shù)列｛4｝中存在3項(xiàng)4,4，?(其中機(jī)Ap成等差數(shù)列)成等比數(shù)列，

”，、2…(4x3"i丫4義3"14x3^nn驢一?

I)P(k+1)m+\p+1(k+1)~(m+l)(p+l)

因?yàn)闄C(jī)，匕P成等差數(shù)列，所以m+〃=2左，所以(4+1『=(m+1)(夕+1),

即左2+2左+1=mp+m+p+1,BPk2=mp,

聯(lián)立]'=mp解得“t=p=k,與題設(shè)矛盾，

2k=m+p

故在數(shù)列｛或｝中不存在3項(xiàng)⑥，4，。(其中私太夕成等差數(shù)列)成等比數(shù)列.

18.已知函數(shù)/(%)=Ge2*+(〃-2)e%-％

(1)令/z(x)=/'(x),/z(x)V(eX+g｝x對(duì)DXE-pO恒成立，求〃的最大值.

(2)若/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)七，%2，求〃的范圍，并證明：Xj+x<2In—

2a

【答案】(1)1(2)0<。<1,證明見(jiàn)解析

【解析】

x+23

【分析】(1)求導(dǎo)，因式分解，即可分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=h，xe--,0,由導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的

最值即可得解，

⑵對(duì)。討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得。的范圍，構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)-/121n：-x],有導(dǎo)數(shù)求解函

數(shù)的單調(diào)性，即可求證.

小問(wèn)1詳解】

由/(%)=茂2“+(a-2)e*-X可得/,(x)=2ae2'+(a—2)e*-1=(2e*+l)(ae*-1),

故由/z(x)w]eX+g：x可得(2e￡+l)(aeX—l)<[e*+g：j^Vxe--1,0恒成立，

-1)V(e*+53

故l\cx+-?%對(duì)V%￡,0恒成立,

i3

由于得6'+萬(wàn)>0,故2(ae*-l)<x對(duì)Vxe--,0恒成立，

x+2「3-

進(jìn)一步可得2。<一1對(duì)Vxe--,0恒成立，

e_2_

y03—X—1

記g(x)=^^,xe--,0,貝|g'(x)=——)

eL2」e

-3「31

當(dāng)xe---1,gr(x)>0,g(x)^--,-1單調(diào)遞增，當(dāng)工?—1,0］送'(1)<0心(“在［—1,0］單調(diào)遞

減，

故1n=min<g(0),g1—1),,

g⑼=2,g(—|)=￥>^^=0.8e>0.8x2.5=2,故8⑴*=g(0)=2，

因此2aW2,即aWl,故。的最大值為1,

【小問(wèn)2詳解】

由于/''(%)=2ae2'+(a-2)e*-1=(2e*+l)(ae*-1),

由于21+1>0，

當(dāng)aW0時(shí)，則ae'-1<0,此時(shí)/'(X)<0,“可在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，此時(shí)不滿足有兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)a>0時(shí)，令/'(x)<0,則x<ln±此時(shí)/(x)在單調(diào)遞減，fr(x)>0,則x〉lnL,止匕

時(shí)/(%)在］ln，+e］單調(diào)遞增，

且當(dāng)x—>+oo,f(x)—>+<x>,%—>-oo,f(x)—>+oo,

要使/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)項(xiàng),％2，則玉<111工<尤2，貝！l/(x)min=dlnT=lna—‘+l<0

記y=lna-工+1,由于y=lnQ,y=-工均為(0,+e)內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，因此函數(shù)y=Ino-工+1在

aaa

(0,+8)單調(diào)遞增，由于1111—1+1=0,

因止匕Ovavl時(shí)，Ina----H1<0,

a

故0<Q<1,

記函數(shù)E（x）=/（》）一/12111一一%1》〉111：,則

尸（x）=f\x）+f^21n--x^=（2ex+l）（ae"-1）+2e?叱力+j卜?叱

/x,\22tz2e2x+2aex+a~ex+2

=ae^-l---------------------，

I>a3e2x

由于0<a<l，ex>0>所以尸'（x）>0,

因此函數(shù)在??；+“］單調(diào)遞增，

故E（x）〉b［lnJ=0,

進(jìn)而可得,即可/（々）〉/121n十―々］

由于/（玉）=/（%2），則21n

由于lnL</，所以21nL-馬（In』，又占〈足工，/（九）在（一8』n1］單調(diào)遞減，

aaaa\a）

故玉<2In—%2，

a

即玉+九2<21n—

a

19.通過(guò)拋擲骰子產(chǎn)生隨機(jī)