2025年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷

(新高考n卷)解析版

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.樣本數(shù)據(jù)2,8,14,16,20的平均數(shù)為()

A.8B.9C.12D.18

【答案】C

【解析】

【分析】由平均數(shù)的計算公式即可求解.

【詳解】樣本數(shù)據(jù)2,8,14,16,20的平均數(shù)為2+8+：+16+20=￡=12.

故選：C.

2.已知2=l+i,則---=()

z-1

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】A

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)除法即可求解.

【詳解】因為z=l+i，所以——=------=一=二=—i.

z-11+1-111

故選：A.

3.已知集合A={—4,0,1,2,8},3={X|無3=%},則AB=()

A.{0,1,2}B.{1,2,8)

C.{2,8}D.{0,1}

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合8后結(jié)合交集的定義可求

【詳解】B={x|x3=x}={0-1,1},故AB={0,l},

故選：D.

Y—4

4.不等式——22的解集是()

X-1

A.[x\-2<x<l}B.[x\x<-2}

C.{%|-2<x<l}D.[x\x>1}

【答案】C

【解析】

【分析】移項后轉(zhuǎn)化為求一元二次不等式的解即可.

x-4x+2f(x+2)(x-l)<0

【詳解】——22即為——V0即「八)，故-2?x1,

x—1x—1x—IwO

故解集為

故選：C.

5.在VABC中，BC=2,AC=1+退，AB=&，則4=()

A.45°B.60°C.120°D.135°

【答案】A

【解析】

【分析】由余弦定理cosA=把5二二"二直接計算求解即可.

2AB.AC

+3_叱=(扃+(1+6)2=①

【詳解】由題意得cosA=

2AB*AC2x#x(i+百)2

又0<A<180，所以A=45°.

故選：A

6.設(shè)拋物線C：V=2px(p>0)的焦點為￡點&在C上，過A作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為8,若直線

8尸的方程為>=-2無+2,貝U|AF|=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】先由直線求出焦點尸和P即拋物線C的方程，進(jìn)而依次得拋物線的準(zhǔn)線方程和點S從而可依

次求出力和乙，再由焦半徑公式即可得解.

【詳解】對%F：y=-2X+2,令y=。，則x=l,

所以歹(1,0),p=2即拋物線C：V=4x,故拋物線的準(zhǔn)線方程為x=—1,

故5(—1,4),則以=4,代入拋物線C：V=4x得5=4.

所以|AN=|A同=XA+T=4+1=5.

故選：C

7.記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，若邑=6,55=-5,則56=()

A.-20B.-15C.-10D.-5

【答案】B

【解析】

【分析】由等差數(shù)列前〃項和公式結(jié)合題意列出關(guān)于首項q和公差d的方程求出首項q和公差d,再由等差

數(shù)列前”項和公式即可計算求解.

(、[3a,+3d=6[d=—3

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%,｝的公差為d,則由題可得(5：+10d——5=1—5，

所以§6=+15d=6x5+15x(-3)=-15.

故選：B.

a_則sin(

8.已知0vav?,旦,=()

COS~2~了’

A6V2

B.C.D.

1051010

【答案】D

【解析】

34

【分析】利用二倍角余弦公式得cos。=-g,貝Usina=1，最后再根據(jù)兩角差的正弦公式即可得到答案.

2

【詳解】coses:=2COS2-^--1=2X=

因為0<cr<〃，則則sina=Jl-cos?a=4

5

,n.n4血（3、亞772

則sin=sinacos---cosasin——=—x-----------X=------------

4452I5）210

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.記色為等比數(shù)列｛4｝的前"項和，4為｛4｝的公比，“>0,若邑=7,%=1,則（）

11

A.q=5B.〃5二§

cs5=8D.a“+s”=8

【答案】AD

【解析】

【分析】對A,根據(jù)等比數(shù)列通項公式和前〃項和公式得到方程組，解出q,q,再利用其通項公式和前〃

項和公式一一計算分析即可.

-21Q]=4〃[=9

a｝q=1八

【詳解】對A,由題意得<I"2,結(jié)合9>0,解得11或11（舍去），故A正確；

ax+aiq+axq=7q=-q=——

、2、3

對B,則％4乂I|=；,故B錯誤;

故C錯誤;

則4+S,=23f+8-23-"=8,故口正確;

故選：AD.

10.已知/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，/(%)=(%2-3)ex+2,則()

A./(0)=0B.當(dāng)x<0時，/(%)=—(必一3卜T—2

C./(刈》2當(dāng)且僅當(dāng)彳26D.x=—1是/(x)的極大值點

【答案】ABD

【解析】

【分析】對A,根據(jù)奇函數(shù)特點即可判斷；對B,利用/(%)=-/(-%)代入求解即可;對C,舉反例/(-I)>2

即可；對D,直接求導(dǎo)，根據(jù)極大值點判定方法即可判斷.

【詳解】對A,因為/(%)定義在R上奇函數(shù)，則/(0)=0,故A正確；

2

對B,當(dāng)x<0時，一X>0,貝I]/(無)=—/(一無)=—((-x)-3)e-'+2=—(工2—3)1*—2,故B正確；

對C,/(-l)=-(l-3)e-2=2(e-l)>2,故C錯誤；

對D,當(dāng)x<0時，/(%)=(3-x2)e-'-2,則/''(x)=—(3—=(￡一2%-3)?—

令/'(x)=0,解得無=—1或3(舍去)，

當(dāng)8,—1)時，f'(x)>0,此時“力單調(diào)遞增，

當(dāng)白?—1,0)時,f'(x)<Q,此時/(%)單調(diào)遞減，

則x=—1是/(%)極大值點，故D正確；

故選：ABD.

22

11.雙曲線c：A—1=1(?！?,6〉0)的左、右焦點分別是耳、F2,左、右頂點分別為4,4，以

ab

57r

片瓦為直徑的圓與C的一條漸近線交于M、N兩點，且M=—,則()

16

A.=-B.g|=2|4|

c.C離心率為aD.當(dāng)a=J5時，四邊形從4加4的面積為8出

【答案】ACD

【解析】

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)判斷A；由月加上月”且|MO|=c結(jié)合”在漸近線上可求/的坐標(biāo)，從

2

而可判斷B的正誤,或者利用三角函數(shù)定義和余弦定理也可判斷；由中線向量結(jié)合B的結(jié)果可得c=13a2,

計算后可判斷C的正誤，或者利用慳4=二=6并結(jié)合離心率變形公式即可判斷；結(jié)合BC的結(jié)果求出

園旬2a

面積后可判斷D的正誤.

b

【詳解】不妨設(shè)漸近線為丁=一x,M在第一象限，N在第三象限，

a

5兀7T

對于A,由雙曲線的對稱性可得為平行四邊形，故/4%4=兀——=-,

66

故A正確；

對于B,方法一：因為"在以片鳥為直徑的圓上，故耳“，八"且|MO|=c,

%—a

設(shè)”（40，%），，故〈。，，故AM,_1_44,

b

[y0=

由A得NA加=弓，故|跖?=附4卜日即|"4|=竽|%|，故B錯誤;

b

方法二：因為tanNMOA,=—，因為雙曲線中，c2=a2+b2<

a

則cosNMO&=g,又因為以EM為直徑的圓與C的一條漸近線交于"、N,則OM=c,

C

則若過點M往x軸作垂線，垂足為H,則|。引=c?=a=|。闋，則點”與4（H）重合，則蛆，x軸,

則|陌閔=&2_42=，

方法三：在.。朋&利用余弦定理知，眼町=|oM『+|oa|2—2|。閡10aleosNMoa，

^\MA^=c1+O1-lac--=b2,則|跖小3,

則為直角三角形，且幺肱％.,則21M上網(wǎng)M4J,故B錯誤；

對于C,方法一：因為故4M+

由B可知|跖u=4］肱41|=與6，

故4c2—b~+—b2+2xZ?xbx^-=-b2=—(c2-a2］即c2=13tz2>

33233v)

故離心率6=瓦，故C正確；

方法二：因為用1=g=G，則2=26,則e，=Jl+t=Jl+(2G)2=岳,故C正確;

14allaaa\a

對于D,當(dāng)。=、歷時，由C可知e=JW，故c=J標(biāo)，

故b=2娓,故四邊形為2s=2X1X2A/6X2V2=8A/3,

故D正確，

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知平面向量&=(x,l),Z?=(x—l,2x),若a，(。一6)，則|。|=

【答案】0

【解析】

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)化運算得a-人=(1,1-2%),再利用向量垂直的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.

【詳解】a-b=(l,l-2x),因為—b)，貝！|a-(a—》)=0,

則x+l-2x=0,解得x=l.

則i=(l,l),貝/a|=&.

故答案為：立.

13.若x=2是函數(shù)/(%)=(%—1)(%—2)(x—a)的極值點，則/(0)=

【答案】-4

【解析】

【分析】由題意得/'(2)=0即可求解。，再代入即可求解.

【詳解】由題意有/(x)=(x_l)(x_2)(x_a),

所以/,(x)=(x-a)(x-l)+(x-l)(x-2)+(x-a)(x-2),

因為2是函數(shù)/(九)極值點，所以/'(2)=2—a=0,得a=2,

當(dāng)a=2時，(尤)=2(1-2)(尤一1)+(無一2)~=(%-2)(3%-4),

當(dāng)xe/'(x)〉0,/(%)單調(diào)遞增,當(dāng)xeU,/'(%)<0,/(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(2,+。)(x)>0,/單調(diào)遞增，

所以x=2是函數(shù)/(x)=(x—l)(x—2)(x—a)的極小值點，符合題意；

所以/(。)=—1x(-2)x(-a)=-2a=—4.

故答案為：—4.

14.一個底面半徑為4cm,高為9cm的封閉圓柱形容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)有兩個半徑相等的鐵

球，則鐵球半徑的最大值為cm.

【答案】2.5

【解析】

【分析】根據(jù)圓柱與球的性質(zhì)以及球的體積公式可求出球的半徑;

圓柱的底面半徑為4cm,設(shè)鐵球的半徑為廣，且廠<4,

由圓柱與球的性質(zhì)知AB2=(2r)2=(8-2ry+(9-2r)2,

2

即4r-68r+145=(2r-5)(2r-29)=0,r<4,

:.r=2.5.

故答案為：2.5.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.己知函數(shù)/(%)=cos(2%+°)(0<0<兀),/(0)=g.

(1)求0;

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+/[x—求g(x)的值域和單調(diào)區(qū)間.

7T

【答案】(1)(p=-

3

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)直接由題意得COS"=g,(0<°<7l),結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；

(2)由三角恒等變換得g(x)=Gcos[2x+《],由此可得值域，進(jìn)一步由整體代入法可得函數(shù)g(x)的

單調(diào)區(qū)間.

【小問1詳解】

1JT

由題意/(O)=COS0=e，(OV0<7l),所以夕=§;

【小問2詳解】

由(1)可知/(x)=cos[，

所以g(x)=/(x)+/cos2x+—+cos2x

I3j

=-cos2x--sin2x+cos2x=-cos2x--sin2x=6cos2x+—，

2222I6

jrjr571

令24兀V2%+—?兀+2kit,kGZ,解得-----\-kn<x<---卜kit,keZ,

61212

兀5兀11兀

令兀+2kji<2%+—<2K+2/CJI,keZ,解得---\-kn<x<----卜kn,keZ,

61212

兀5兀

所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為-五+E,石+E，左eZ,

57t117t

函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為—+^r,—+，4eZ.

r22后

16.已知橢圓C：=+2=1(?！?〉0)的離心率為牛，長軸長為4.

(1)求C的方程；

(2)過點(0,—2)的直線/與C交于A*?兩點，。為坐標(biāo)原點，若△OA3的面積為&,求|AB|.

22

【答案】(1)—+^-=1

42

(2)逐

【解析】

【分析】(1)根據(jù)長軸長和離心率求出基本量后可得橢圓方程；

(2)設(shè)出直線方程并聯(lián)立橢圓方程后結(jié)合韋達(dá)定理用參數(shù)f表示面積后可求，的值，從而可求弦長.

【小問1詳解】

因為長軸長為4,故a=2,而離心率為交，故°=后，

2

22

故bf,故橢圓方程為：—+2-=1.

42

【小問2詳解】

由題設(shè)直線AB的斜率不為0,故設(shè)直線/：x=1y+2）,A（外,％）,5（%2，%），

由卜2一’"：2）可得卜2+2）/+4/,+4/—4=0,

x+2y=4'）

故八=16，一4卜2+2乂4產(chǎn)—4）=4（8-4/2）＞0即一&＜/＜應(yīng),

口4r4/一4

且…=K，x%=K，

故SOAB=1x|2r|x|yi-y2|=卜|同+%)2-4%%==0'

解得/=±亞，

3

2

32-16x-

故M回=717?也一%|=\1+

-+2

3

17.如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,ZDAB=9Q°,F為CO的中點，點E在AB上，EF//AD,

AB=3AD,CD=2AD,將四邊形EEDA沿所翻折至四邊形EE0A,使得面EFD'A與面EFCB所成

的二面角為60°.

（1）證明:AB//平面CD'產(chǎn)；

（2）求面BCD'與面石在D'H所成的二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵里

7

【解析】

【分析】(1)先應(yīng)用線面平行判定定理得出4石//平面CD'戶及EB//平面CDN,

再應(yīng)用面面平行判定定理得出平面AEB//平面CD'F,進(jìn)而得出線面平行；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用已知條件將點5,。,。',E,尸的坐標(biāo)表示出來，然后將平面BCD'及平面

跳D'H的法向量求出來，利用兩個法向量的數(shù)量積公式可將兩平面的夾角余弦值求出來，進(jìn)而可求得其

正弦值.

【小問1詳解】

設(shè)AD=1,所以AB=3,CD=2,因為產(chǎn)為CD中點，所以DF=1,因為EFV/AD,AB//CD,所以

AEED是平行四邊形，所以AE/ADF,所以AE//ZXF,

因為u平面CD'F,A'E<Z平面CD'F,所以AE//平面CD'F,

因為FC//EB,FCu平面CD'F,EB<Z平面CD'F,所以//平面CD'F,

又EBAE=E,EB,4Eu平面AEB，所以平面AEB//平面CON,

又ABu平面AEB，所以AB//平面CD'尸.

【小問2詳解】

因為NZM5=90°,所以AD_ZA3,又因為AB11FC,EF11AD,所以上FC,

以尸為原點，廠及/。以及垂直于平面跳CF的直線分別為蒼％z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

因為，所,CFLM,平面石皿“與平面EFCB所成二面角為60°,

所以NZXFC=60°.

則5（1,2,0）,C（0,l,0）,。0*岑、

￡。,0,0）,E（0,0,0）,.

7

、1、

所以=(―1,—1,0),C。'=0,——,FE=(1,0,0),FD'=f06

77

設(shè)平面BCD'的法向量為〃=(%,%z),則

_1B-

BCn=02y2，令y=6，則2=1,%=_石，則”=(-6,追,1)

，所以

CD'n=0

-x-y=0

設(shè)平面EFD'A'的法向量為慶=(七,%,zj,

1N

FEm=0—yd----z=0n

則，所以22

FD'm=0

%=0

令y=#>,則z=-l,x=0,所以根=(0,6,一1).

mn\0+3-11

所以8皿.麗=，3+3+1XJ1+3=；F

2_742

所以平面5czy與平面石皿4'夾角正弦值為』i-

18.已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)—x+/「x2一日3a,其中o〈左<§1.

(1)證明：/(X)在區(qū)間(0,+8)存在唯一的極值點和唯一的零點；

(2)設(shè)項,々分別為/(X)在區(qū)間(0,+8)的極值點和零點.

(i)設(shè)函數(shù)g?)=/(%+。—/'(石—。?證明：g?)在區(qū)間(0,%)單調(diào)遞減；

(ii)比較2%與尤2的大小，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)證明見解析；

(2)(i)證明見解析；(ii)2七〉々，證明見解析.

【解析】

【分析】⑴先由題意求得/'("=必］上一34，接著構(gòu)造函數(shù)g(x)=￡^—3左,x>0,利用導(dǎo)數(shù)工

具研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性和函數(shù)值情況，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得證函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,+S)上存

在唯一極值點；再結(jié)合”0)=0和x-+8時/(%)的正負(fù)情況即可得證“X)在區(qū)間(0,+co)上存在唯一

零點;

(2)(i)由(i)為+1=±和g'(/)=/'(%+/)—/'(玉—r)結(jié)合(1)中所得導(dǎo)函數(shù)/'(%)計算得到

3K

6人/92_片_2%)

g\)\2O再結(jié)合￡e(0,內(nèi))得g'?)<0即可得證；

(1+石)—t

(ii)由函數(shù)g(/)在區(qū)間(0,%)上單調(diào)遞減得到0>/(2%)，再結(jié)合/(9)=0,

和函數(shù)/(力的單調(diào)性以以及函數(shù)值的情況即可得證.

【小問1詳解】

由題得/'(%)=1+x-3kxi=----3kx1=x2[----3k\,

1+x1+x(1+x)

因為xe(0,+8),所以爐>0，設(shè)g(x)=」——3左,x>0,

十X

則g'")=-(1+1)2<。在。+8)上恒成立，所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

g(0)=l—3左>0,令g(x())=Onxo=《一1,

3K

所以當(dāng)龍?0,5)時，g(x)>0,則((x)>0；當(dāng)xe(%0，+8)時，g(x)<0,則r(x)<0,

所以/(x)在(0,%)上單調(diào)遞增，在(％，+")上單調(diào)遞減，

所以/(%)在(0,+8)上存在唯一極值點,

1無

對函數(shù)y=ln(l+x)—九有y'=-----1=------<0在(0,+s)上恒成立，

1+X1+X

所以y=1口(1+力—九在(。,+00)上單調(diào)遞減，

所以y=In(1+x)-x<yL；=0在(。,+00)上恒成立，

又因為/(O)=O,X-+8時;/—位3=gd(i—2而)<0,

所以Xf+8時/(%)<0,

所以存唯一九2?0，+“)使得/(%2)=0,即/(力在(0,+8)上存在唯一零點.

【小問2詳解】

]1(]]、

(i)由(1)知玉=----1,貝5]耳+1=—,fr(x]=X2,

3k3k11+尤1+再,

g?)=/(%+f)_/(%T),

//

i_1_1、

則g'”)=a+/)2

、X]+/+1、X]一1+11+xJ

T(Xl+f)2+4%—)2=3kt(X]+f)2?(.7)2

(玉+%+l)(項+1)(玉一1+1)(玉+1)玉+/+1否T+l

6kt之(/-x；-2Xj)

=(+')2"，

,k>0,te(O,%；),.,.t2-Xi-2%j(0,(l+xJ—產(chǎn))0,

,6kt之‘2——2%)

?*?g⑺=Z722<0,

(1+再)一t

即g?）在fe（O,%）上單調(diào)遞減.

（ii）2西＞%2,證明如下：

由（i）知：函數(shù)g（。在區(qū)間（0,石）上單調(diào)遞減，

所以g（o）＞g（石）即。＞/（2%），又/（尤2）=0,

由⑴可知/（九）在（X0,+8）上單調(diào)遞減，％2?/，+8），且對任意％?。,%2）/（%）＞0，

所以2石＞%2.

19.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球練習(xí)，每個球勝者得1分，負(fù)者得0分.設(shè)每個球甲勝的概率為

乙勝的概率為必p+q=L且各球的勝負(fù)相互獨立，對正整數(shù)人22,記以為打完4個

球后甲比乙至少多得2分的概率，qk為打完左個球后乙比甲至少多得2分的概率.

（1）求。3，。4（用P表示）.

⑶證明：對任意正整數(shù)m,p2m+l-q2m+l<p2m-q2m<p2m+2-q2m+2.

【答案】(1)P3=p',A=/?3(4-3/7)

2

(2)p=-

3

（3）證明過程見解析

【解析】

【分析】（1）直接由二項分布概率計算公式即可求解;

a2/\PA~PT.A

（2）由題意％=q?4=4（4—3q）,聯(lián)立_=4,p+4=l即可求解；

⑶首先%-%+1=圖*|小、+「?》=<〃+",同理有42nl

Qlm+2~~Qlm+l=P，作差有22祖+1-/zn+l<P2m一%加，另一'方面

（2m+l）!（m\—（2m+l）!（m

p-mm且同理有％—m可m小——

作差能得到P2m-q如<P2m+2~q2m+2，由此即可得證.

小問1詳解】

P3為打完3個球后甲比乙至少多得兩分的概率，故只能甲勝三場，

故所求為p3=Cj（1-/?）°6=6,

P4為打完4個球后甲比乙至少多得兩分的概率，故甲勝三場或四場，

故所求為p4=C：（l-p）"3+C：。一p）°p4=4p3（］_p）+p4=p3（4—3p）；

【小問2詳解】

由（1）得。3=/,04=03（4—30），同理%=/（4-3q）,

若g=4,

p+q=l,

名一名

則P4—P3_"3(4_3p)_jp3_3p3(i_p)_p3q,(吁=4,

'%一%/(4-3q)—/3/。一4)dPUJ

2

由于0<p,q<l,所以p=2q=2(l_〃)>0,解得p=§；

【小問3詳解】

我們有

zn-1zn-17n-l/n-1/n-1

-%+i=4=ZCM*”-zdp2”小w

k=0k=0k=0k=0k=0

洲一1加一1--1m-1

(-i\、t「k2m—kk\、「k-l2m+l—kk、、「k2tn—kk+\、、2m+\-kk

=(.1-P)LC2,nPq-LC2,nPQ=LC2?,PQ-工C2mpQ

k=0k=0k=0k=0

.一!m-2

、、/^k2m-k~k+lX1ck2m—k~上+1/-^m-1m+1

="2"戌q-LC2,nPq=C2mP4-

k=0k=0

以及

m?n-1mmzn-1

??、、「k2m+2-kkX'(->k2m+\-kkX'2m+2-kk.X'(->k2m+2-kk、、「k2m+l-kk

CC