§2.1函數(shù)的概念及其表示

【考試要求】1.了解函數(shù)的含義2在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象

法、列表法、解析法）表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并會(huì)簡單的應(yīng)用.

【知識(shí)梳理】

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)A,B是非空的實(shí)數(shù)集,如果對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的對

應(yīng)關(guān)系人在集合2中都有唯一確定的數(shù)v和它對應(yīng),那么就稱/：為從集合A到集合B

的一個(gè)函數(shù)，記作y=/（x）,x^A.

2.函數(shù)的三要素

（1）函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.

（2）如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,并且對應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函

數(shù)稱為分段函數(shù).

【常用結(jié)論1

1.直線尤=。與函數(shù)>=/（尤）的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).

2.在函數(shù)的定義中，非空數(shù)集A,B,A即為函數(shù)的定義域，值域?yàn)?的子集.

3.分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的

定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）若兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)是同一■個(gè)函數(shù).（X）

（2）函數(shù)的圖象可以是一條封閉曲線.（X）

（3）〉=尤°與y=l是同一個(gè)函數(shù).（X）

\x—1,x20,

（4）函數(shù)危）=1的定義域?yàn)镽.（V）

L.V,x<0

【教材改編題】

L（多選）下列所給圖象是函數(shù)圖象的是（）

答案CD

解析A中，當(dāng)x>0時(shí)，每一個(gè)x的值對應(yīng)兩個(gè)不同的y值，因此不是函數(shù)圖象；B中，當(dāng)

x=%o時(shí)，y的值有兩個(gè)，因此不是函數(shù)圖象；CD中，每一個(gè)九的值對應(yīng)唯一的y值，因此

是函數(shù)圖象.

2.下列各組函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的是()

X2—1

A.尸X—1與產(chǎn)e

B.,=%-1與)=一:

C.與y=2x

一2一2

D-y=』與

答案D

解析y=x—1的定義域?yàn)镽,y=￡■的定義域?yàn)閧RxW—1},定義域不同，不是同一個(gè)函

數(shù)，故選項(xiàng)A不正確；

y=x-i=F與y=—：的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)B不正確；

y=2'&=2|x|與y=2x的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)C不正確；

22

y=x_]與的定義域都是(一8,1)U(1,+°°),對應(yīng)關(guān)系也相同，所以是同一個(gè)函數(shù),

故選項(xiàng)D正確.

flnx,x>0,(<i\\

3.已知函數(shù)八%)=14八則函數(shù)//,等于()

xWO,'

A.3B.—3C.1D.lg

答案c

解析由題意可知，/自=lng=—ln3,所以/&自)=/(—In3)=e—m3=g.

題型一函數(shù)的定義域

例1(1)函數(shù)y=丁萼理「的定義域?yàn)?)

^/―X2—3x+4

A.(-4,-1)B.(-4,1)

C.(-1,1)D.(-1,1]

答案C

|x+1>0,

解析由題意得2c一八解得一故定義域?yàn)?一1,1).

[―%2—3x+4>0,

(2)已知函數(shù)人x)的定義域?yàn)?一4,-2),則函數(shù)g(x)=/(x—l)+后工的定義域?yàn)?/p>

答案[-2,-1)

解析：處0的定義域?yàn)?-4,-2),

要使g(無)=黃尤-1)+由+2有意義，

f—4<x—K—2,

則I解得一2Wx<—1,

[x+2N0,

，函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇—2,—1).

思維升華(1)無論抽象函數(shù)的形式如何，已知定義域還是求定義域，均是指其中的x的取值

集合；(2)若已知函數(shù)人x)的定義域?yàn)閇a,b],則復(fù)合函數(shù)負(fù)g(尤))的定義域由不等式a〈g(x)W6

求出；(3)若復(fù)合函數(shù)五g(x))的定義域?yàn)閇a,b],則函數(shù)Hx)的定義域?yàn)間QO在團(tuán)，切上的值域.

跟蹤訓(xùn)練1(1)函數(shù)兀0=而片+產(chǎn)&的定義域?yàn)?)

A.(1,3]B.(1,2)U(2,3]

C.(1,3)U(3,+0°)D.(—8,3)

答案B

x—1>0,

解析由題意知"一1W1,

、3—

所以l<x<2或2Vx《3,

所以函數(shù)的定義域?yàn)?1,2)U(2,3].

(2)(2023?南陽檢測)已知函數(shù)式%)=坨耳，則函數(shù)g(x)=/(x—1)十42元一1的定義域是()

A.{x|x>2或x<0}B.，x]；Wx<2j

C.{x\x>2]D.]x卜苗j

答案B

1--------Y

解析要使y(x)=ig不"有意義，

1—Y

貝H>0,

1十X

即(1—x)(l+x)>0,解得一1<x<1,

所以函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?一1,1).

要使g(x)=/(x—l)+、2x—1有意義,

則〔212。,

解得

所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)椤皡荴<2j.

題型二函數(shù)的解析式

例2⑴已知式1-sinx)=cos2x,求加)的解析式；

(2)已知+三求犬x)的解析式；

(3)已知於)是一次函數(shù)且3八尤+1)一?(尤一l)=2x+17,求/(x)的解析式.

(4)已知危)滿足賀x)+/(—x)=3尤，求火功的解析式.

解⑴(換元法)設(shè)1—sinx=f,re[0,2],

則sinx=l—f,*//(1-sinx)=cos2x=1—sin2x,

.?.力)=1一(1—f)2=2t—產(chǎn)，re[0,2].

即人r)=2尤一x2,%e[0,2].

(2)(配湊法).?V(x+￡|=x2+5=(x+j2—2,

.?孫)=/-2,xG(—8,-2]U[2,+8).

(3)(待定系數(shù)法)：於)是一次函數(shù)，可設(shè)式x)=辦+優(yōu)。W0),

：.3[a(x+l)+b]-2[a(x-l)+b]=2x+17.

即ax+(5a+b)=2x+17,

?.?1+Q17,解得

.../(X)的解析式是八%)=2x+7.

(4)(解方程組法)x)=3x,①

.?.將x用一x替換，得V；—x)+/U)=—3x,②

由①②解得加0=3元.

思維升華函數(shù)解析式的求法

(1)配湊法；(2)待定系數(shù)法；(3)換元法；(4)解方程組法.

跟蹤訓(xùn)練2(1)己知人x—l)=/+4x—5,則人尤)的解析式是()

A.J(x)—x2+6xB.f(x)—x2+8x+7

C.犬x)=/+2x—3D.八x)=/+6尤一10

答案A

解析J(X—1)=X2+4X-5,設(shè)x—1=/,x=t+\,

則/(1)=?+1)2+4。+1)—5=產(chǎn)+6/,

故

(2)若/0=昔3則六好=.

答案x_](，W0且xWl)

1

_x1

解析/(%)=j~=元j(xWO且xWl).

1-

x

(3)已知函數(shù)危)滿足於)+4(一5)=3x，則12)等于()

A.-3B.3C.-1D.1

答案A

解析式》)+4(—f)=3x,①

則7(一：)+2式外=—|，②

22

聯(lián)立①②解得_/(的=一嚏一無，則?2)=_]_2=_3.

題型三分段函數(shù)

伏x—1),%>0,

例3(1)已知函數(shù)次龍)=，,」、，c則犬2024)的值為()

[―ln(x+e)+2,xWO,

A.-1B.0C.1D.2

答案C

網(wǎng)一l),x>0,

解析因?yàn)殪?=J.,?<f)

L—ln(x+e)+2,xWO,

所以12024)=/(2023)=共2022)=…=式1),

又八D=/U—D=/(0)=—ln(C)+e)+2=—l+2=l,所以42024)=1.

—工2—3%~|-2,x^-—],

一、’‘若式。)=4,則實(shí)數(shù)。的值是；若九0?2,

2*后一1,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

答案一2或5[-3,-1)U[4,+8)

解析若式a)=4,

(a<一1,[a,-1,

則[一層—3a+2=4或12"、=4,

解得白=-2或a=5.

若大〃)22,

則i—3。+222或;2“一322,

解得一3W〃<—1或〃24,

的取值范圍是[-3,-1)U[4,+°°).

思維升華分段函數(shù)求值問題的解題思路

(1)求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)用(。))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值,

切記要代入檢驗(yàn).

x+2,

跟蹤訓(xùn)練3⑴已知函數(shù)犬x)=<1八若加3))=2,則〃等于()

x>0,

A.0或1B.—1或1

C.0或—2D.一2或一1

答案D

解析令人〃)=人則人。=2,可得方=0或￡=1,

當(dāng)/=0時(shí)，即大〃)=0,顯然〃W0,

因此〃+2=00〃=—2,

當(dāng)/=1時(shí)，即式”)=1,顯然〃W0,

因此〃+2=1今〃=—1,

綜上所述，a=-2或一1.

[log2X,X>L

⑵(2023?重慶質(zhì)檢)已知函數(shù)月%)=1H則於)勺a+l)的解集為________.

〔片?一I,

答案(T+8)

解析當(dāng)％W0時(shí)，x+lWl,

人工)勺(x+l)等價(jià)于X2—l<(x+l)2—I,

解得一]<xW0；

當(dāng)0<xWl時(shí)，x+l>l,

此時(shí)#%)=——IWO,f(x+l)=log2(x+I)>0,

???當(dāng)o<%wi時(shí)，恒有於)<ya+i)；

當(dāng)x>l時(shí)，x+l>2,

於)勺(x+l)等價(jià)于log2X<log2(x+l),此時(shí)也恒成立.

綜上，不等式於)勺0+1)的解集為(一g+8).

課時(shí)精練

立基礎(chǔ)保分練

1.函數(shù)7U)=lg(x—2)+上的定義域是()

A.(2,+°°)B.(2,3)

C.(3,+8)D.(2,3)U(3,+°0)

答案D

解析.?VU)=lg(x—2)+占，

\x—2>0,

***]解得x>2,且

1九—3W0,

?,?函數(shù)段）的定義域?yàn)椋?,3）U（3,+8）.

2.（2023?三明模擬）已知集合4={X|—2<xWl},5={x|0<xW4},則下列對應(yīng)關(guān)系中是從集合

A到集合B的函數(shù)是（）

A.f：%-y=x+lB.f：xfy=e”

C.f：x^y=x2D.f：x-^y=\x\

答案B

解析對于A,當(dāng)x=-1時(shí)，由力x-y=x+l得y=0,但0切，故A錯(cuò)誤；

對于B,因?yàn)閺腁={x[—2<xWl}中任取一個(gè)元素，通過力xf、=^在B={x|0<xW4}中都有

唯一的元素與之對應(yīng)，故B正確；

對于C,當(dāng)x=0時(shí)，由/：得y=0,但0莊5,故C錯(cuò)誤；

對于D,當(dāng)x=0時(shí)，由/：得y=0,但0期，故D錯(cuò)誤.

3.已知?jiǎng)t式10）的值為（）

A.1B.A/10C.TD.~^—

3河

答案C

解析令V=10,貝緘=10）,

-1

；./（10）=lg103=,

4.圖中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”，是甘肅禮縣出土的先秦時(shí)期的青銅器皿，其身流線自若、

紋理分明，展現(xiàn)了古代中國精湛的制造技術(shù).科研人員為了測量其容積，以恒定的流速向其

內(nèi)注水，恰好用時(shí)30秒注滿，設(shè)注水過程中，壺中水面高度為心注水時(shí)間為f,則下面選

項(xiàng)中最符合力關(guān)于r的函數(shù)圖象的是（）

答案A

解析水壺的結(jié)構(gòu)：底端與上端細(xì)、中間粗，

所以在注水恒定的情況下，開始水的高度增加的快，中間增加的慢，最后又變快，

由圖可知選項(xiàng)A符合.

5.函數(shù)y=l+x—2x的值域?yàn)椋ǎ?/p>

4（一8,|）B（—8,|_

C.（|,十8）D[|,

答案B

_____]_P]_於][

解析設(shè)yjl—2x=t,則所以一/=]（一P-2/+3）=-]。+1）2+

2,因?yàn)楹?,所以yw|.所以函數(shù)y=l+x—『1—2x的值域?yàn)椋ㄒ?,|.

f—f+2兀+3,XW2,

6.已知函數(shù)加）=11（4>0且〃W1）,若函數(shù)?x）的值域是（一8,4],則

16+logaX,x>2

實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

C.（1,例D.（1,巾）

答案B

解析當(dāng)xW2時(shí)，f（x）=-x^~\~2x~\~3

=-（X-1）2+4,

當(dāng)x=l時(shí)，犬x）=-/+2x+3取得最大值4,

所以當(dāng)xW2時(shí)，函數(shù)八%）的值域是（一8,4],

所以當(dāng)x>2時(shí)，函數(shù)?r）=6+logaX的值域?yàn)椋ㄒ?,4]的子集,

當(dāng)<3>1時(shí)，應(yīng)X）=6+loga尤在（2,+8）上單調(diào)遞增，

此時(shí)黃尤）次2）=6+loga2>6,不符合題意，

當(dāng)0<戰(zhàn)1時(shí)，式尤）=6+logd在（2,+8）上單調(diào)遞減，

此時(shí)於）SA2）=6+log〃2W4,即log“2W—2,

所以"三木可得當(dāng)Wa<l,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是李，1）

7.（多選）下列四個(gè)函數(shù)，定義域和值域相同的是（）

2x—1

C.y=ln|x|D.

答案ABD

解析對A,函數(shù)的定義域和值域都是R；

對B,根據(jù)分段函數(shù)和募函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)的定義域和值域都是R；

對C,函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）U（0,+8）,值域?yàn)镽；

2x—13

對D,因?yàn)楹瘮?shù)y=x—2=2+￡77,所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?8,2）U（2,+°°）,值域?yàn)?/p>

（一8,2）U（2,+8）.

所以ABD是定義域和值域相同的函數(shù).

8.（多選）函數(shù)概念最早是在17世紀(jì)由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨提出的，后又經(jīng)歷了貝努利、歐

拉等人的改譯.1821年法國數(shù)學(xué)家柯西給出了這樣的定義：在某些變數(shù)存在著一定的關(guān)系，當(dāng)

一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著確定時(shí)，則稱最初的變數(shù)叫自變量，其他

的變數(shù)叫做函數(shù).德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立的集合論使得函數(shù)的概念更嚴(yán)謹(jǐn).后人在此基礎(chǔ)上

構(gòu)建了高中教材中的函數(shù)定義：“一般地，設(shè)48是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法

則方對于集合A中的每一個(gè)元素x,在集合8中都有唯一的元素y和它對應(yīng)，那么這樣的對

應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)”，則下列對應(yīng)法則/滿足函數(shù)定義的有（）

A.而尸國B.八/）=》

C./（cosx）=xD.f^）=x

答案AD

解析令人。=|母|=3，故A符合函數(shù)定義；

令火。=口〃，設(shè)，=4,八。=±2,一個(gè)自變量對應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值，故B不符合函數(shù)

定義；

1TT

設(shè)/=85X，當(dāng)才=］時(shí)，尤可以取土加等無數(shù)多個(gè)值，故C不符合函數(shù)定義；

令片式>0）,々）=lnr,故D符合函數(shù)定義.

［cosx,x<0,八］兀、

9.已知函數(shù)兀r）=則/（亍）=________-

J

加一兀），x>0,\/

宏安—

口木2

解析由已知得了（半）=/管）=/（引=/停）=/（—*cos（一§弓

io.已知貝4危）=.

答案^—1(x^0)

解析令t=y[x,則f20,x=i2,

所以八。=尸一1(/20),即/(乃二^2—1(尤NO).

11.已知函數(shù)_/(>)的定義域?yàn)閇―2,2],則函數(shù)g(x)=/(2x)+—2*的定義域?yàn)?

答案[T,0]

f—2W2rW2,

解析由條件可知，函數(shù)的定義域需滿足，八

[1一2/0,

解得一IWXWO,

所以函數(shù)g(x)的定義域是[—1,0].

「2*+3,x>0,

12.已知兀c)=2/''若曲)=5,則實(shí)數(shù)。的值是________；若胭a))W5,則實(shí)

[x4,x:^：0,

數(shù)a的取值范圍是.

答案1或一3[一小，-1]

解析①當(dāng)〃>0時(shí)，2。+3=5,解得〃=1；

當(dāng)〃W0時(shí)，/—4=5,解得〃=—3或〃=3(舍).

綜上，。=1或一3.

②設(shè)t=Kd)，由八。(5得一3W/W1.

由一30/(a)Wl,解得一小WaW—*1.

過綜合提升練

13.(2022?廣州模擬)已知定義在R上的函數(shù)人功滿足,11一元)+軟幻=/+1,則八1)等于()

A.—1B.1C.—1D(

答案B

解析：定義在R上的函數(shù)/(x)滿足，大1—尤)+次冷=『+1,

...當(dāng)x=0時(shí)，八1)+紈0)=1,①

當(dāng)x=\時(shí)，八0)+久1)=2,②

②義2一①，得3八1)=3,解得<1)=1.

fx+3,xWO,

14.(2023?南昌模擬)已知函數(shù)於)=jr若加-3)=%+2),則加)等于()

[#,x>0,

A.2B，V2C.1D.0

答案B

解析作出函數(shù)ZU)的圖象，如圖所示.

因?yàn)?3)=/(4+2),且〃-3<〃+2,

[a—3W0,

所以?。八即—2<〃W3,

〔〃+2>0,

此時(shí)-3)=〃-3+3=mf^a+2)=y[a-\-2,

所以a=、a+2,即a2=a+2,

解得a=2或/=一1(不滿足a=、a+2,舍去)，

則加)=5.

立莫展沖刺練

15.VxGR,用M(x)表示八x),g(;c)中最大者，M(x)={|x|—1,1—%2},若則實(shí)數(shù)”

的取值范圍是()

A.