專題04特殊平行四邊形性質(zhì)與判定

一、【知識回顧】

【思維導(dǎo)圖】

有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四

邊形，相對的邊稱為對邊，相對的角稱為

對角

■平行四邊形的對邊相等，對角相等

(,平行四邊形的鄰角互補，對角線互相平分

「兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

18.1平行四邊形

?兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

■判定?一組組對邊平行且相等的四邊形是平行四

.邊形

I對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

山竹相生理三角形的中位線平行于第三邊，且等于第

中僅運埋一三邊的一半

平行四邊形有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形

矩形的四個角都是直角，矩形對角線相等

矩形

直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半

三個角是直角的四邊形是矩形

判定I

對角線相等的平行四邊形是矩形

有一組領(lǐng)邊相等的平行四邊形叫作菱形

菱形的四條邊相等

18.2特殊的平行

菱形

四邊形菱形對角線互相垂直，每一條對角線平分

一組內(nèi)角

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

判定

四條邊相等的四邊形是菱形

有一組領(lǐng)邊相等且有一個角是直角的平行

定義

四邊形是正方形

正方形

對邊平行，四邊相等，四個角為90°

性質(zhì)

對角相等，相互垂直且相互平分

【知識清單】

矩形的性質(zhì):幾何表達(dá)式舉例:

"(1)具有平行四邊形的所有通性;

(2)：ABCD是矩形

因為ABCD是矩形n，(2)四個角都是直角；

Dc[(3)對角線相等..?.ZA=ZB=ZC=ZD=90°

(3)：ABCD是矩形

.\AC=BD

-------A----------------------------B----------------------

矩形的判定：-幾何表達(dá)式舉例：

(1)；ABCD是平行四邊形

(1)平行四邊形+一個直角

又；NA=90°

(2)三個角都是直角[=＞四邊形ABCD是矩形.

，四邊形ABCD是矩形

(3)對角線相等的平行四邊形

(2)VZA=ZB=ZC=ZD=90°

，四邊形ABCD是矩形

⑶..........

菱形的性質(zhì)：幾何表達(dá)式舉例：

因為ABCD是菱形(1)..........

’⑴具有平行四邊形的所有通性;⑵：ABCD是菱形

.\AB=BC=CD=DA

=(2)四個邊都相等；

⑶；ABCD是菱形

(3)對角線垂直且平分對角.

.*.AC±BDZADB=ZCDB

菱形的判定:幾何表達(dá)式舉例：

(1)平行四邊形+一組鄰邊等'(1)；ABCD是平行四邊形

,/DA=DC

(2)四個邊都相等n四邊形四邊形ABCD是菱形.

四邊形ABCD是菱形

⑶對角線垂直的平行四邊形

(2),/AB=BC=CD=DA

，四邊形ABCD是菱形

A(3)；ABCD是平行四邊形

VACXBD

四邊形ABCD是菱形

正方形的性質(zhì)：幾何表達(dá)式舉例:

因為ABCD是正方形⑴..........

'⑴具有平行四邊形的所有通性；(2)：ABCD是正方形

.*.AB=BC=CD=DA

n(2)四個邊都相等，四個角都是直角;

ZA=ZB=ZC=ZD=90°

(3)對角線相等垂直且平分對角.

(3)：ABCD是正方形

.,.AC=BDAC±BD

C,cD____________.C

ACBAB

正方形的判定：幾何表達(dá)式舉例：

(1)：ABCD是平行四邊形

(1)平行四邊形+一組鄰邊等+一個直角、

又：AD=ABZABC=90°

(2)菱形+一個直角>n四邊形ABCD是正方形.

；?四邊形ABCD是正方形

(3)矩形+一組鄰邊等

(2)：ABCD是菱形

DC又,:ZABC=90°

四邊形ABCD是正方形

(3)VABCD是矩形

又：AD=AB

A1□B

；?四邊形ABCD是正方形

二、【考點類型】

考點1：矩形的性質(zhì)(對角線相等，90°)

典例1：(23-24八年級下?湖北?周測)在矩形4BCD中，對角線AC、BD相交于點。，4E平分NB4□交BC于

點E,^CAE=15°,連接。E,則下面的結(jié)論：其中正確的結(jié)論有.

①ADOC是等邊三角形；②ABOE是等腰三角形；③BC=2AB；?AAOE=150°；⑤〃.后=S^OE-

【變式1](22-23八年級下.江蘇蘇州?期末)如圖，在矩形中，對角線4C與8。相交于點。，過點4作

AE1BD,垂足為點E,若BE=1,AE=2,則AC=.

【變式2](22-23八年級上?湖北恩施?期末)如圖，點P是矩形2BCD對角線4C上一點，過點P做EFIIBC,

分別交AB,CD于點E,F,連接PB,PD.若4E=2,PF=9,則圖中陰影部分的面積為

【變式3】（22-23八年級下?福建莆田?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形。4BC的對角線AC平行于

x軸，邊。4與x軸正半軸的夾角為30。，AC=6,則點A的坐標(biāo)是—.

【變式4（2024.山東濟(jì)南.模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,AE1BD于點E,

DFLAC^-^F,求證：AE=DF.

【變式5】（23-24八年級下?全國?隨堂練習(xí)）如圖，在矩形2BCD中，O為對角線4C的中點，過點O作直線

分別與邊2D、BC交于M、N兩點，連結(jié)CM、AN.求證：四邊形4NCM為平行四邊形.

【變式6】（23-24八年級下?江蘇無錫?階段練習(xí)）如圖，在長方形紙片4BCD中，AB=6,BC=8,將紙片

按如圖所示的方式折疊，使點8與點。重合，折痕為EF.

⑴求證：BE=BF-.

（2）求4E和EF的長.

【變式7】（22-23九年級上?陜西咸陽?期中）如圖，矩形4BCD的對角線AC,BD相交于點。，點E,F在BD

(2)若48=6,"0B=60°,求矩形2BCD的面積.

考點2：直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)

典例2：（22-23八年級下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）如圖，AABC中，D,E分別是4B,47的中點，F(xiàn)是DE延

長線上的一點，且N4FC=90。，若AC=12,BC=20,則DF的長為

【變式1］（2023?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，在RtAABC中，乙4cB=90。，CD為中線，延長CB至點E,

使8E=BC,連結(jié)DE,尸為DE中點，連接BF.若4C=4,BC=3,貝防尸的長為.

【變式2】（23-24八年級下?江蘇南京?階段練習(xí)）如圖，在RtAABC中，^BAC=90°,2D是AABC的中線,

點E,尸分別是4。，4C的中點，連接EF,若EF=3,貝妹。的長為.

BDC

【變式3](2023?甘肅隴南?模擬預(yù)測)如圖，在A4BC中，^ACB=90°,乙B=28°,4D平分NBAC,E^AD

中點，則乙DCE的度數(shù)為.

【變式4】(23-24八年級上.浙江嘉興.期末)如圖，CD是RtAABC的斜邊4B上的中線，Z4=30°.

⑴求NB的度數(shù).

(2)若4B=10,求仆BDC的周長.

【變式5](23-24九年級上?陜西寶雞?期末)如圖，在四邊形4BCD中，乙ABC=90°,AD||BC,AD=BC.

(1)求證：四邊形4BCD是矩形;

(2)點E是2D上一點，點尸是BC的中點，連接BE,CE,EF,若NBEC=90。，EF=6,求4D的長.

【變式6](23-24八年級上?云南昭通?期末)如圖，在ZiMBC中，乙B=30。,4D是BC邊上的中線，且AD=

AE1BC于點E.

(1)求NC4E的度數(shù)；

(2)若CE=2,求BE的長.

【變式7](23-24八年級上.上海靜安.期末)如圖,在AABC和△4DC中,^ABC=^ADC=90°,連接2C與

8。交于點0,M,N分別是4C、8。的中點.求證：MN垂直平分BD.

B

考點3：矩形的判定

典例3：(23-24八年級下?湖南長沙?階段練習(xí))如圖，點A在NMON的邊。N上，AB1?！庇贐,4E=OB,DE1

(1)求證：四邊形4BCD是矩形；

(2)若DE=3,。5=9,求4。的長.

【變式1】(22-23八年級下?北京房山?期末)如圖，在團(tuán)2BCD中，對角線AC,BD交于點。，0A=0B.

⑴求證：四邊形4BCD是矩形；

(2)若4D=2,NCAB=30°,作NDCB的平分線CE交4B于點E,求4E的長.

【變式2](2024?云南?模擬預(yù)測)在△ABC中，。是BC邊的中點，E、E分別在4D及其延長線上，CE\\BF,

連接BE、CF.

⑴求證：ABDF^△CDE

(2)若=試判斷四邊形BFCE的形狀，無需說明理由.

【變式3】（23-24九年級下?黑龍江哈爾濱?開學(xué)考試）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為線段CD的中點,

連接AC、AE,延長4E、BC交于點F,連接DF,ZXCF=90°.

（1）求證：四邊形4CFD是矩形；

（2）在不添加輔助線的條件下，請直接寫出圖中四個三角形且其面積為矩形4CFD的面積的四分之一.

考點4：菱形的性質(zhì)

典例4：（2024.河南鄭州.模擬預(yù)測）如圖，在菱形4BCD中，AADC=128°,P是對角線AC,BD的交點,

點E在C8的延長線上，且PE=P4.貝l|N2PE=度.

【變式1X23-24八年級下?北京?階段練習(xí)）如圖，菱形2BCD的對角線AC、BD相交于點O,過點。作D”1AB

于點H,連接?！叭鬉C=16,S菱形ABCD=64,則。”的長為.

【變式2】（2024.山西晉城.二模）如圖，菱形48CD的對角線AC,BD相交于點0,過點4作4E1CD于點E,

連接OE,若。B=4,OE=3,則菱形2BCD的面積為.

【變式3］（23-24九年級上.山東青島?階段練習(xí)）如圖，在菱形4BCD中，Z.B=60°,點E,尸分別從點2,

D同時以同樣的速度沿邊BC,DC向點C運動.給出以下三個結(jié)論中，正確的是：（填寫序號）

①2E=4F；②乙CEF=MFE；③當(dāng)點E,尸分別為邊BC,DC的中點時，A/IEF是等邊三角形.

【變式4］（2023?湖南永州?一模）如圖，菱形4BCD中，ZCBD=75°,分別以4B為圓心，大于2B的一

半長為半徑畫弧，兩弧在4B的兩側(cè)分別交于點P、Q,作直線PQ交4B于點E,交4D于點F,連接8F,求ADBF

【變式5］（23-24九年級上.四川成都.階段練習(xí)）如圖，BD是菱形4BCD的對角線，ACBD=75°.

（1）請用尺規(guī)作圖法，作4B的垂直平分線EF,垂足為E,交4。于F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）條件下，連接BF,求ADBF的度數(shù).

【變式6］（2023?山東聊城?模擬預(yù)測）在菱形28CD中，對角線AC,8。交于點0,過點C作BD的平行線，交

4B延長線于點E.

⑴求證：BC=^AE；

（2）若乙4BC=120°,CE=6,求菱形4BCC的面積.

【變式7］（23-24九年級上?山東泰安?期末）在菱形4BCD中，點尸是BC邊上一點，連接4P,點￡,尸是4P上

的兩點，連接DE,BF,使得=乙ABF=LBPF.

AD

求證：

（1）AABF=ADAE；

（2）DE=BF+EF.

考點5：菱形的面積

典例5：（22-23八年級下?甘肅張掖?期末）如如圖，菱形4BCD的對角線AC、8。相交于點。，過點。作直線

EF分別與AB、DC相交于E、F兩點，若4C=10,BD=4,則圖中陰影部分的面積等于.

【變式1］（23-24九年級上四川達(dá)州期末）如圖，菱形48CD的邊長為26,對角線47的長為48,延長4B至

E,BF平分NCBE,點G是BF上任意一點，則A/ICG的面積為.

【變式2】（23-24九年級上.貴州畢節(jié)?階段練習(xí)）如圖，菱形2B2Q中,ZD=135°,BE1CD于點E,交AC于

點F,FG1BC于點G.若ABFG的周長為4,則菱形4BCD的面積為一.

【變式3］（22-23八年級下?山西忻州?期中）如圖，菱形ABCD的對角線"、BD相交于點O,過點A作4”1BC

于點H,連接。若。B=4.5,S菱形ABCD=36,則OH的長為.

AD

考點6：菱形的判定

典例6：（23-24八年級下.全國.隨堂練習(xí)）如圖，在四邊形4BCD中，AB||CD,4C平分AB=2CD,E

為4B的中點，連接CE.

⑵若乙。=120。，DC=1,求△ABC的面積.

【變式1】（2024?云南昭通?模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形4BCD中，BE平分“BC交4D于點E,點/在BC

上，AB=BF,連接4F交8E于點O,連接EF.

（1）求證：四邊形4BFE是菱形；

（2）若￡、尸分別為2。、8C的中點，CF=5,4尸=8,求點。至必8的距離.

【變式2］（2024.山西晉城.二模）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

利用尺規(guī)在銳角三角形紙片上作菱形在數(shù)學(xué)興趣課上，老師提出一個問題：利用尺規(guī)在銳角三角形紙片ABC

上作菱形4EDF,且點O,E,尸分別在BC,AB,AC邊上，同學(xué)們以小組為單位展開了討論.

勤學(xué)小組展示了他們的作法：如圖1,以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，兩弧分別交4B,4C邊于點G,

H-,分別以點G,H為圓心，大于的長為半徑畫弧，在△ABC內(nèi)部交于點L；連接4L并延長，交BC邊

于點。；以點8為圓心，任意長為半徑畫弧，兩弧分別交ZB,BC邊于點M,N；以點。為圓心，BN長為

半徑畫弧，交BC邊于點尸；以點P為圓心，MN長為半徑畫弧，交前弧于點Q連接。Q并延長，交AC邊于

點F；以點A為圓心，4F長為半徑畫弧，交4B邊于點E；連接DE,DF.則四邊形4EDF為菱形.

勤學(xué)小組進(jìn)行了以下證明：

證明：根據(jù)尺規(guī)作圖，得AD平分ABAC,乙FDC=LB,AE=AF.

：.ABAD=/.CAD,FD\\AB.

：.^ADF=^BAD.

：.^ADF=/.CAD.

：.AF=DF.(依據(jù)1)

：.AE=DF.

四邊形AEDF是平行四邊形.(依據(jù)2)

5L'：AE=AF,

四邊形4EDF是菱形.

善思小組也展示了他們的作法：如圖2,以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交48,4C邊于點R,S；

分別以點R,S為圓心，大于之RS的長為半徑畫弧，兩弧交于點T；連接4T并延長，交BC邊于點D；分別以

點4,。為圓心，大于之人。的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點W,V；連接WU,分別交AB,AD,4c于點E,

O,F；連接DE,DF.則四邊形4EDF為菱形.

任務(wù):

(1)填出證明過程中的依據(jù).

依據(jù)1：;

依據(jù)2：.

(2)請根據(jù)善思小組的作法，求證：四邊形4EDF是菱形.

(3)如圖3,請你在銳角三角形紙片ABC上用尺規(guī)再設(shè)計一種不同的方法作菱形AE。k(要求：不寫作法,

保留作圖痕跡，標(biāo)明字母)

A

【變式3】（23-24八年級下?江蘇南通?階段練習(xí)）如圖，在四邊形4BCD中，AD||BC,對角線BD的垂直平

分線與邊4。、8C分別相交于點M、N.

（1）求證：四邊形BNDM是菱形；

（2）若80=24,MN=10,求菱形2NDM的周長.

考點7：正方形的性質(zhì)

典例3：（23-24八年級下?山東聊城?階段練習(xí)）如圖，以正方形4BCD的邊CD為邊在正方形外作等邊三角形

CDE,連接8E交正方形的對角線4C于點F,連接DF,則乙4FO等于.

【變式1］（2023?四川成都?模擬預(yù)測）如圖，在正方形28CD中，AB=4,￡是CD的中點，按以下步驟作

圖.分別以點A和點E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點G,作直線GH交4。于點尺則

FD的長為.

【變式2】（23-24八年級下?河北廊坊?階段練習(xí)）如圖，在邊長為2的正方形ABCD的外側(cè)，作ADCREC=

ED=W.若G為邊BC上的一點，當(dāng)△EDC的面積是AACG面積的百倍時，BG=（結(jié)果保留根號）.

【變式3】（2023?山東青島?三模）如圖，正方形4BCD的邊長為4,點E在邊CD上，且CE=1,連結(jié)AE,點

F在邊4。上，連結(jié)BF,把4ABF沿BF翻折，點4恰好落在4E上的點G處，下列結(jié)論：①AE=BF；②AD=2DF；

?^W^DFHE=6；④GE=0.2,其中正確結(jié)論的是.（填序號）

【變式4]（23-24九年級上?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，點P是正方形4BCD內(nèi)位于對角線AC下方的一點,

zl=Z2,求NBPC的度數(shù).

【變式5]（23-24九年級上?甘肅隴南?階段練習(xí)）已知：如圖，正方形4BCD,連接AC,E是8c延長線上一

點，AC=EC,連接4E交CD于點?

（1）求NE的度數(shù)；

（2）若。尸=2,求點尸到4C的距離.

【變式6】（23-24九年級上?山東棗莊?階段練習(xí)）如圖，正方形4BCD的對角線4C和BD相交于點。，。又是

正方形為B1G。的一個頂點，。4交4B于點E,0cl交BC于點尺

AD

Cl

⑴求證：AXOF三2BOF；

(2)如果兩個正方形的邊長都為4,求四邊形。E8F的面積.

【變式7](2023?廣西防城港?模擬預(yù)測)(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖15,將正方形紙片ABCD沿過點A的直線

折疊，使點3落在正方形內(nèi)部的點M處，折痕為4E,再將紙片沿過點A的直線折疊，使4。與4M重合，折

痕為4F,請直接寫出NE4F的度數(shù)；

(2)【拓展探究】如圖16,繼續(xù)將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點恰好落在折痕4E上的點N處，

連接NF交4M于點P.若AB=g,求線段PM的長；

(3)【遷移應(yīng)用】如圖17,在矩形中，點E,P分別在邊BC,上，將矩形4BCD沿4E,”折疊,

點8落在點M處，點。落在點G處，點A,M,G恰好在同一直線上，若點尸為CD的三等分點，AB=3,

AD=5,求線段BE的長.

圖15圖16圖17

考點8：正方形的判定

典例8：(23-24八年級下?江蘇南京?階段練習(xí))如圖，四邊形4ECF是菱形，對角線AC、EF交于點。，點D、B

是對角線EF所在直線上兩點，且=連接4。、AB.CD、CB,/.ADO=45°.

(1)求證：四邊形4BCD是正方形;

⑵若正方形4BCD的面積為32,BF=1,求點尸到線段2E的距離.

.,?四邊形48C。是正方形.

(2)

【變式1](23-24八年級下?全國?隨堂練習(xí))如圖，在AaBC中，Z.BAC=90°,N84C的平分線交BC于點

DE||AB,DF||AC.

(1)求證：四邊形4FDE為正方形;

(2)若=求四邊形4FDE的面積.

【變式2】(2024?云南昆明.一模)如圖，點E為正方形28CD內(nèi)一點，Z.BEC=90°,將△BEC繞點B逆時針

方向旋轉(zhuǎn)90。得到凡4(點E的對應(yīng)點為點尸)，延長CE交4F于點G.

(1)試判斷四邊形BEGF的形狀，并說明理由;

(2)若2B=5,AG=1,求CE的長.

【變式3】(23-24九年級上.江西南昌.期末)如圖，在正方形4BC0中，點E是對角線4C上一動點，連接。E,

作EF1DE交BC于點F,以ED和EF為鄰邊作矩形EFGD.

(1)猜想：AE,CG的位置關(guān)系是二

⑵求證：^DAE=ADCG.

考點9：中點四邊形

典例9：（23-24八年級下?山東聊城?階段練習(xí)）下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任

務(wù).

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形4BCD中，點E,F,G,"分