第01講函數(shù)的概念及其表示

目錄

01考情解碼?命題預(yù)警..........................................................2

02體系構(gòu)建.思維可視............................................................3

03核心突破?靶向攻堅............................................................3

知能解碼....................................................................3

知識點1函數(shù)的概念....................................................3

知識點2函數(shù)的定義域...................................................4

知識點3函數(shù)的解析式..................................................4

知識點4分段函數(shù)......................................................5

題型破譯....................................................................5

題型1函數(shù)的概念及其判斷...............................................5

【方法技巧】可以對一，不能一對多

題型2相同函數(shù)的判斷..................................................7

【方法技巧】定義域相同，對應(yīng)法則相同

題型3已知解析式求定義域..............................................9

11

題型5已知函數(shù)定義域求參.............................................13

14

題型7換元法求解析式.................................................16

18

題型9求分段函數(shù)的函數(shù)值.............................................16

22

【方法技巧】根據(jù)范圍要求再代值

04真題溯源?考向感知..........................................................24

05課本典例高考素材..........................................................28

01

考情解碼?命題預(yù)警

考點要求考察形式2025年2024年2023年

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要2023年新I卷，第4題,5分

2025年新I卷，

素，能求簡單函數(shù)的2023年新I卷，第11題,5分

第5題,5分2024年新I卷，第6題,5分

定義域與值域2023年新II卷，第4題,5分

2025年新I卷，2024年新I卷，第8題,5分

2.在實際情境中，會團單選題

第8題,5分2024年新II卷，第6題,5分

根據(jù)不同的需求選□多選題

□填空題2025年新H卷,2024年新H卷,第11題,6

擇恰當?shù)姆椒ū硎尽踅獯痤}

第10題,6分分

函數(shù)

2025年新n卷，

3.了解簡單的分段函

第14題,5分

數(shù)，并能簡單應(yīng)用

考情分析：本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會以抽象函數(shù)作為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性及對

稱性，是新高考一輪復(fù)習(xí)的重點內(nèi)容.

復(fù)習(xí)目標：

1.會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性，掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法

2.理解函數(shù)最大值、最小值的概念、作用和實際意義，會求簡單函數(shù)的最值

3.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問題

4.了解奇偶性的概念和意義，會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性

5.了解周期性的概念和意義.會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性解決問題

6.能綜合運用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等解決相關(guān)問題.

02

體系構(gòu)建-思維可視

定義域：在函數(shù)中，X叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域

函數(shù)的概念

函

分式函數(shù)中分母不等于零

數(shù)

的函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0

性

一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R

質(zhì)

函數(shù)的解析式是表示函數(shù)的一種方式，對于不是的形式，可根據(jù)題目的條件轉(zhuǎn)化為y=f(x)形式

函數(shù)的解析式.求函數(shù)的解析式時，一定要注意函數(shù)定義域的變化，特別是利用換元法(或配湊法)求出的解析式,

不注明定義域往往導(dǎo)致錯誤.

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，則這種函數(shù)稱為分段函數(shù).

分段函數(shù)分段函數(shù)雖由<幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)

03

核心突破-靶向攻堅

知識點1函數(shù)的概念及其判斷

1.函數(shù)的概念

兩個集合A、B設(shè)A、8是兩個非空數(shù)集

按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,

對應(yīng)關(guān)系

在集合B中都有唯一確定的數(shù)/U）和它對應(yīng)

名稱稱f：4-2為從集合A到集合B的一個函數(shù)

記法

自主檢測|（多選）下列對應(yīng)關(guān)系是集合A到集合B的函數(shù)的是（）

A.A=R,8={x|x20},=

B.A=Z,B=1,f:x^-y=x2

C.4={0,1},5={-1,0.1},fy2=x

D.A={x\-1<x<l］,B={0},=0

【答案】ABD

【詳解】選項A,B,D中，對集合A中任意實數(shù)x,按給定的對應(yīng)關(guān)系/,在集合B中都有唯一實數(shù)〉與

之對應(yīng)，故選項A,B,D符合函數(shù)的定義.選項C中，對于集合A中元素1,按對應(yīng)法則了,在B中有元

素-1和1與之對應(yīng)，不符合函數(shù)的定義.

知識點2函數(shù)的定義域

函數(shù)的定義域、值域

在函數(shù)y=Kx）,尤GA中，x叫做自變量,-的取值范圍b叫做函數(shù)的定義域,與x的值相對應(yīng)的y值

叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合伏尤）|尤GA}叫做函數(shù)的值域.

自主檢測|函數(shù)〃彳）=而1+3的定義域為.

【答案】［T,o）U（o,”）

fx+l>0

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，得到不等式組2c，進而求得函數(shù)的定義域，得到答案.

［xW0

,、----3fx+1>0

【詳解】由函數(shù)〃元）=，=+弓有意義，則滿足20,解得xNT且中0，

jcIxwU

所以函數(shù)的定義域為［T。）（0,內(nèi)）.

故答案為：［-1,0）（0,—）.

知識點3函數(shù)的解析式

1.函數(shù)的解析式是表示函數(shù)的一種方式，對于不是y=/（x）的形式，可根據(jù)題目的條件轉(zhuǎn)化為該形式.

2.求函數(shù)的解析式時，一定要注意函數(shù)定義域的變化,特別是利用換元法(或配湊法)求出的解析式，不注明

定義域往往導(dǎo)致錯誤.

|自主檢測|若函數(shù)/(而1)=尤-1,貝.

【答案】x2-2(%>0)

【分析】由換元法，即可求解.

【詳解】利用換元法即可得到答案.

令f+1>0,則X=/一1,

.-./(0=？-1-1=/2-2,

...函數(shù)/(尤)的解析式為f(x)=x2-2(x>0).

故答案為：X2-2(X>0).

知識點4分段函數(shù)

分段函數(shù)的概念

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，則這種函數(shù)稱為

分段函數(shù).分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的北集，其值域等于各段函數(shù)的值域的法集.

自主檢測|已知函數(shù)/3=I：，：：；北,則〃-6)=()

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式可求/(-6).

【詳解】由分段函數(shù)的解析式可得：

/1)=/(7)=/(-2)=〃0)=〃2)=4-6+4=2,

故選：A.

題型1函數(shù)的概念及其判斷

例1-1|(多選)下列說法正確的是()

A.函數(shù)值域中的每一個數(shù)都有定義域中的一個數(shù)與之對應(yīng)

B.函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合

C.若函數(shù)的定義域只有一個元素，則值域也只有一個元素

D.對于任何一個函數(shù)，如果尤的值不同，那么y的值也不同

【答案】AC

【詳解】A正確，函數(shù)值域中的每一個數(shù)一定有定義域中的一個數(shù)與之對應(yīng)，但不一定只有一個數(shù)與之對

應(yīng);B錯誤，函數(shù)的定義域和值域不一定是無限集合，也可以是有限集，但一定不是空集,如函數(shù)/(x)=l,x=l

的定義域為口},值域為{1};C正確，根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的每一個元素都能在值域中找到唯一元素

與之對應(yīng)；D錯誤，當x的值不同時，y的值可能相同，如函數(shù)y=Y,當尤=1或x=T時，y=l.

例1-21下列從集合A到集合B的對應(yīng)中不是函數(shù)的是()

【答案】D

【詳解】選項D中，對于集合A中的元素1,在集合8中有兩個元素4和5與之對應(yīng)，不符合函數(shù)的定義.

方法技巧只能多對一，不能一對多。

【變式訓(xùn)練1-1】函數(shù)y=/(x)的圖象與直線尤最多有2個交點.()

【答案】錯誤

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷.

【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義可得函數(shù)>=/(尤)的圖象與直線x=a最多有1個交點.

故答案為：錯誤.

【變式訓(xùn)練1-2】給定集合4=11,8={x|x〈o},則下列不能表示從集合A到集合B的函數(shù)的是()

A.y=-x2B.y=-|%|C.y=-^|x|D.y=-4x

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的概念判斷各選項即可.

【詳解】對于A,y=-x2,xeR,y4。，

且對集合A中每一個元素，在集合8中有唯一確定的元素與其對應(yīng)，

故A能表示從集合A到集合3的函數(shù)；

對于B,y=-|%|,xeR,>40,

且對集合A中每一個元素，在集合8中有唯一確定的元素與其對應(yīng),

故B能表示從集合A到集合8的函數(shù)；

對于C,y=-^|x|,xeR,y40,

且對集合A中每一個元素，在集合8中有唯一確定的元素與其對應(yīng)，

故C能表示從集合A到集合8的函數(shù)；

對于D,當x<0時，y=-4無意義，

所以D不能表示從集合A到集合8的函數(shù).

故選：D.

【變式訓(xùn)練1-3】已知函數(shù)y=|x-2]是從集合A到集合B上的函數(shù)，若2={0』},則集合A不可能是()

A.{1,2}B.{-1,2}C.{2,3}D.{1,2,3)

【答案】B

【分析】由函數(shù)的定義，代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】當x=l時，y=l，當x=2時，y=o,當x=3時，y=1,當x=-l時，y=3,此時〉不在集合B內(nèi),

因此集合A不可能是{-1,2}.

故選：A

題型2相同函數(shù)的判定

例2-1|下列四組函數(shù)中,/(x)與g。)表示同一函數(shù)的是()

r2—1I?fx+1,X—1,

A./(x)=x-l,g(x)=-——B./(x)=|x+l|,g(x)=|,

x+1[TT,X<T

C./(x)=l,g(x)=(x+l)°D./(x)=A/X2-4,g(x)=4x^2-y[x+2

【答案】B

【詳解】A選項中，f(x)的定義域為R,g(x)的定義域為(Yo，-l)5Ty)，所以二者不是同一函數(shù)，所以A

??fx+1,X—1,

錯誤；B選項中，f(x)=x+l=，與g(x)的定義域相同，都是R,對應(yīng)法則也相同，所以二

[-11-X,x<-l,

者是同一函數(shù)，所以B正確；C選項中，f(x)的定義域為R,g。)的定義域為(f，t)5T”)，所以二者不

是同一函數(shù)，所以C錯誤；D選項中，/(x)的定義域為(9,-2][2,+?)，8(方的定義域為[2,+8),所以二

者不是同一函數(shù)，所以D錯誤.

|例221下列各組中的兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的是()

A.小)=、”總B.

[Y人JI—A,X<U

C./(x)=l,g(x)=x°D./(x)=x2,g(x)=(x+l)2

【答案】B

【分析】求出兩個函數(shù)定義域以及化簡對應(yīng)關(guān)系，若兩個函數(shù)定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，則這兩個函數(shù)相

同，從而得到結(jié)果.

【詳解】對A,/(x)的定義域為｛琲口。｝,8(司的定義域為｛巾＞0｝,故A錯誤；

r%xo

對B,/(x)和g(x)的定義域均為R,且〃x)=W='一八,故B正確；

對c,“X)的定義域為R,g("的定義域為｛小wo｝,故C錯誤;

對D,/⑺和g(x)的定義域均為R,但/(x)wg(x),對應(yīng)關(guān)系明顯不同，故D錯誤.

故選：B.

方法技巧定義域相同且對應(yīng)法則相同

【變式訓(xùn)練2-1】下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A./(x)=Jx+1.Jx-l與g(無)=+

B./⑺與g(x)=2x

2

c.=L與8(%)=彳。.%

D.=與g(x)=G'

【答案】C

【分析】由定義域及對于關(guān)系逐個判斷即可.

【詳解】對于A,易知=■的定義域為[1,y)，

g(x)=J(x+l)(xT)'貝！l(x+D(xT)?0,

解得xW-1或xNl,則g(x)的定義域為(-oo,-l]u[l,+co),定義域不同，A錯誤；

對于B,/(x)="x?=2|x|(xeR),g(x)=2x(xeR),對應(yīng)關(guān)系不同，B錯誤；

對于C,/(x)=—=x(x0),g(x)=x°-x=x(x0),定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，C正確；

對于D,〃x)=(y『的定義域為[0,+s),g(x)=正的定義域為R,定義域不同，D錯誤.

故選：C

【變式訓(xùn)練22變考法】中文“函數(shù)”一詞，最早是由清代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯而得，之所以這么翻譯，他給出

的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，也即函數(shù)指一個量隨著另一個量的變化而變化，下

列選項中是同一個函數(shù)的是()

/\II/、fx+1,x^.—l

A.f(x)=E,g(x)=xB.”無)=卜+1|,g(無)=

I—A—1,X<—1

c./(x)=X+2,g(尤)=x-2D.y(x)=l和g(尤)=x。

【答案】B

【分析】先求函數(shù)的定義域，定義域不同則不是同一個函數(shù)，定義域相同再看對應(yīng)關(guān)系是否相同，對應(yīng)關(guān)

系相同則是同一個函數(shù)，對應(yīng)關(guān)系不同則不是同一個函數(shù).

【詳解】對于A,/⑺和g(x)定義域均為R,/(尤)=爐=可,

故/(x)和g(x)定義域相同，對應(yīng)關(guān)系不同，和g(x)不是同一個函數(shù)，故A錯誤；

/\/\/X?Ifx+1,1

對于B,7(x)和g(x)定乂域均為R,〃尤)=卜+1|=|,

故和g(x)定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，“X)和g(x)是同一個函數(shù)，故B正確；

對于C,7(尤)定義域為{xlx-2},g(力定義域為R,

故"X)和g(x)定義域不相同,“X)和g(x)不是同一個函數(shù)，故C錯誤；

對于D,/(十定義域為R,g(x)定義域為3.0},

故和g(x)定義域不相同，〃尤)和g(x)不是同一個函數(shù)，故D錯誤；

故選：B.

題型3已知解析式求定義域

|例31|函數(shù)〃尤)=1幅/-1)+士的定義域是()

A.(-<o,—2),(―2,1)_(1,+co)B.—2)u(—2,—l)kj(l,+oo)

C.[―2,-1)°(1,+功D.(-2,-l)u(l,+?))

【答案】B

【分析】由對數(shù)式的真數(shù)大于0,分式的分母不為0聯(lián)立不等式組求解.

【詳解】函數(shù)"x)=log2(f-l)++，

x>\

尤2一1>。

.?.<X<-1,

x+2w0?

xw—2

.?.尤?—,-2)(-2,-1)(1,-KO).

故選：B.

而可函數(shù)y=二".的定義域為()

---------2x-3x-2

A.卜￡Rxww21B.卜-3且xw2

c口1

C.sxeRxw—w—D.《XERxw—2且xw-

22

【答案】B

【詳解】由2/一3x—2*0,解得xr-g且XN2,所以定義域為｛xeRIxw-g且XH2

【變式訓(xùn)練3-1】(2025?湖南?二模)己知集合4=集合8={小=￡+2X-3<。},則

AB=()

A.(-3,2)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-3,-2)

【答案】A

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域及分式函數(shù)的定義域求解集合4解一元二次不等式求解集合B,然后利用

并集概念求解即可.

2-犬20

【詳解】對于集合人由題意2-*0,得0<工<2,

x>0

所以A==^^=+lnx[={x[0<x<2}=(0,2),

對于集合B,y=(x+3)(無-1)<0,則一3<x<l,

所以3={xb=/+2》_3<0}=卜卜3cx<1}=(_3,1),

因此Au3=(-3,2).

故選：A

【變式訓(xùn)練3-2]函數(shù)“x)=，2sinx-夜的定義域為.

JT3冗

【答案】{x\—+2kn<x<--i-2kn,keZ}

44

【分析】列不等式2sinx-忘20求解即可.

【詳解】由題：2sinx-72>0,即sinxN?,

JT、冗

由正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)得：-+2^<x<—+2^,^eZ,

44

7T37r

故答案為：｛%|—F2左兀(犬<FIkn,kEZJ].

44

【變式訓(xùn)練3-3】求下列函數(shù)的定義域：

(1)y=Vsinx-tanx；

【答案】⑴[2攵兀-5,2左兀+?32左兀+兀},左￡2

⑵卜3,小(。,鼻

【分析】(1)分析可知sinx,tanx同號，或sinx=0,結(jié)合三角函數(shù)線分析求解；

(2)由根式意義可得-3MXM3,根據(jù)對數(shù)意義可得sin2x>0,結(jié)合三角函數(shù)線分析求解.

【詳解】(1)由題意可得：sinx-tanx>0,

、7171、

可知sinx,tanx同號，或sinx=0,可得2fal——<x<2fai+—GZ,或％=E，左cZ,

22

所以函數(shù)y=JsinxManx的定義域[2左兀一m,2左兀+m}°{2左兀+兀},左￡2.

(2)由題意可得：9-X2>0,解得-3V%V3,

又因為sin2x>0,且-642x(6,

TTjr

可得一642xv—?；?<2]<兀,解得一3工％<——或0<%<],

22

所以函數(shù)y=lgsin2x+匹下的定義域為一3，-5)口(。4：

題型4求抽象函數(shù)的定義域

例411已知函數(shù)/(x)的定義域為(L2),則函數(shù)y=f(2x7)的定義域為

【答案】

3

【詳解】由函數(shù)/(%)的定義域為。，2)得l<2x—1<2,解得1<%<不

2

題亙?nèi)艉瘮?shù)〃X)的定義域為[1,3],則函數(shù)g(x)=?！坏亩x域是.

y/x-1

【答案】。,2]

fl<2x-l<3

【分析】由1八求解即可.

?,fl<2x-l<3

【詳解】由題意可得：1八，

解得：1<%<2,

所以定義域是(1,2],

故答案為:(1,2]

方法技巧

(1)分式型函數(shù)，分母不為零的實數(shù)集合.

(2)偶次方根型函數(shù)，被開方式非負的實數(shù)集合.

(3)f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合.

⑷若f(x)=x°,則定義域為｛x|x#)｝.

易錯分析

⑴求函數(shù)定義域之前，盡量不要對函數(shù)的解析式進行變形，以免引起定義域的變化.

⑵用換元法求值域或解析式時,一定要根據(jù)原函數(shù)和定義域求出新變量的范圍.

(3)f((p(x))的定義域是指x的取值范圍而不是<p(x)的取值范圍.

(4)分段求解是解決分段函數(shù)的基本原則，已知函數(shù)值求自變量值時，易因忽略自變量的取值范圍而出錯.

【變式訓(xùn)練4-1】已知函數(shù)的定義域和值域均為［-3,3］,則下列說法錯誤的是()

A.函數(shù)/(%-2)的定義域為［T5］B.函數(shù)上3的定義域為［-1,1)

x-1

C.函數(shù)“X-2)的值域為卜3,3］D.函數(shù)〃2力的值域為［-6,6］

【答案】D

【詳解】函數(shù)/(%-2)中的x需滿足—34x—243,解得-IV尤V5,故函數(shù)/(%-2)的定義域為［—1,5］,故A

正確；函數(shù)史學(xué)中的x需滿足解得—IMXVI,故函數(shù)號1的定義域為故2正確;

函數(shù)/(x-2)和〃2力的值域都為［-3,3］,故C正確，￡)錯誤.

【變式訓(xùn)練4-2?變載體】已知函數(shù)y=的定義域為［0,1］,求函數(shù)g(x)=/(x+a)+/(x-0)的定義域.

【答案】答案見解析

/、「f0<X+tZ<1

【分析】由函數(shù)/(x)的定義域為［0』可得出對實數(shù)a的取值進行分類討論，解該不等式組,

由此可解得函數(shù)g(x)的定義域.

0<x+a<1—a<x<l-a

【詳解】由題意,

Q<x-a<\a<x<a+l

當1一〃<〃或a+1v-a,即或〃〈一工時，x不存在,

22

即g(%)的定義域為0,不滿足函數(shù)定義，函數(shù)g(%)無意義;

當1一〃=4,即〃■時，工=；，g(x)的定義域為gj；

當=即〃=-；時，工=；,g(x)的定義域為｛；｝；

a<\—a

-a<a時，即時，a<x<l-a,故g(%)的定義域為一。］；

1—〃W1+〃

—CL<〃+1

當<a<時，即—］<Qv0時，—aWxWa+1,故g(%)的定義域為［―々M+1］.

Q+1<1—CL

綜上：

①當<2=1■或a=-g時，g(x)的定義域為；

②當時，g(x)的定義域為［。,1-句；

③當5<a<0時，g(x)的定義域為［—a,a+l］；

④當。'或時，函數(shù)定義域為0,g(x)不存在.

題型5已知函數(shù)定義域求參

例5-11已知函數(shù)y(x)=log/x2+依+1)的定義域為R,則實數(shù)a的取值范圍是—.

【答案】(0』)l.(L2)

【詳解】由題意知/+分+1>0恒成立，所以A=a2-4<0恒成立，所以-2<a<2,又a>0且awl,所以

0<"1或l<a<2.所以實數(shù)。的取值范圍是(0,1)1.(1,2).

例5-2|函數(shù)八?=，_一+依一1在1,3上有意義，則實數(shù)a的取值范圍為.

【答案】—?+0°I

【分析】先由題設(shè)得-/+辦_120在；，3上恒成立，再由一元二次函數(shù)性質(zhì)列出關(guān)于。的不等式組計算

即可得解.

【詳解】由題意可知-d+ax-GO在；，3上恒成立，

a-l>010

則《42naN—,

3

-9+3tz-l>0

所以滿足題意的實數(shù)a的取值范圍為［可，+"

「10)

故答案為：\,

【變式訓(xùn)練5-1】已知函數(shù)，(x)=j2尤-"的定義域為［L+s),則實數(shù)相的值構(gòu)成的集合是;若函

數(shù)/(x)=0r不在口,內(nèi))上有意義，則實數(shù)m的值構(gòu)成的集合是

【答案】⑵(-8,2］

Iin

【詳解】由題意得2x-〃止0,從而函數(shù)的定義域為-,+?=［1,+?>),即々=1,故加=2.要使函數(shù)有意

L2)2

義.則需2光一加20,從而故口,+8)/2,+8］，所以解得加42.

2_2J2

【變式訓(xùn)練5-2】若函數(shù)/(力=/"T的定義域為R,則實數(shù)。的取值范圍是______

7ax—2ox+l

【答案】［0,1)

ax—1

【詳解】若函數(shù)/(%)=/2,的定義域為R，則加-2依+1〉0對任意xcR恒成立.當［=0時，不

7ax-2ax+\

J(a>0

等式冰2_2依+1>?；癁閘>0,怛成立；當時，需滿足｛A2A八，解得Ovavl.綜上所述，實

［A=4a-4a<0

數(shù)〃的取值范圍是［0,1).

【變式訓(xùn)練5-3】已知函數(shù)〃x)=Jmx2-4x+2的定義域為R,則函數(shù)g(〃?)=￥-黑的值域為

【答案】口5,+8)

【分析】由題意在R上y=如2一4%+2>0恒成立，求得利，2,再結(jié)合指數(shù)函數(shù)、分式型函數(shù)的性質(zhì)求gO)

的值域.

【詳解】由題設(shè)知，在R上y=如？一4冗+220恒成立,

一fm>0

所以｛A=16-8根W0則機，2,故/=4巾216,

所以g(m)=/?(/)=t——在口6,+oo)上單調(diào)遞增,故g(m)e［15,+co).

t

故答案為：口5,+oo)

題型6待定系數(shù)法求解析式

例6-1若/⑺是一次函數(shù)，2〃2)-3/(1)=5,2f(0)-f(-l)=l,則〃x)=()

A.3x+2B.3%—2C.2%+3D.2x—3

【答案】B

【分析】設(shè)出函數(shù)/(X)的解析式，再根據(jù)給定條件列出方程組，求解作答.

2(2〃+/?)-3(〃+/?)=5

【詳解】設(shè)/(x)=G+/awO),由題設(shè)有

2(0.Q+/?)-(-Q+Z?)=1，

I6Z=3

解得，c，所以/(x)=3x-2.

\b=-2

故選：B.

例6-21已知〃x)是二次函數(shù),且對于任意的實數(shù)為、，，函數(shù)/(x)滿足函數(shù)方程

/(x)+/(y)=/(x+y)+孫+2,如果/⑴.下列選項錯誤的是()

A./(0)=2B.y=/(x)+x在(0,+8)上單調(diào)遞增

C.y=為偶函數(shù)D.y=/(x+l)為偶函數(shù)

【答案】B

【分析】對于A,利用特殊值法，整理題目中等式，可得答案；對于B,利用待定系數(shù)法，根據(jù)等式求得

函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；對于C、D,整理對應(yīng)函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的對稱

性，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】對于A,由/(x)+/(y)=/(x+y)+孫+2,令x=y=。，

則/(。)+/(。)=/(。)+。+2,解得"0)=2,故A正確；

對于B,由/(x)+〃y)=/(x+y)+w+2,令〉=一%，

貝廳(村+/(—力=/(。)一/+2,化簡可得〃x)+/(-x)=4-f，

設(shè)二次函數(shù)/'(尤)="+bx+c(aH0),貝[|ax2+bx+c+ax2-bx+c=4-x2>

f2a=—1/、1o

化簡可得2O/+2C=4-X2,可得2c=4，所以〃尤)=一]無+法+2,

由〃1)=一)+6+2=[解得6=1,所以〃同=一；/+》+2,

1x=_________=2

由函數(shù)丁=〃耳+》=-5/+2》+2,則其對稱軸為直線2x1[，

所以函數(shù)y=/(x)+x在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+⑹上單調(diào)遞減，故B錯誤；

1尤=__」=o

對于C,由B可知了=/(同一%=一5》2+2,則其對稱軸為2x1-.，

所以函數(shù)y=/(無)-x是偶函數(shù)，故C正確；

115

對于D,由B可知y=/(x+l)=-5(尤+1)9~+(》+1)+2=—5X2+],

x=—-—=。

則其對稱軸為2x1]，所以函數(shù)y=〃x+l)為偶函數(shù)，故D正確.

故選：B.

【變式訓(xùn)練6-1](多選)已知是一次函數(shù)，/(/(力)=9..4,且"0)>0,函數(shù)8(%)滿足8(〃")=9小,

貝I()

A.”x)=-3x+2B./(x)=3x+l

C.g(x)=x2-4x+4D.g(x)=J？-2x+l

【答案】AC

【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)〃工)=丘+6解方程組可得〃x)=-3x+2,再由換元法代入計算可得

g(x)=x?-4x+4,可得出結(jié)論.

【詳解】依題意可設(shè)〃%)=履+6,

由/(/(x))=9x-4BJ-^k{kx+b)+b=k2x+kb+b=9x-^,

[=：，解得k=3.k=-3

因此可得6=-1或

kb+b=-4b=2

k=-3

又因為〃0)=6>0,所以6=2，即〃x)=—3x+2,即A正確，B錯誤;

又g(/⑺)=9尤2可得g(-3彳+2)=9/,

令一3x+2=r,所以x=―--,因止匕g(/')=9x/-4二+4，

所以gGb/Tx+S可得C正確，D錯誤.

故選：AC

【變式訓(xùn)練6-2】設(shè)二次函數(shù)〃力=加+云+。(叱0),集合A={H/(X)=X}={1,2},且"0)=2,求函數(shù)

〃尤)的解析式.

【答案】/(X)=X2-2X+2

【分析】由〃0)=2求出c的值，再根據(jù)集合的概念可知/(x)=x得解為1和2,代入求出。力即可.

【詳解】由〃0)=2可得c=2,

又因為集合A=利/(x)=x}={1,2},所以〃x)=x得解為1和2,

Q+Z?+2=1Q=1

代入得4a+26+2=2'解得

b=-29

所以/(x)=f-2x+2.

題型7換元法求解析式

|例7-1|已知+尤+2,則函數(shù)的解析式為(

A./(x)=x2B./(x)=x2+1(x>l)

C./(x)=x2-2x+2(x>l)D./(x)=x2-2x+3(x>l)

【答案】D

【分析】令&+l=r(此1),采用換元法求函數(shù)的解析式.

【詳解】令?+1=/(=1),貝合=(”1)2,

所以/(》)=*2-2X+3(XN1).

故選：D.

例7-2|若函數(shù)/(lnx)=3x+4,則/(x)=()

A.31nxB.31nx+4C.3exD.3er+4

【答案】D

【詳解】由一(lnx)=3x+4=3eH'+4,得/(x)=3e*+4.

【變式訓(xùn)練7-1】已知貝1]/(2)=.

【答案】3

【分折】利用換元法，結(jié)合題目的等量關(guān)系，求出解析式，即可求解.

【詳解】令嚀=《蹤1),

/(x)=x2,

.-./(2)=22-2+l=3.

故答案為：3.

【變式訓(xùn)練7-2](24-25高一上?重慶?期中)函數(shù)〃x)滿足了(；■三x,則/(尤)=()

1+2]

1-Xx-1

A.B.

2+2%2x4-2

2+2x2x+2

C.D.

1-xx—1

【答案】A

【分析】利用換元法將W設(shè)為人反求出人瑞,再代入原式,

并將/改為x即得.

1_9\—t

【詳解】設(shè)f=則r+2比=1—2x,即x=

l+2x2+2?

代入/(片)=x，可得/⑺=善)，故"xh92；.

l+2x2+2/2+2x

故選：A.

題型8方程組法求解析式

例8-1|已知〃x)滿足2〃尤)+/[j=3x-2.若y=4a)-lnx為增函數(shù)，acR,貝的取值范圍是()

【答案】D

【分析】將/(x)中的無由:來替代，與原式聯(lián)立求/(x),由此可得y=4(x)-加，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單

、11

調(diào)性的關(guān)系可得二T恒成立，利用基本不等式求得；二了的最大值可得結(jié)論.

2%+—2x+—

XX

【詳解】將“X)中的X由,來替代，得到2dm+〃X)=3-2,

X\XJX

消去兩個式子中的U得到小)=2x3-1.

令/(x)=/(x)-Inx,x>0,

貝u尸(x)=a(2+e〕一』Z0,解得“大;7?.

Ix)x2%+—

X

1<1_V2萬

又二一T一云萬一彳(當且僅當x=衛(wèi)時，等號成立)，

2x+-乙7乙2

X

故選：D.

例8-2|(1)若函數(shù)/(x)滿足/(%)+2/俏]=3無，求/'(x)的解析式.

(2)若/(X)滿足〃x)+2〃2—x)=x,求/(x)的解析式.

(3)已知/(*)的定義域為(0,+e),且/(x)=2/?01,求/(X)的解析式.

442/-1

【答案】⑴小)丁舊一⑵/⑺『⑶產(chǎn)。)

【分析】利用方程組法計算求解析式即可;

【詳解】⑴用，替原方程中的X,得到小+2的

/(X)+2/[*12U3X

4

聯(lián)立方程組消去了得