專題03集合的基本運(yùn)算

1、理解并、交集的含義，會(huì)求簡(jiǎn)單的并、交集

2、借助Venn圖理解、掌握并、交集的運(yùn)算性質(zhì)

3、根據(jù)并、交集運(yùn)算的性質(zhì)求參數(shù)問題

1、交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合3的所有元素組成的集合，稱為A與3的交集,

2、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素組成的集合，稱為A與3的并集,

記作AB,即AB={x|xeA,<xeB}.

3、補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合

A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作G/A,

即CVA={x|xeU,且xeA}.

4、集合的運(yùn)算性質(zhì)

(1)AA=A,A0=0,AB=B\A.

(2)AA=A,A0=A,AB=BA.

(3)A(qA)=0,A(C0A)=U,G(QA)=A.

5、高頻結(jié)論

(1)AqBoAB=AoAB=BoCuBjCuA.

(2)Co(A5)=(CUA)MQ3),CU(45)=(C")f(C*).

6、區(qū)間的概念

6.1區(qū)間的概念

設(shè)。，6是實(shí)數(shù)，且a<b,滿足aWxWb的實(shí)數(shù)x的全體，叫做閉區(qū)間，

記作［凡切，BP，［a,b］={x\a<x<b}o如圖：a,b叫做區(qū)間的端點(diǎn).在數(shù)軸上表示一個(gè)區(qū)間時(shí)，若

區(qū)間包括端點(diǎn)，則端點(diǎn)用實(shí)心點(diǎn)表示；若區(qū)間不包括端點(diǎn)，則端點(diǎn)用空心點(diǎn)表示.

I111一I1

"bxabx“b飛abx

a<x<ba<x￡baW戈

國(guó)"近"Wb}{r|a<x<b](r|u<xWb)

l0?R(?.b)(a,可(??b)

閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間

集合{x\a<x<b}{x\a<x<b}{x\a<x<b]{x\a<x<b}

區(qū)間[a,b](a,b)(a,句[a,b)

6.2含有無窮大的表示

全體實(shí)數(shù)也可用區(qū)間表示為(-8,+°。)，符號(hào)“+8”讀作“正無窮大”，“f”讀作“負(fù)無窮大”，即

R—(-℃,+8)o

1/______L.

(1xax?xaX

axWax>ax<a

a!a}國(guó)*>a}

[a9+oo)(-??tf](a.(-<4a)

集合{x\x>a}{x\x<a}{x\x>a]{x\x<a}

區(qū)間[a,+co)(-co,a](a,+8)

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)一：交集

角度1:交集的概念及運(yùn)算

典型例題

例題1.（24-25高一上■北京?期中）已知集合M={x1-3<x<l},N={—?jiǎng)tMN=（）

A.{—2,—1,0}B.{-3,—2,—1}C.{-2,—1,。/}D.{-3,—2,—1,0}

例題2.（24-25高一下廣西崇左?階段練習(xí)）已知集合4=3-34*<1},3={刈彳區(qū)2},則4B=（）

A.{x|-2<x<l}B.C.{x|-3<%<2}D.{x|l<x<2}

精練

1.（2025?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知集合A={x|-l<x<3},8={-1,0,1,2,3},則AB=（）

A.{0,1,2,3}B.{x|-l<x<3}C.{-1,0,1,2,3}D.{x[T<x<3}

2.（24-25高一下■云南?階段練習(xí)）集合A={x|24x<4},B={x[-l<x<3},則AB=（）

A.{x|2<x<3}B?{x|-l<x<4}C.{x|-l<x<2}D.{x\3<x<4}

3.（2025,陜西,模擬預(yù)測(cè)）已知集合4={（尤,刈尸尤2-2彳-1},3={（尤,）；）b=2彳-5},則AcB的元素個(gè)數(shù)

是（）

A.0B.1C.2D.無數(shù)

角度2:根據(jù)交集的結(jié)果求集合或參數(shù)

典型例題

例題1.（2025高三.全國(guó)?專題練習(xí)）已知集合4=3一3〈;^2},3={劃一%42祖},且4B={x|-l<x<2},

則7〃=（）

3

A.-B.0C.-1D.1

2

例題2.（24-25高一上?河北唐山,期中）已知集合A={%|—3vx<5},B={x\2a^l<x<2a+1}.

（1）當(dāng)〃=1時(shí)，求AB,Ar>B;

（2）若AB=0,求〃的取值范圍.

精練

1.（2025?山東臨沂?一模）已知集合4=何2工-440},8={2<彳<2}.若A3=0,則”的取值范圍為（）

A.{x\x<l}B.{x\x<l]C.[x\x<2}D.[x]x<2}

2.（24-25高一上?上海?期中）已知集合4={-1,1},8=3%之。}.

（1）若AcB={l},求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）若AB=A,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

3.（23-24高一上?福建龍巖?階段練習(xí)）已知集合A={x|2a4x4a+3},B={x|—24x43}

（1）當(dāng)o=l時(shí)，求AB;

（2）若AB=A,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

角度3:根據(jù)交集的結(jié)果求元素個(gè)數(shù)

典型例題

例題1.（24-25高三上?四川南充?階段練習(xí)）已知集合4={（M斕丫=尤2+1},B={（x,y）|y=x+l},則AcB

中的元素個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

，|?。，則Ac3中整數(shù)元素的個(gè)

例題2.（2025高三?全國(guó),專題練習(xí)）已知集合A={T,0,1},B=X

數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

精練

1.（24-25高一上?福建莆田?期中）設(shè)集合A=M+8|aeN},3=伊+29性?用，若AcB=P,則尸中

元素個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.至少3個(gè)

2.（23-24高二下?北京?期中）設(shè)集合A={（x,y）?=x},B==,則集合AcB的元素的個(gè)數(shù)

為（）

A.0B.1C.2D.3

3.（23-24高一上?吉林?期末）集合A={xeN*|x2-3無一440},3={0,2,4,6},則AcB中元素的個(gè)數(shù)為

（）

A.2B.3C.4D.5

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)二：并集

角度1：并集的概念及運(yùn)算

典型例題

例題1.（2025?貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）集合A={x|d+4x_5=0},B={x|f-1=0},則AB=（）

A.{—1}B.{1}C.{-5,—1,1}D.{-5,1}

例題2.（2025高三?北京,專題練習(xí)）集合4=卜1》+2?0},8=1，-3%-4<0},則4B=（）

A.[x\-2<x<4^B.{x\-2<x<4}C.{x|x2-2}D.{x\-2<x<4}

精練

1.（2025?湖南邵陽(yáng)?二模）已知集合4={無產(chǎn)<9},B={x|x-l>0）,則A8=（）

A.1x|—3<x<l|B,>11C.{%|1<%V3}D.1x|x>—31

2.（24-25高二下?北京?階段練習(xí)）設(shè)集合A=B={X|X2<1},則A6=（）

A.^x\-l<x<2^B.

C.{x[%<2}D.{x|l<x<2j

3.（2025?天津和平,一模）已知集合4={中2<%<2},B={x\-l<x<3],則A5=（）

A.1x|-2<x<3|B.{中>-2}

C.1x|-l<x<31D.1x|x<3|

角度2:根據(jù)并集的結(jié)果求集合或參數(shù)

典型例題

例題1.(23-24高三?河南周口?階段練習(xí))設(shè)集合A={Nd_3*+2=0},集合3={尤|x2+(a-l)x+?2-5=0).

(1)若A3={2},求實(shí)數(shù)”的值；

(2)若A8=4,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2Y]

例題2.(23?24高一上,江蘇無錫?階段練習(xí))已知集合4={]|-------<1}B=[x\x2-2x-3<0},C={x\x<a],

x+19

全集。=R.求：

(l)AnS;

⑵(6A)B；

(3)若BUC=C,求a的取值范圍.

精練

1.(2025?陜西西安?二模)已知集合4={尤I爐+=0},1={1}.若Au3={0,l},則根=()

A.0B.1C.-1D.0或一1

2.(23-24高一上?重慶?期末)已知集合A={x|(x-3)(x+2)<0},集合8={x12。-3Vx<2a+l}.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求AcB；

(2)若A3=4,求a的取值范圍.

3.（23-24高一上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?階段練習(xí)）設(shè)集合A=Wx2—8x+15=0},8={x|ax+l=0}.

（1）若"=-；，判斷集合A與3的關(guān)系；

（2）若AB=A,求實(shí)數(shù)〃的取值集合.

角度3:根據(jù)并集的結(jié)果求元素個(gè)數(shù)

典型例題

例題1.（23-24高一上?江西撫州?階段練習(xí)）已知集合4={0,-1,3,2},8={-2,-1,1},則A3中元素的

個(gè)數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

例題2.（23-24高一上?湖南株洲?階段練習(xí)）若集合M={1,3},A={x\x=s+t,sGM,teM）,

2={尤k=s2+f2,seM/eM},則集合A3中的元素個(gè)數(shù)是.

精練

1.（23-24高三上?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí)）已知集合"={1,3,5,7},N={x|d-2x-3<0,xeN*},則MuN

中的元素個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

2.（23-24高三上?陜西安康?階段練習(xí)）已知集合4=k€刃封+1<5},8={-1,1,3},則A3中元素的個(gè)

數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

3.（23-24高一上?遼寧?階段練習(xí)）已知集合4={-1,0,1,3,4},3={尤€岡（彳-2）0-6）40},則43的元素

個(gè)數(shù)為（）

A.8B.7C.5D.2

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)三：補(bǔ)集

角度1:補(bǔ)集的概念及運(yùn)算

典型例題

例題1.(24-25高一上?廣東廣州?期中)已知全集。={彳62||萬(wàn)一2|<3},A={xwN*|/-2x<3},則即A=

()

A.{1,2}B.{3,4}C.[0,1,2}D.{0,3,4)

例題2.(24-25高一下?浙江湖州?階段練習(xí))設(shè)集合4={小21},3=30<彳<3},貝(|低4)門8=()

A.{尤[0<x<l}B.{尤|x>0}

C.{x|x<l}D.{鄧Vx<3}

精練

1.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))設(shè)集合A={尤|04無<1},B=則AC<B=()

A.{尤|0<尤<1}B.

C.<x<D.

2.(2025?北京豐臺(tái)?一模)已知集合。={-3,-2,-1,0,1,2},A={xeZ||x|<2},則樂4=()

A.{-1,0,1}B.{-2,—1,0,1,2}C.{-3}D.{-3,—2,2}

3.(2025?福建廈門?二模)已知集合4=1x[3<x<51,B=1x|x>4),則Ac&3)=()

A.{x|x23}B.{小<4}C.{x[3<x<4}D.1x|3<x<4j

角度2:根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算確定集合或參數(shù)

典型例題

例題1.(24-25高一上?天津?yàn)I海新?階段練習(xí))已知集合4=偎尤2-8x+根=0,〃zeR},

B-^x\av-l=0,?GR},且AB=A.

(1)若機(jī)=15,求實(shí)數(shù)。組成的集合；

(2)若Q3={2},求機(jī)，a的值.

例題2.(23-24高一上?新疆省直轄縣級(jí)單位?期中)已知集合&=^x\l—a<x<2+a^,B—|x|x<>4^.

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求Ac5；

(2)若〃>0,且A=二3,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

精練

1.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))設(shè)全集S={1,2,3,4},B.A={xeS|%2-5x+/7?=0},若。4={2,3},則

m=.

2.(24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))已知集合4={無卜>3},B=\x\x>a+^.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求AcB；

(2)若存在集合M={x|3<x44},使得=2,求a.

3.(23-24高一上?浙江金華?階段練習(xí))已知集合4={劃一2<%<5},3={%|切+1〈彳〈2加一1}一U=R.

(1)若A8=0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍：

(2)若Au28=。，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)四：集合的并交補(bǔ)

角度1:并交補(bǔ)混合運(yùn)算

典型例題

例題1.(24-25高一下廣西來賓?開學(xué)考試)已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},4={1,2,4,5,7},3={1,3,5,7},則

A(”)=()

A.{3,6}B.{2,4}C.{1,2,4,5,6,7}D.{3,5,7}

例題2.(24-25高一下?河北保定?階段練習(xí))已知集合4=何2"<5},集合8={鄧Vx<7},集合

C={x|xN4}.求：

(1)求Ac3,AB;

(2)求Ac(BcC),Cu(AnB).

精練

1.(2025?天津?一模)已知集合4={-2,-1,0,1,2},B={x|-l<x<l},則Ac低3)=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-2,-1,1}D.{-2,-1,2)

2.(2025?江蘇宿遷?二模)設(shè)集合U=R,M={x|x>l},2V={x|-l<x<2},則何xV-1}=()

A飛(MN)B.①N)C.M&N)D.N&㈣

3.(24-25高一上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))設(shè)全集為R,集合A={x|24尤<6},3=何3648}?求AB,

Ar\B,(^A)iB.

角度2:根據(jù)并交補(bǔ)混合運(yùn)算確定集合或參數(shù)

典型例題

例題1.（24-25高一下?湖南懷化?期末）已知集合4=何尤2-5x-6W0},B={x\x-m<0\.

Q）當(dāng)機(jī)=4時(shí)，求AB;

（2）若Ac（43）w0,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

例題2.（24-25高一上?江蘇常州?階段練習(xí)）已知全集。=%不等式加+旅一1>0的解集是A={x|4<x<8},

集合2=但鼻.}'C=3x>肛

（1）求實(shí)數(shù)。力的值；

（2）求;

⑶若AC=0,BC^0,求”的取值范圍.

精練

1.（24-25高一上?廣西南寧?階段練習(xí)）已知集合4={卅"<7},5=3x>7〃},若&A）uB=R,貝IJ機(jī)的

取值范圍是.

2.（24-25高一上?新疆烏魯木齊?階段練習(xí)）設(shè)全集為R,集合A={x|x2-7x-8>0）,B={x|a+l<x<2a-3}.

（1）若Ac3={x|8<x<9},求。的值；

（2）在①AB=A:②4B=B;③（dA）IB=0,這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)”的取值

范圍.

3.（24-25高一上?河南?階段練習(xí)）已知全集。={1,2,3,4,5,6},集合A={a,4,5},3={1,3,4,6}.

（1）若A（毛為={2,3,4,5},求實(shí)數(shù)”的值；

（2）若（楸）c（心）=0,求出集合A的所有真子集.

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)五：vam圖

典型例題

例題1.（24-25高二上?廣東陽(yáng)江?階段練習(xí)）如圖，U是全集，",N,尸是。的子集，則陰影部分表示的

集合是（）

A.Mc(NcP)B?MU(NUP)

C.@M)C(NCP)D?@M)u(Nc尸)

例題2.（23-24高一上?江蘇無錫?階段練習(xí)）已知全集是實(shí)數(shù)集R,集合A={x|x>2},B={%|%2-3%-6>0）,

則圖中陰影部分所表示的集合為（）

A.{x\-2<x<2}B.{x|-2<x<2}

C.{x|x22或％v—2}D.{x\x<2}

精練

1.（24-25高一上?廣東廣州?階段練習(xí)）已知全集。=R,集合A={0,l,2,3,4,5},B=（x\x>2],則圖中陰

C.{1,2}D.{0,1,2)

2.（2025?廣東佛山,二模）圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為（）

B.B(AC)

C.C)D.(AB)i(BC)

3.（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知全集。=R，則正確表示集合”={-1,0,1},N=元|l-/=0關(guān)系的韋恩（Venn）

/------[HHHK.

(基礎(chǔ)通關(guān)J

一、單選題

1.(2025?四川樂山?模擬預(yù)測(cè))已知集合4={-1,0,1,2},3=屏心一1|<2},則AB=()

A.{-1.0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2)

2.(24-25高一上?遼寧鞍山?階段練習(xí))已知U={1,2,3,4,5,7,8},2={1,2,3,5,8},則必4的子集個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

3.(2025?江西?二模)已知全集。={0,1,2,3,4},集合4={xeN|x-3<0},則電A=()

A.{4}B.{0,4}C.{3,4}D.{0,3,4}

4.(24-25高二下?云南昆明?階段練習(xí))已知集合4={-2,-1,0,1,2},3={無卜3<尤40},則4B=()

A.{-2,-1}B.{-1,0}C.{-2,—1,0}D.{0,1,2)

5.(2025?山東?一模)若集合A={][%>3},B={x\\x-]\eA],則AB=()

A.{x\x>3]B.{x|x>-2}

C.{x|x>l或％<一2}D.[x\尤>3或x<-2}

6.(2025?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè))設(shè)集合A=1x]￡|w0：,B={X|X2—2X—3<0,XWN},則AB=()

A.[-2,2)B.(-1,2)C.{0,1}D.{0,1,2)

7.(24-25高二下?湖南?階段練習(xí))已知集合4={尤1-1042尤一4<1},3={尤|/<9},則AB=()

A.3<x<—B.3<x<—j-

C.{x|-3<x<3}D.[x\-3<x<3]

8.(2025?江西?模擬預(yù)測(cè))已知集合&={1x+l>0},8={尤|尤2_2國(guó)<0},則AB=()

A.{x|-l<x<2}B.{x|-l<x<0或0<x<2}

C.{xlx<0或0<x<2}D.{x|%<-2或%>-1}

二、多選題

9.(24-25高一上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))設(shè)4={小2-7尤+12=。},3=例辦-1=0},若4B=B,則實(shí)

數(shù)。的值可以是()

A.0B.-C.-D.3

34

10.(2025高三下?全國(guó)?專題練習(xí))(多選)已知全集0=14,集合M={x|-3W尤<4},A^={^%2-2%-8<0),

則()

A.AfuN={x|-3Vx<4}B.McN={.-24x<4}

C.&M)N=(e,-3)l[-2,+oo)D.M(^)=(-3,-2)

三、填空題

11.(24-25高三下?上海?階段練習(xí))已知集合A=一40,,2={%,2+彳一240},貝IJAB=.

12.(24-25高一上?四川眉山?期末)定義集合的商集運(yùn)算為：：=卜卜=5，"蚱4〃€31,已知集合4={2,4},

B=.卜=：一1,無eA,,則集合：u3的真子集個(gè)數(shù)是.

四、解答題

13.(24-25高一上?北京?期中)設(shè)全集U=R,集合A={x|2dr<0},3={xeR卬-1〉。}.

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求AB