2024-2025學年下學期初中數(shù)學北師大新版九年級期末必刷?？碱}之直線

和圓的位置關系

一.選擇題（共7小題）

1.（2025?平房區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AC^BC,以A2上一點。為圓心，04為半徑的圓與BC相

切于點C,若BC=4b，則。。的半徑為（）

2.（2025?洛陽二模）如圖，A8為。。的直徑，PB,PC分別與相切于點8,C,過點C作的垂線,

垂足為E,交O。于點D若CD=PB=2色,則。。的半徑長為（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2025??？谝荒＃┤鐖D，△ABC是。。的內接三角形，ZA=116°,過點C作。O的切線CQ交8。

的延長線于點。，則的度數(shù)為（）

4.（2025?鄭州模擬）如圖，一個邊長為4的等邊三角形ABC的高與。。的直徑相等.。。與BC相切于

點C,與AC相交于點。，則圖中陰影部分的面積為（）

A

一

BC

A.TC-y/3B.2n-C.TI-D.TC——^―

4Z4

5.（2024秋?孝昌縣期末）如圖，。4交。。于點3,AC切。0于點C,。點在。0上.若ND=25。，則

NA為（）

6.（2025?濱江區(qū)開學）如圖，直線機與半徑為3的。。相切于點A,。是。。上的一個動點（不與點A

垂足為點3,連結AC,設AC=%,CB=y,則x-y的最大值為（）

3

A.一B.1C.一D.2

22

7.（2025?九龍坡區(qū)校級二模）如圖，已知四邊形A8C0是。。的內接四邊形，且A0=5C,過點。作。。

的切線交BA的延長線于點。連接05、OC,若NBOC=64°,則NAOE的度數(shù)為（）

C.26°D.32.5°

二.填空題（共5小題）

8.（2025?南崗區(qū)模擬）如圖，A3與。。相切于點A,連接。4,點。在。。上，連接5C并延長8C交。0

于點。，連接。。，若NAOC=80°,ZZ）OC=40°,則N8=度.

9.（2025?沛縣二模）如圖，A8是。。的直徑，陰切于點A,線段P。交。。于點C,連接3c.若/尸=

10.（2025春?江津區(qū)校級期中）如圖，四邊形48C。內接于圓O,AC為圓O直徑，BD、AC交于點E,

點2是左的中點，OG切圓。于。，交CA延長線于G.若AB=小,點。到。C的距離為匚，貝UAC

2

11.（2025春?大足區(qū)期中）如圖，△ABC內接于O。，B4是。。的切線，A為切點，PC交。。與點D若

ZABC=60°,B4=6,PD=4,貝l|PC=,AC=

12.（2025?溫嶺市二模）如圖，RtAABC,NA8C=90°,點。在8c上，以點。為圓心OB為半徑的。。

與AC相切于點。，連結A。，若NAOB=70°,則NC的度數(shù)為

13.(2025?廬江縣二模)如圖，A8為。。的直徑，8C為。。的切線，連接AC交。。于點。，DHA.AB

于點H,E是皿的中點，連接AE并延長交BC于點R交DH,DB于點、M,N.

(1)求證：DM=DN；

(2)AD=4,BD=3,求EF的長.

14.(2025?興慶區(qū)模擬)已知，如圖，A8為。。的直徑，△ABC內接于O。，BOAC,點尸是△ABC的

內心，延長CP交。。于點O,連接8P.

(1)求證：BD=PD；

(2)已知O。的半徑是3/，C￡>=8,求BC的長.

15.(2024秋?海港區(qū)期末)如圖，AB為半圓。的直徑，點廠在半圓上，連接。尸，點尸在A8的延長線

上，PC與半圓相切于點C,與。尸的延長線相交于點。.連接AC與。尸相交于點E,OD±AB.

(.1)求證：DC=DE；

(2)若。4=2OE,DF=2,求尸。的長.

2024-2025學年下學期初中數(shù)學北師大新版九年級期末必刷?？碱}之直線

和圓的位置關系

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

題號1234567

答案ABBDBCA

選擇題（共7小題）

1.（2025?平房區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AC^BC,以A8上一點。為圓心，為半徑的圓與相

切于點C,若BC=4百，則。。的半徑為（）

A.4B.3C.3V3D.2遮

【考點】切線的性質；等腰三角形的性質.

【專題】與圓有關的位置關系；推理能力.

【答案】A

【分析】連接OC,根據(jù)切線的性質得到OCLBC,根據(jù)圓周角定理得到/BOC=2/4求出NB=30°,

再根據(jù)正切的定義計算即可.

【解答】解：如圖，連接OC,

是。。的切線，

：.OC±BC,

：.ZBOC+ZA=90°,

：AC=BC,

ZA=ZB,

由圓周角定理得：/BOC=2/A,

：.ZB=30°,

；.OC=BC?tanB=4V5X苧=4,

【點評】本題考查的是切線的性質、圓周角定理，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關鍵.

2.（2025?洛陽二模）如圖，為。。的直徑，PB,PC分別與相切于點8,C,過點C作AB的垂線，

垂足為E,交。。于點D若CD=PB=2網(wǎng),則。。的半徑長為（）

A.1B.2C.3D.4

【考點】切線的性質.

【專題】與圓有關的位置關系；推理能力.

【答案】B

【分析】連接OD、BD,根據(jù)切線的性質得到PC=PB=25根據(jù)平行四邊形的性質求出

BD,根據(jù)勾股定理求出8E,再根據(jù)勾股定理計算即可.

【解答】解：如圖，連接O。、BD,

,:PB,尸C分別與。。相切于點8,C,

:.PC=PB=2W，ABLPB,

'JABLCD,

：.CD//PB,

,:CD=PB,

四邊形CPBD為平行四邊形，

：.BD=PC=243,

"CABLCD,

1

：.DE=jCD=V3,

由勾股定理得：BE=7BD2-DE?=J（2百尸-（百￥=3,

在RtZVDOE1中，OD2=OE2+DE，即。。2=（3-。。）2+（百）2,

解得：OD=2,

故選：B.

【點評】本題考查的是切線的性質、圓周角定理，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關鍵.

3.（2025??？谝荒＃┤鐖D，△A8C是。。的內接三角形，ZA=116°,過點C作。。的切線CO交8。

的延長線于點。，則的度數(shù)為（）

A.36°B.38°C.40°D.42°

【考點】切線的性質；圓周角定理；三角形的外接圓與外心.

【專題】與圓有關的位置關系；運算能力.

【答案】B

【分析】連接OC,設DB交O。于點連接CM,切線的性質，得到/08=90°,圓內接四邊形

的性質結合等邊對等角，求出NOMC,Z0CM的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關系和三角形的外角的性質，

進行求解即可.

【解答】解：連接OC,設。B交。。于點連接CM,貝U：OC=OM,

A

D\OMD

由題意可得：/0CD=9U°,

VZA=116°,

：.ZOMC=180°-116°=64°,

???OC=OM,

：.ZOCM=ZOMC=64°,

：.ZMCD=ZOCD-ZOCM=90°-64°=26°,

ZBMC=ZMCD+ZD,

：.ZD=64°-26°=38°.

故選：B.

【點評】本題考查切線的性質，圓內接四邊形的性質，正確進行計算是解題關鍵.

4.（2025?鄭州模擬）如圖，一個邊長為4的等邊三角形ABC的高與。。的直徑相等.。。與相切于

點C,與AC相交于點則圖中陰影部分的面積為（）

A后DO,/3「"/3c3焉

A.Tt—V3B.2Tt—C.Tt—D.it~

4z4

【考點】切線的性質；扇形面積的計算；等邊三角形的性質.

【專題】與圓有關的位置關系；與圓有關的計算；推理能力.

【答案】D

【分析】過點A作于E,過點。作OfUCD于E連接OC、根據(jù)等邊三角形的性質求

出AE,根據(jù)切線的性質得到0CL3C,求出/。。。=120。，根據(jù)扇形面積公式、三角形面積公式計算

即可.

【解答】解：如圖，過點A作AEL8C于E,過點。作。尸，C。于R連接。C、OD,

：△ABC為等邊三角形，AELBC,

1

：.CE=^BC=2,ZACB=60°,

由勾股定理得：AE=4AB2-BC2=2V3,

???。。與5c相切于點C,

???OCLBC,

：.ZOCF=90°-60°=30°,

OF=|OC=^,CF=V3x=I，

u：OFLCD,

：.ZCOF=60°,CD=2CF=3,

：.ZCOD=120°,

:?S陰影部分=S扇形c。。-S^COD=11。黑，石）—劣x3x字=n一3￡，

DOUZZ4,

故選：D.

【點評】本題考查的是切線的性質、扇形面積計算，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關鍵.

5.（2024秋?孝昌縣期末）如圖，0A交。。于點8,AC切。。于點C,。點在。。上.若ND=25。,則

ZA為（）

【考點】切線的性質；圓周角定理.

【專題】與圓有關的計算；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)切線的性質得到NOCA=90°,根據(jù)直角三角形的性質求出

【解答】解：：/。=25

AZAOC=2ZZ>=2X25°=50°,

：AC切。。于點C,

：.OC±AC

AZOCA=90°

AZA=90°-ZAOC=90°-50°=40°,故B正確.

故選：B.

【點評】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，直角三角形性質，解題的關鍵是熟練掌握圓心與切

點的連線垂直切線.

6.（2025?濱江區(qū)開學）如圖，直線機與半徑為3的O。相切于點A,C是O。上的一個動點（不與點A

重合），過點C作C3Lw,垂足為點2,連結AC,設AC=_r,CB=y,則x-y的最大值為（）

22

【考點】切線的性質；相似三角形的判定與性質；二次函數(shù)的最值.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質；與圓有關的位置關系；運算能力.

【答案】C

【分析】作直徑AP,連接得出得比例式，得出y=1?，代入所求式配方后即可

解答.

【解答】解：如圖，作直徑AP,連接“，

；.NACP=90°,

'：AB是切線，

：.PALAB,

9：CB±m(xù),

.AP//CB,

：.ZCAP=ZACB.

：.AAPC^ACAB,

ACAP

?e?一,

BCAC

9：CA=x,CB=y,半徑為3,

.x6

.?一=—,

yx

.12

??尸下,

".x-y=x—蕓'一款+x=-.(尤-3)2+1，

,,?,3

當x=3時，x-y有取大值是萬；

故選：C.

【點評】此題考查了切線的性質，平行線的性質和判定，相似三角形的判定與性質，以及二次函數(shù)的性

質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解本題的關鍵.

7.(2025?九龍坡區(qū)校級二模)如圖，已知四邊形A8CD是。。的內接四邊形，且AO=BC,過點。作。。

的切線交54的延長線于點E，連接。8、OC,若N8OC=64°,則NADE的度數(shù)為()

【考點】切線的性質；圓周角定理；圓內接四邊形的性質.

【專題】與圓有關的位置關系；推理能力.

【答案】A

【分析】連接。A,OD,由AO=BC,得到血=就，求得/4。。=/8(^：=64°,根據(jù)等腰三角形的

性質得到/OD4=/OAO="1(180°-ZAOZ))=j1x(180°-64°)=58°,根據(jù)切線的性質得

到/。。E=90°,于是得到/OD4=90°-58°=32°.

【解答】解：連接OA,OD,

'：AD=BC,

：.AD=BC,

/.ZAOD=ZBOC=64°,

'：OA=OD,

：.ZODA=ZOAD=^x(180°-/AO。)=^x(180°-64°)=58°,

是OO的切線，

：./ODE=90°,

：.ZADE=ZODE-ZODA=90°-58°=32°,

【點評】本題考查了切線的性質，圓周角定理，等腰三角形的性質，正確地找出輔助線是解題的關鍵.

二.填空題（共5小題）

8.（2025?南崗區(qū)模擬）如圖，A3與。。相切于點A,連接OA,點C在O。上，連接BC并延長BC交。。

于點。，連接。。，若NAOC=80°,ZDOC=40a,則80度.

【考點】切線的性質；圓周角定理.

【專題】多邊形與平行四邊形；圓的有關概念及性質；與圓有關的位置關系；運算能力；推理能力.

【答案】80.

【分析】由切線的性質得/A=90°,由0c=。。，得NOCD=ND,WZAOC=80°,ZDOC=40°,

則NAOD=120°,2ZD+400=180°,求得ND=70°,則/2=360°-ZA-ZAOD-ZZ）=80°,

于是得到問題的答案.

【解答】解：：AB與O。相切于點A,

：.AB1OA,

：.ZA=90°,

?/OC=OD,

：.ZOCD=ZD,

VZAOC=80°,ZZ）（9C=40o,且/OCD+/O+/OOC=180°,

：.ZAOD=ZAOC+ZDOC=120°,2/0+40°=180°,

：.ZD=10°,

：.ZB=360°-ZA-ZAOD-ND=80°,

故答案為：80.

【點評】此題重點考查切線的性質、等腰三角形的性質、三角形內角和定理、四邊形的內角和等于360°

等知識，推導出并且求得乙D=70°是解題的關鍵.

9.（2025?沛縣二模）如圖，A8是。。的直徑，切于點A,線段PO交。。于點C,連接BC.若NP=

46°,則/B=22°.

【考點】切線的性質；圓周角定理.

【專題】與圓有關的位置關系；運算能力.

【答案】22.

【分析】根據(jù)切線的性質可得/抬8=90°,進而可得/POA的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理即得答案.

【解答】解：由切線的性質可得：ZPAB=9Q°,

VZP=46°,

：.ZPOA=90°-46°=44°,

'：AC=AC,

1

：.ZB=^APOA=22°.

故答案為：22.

【點評】本題考查了圓的切線的性質、直角三角形的性質、圓周角定理，正確進行計算是解題關鍵.

10.（2025春?江津區(qū)校級期中）如圖，四邊形ABCZ）內接于圓O,AC為圓。直徑，BD、AC交于點E,

點8是左的中點，0G切圓。于。，交CA延長線于G.若AB=V7,點。到。C的距離為三，貝UAC

3V14

=_V14AG=

-8-

【考點】切線的性質；垂徑定理；圓周角定理.

【專題】與圓有關的位置關系；推理能力.

【答案】V14.噌.

【分析】過。點作于X點，連結0。，如圖，則。5=苧，先根據(jù)圓周角定理得到NABC=

NAOC=90°,再判斷△ABC為等腰直角三角形得到4。=應42=VH,接著證明。以為△AC。的中

位線得到AD=20H=V3,則利用勾股定理可計算出CD=V11,然后根據(jù)切線的性質得到/0￡>G=90°,

接著證明△GADs^GDC得到—=—=~r=,—=—，所以DG—^^-AG,從而得到C^rAG)

DGCDVilDGGC-v3yJ3

2=AG?(AG+E),于是可求出AG的長.

【解答】解：過。點作0HLCQ于H點，連結0。，如圖，貝！JO"=日，

〈AC為。0直徑，

ZABC=ZADC=90°,

??,點8是尼的中點，

：.AB=BC,

:?△ABC為等腰直角三角形，

,U.AC=V2AB=V2Xy/7—V14,

丁OHLCD,

：.CH=DH,

而OA=OC,

：.AD=2OH=V3,

在Rt/VUDC中，CD=J(V14)2-(V3)2=Vil,

■:DG為切線，

：.ODLDG,

：.ZODG=90°,

VZADG+ZODA=90°,ZODC+ZODA=90°，

：.ZADG^ZODC,

'：OC=OD,

：.ZOCD=ZODC,

：.ZADG^ZOCD,

'：ZAGD^ZDGC,

:.XGMJsXGDC,

AGADV3AGDG

DG~CD~Vll，DG~GC'

【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了圓周角定理和相似三角形

的判定與性質.

n.（2025春?大足區(qū)期中）如圖，△ABC內接于。。，朋是。。的切線，A為切點，PC交。。與點D若

PD=4,貝！|PC=6,AC=3+3V6

【考點】切線的性質；三角形的外接圓與外心.

【專題】與圓有關的位置關系；推理能力.

【答案】6,3+3V6.

【分析】連接。A、OC,過P點作PHJ_AC于H點，如圖，根據(jù)圓周角定理得到/AOC=120°,再利

用等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出N。4c=30°,接著根據(jù)切線的性質得到NO4P=90°,

P42

貝i]/B4C=60°,然后根據(jù)切割線定理得到尸C=禽=9,接著利用含30度的直角三角形三邊的關系得

到AH=3,PH=3W，最后利用勾股定理計算出CH,從而得到AC的長.

【解答】解：連接。A、OC,過產(chǎn)點作于X點，如圖，

VZAOC^2ZABC^120°,

而OA—OCj

1

：.ZOAC=^x(1280°-120°)=30°,

:出是O。的切線，A為切點，

：.OA±PA,

：.ZOAP=9Q°,

：.ZPAC=9Q0-30°=60°,

:用為。。的切線，PC為割線，

：.PJ^=PD'PC,

p%2z-2

,pc————--—Q

??人一PD~4一%

在中，VZB4H=60°,

1

：.AH=^PA=3,

：.PH=V3A//=3V3,

在Rt/XPC“中，CH=VPC2-PH2=J62-(3百尸=36,

.?.AC=AH+CH=3+6A/3.

【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了切割線定理.

12.(2025?溫嶺市二模)如圖，RtAABC,NABC=90°,點。在8c上，以點O為圓心。8為半徑的。。

與AC相切于點。，連結A。，若NAOB=70°,則NC的度數(shù)為50°.

【考點】切線的性質；全等三角形的判定與性質；圓周角定理.

【專題】圖形的全等；與圓有關的位置關系；推理能力.

【答案】500.

【分析】連接OD,根據(jù)切線性質得到NADO=90,根據(jù)全等三角形的性質得到/4。。=乙4。2=70°,

求得/COO=180°-70°-70°=40°,得到/C=90°-40°=50°.

【解答】解:連接O。，

是。。的切線，

乙4。0=90,

ZABC^ZADO^9Q°,

\'OB=OD,AO=AO,

：.RtAABO^RtAADO(HL),

：.ZAOD^ZAOB^10°,

AZCOZ)=180°-70°-70°=40°,

：.ZC=90°-40°=50°,

【點評】本題考查了切線的性質，全等三角形的判定和性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

三.解答題(共3小題)

13.(2025?廬江縣二模)如圖，為。。的直徑，BC為。。的切線，連接AC交。。于點。，DHLAB

于點hE是皿的中點，連接AE并延長交BC于點R交DH,DB于點”,N.

(1)求證：DM=DN；

(2)AD=4,BD=3),求EF的長.

【考點】切線的性質；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關概念及性質；與圓有關的位置關系；推理能力.

【答案】(1)證明見解答過程；

Vio

(2)-----.

6

【分析】(1)根據(jù)切線的性質求出/A8C=90。，結合垂直的定義、平行線的判定與性質、圓周角定理

求出/AND=ZDMF=NAFB=ZFNB,再根據(jù)等腰三角形的判定即可得證；

(2)連接BE,過點N作NGLA8于點G,根據(jù)圓周角定理、角平分線的性質定理求出。N=GN,根

據(jù)勾股定理求出A8=5,根據(jù)三角形面積公式求出DN=NG=彖BN=BD-DN=^,根據(jù)勾股定理

45

--則NF=AF-AN=孚，再根據(jù)等腰三角形的性質求解即可.

33

【解答】(1)證明：為。。的切線,

；.NABC=90°,

：.ZFAB+ZAFB^90°,

\'DH±AB,

：.ZAHD=90°=ZABC,

J.DH//BC,

ZDMF=ZAFB,

：AB為。。的直徑，

AZADB=90°,

：.ZFAD+ZAND^90°,

是皿的中點，

：.BE=DE,

：.ZFAD=ZFABf

???ZAND=ZAFB,

：./AND=ZDMF=ZAFB=/FNB,

：.DM=DN；

(2)解：連接BE,過點N作NGLAB于點G,

：.ZFAD=ZFABf

■:NG1AB,ZADB=90°,

:?DN=GN,

VAZ)=4,BD=3,

：.AB=VXD2+BD2=5,

1111

:.S^ABD=aAD.DN+.AB?NG=^(AD+AB)DN=jAD-BD,

4

-

3

5

-

3,

-4

2--

3

由(1)知/AFB=/FNB,

:?BF=BN=4,

：.AF=7AB2+BF2=1V10,

：.NF=AF-AN=孚，

：AB為。。的直徑，

AZAEB^90°,

?Z7Z71ATZTV10

??EF=KNF=

【點評】此題考查了切線的性質、勾股定理、圓周角定理等知識，熟練運用切線的性質、勾股定理、圓

周角定理是解題的關鍵.

14.(2025?興慶區(qū)模擬)已知，如圖，A8為。。的直徑，△ABC內接于OO,8OAC,點P是△ABC的

內心，延長CP交。。于點。，連接8P.

(1)求證：BD=PD；

(2)已知O。的半徑是3或，C￡>=8,求BC的長.

D

【考點】三角形的內切圓與內心；三角形的外接圓與外心.

【專題】推理能力.

【答案】(1)見解析；

(2)4V2+2.

【分析】(1)由圓周角定理得出NAC2=90°,由內心得出NACZ)=NBCP=45°,/CBP=NEBP,

ZABD=ZACD=45°,由三角形的外角性質得出即可得出結論；

(2)連接AD,過點B作于X,由圓周角定理得出NA3￡>=45°,證出△A3。是等腰直角三

角形，得出52B=6,由/8。=45°,BHLCD,推出BH=C8,得到=根據(jù)勾股

定理可求8”的長，即可得出結果.

【解答】(1)證明：為。。的直徑，

ZACB=90°,

:點尸是△ABC的內心，

AZACD=ZBCP=45°,ZCBP=ZEBP,

：.ZABD^ZACD^45°,

:/DPB=NBCP+NCBP=45°+ZCBP,/DBP=/ABD+/EBP=45°+ZEBP,

:./DPB=NDBP,

：.BD=DP；

(2)解：連接A￡>,過點B作①于H,

為。。的直徑，。。的半徑是3VLZABD=45°,

：.AB=6V2,

VZABD=45°,

：.AABD是等腰直角三角形，

BD=5AB=孝x6y/2=6,

'JBHLCD,

:./BHE=90°,

,：ZBCD=45°,

：.ZBCH=ZCBH=45°,

:.BH=CH,

：.BC=y/2BH,

"：BD1=DH2+BH2,

.1.36=(8-BH)2+BH2,

：.BH=4±V2,

：.BC=4y/2+2,

'：BC>AC,AC2+BC2=AB2=12,

：.BC>6,

：.BC=4V2+2.

【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心、圓周角定理、三角形的外角性質、等腰三角形的判定、等

腰直角三角形的判定與性質等知識，掌握相關知識是解題的關鍵.

15.(2024秋?海港區(qū)期末)如圖，A8為半圓。的直徑，點尸在半圓上，連接。尸，點尸在A8的延長線

上，PC與半圓相切于點C,與。尸的延長線相交于點。.連接AC與。尸相交于點E,OD±AB.

(1)求證：DC=DE-,

(2)若。4=2?！?DF=2,求尸。的長.

【考點】切線的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關的位置關系；圖形的相似；運算能力；推理能力.

【答案】（1）證明見解析；

【分析】（1）連接OC,由切線的性質推出/。。=90°,由余角的性質推出NQCE=/AEO,由對頂

角的性質得到因此推出。C=Z）E；

（2）設OE=x,由勾股定理得到（2r+2）2=（2+x）2+（2%）2,求出x=4,得到。C=6,0c=8,判

定XPCOsXOCD,推出CO：CD=PC：0C,求出PC=學，即可得到尸。的長.

【解答】（1）證明：連接0C,

??,尸。與半圓相切于點C,

???半徑OCLPC,

：.ZOCD=90°,

ZZ)CE+ZOCE=90°,

VOZ)±AB,

ZAOE=90°,

ZAEO+ZOAE=90°,

9

：OA=OCf

：.ZOCE=ZOAE,

：.ZDCE=ZAEOf

9：ZDEC=ZAEO,

：.ZDCE=/DEC,

：.DC=DE；

(2)解：設OE=x,

OF=OA=2OE=2x,

EF=OE=x,OD=OF+DF—2x+2,

.'.DE=DF+FE=2+xf

由(1)知：DC=DE=2+x,

9：ZOCD=90°,

：.OD2=CD2+OC2,

(2x+2)2=(2+x)2+(2x)2,

.*.x=4,

DC=2+x=6,OC—2x—8,

VZP+ZPOC=ZCOD+ZPOC=90°,

：.ZP=ZCOD,

'：ZPCO=ZDCO,

:?叢PCOs叢ocD,

??CO：CD=PC：OC,

.\8：6=PC：8,

32

???PC=芋，

32SO

：.PD=PC+DC=芋+6=堂.

D

【點評】本題考查切線的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，關鍵是由切線的性質推出N。。

=90°,由余角的性質和對頂角的性質推出N￡)CE=NOEC,由勾股定理列出關于尤的方程，判定△PC。

s\)CD,推出CO：CD=PC：OC.

考點卡片

1.二次函數(shù)的最值

(1)當a>0時，拋物線在對稱軸左側，y隨X的增大而減少；在對稱軸右側，y隨X的增大而增大，因為

圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當天=-白時，>=色祟.

(2)當時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增大而減少，因為

圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當x=-2時，y=當式.

C/vX*vv

(3)確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂

點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從

而獲得最值.

2.全等三角形的判定與性質

(1)全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，

關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

(2)在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角

形.

3.等腰三角形的性質

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從中任意取出兩個

元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論.

4.等邊三角形的性質

(1)等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形.

①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形中，腰和底、頂

角和底角是相對而言的.

(2)等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線

是對稱軸.

5.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為C,那么/+62=02.

（2）勾股定理