函數(shù)定義域值域表示方法

1.函數(shù)的基本概念

⑴函數(shù)的定義

一般地，給定兩個非空實數(shù)集/與B,以及對應關(guān)系了,如果對于集合/中的一個數(shù)無，在集合2

中都有確定的實數(shù)y與x對應；則稱/■為定義在集合/上的一個函數(shù).記作y=/(x),xGA.

(2)函數(shù)的定義域.值域

在函數(shù)＞=危)，》以中，x稱為稱為,自變量的取值范圍(即數(shù)集⑷稱為這個函數(shù)的；

所有函數(shù)值組成的集合［yeB\y=f(x\xez｝稱為函數(shù)的.

例如：如圖，以x為自變量的函數(shù)的圖象為.

(4)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)為同一個函數(shù).

2.函數(shù)定義域的求法

類型X滿足的條件

4xx>0

X

x°

四則運算組成的函數(shù)各個函數(shù)定義域的交集

3.函數(shù)的表示方法

①解析式法

V—1

例：/(x)=2x./(x)=——-

X+1

1

②列表法

③圖像法

1.同一函數(shù)的判斷

判斷下列各組函數(shù)是不是相同函數(shù)：

(1)函數(shù)y=l,y=x0.()

(2次》)="，g(x)=(Vx)2.()

(3次/=1,g(x)=x2.()

(4小尸g(k()

x2~l

(5y(x)=x+l,g(x)=-()

(6)y=Jx+1-Jx-1,y=-\lx2-1.()

⑺/(x)=N，XG{-1,0,1}<g(x)=/,XG{-1,0,1}.()

考點一函數(shù)的概念

【例1】1.函數(shù)產(chǎn)於)的圖象與直線X=1的交點個數(shù)()

A.至少1個B.至多1個C.僅有1個D.有0個、1個或多個

【訓練1】1.如圖，可以表示函數(shù)/(x)的圖象的是()

2

2.存在函數(shù)/（x）滿足：對任意xeR都有（）

A./(|x|)=x3B./(siru)=x2C.+2x)=|x|D./(|x|)=x2+1

考點二函數(shù)的定義域

【例2】1.函數(shù)人x)=Jl—2，+71=的定義域為()

<x+3

A.(一3,0]B.(—3,1]

C.(-oo,-3)U(-3,0]D.(-oo,-3)U(-3,1]

2.若尸—貝⑶+4尸——

【訓練2】1.函數(shù)彳的定義域為.

2.函數(shù)次x）=x§的定義域為（）

A.（0,+oo）B.（1,+oo）C.（0,1）D.R

￡

3.函數(shù)y=xW的定義域為.

4.已知等腰三角形的周長為40cm,底邊長了伍加）是腰長x（c加）的函數(shù)，則函數(shù)的定義域為（）

A.（10,20）B.（0,10）C.（5,10）D.[5,10）

5.（19江蘇）函數(shù)＞=J7+6x-f的定義域是.

6.（22北京）函數(shù)/（》）=▲+J匚1的定義域是

X

考點三抽象函數(shù)定義域

【例3】1.若/（x）的定義域為[0,2],求/（x—1）的定義域.

3

2.若/(2x—l)的定義域為[0,2],求的/(x)定義域.

【訓練3】1.已知函數(shù)/(2x+l)的定義域為(0,1),求/(x)的定義域.

2.若/(x)的定義域為[0,2],求/(/)的定義域.

3.已知/(2x—1)的定義域為(—1,5],求/(2—5x)的定義域.

4.已知函數(shù)/(x)的定義域為(一1,0),則函數(shù)/(2x—1)的定義域為()

A.(-1,1)B.(0,-)C.(-1,0)D.-1)

22

5.已知函數(shù)/(2x)的定義域為[0,1],則函數(shù)J：一的定義域為.

小結(jié)：1.定義域是指x的取值范圍；

2.法則相同，取值范圍相同.

考點四函數(shù)定義域的應用

2X-3

【例4】1.若函數(shù)11=/,的定義域為R,則實數(shù)。的取值范圍是

【訓練4】1.若函數(shù)/(x)=12/3』一；的定義域是凡則實數(shù)a的取值范圍是

2.函數(shù)=的定義域為則實數(shù)。的取值范圍是___________

ax+4ax+3

4

3.函數(shù)值域的常見求法

方法示例示例答案

1、直接法

2

j=(x-l)+1—

、配方法2

2j^=x+2x-2—

、換元法

3y=x-Vx+1—

、數(shù)形結(jié)合法

4y=\x+]\+\x-2\—

X

5、分離常數(shù)法

7x+l—

、平方法

6y=Jl+x+Jl—x—

1

7、基本不等式法y=x+-

X—

8、反表示法y=i)

x+2—

X2-3

9、中間變量值域法

y-21—

X+1

2x?+4x—7

10、判別式法y----------------—

'x2+2x+3

11、復合函數(shù)的值域

y=-y-x2+3x+4

（由內(nèi)到外逐層計算）—

考點五函數(shù)的值域

【例5】1.（直接法）y=—1的值域為

5

2.（配方法）y=13+2x—的值域為.

3.（換元法）求函數(shù)y=2%+4"二［在xe［―8,1］時的值域為

4.1（數(shù)形結(jié)合法）y=|x—l|+|2x—4|的值域為.

4.2（數(shù)形結(jié)合法）函數(shù)/（x）=Jx?+9+，=2—6x+10的值域是

Y-3

5.（分離常數(shù)）函數(shù)＞=丁的值域為

6.（平方法）求函數(shù)y=Jx-3+A/5-X的值域為.

7.（基本不等式法）了二彳的值域為.

x

8.（反表示法）當xe（—3,—1］時，函數(shù)y==上的值域為

、」,2x+l----

1-1x1

9.（中間變量值域法）v=—"的值域為

1+忖

X2_Y+3

10.（判別式法）求函數(shù).二2的值域為________.

X—X+1

11.（復合函數(shù)求值域）y=J產(chǎn)J（—為.

小名吉：①形如y=ax+b±y/cx+d的值域：

通過換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在某區(qū)間上求值域問題，然后求其值域.

6

②形如：y=竺士U的值域:

ax+b

(1)若定義域為\xeRx^-—>0^,其值域為<y￡K>w9>.

Iaa

（2）若工€卜鞏〃］時，我們把原函數(shù)變形為x=4淮，然后利用xe卜〃（即x的有界性），便可求

ay-c

出函數(shù)的值域.

③對形如y=%x；+Ax+Ci（/、%不同時為零）的函數(shù)的值域，通常轉(zhuǎn)化成關(guān)于X的二次方程，由于

a2x'+b2x+c2

方程有實根，即A20從而求得y的范圍，即值域。值得注意的是，要對方程的二次項系數(shù)進行討論.

注意：主要適用于定義在/?上的分式函數(shù)，但定義在某區(qū)間上時，則需要另行討論。

④采用“平方開方法”，則它通常具有如下特征：

（1）/（x）的值總是非負，即對于任意的xeD,/（x）20恒成立；

（2）/（幻的平方可以寫成一個常數(shù)與一個新函數(shù)加和的形式，即

2

f（X）=［Z（X）+f2（X）］=c+g（x）（xeD,c為常數(shù)），其中，新函數(shù)g（x）（xeD）的值域比較容易求得.

【訓練5】1.設(shè)M={x|—2WxW2},N=b|0ga2},函數(shù)人x）的定義域為值域為N,則人x）的圖象可以

是（）

2.求下列函數(shù)的值域：

(1)y=—-；(2)y=10—J16——；

x+2

3.函數(shù)歹=%2—4x+l,在[2,5]的值域是()

A.[1,6]B.[-3,1]C.[-3,6]D.[-3,+00)

7

4.求函數(shù)y=的值域.

x+2

5.函數(shù)的值域為

6.求函數(shù)y="X+X的值域為

x+3

x

7.函數(shù)/(、)=——(x22)的最大值為_________

x-1

1—V

8.求函數(shù)y=—L的值域.

2x+5

9.求函數(shù)y=2X+A/1-2X的值域.

10.求函數(shù)/(%)=Jl+x+Jl-x的值域.

11.y=二3x工的值域為

%2+4

8

12.求函數(shù)y二x?三+三2Y土+4在區(qū)間xw1［工4］的值域.

x4

1-2X

13.求函數(shù)y=的值域.

2x2x+1

14.求函數(shù)的值域：-L>l\

-2x-lI2)

15.求函數(shù)f(x)='b-x+Nx-aCxe[a,b],a<b)的值域.

r2-1

16.求函數(shù)y=F—的值域（至少兩種方法）

x+1

9

4.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)P(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示,這種函數(shù)稱為分段函

數(shù).

分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的北集，其值域等于各段函數(shù)的值域的北集，分段函數(shù)雖由幾個

部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

例如：/(》)=卜3/叩1]為分段函數(shù)，求/(I),是)

''[2-x,xe(l,2)22

考點六分段函數(shù)

【例6】1.已知函數(shù)於)=『：±1'若"0))=4°,則實數(shù)。=_________.

IXICIX，'二1，

3

2.函數(shù)外)=爐_》+了X-Q,若人a)=—,則實數(shù)a的值為.

2#i,x<02

x2+2axx〉2

【訓練6】1.已知函數(shù)/(x)={v，—，若/(/⑴)〉3/，則a的取值范圍是________

2+1,x<2

,X2+1,X<1,

2.設(shè)函數(shù)於)=2則歡3))=_______

，19

X

2X+Q,X<1,

3、已知實數(shù)存0,函數(shù)4)=若{1一以)=<1+。),則a的值為.

—x-2a>x>1.

0<X<1

4.設(shè)/(x)=<若/⑷=/(a+l),則/()

2(X-1),X>1

A.2B.4C.6D.8

x-35(x>9)

5.已知/(x)=<，則17)=

/"(x+4)］，(x<9)

6.(18全國I)設(shè)函數(shù)加)=《*'*>'則滿足於+l)<7(2x)的x的取值范圍是()

|I,X>U，

10

A.(—00,-1]B.(0,+oo)C.(-1,0)D.(-oo,0)

—x+2,xV1,

7.（22浙江）已知函數(shù)/（x）=<.；若當瓦|時，IV/(x)<3,

XT----1,X>1,

X

則b-Q的最大值是

-3x+5,，x>-0c

8.（多選）已知函數(shù)/（x）=」°，若/[/（"）]=一B，則實數(shù)。的值可能為（）

x+,x<U2

C.-1

考點七求函數(shù)的解析式

【例7】1.（代入法）已知/（x）=%2+2x,求/'（2x+l）;

2.（待定系數(shù)法）已知是一次函數(shù)，且滿足/卜（切=4%+3,求/'⑴一

3.（換元法）已知=x+2?,求.

4.（配湊法）已知+j=x2+±+3,求

（消元法）已知/卜）一273x+2,求/(x).

6.（賦值法）設(shè)/（"是定義在火上的函數(shù)，且滿足〃0）=1,對任意實數(shù)羽，都有

/（X-歹）=/（X）->（2%—歹+1）,求/（X）.

11

規(guī)律方法求函數(shù)解析式常用方法

⑴待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù).二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法;

(2)換元法：已知復合函數(shù)八g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍;

(3)方程法：已知關(guān)于八x)與/I或八一x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組

成方程組，通過解方程組求出/(X).

【訓I練7】1.已知;(x)=2x2+x—1,貝1]加+1)=.