第十章計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布列

10.3.1概率、條件概率與事件的獨立性(題型戰(zhàn)法)

知識梳理

一概率

1.隨機事件：在一定條件下，某種現(xiàn)象可能發(fā)生也可能不發(fā)生。

2.必然事件：在一定條件下必然會發(fā)生的某種結(jié)果的現(xiàn)象。

3.不可能事件：在同樣的條件下，重復進行試驗，結(jié)果始終不會發(fā)生的事件。

4.事件：必然事件和隨機事件統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母A,B,C…來表示。

5.基本事件：在試驗中不能再分的最簡單的隨機事件，其他事件可以用它們來表示。

6.基本事件空間：所有基本事件構(gòu)成的集合，用大寫希臘字母Q來表示。

7.概率與頻率：一般地，在n次重復進行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率為％,隨著n的增加，

n

頻率總是在某個常數(shù)附近擺動，把這個常數(shù)叫做事件A發(fā)生的概率。

8.互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件。

9.對立事件：不可能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個事件。對立事件是互斥事件的特例。

10.古典概型的概念：如果一個隨機試驗所包含的單位事件是有限的，且每個單位事件發(fā)生的可

能性均相等，這種條件下的概率模型就叫古典概型。古典概型具備兩個特點：(1)試驗結(jié)果的有

限性；(2)所有結(jié)果的等可能性。每個事件發(fā)生的概率都是工。

n

n.古典概型的解題步驟：①求出總的基本事件數(shù)；②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利

田八十.、一所包含的基本事件的個數(shù)

用么式m(一總的基本事件個數(shù)一°

12.概率加法公式：

(1)若A,B是互斥事件：P(AoJB)=P(A)+P(B)

(2)若A,B不是互斥事件：P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AnB)

二條件概率

1.條件概率的定義：對于任何兩事件AB在已知事件A發(fā)生的條件下，事件3發(fā)生的概率叫條件概率,

用符號尸(3|A)來表示，其公式為P(3|A)=g^.

2.條件概率的性質(zhì)：

①0WP(3|A)W1.

②如果B和C是兩個互斥事件，則P(BC\A)=P(B\A)+P(C\A)

3.乘法公式：有條件概率公式P(3|A)=f^可得，P(AB)=P(A)P(B|A)；

這就是說時間A發(fā)生的概率以及在時間A發(fā)生的前提下時間B發(fā)生的概率，可以求時間AB同時發(fā)生的

概率，這個結(jié)論即為乘法公式。

4.全概率公式：若事件Al,A2,…構(gòu)成一個完備事件組且都有正概率，則對任意一個事件B,有如下公式

成立：

P(B)=P(BAI)+...A2)+...+P(BAn...(B|Al)P(Al)+P(B|A2)P(A2)+...+P(B|An)P(An).

此公式即為全概率公式。

三事件的獨立性

如果P(B|A)=P(B),那么一定有尸(A3)=P(A)P(B).所以當P(A)>0時，A與B獨立的充要條件是

P(B|A)=P(B)o

當P(B|A)W尸(B)時，時間A的發(fā)生會影響時間B發(fā)生的概率，此時時間A與時間B不是獨立的，事

實上，“A與B獨立”也被說成“A與B互不影響”等。

P(AB)

P(B|A)=

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一隨機事件、頻率與概率、生活中的概率

典例1.已知袋中有大小、形狀完全相同的4個紅色、3個白色的乒乓球，從中任取4個，則下

列判斷錯誤的是（）

A.事件“都是紅色球”是隨機事件B.事件“都是白色球”是不可能事件

C.事件“至少有一個白色球”是必然事件D.事件“有3個紅色球和1個白色球”是隨機事件

變式11.有下列事件：

①如果。＞＞，那么a-b＞0；②某人射擊一次，命中靶心；③任取一實數(shù)°（且）,函數(shù)

y=log,,x是增函數(shù)；④從裝有1個白色小球、2個紅色小球的袋子中，摸出1個小球，觀察結(jié)果

是黃球.其中是隨機事件的有（）

A.①②B.③④C.①④D.②③

變式12.下列說法正確的是（）

A.任何事件的概率總是在（0,1）之間

B.頻率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關(guān)

C.隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率

D.概率是隨機的，在試驗前不能確定

變式13.在一次拋硬幣的試驗中，某同學用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了1000次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝

上出現(xiàn)了480次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（）

A.0.48,0.48B.0.5,0.5

C.0.48,0.5D.0.5,0.48

變式14.某氣象臺預報“A地明天的降水概率是90%”，則下列說法正確的是（）

A.A地有90%區(qū)域明天會降水B.A地有90%時間明天會降水

C.A地明天必定會降水D.A地明天降水的可能性大小為90%

題型戰(zhàn)法二事件的關(guān)系與運算、互斥事件'對立事件

典例2.拋擲一枚骰子，“向上的點數(shù)是1或2”為事件A,“向上的點數(shù)是2或3”為事件8,則（）

A.AczBB.A=B

c.AlB表示向上的點數(shù)是1或2或3D.A3表示向上的點數(shù)是1或2或3

變式21.拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件A=｛至少1枚正面朝上｝,3=｛至多2枚正面朝上｝,

事件C=｛沒有硬幣正面朝上｝,則下列正確的是（）

A.C=AfBB.C=A（^B

C.CcAD.CcB

變式22.一個人打靶時連續(xù)射擊三次，與事件“至多有兩次中靶”互斥的事件是（）

A.至少有兩次中靶B.三次都不中靶

C.只有一次中靶D.三次都中靶

變式23.從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，那么不互斥的兩個事件是（）

A.“至少有一個黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個黑球”與“都是紅球”

C.“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”D.“至多有一個黑球”與“至少有兩個黑球”

變式24.將顏色分別為紅、黃、藍的3個小球隨機分給甲、乙、丙3個人，每人1個，則互斥且

不對立的兩個事件是（）

A.“甲分得紅球”與“乙分得黃球”B.“甲分得紅球”與“乙分得紅球”

C.“甲分得紅球，乙分得藍球”與“丙分得黃球”D.“甲分得紅球，與“乙分得紅球或丙分得紅球”

題型戰(zhàn)法三古典概型的概率計算

典例3.設(shè)有5個大小和質(zhì)地相同的小球，其中甲袋中裝有標號分別為1,2的兩個小球，乙袋中

裝有標號分別為1,2,3的三個小球.現(xiàn)從甲袋和乙袋中各任取一個小球，則這兩小球標號之和為

4的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

變式31.甲、乙、丙、丁四人準備從社區(qū)組織的道路安全或衛(wèi)生健康志愿宣傳活動中隨機選擇一

個參加，每個人的選擇相互獨立，則甲、乙參加同一個活動的概率為（）

變式32.從A,B,C,D,E這五個景點中選擇兩個景點游玩，則A,8景點都沒被選中的概率

是（）

變式33.一個盒子中裝有除顏色外其它都相同的5個小球，其中有2個紅球，3個白球，從中任

取一球，則取到紅球的概率為（）

變式34.在1,3,4,5,8路公共汽車都要?？康囊粋€站（假定這個站只能?？恳惠v汽車），有

一位乘客等候4路或8路汽車.假定當時各路汽車首先到站的可能性都相等，則首先到站正好是

這位乘客所要乘的汽車的概率為（）

題型戰(zhàn)法四整數(shù)值隨機數(shù)

典例4.為估計該運動員三次射擊恰有兩次命中目標的概率，設(shè)計了如下方法：先由計算器產(chǎn)生

。到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0,1,2,3,4,5,6,7表示命中目標，8,9表示未命中

目標，再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下10組隨機數(shù)：

187111891331198286123837884214.據(jù)此估計，該運動員三次射擊恰有兩次命中目標

的概率為（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

變式41.天氣預報說，今后三天中，每一天下雨的概率均為40%,現(xiàn)采用隨機模擬方法估計這三

天中恰有兩天下雨的概率：先由計算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1,2,3,4表

示下雨，5,6,7,8,9,0表示不下雨.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：

907966195925271932812458569683431257393027556488730113537989

據(jù)此估計今后三天中恰有兩天下雨的概率為（）

A.0.40B.0.30C.0.25D.0.20

變式42.某種心臟手術(shù)成功率為0.7,現(xiàn)采用隨機模擬方法估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率.

先利用計算器或計算機產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，由于成功率是0.7,故我們用0、1、2表

示手術(shù)不成功，3、4、5、6、7、8、9表示手術(shù)成功，再以每3個隨機數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.

經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生如下10組隨機數(shù)：812、832、569、683、271、989、730、537、925、907由此估計“3例

心臟手術(shù)全部成功”的概率為（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

變式43.已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2.用計算器產(chǎn)生1~5之間的隨機數(shù)，當出現(xiàn)

隨機數(shù)1時，表示一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2,由于有3臺設(shè)備，所以每3個隨機數(shù)為一組，

代表3臺設(shè)備一年內(nèi)需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機數(shù)如下：

412451312533224344151254424142

435414335132123233314232353442

據(jù)此估計一年內(nèi)至少有1臺設(shè)備需要維修的概率為（）

A.0.4B.0.45C.0.55D.0.6

變式44.為了了解某道口堵車情況，在今后的三天中，假設(shè)每一天堵車的概率均為40%.現(xiàn)采用

模擬試驗的方法估計這三天中恰有兩天堵車的概率：先利用計算器產(chǎn)生。至U9之間的隨機整數(shù)，

用1、2、3、4表示堵車，用5、6、7、8、9、。表示不堵車：再以每三個數(shù)作為一組，代表這

三天的堵車情況.經(jīng)試驗產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：

807066123923471532712259507752

443277303927756368840413730086

據(jù)此估計，這三天中恰有兩天堵車的概率近似為（）

A.0.25B.0.3C.0.35D.0.40

題型戰(zhàn)法五簡單的條件概率計算

典例5.甲、乙兩人到一商店購買飲料，他們準備分別從加多寶、農(nóng)夫山泉、雪碧這3種飲品中隨機

選擇一種，且兩人的選擇結(jié)果互不影響.記事件4=“甲選擇農(nóng)夫山泉”，事件3="甲和乙選擇的飲

品不同”，則P（0A）=（）

變式51.有10件產(chǎn)品，其中4件是正品，其余都是次品，現(xiàn)不放回的從中依次抽2件，則在第

一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是（）

變式52.把一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲兩次，事件A表示“第一次出現(xiàn)正面”，事件8表示“第二次

出現(xiàn)反面”，則P（即力等于（）.

A.；B.—C.-D.1

243

變式53.2021年5月15日，我國首次火星探測任務(wù)天問一號探測器在火星烏托邦平原南部預選

著陸區(qū)著陸，在火星上首次留下中國印跡，極大地鼓舞了天文愛好者探索宇宙奧秘的熱情.某校

航天科技小組決定從甲、乙等6名同學中選出4名同學參加該市舉行的“我愛火星”知識競賽，已

知甲同學被選出，則乙同學也被選出的概率為（）

變式54.長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學生大約30%的人近視，而該校大約有40%

的學生每天玩手機超過2h,這些人的近視率約為60%.現(xiàn)從該校近視的學生中任意調(diào)查一名學生,

則他每天玩手機超過2h的概率為（）

題型戰(zhàn)法六利用排列組合處理條件概率問題

典例6.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四個人到九嶷山、陽明山、云冰山、舜皇山4處景點旅游，每人只去一處

景點，設(shè)事件A為“4個人去的景點各不相同”，事件8為“只有甲去了九嶷山”，則P（A|8）=（）

變式61.一袋中裝有除顏色外完全相同的6個白球和4個黑球,如果不放回地依次摸取3個小球,

則在前2次摸到白球的條件下，第3次還摸到白球的概率為（）

變式62.盒中裝有除顏色外完全相同的3個紅球、2個白球.甲從中隨機取出兩個球，在已知甲

取出的有紅球的條件下，他取出兩個紅球的概率為（）

變式63.一個盒子里裝了10支外形相同的水筆，其中有8支黑色水筆，2支紅色水筆，從中任

意抽取兩支，則抽到一支黑筆的條件下，另一支是紅筆的概率為（）

變式64.濟南素有“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”美名.現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來到濟南

旅游，分別準備從大明湖、千佛山、的突泉和五龍?zhí)?個旅游景點中隨機選擇其中一個景點游玩.記

事件A：甲和乙至少一人選擇千佛山，事件8：甲和乙選擇的景點不同，則條件概率P（B|A）=（）

題型戰(zhàn)法七全概率公式的應(yīng)用

典例7.已知某地市場上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占60%,乙廠產(chǎn)品占40%,甲廠產(chǎn)品

的合格率是95%,乙廠產(chǎn)品的合格率是90%,則從該地市場上買到一個合格產(chǎn)品的概率是（）

A.0.92B.0.93C.0.94D.0.95

變式71.某學生參與一種答題游戲，需要從A,B,C三道試題中選出一道進行回答，回答正確

即可獲得獎品.若該學生選擇A,B,C的概率分別為0.3,0.4,0.3,答對A,B,C的概率分別為

0.4,0.5,0.6,則其獲得獎品的概率為（）

A.0.5B.0.55C.0.6D.0.75

變式72.學校食堂分設(shè)有一、二餐廳，學生小吳第一天隨機選擇了某餐廳就餐，根據(jù)統(tǒng)計：第一

天選擇一餐廳就餐第二天還選擇一餐廳就餐的概率為0.6,第一天選擇二餐廳就餐第二天選擇一

餐廳就餐的概率為0.7,那么學生小吳第二天選擇一餐廳就餐的概率為（）

A.0.18B.0.28C.0.42D.0.65

變式73.在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或

1有可能被錯誤地接收為1或。.已知當發(fā)送信號0時，被接收為。和1的概率分別為0.93和0.07；

當發(fā)送信號1時，被接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號。和1是等可能的,

則接收的信號為1的概率為()

A.0.48B.0.49C.0.52D.0.51

變式74.某種疾病的患病率為0.5%,通過驗血診斷該病的誤診率為2%,即非患者中有2%的人

驗血結(jié)果為陽性，患者中有2%的人驗血結(jié)果為陰性，隨機抽取一人進行驗血，則其驗血結(jié)果為

陽性的概率為()

A.0.0689B.0.049C.0.0248D.0.02

題型戰(zhàn)法八相互獨立事件與互斥事件

1_21

典例8.若P(A8)=s，P(A)=j,P(B)=q,則事件A與3的關(guān)系是()

A.事件A與8互斥B.事件A與8對立

C.事件A與B相互獨立D.事件A與B既互斥又相互獨立

2

變式81.已知A,B是一次隨機試驗中的兩個事件，若滿足P(A)=PCB)=(,則()

A.事件A,B互斥B.事件相瓦獨立

C.事件A,8不互斥D.事件A,B不相互獨立

變式82.袋內(nèi)有3個白球和2個黑球，從中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”記為事件A,

“第二次摸得白球”記為事件3,那么事件A與3,A與月間的關(guān)系是()

A.A與3,A與月均相互獨立B.A與8相互獨立，A與月互斥

C.A與8,A與月均互斥D.A與8互斥，A與月相互獨立

變式83.分別擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件4,“第二枚為正面”記為事件8,

“兩枚結(jié)果相同”記為事件C，那么事件A與8,A與C間的關(guān)系是（）

A.A與B,A與C均相互獨立B.A與8相互獨立，A與C互斥

C.A與3,A與C均互斥D.A與B互斥，A與C相互獨立

變式84.若尸（A忸）=g,P（A）=|,則事件A與8的關(guān)系是（）

A.事件A與B互斥B.事件