溫度預(yù)測(cè)的ARIMA模型分析概述目錄TOC\o"1-3"\h\u4828（一）ARIMA模型的原理介紹 116003（二）基于ARIMA模型的溫度建模 2246401.ARIMA模型的基本程序 228447（1）讀取數(shù)據(jù) 232683（2）一階差分 32619（3）單位根檢驗(yàn) 46878（4）Q檢驗(yàn) 426926（2）確定AR和MA的階數(shù) 42564（3）殘差檢驗(yàn) 579032.誤差分析 6（一）ARIMA模型的原理介紹自回歸移動(dòng)平均模型（AutoRegressiveIntegratedMovingAverageModel，簡(jiǎn)記ARIMA）是由博克思（Box）和詹金斯（Jenkins）最先提出的一種時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法。ARIMA模型基于以下假設(shè)：數(shù)據(jù)序列是平穩(wěn)的，也就是均值和方差并不隨著時(shí)間變化，還可以通過(guò)對(duì)數(shù)變換或差分使序列平穩(wěn)；輸入數(shù)據(jù)必須是單變量序列，因?yàn)锳RIMA是使用過(guò)去的值來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的值。ARIMA（p，d，q）是差分自回歸移動(dòng)平均模型，AR是自回歸，p是自回歸項(xiàng)；MA是移動(dòng)平均，q是移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)，d是將時(shí)間序列變?yōu)槠椒€(wěn)序列所經(jīng)理的差分次數(shù)。其中L是滯后算子，是白噪聲序列。季節(jié)周期為s的q階季節(jié)MA（q）模型如下：（5.1）其季節(jié)MA特征多項(xiàng)式為：（5.2）季節(jié)周期為s的p階季節(jié)AR（p）模型如下：（5.3）其季節(jié)AR特征多項(xiàng)式為：（5.4）ARIMA(p，d，q)模型可以表示為：（5.5）參數(shù)d的確定：d就是差分的階數(shù)，首先通過(guò)ADF檢驗(yàn)，看原時(shí)間序列的平穩(wěn)性，如果原時(shí)間序列是平穩(wěn)的，那么d=0；如果原數(shù)據(jù)不平穩(wěn)，那么做差分，通過(guò)ADF檢驗(yàn)直到時(shí)間序列平穩(wěn)。一般差分次數(shù)不超過(guò)2次。參數(shù)p、q的確定：我們通常使用自相關(guān)函數(shù)（ACF）、偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）來(lái)確定ARMA（p,q）模型的系數(shù)和階數(shù)。自相關(guān)函數(shù)(ACF)描述了時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)據(jù)與其過(guò)去觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)關(guān)系。另外，偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)則是描述了一個(gè)給定的中間觀測(cè)數(shù)據(jù)的時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)據(jù)與其過(guò)去觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)關(guān)系。（二）基于ARIMA模型的溫度建模1.ARIMA模型的基本程序基于ARIMA模型的溫度建模的PYTHON、MATLAB程序見(jiàn)附錄。ARIMA模型建模步驟如下所示：圖142011年至2021年邵陽(yáng)日平均氣溫圖（1）讀取數(shù)據(jù)我們將2011年至2020年每年前350天的日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)、2021年前90天的平均氣溫?cái)?shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，將具體天數(shù)作為自變量（共3590天），將日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)作為因變量。圖像如下：圖152011年至2021年邵陽(yáng)日平均氣溫圖我們從圖像可以看出，日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)大致是符合平穩(wěn)時(shí)間序列的，即d=0。一階差分我們將2011年至2020年每年前350天的日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)、2021年前90天的平均氣溫?cái)?shù)據(jù)作一階差分，觀察平穩(wěn)性。圖16差分后的邵陽(yáng)日平均氣溫圖我們從圖像可以看出，差分后的日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)更加符合平穩(wěn)時(shí)間序列。其實(shí)，如果從圖15可以看出日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)大致是符合平穩(wěn)時(shí)間序列的，就不必對(duì)日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)做一階差分處理；反之，則需要做一階差分處理；如果一階差分處理后的數(shù)據(jù)還看不出是否符合平穩(wěn)時(shí)間序列，則需要進(jìn)行二階差分處理，如此反復(fù)處理。（3）單位根檢驗(yàn)結(jié)果如下：ADF的檢驗(yàn)結(jié)果為-11.121395011225099，P值為3.458761802169861e-20，滯后數(shù)量為28，用于ADF回歸和臨界值計(jì)算的數(shù)量為3560。顯著水平為1%下的臨界值為-3.43218820826857；顯著水平為5%下的臨界值為-2.8623522169902156；顯著水平為10%下的臨界值為-2.567202356473299。我們可以看到ADF值明顯比各顯著水平下的臨界值都要小，所以不需要做差分處理，拒絕邵陽(yáng)市日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)為非平穩(wěn)時(shí)間序列的原假設(shè)，即日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)為平穩(wěn)時(shí)間序列。（4）Q檢驗(yàn)Q檢驗(yàn)是用來(lái)檢驗(yàn)日平均溫度數(shù)據(jù)是否具有相關(guān)性，只有存在序列相關(guān)性時(shí)ARMA模型或者ARIMA模型才有意義。結(jié)果如下：統(tǒng)計(jì)值：[20.01988053，144.40992072，210.32997774，224.03682877，249.76339133，264.65956789，265.07221721，266.47430345，266.4840818，268.62680007，270.53596554，272.06645982，273.87885432，274.12922603，274.36912921，275.43143033，277.34261952，277.69513389，281.59715509,285.38387344]；P值：[7.66411987e-06，4.38312795e-32，2.47096498e-45，2.53612100e-47，6.17855061e-52，3.01129862e-54，1.70909317e-53，5.51289617e-53,3.27935739e-52，6.51219221e-52，1.38026788e-51，3.36280563e-51，6.87569356e-51，2.86487095e-50，1.15550062e-49，3.04620706e-49，5.21773960e-49，1.81813643e-48，1.16215091e-48，7.71951695e-49]。我們可以看到，P值較小，拒絕日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)沒(méi)有相關(guān)性的原假設(shè)，即日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)有序列相關(guān)性。確定AR和MA的階數(shù)ACF和PACF的判斷標(biāo)準(zhǔn)如下：表5ACF和PACF的判斷標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)AR（p）MA（q）ARMA（p,q）ACF拖尾q期后截尾拖尾PACFp期后截尾拖尾拖尾結(jié)果如下：圖17日平均氣溫序列樣本PACF圖18日平均氣溫序列樣本ACF因?yàn)闊o(wú)法通過(guò)ACF函數(shù)和PACF函數(shù)直接確定出p、q的值，我們使用AIC、BIC最小準(zhǔn)則可以確定出：p=3，q=3。所以我們擬合的模型為ARIMA（3，0，3），也就是ARMA（3，3）。殘差檢驗(yàn)在QQ圖中，如果是正態(tài)分布為一條直線，也就是圖21中的紅線，說(shuō)明殘差序列是通過(guò)了白噪聲檢驗(yàn)的。白噪聲檢驗(yàn)除了QQ圖，還可以使用DW檢驗(yàn)法和LM檢驗(yàn)法，其中DW用來(lái)檢驗(yàn)殘差序列是否具有自相關(guān)性，只適用一一階自相關(guān)；多階自相關(guān)可用LM檢驗(yàn)。結(jié)果如下：DW=1.9803809697989125。DW檢驗(yàn)值接近于2，則說(shuō)明ARMA（3，3）模型的殘差序列不具有自相關(guān)性，ARMA（3，3）模型對(duì)邵陽(yáng)市2021年前90天的日平均溫度數(shù)據(jù)的擬合效果較好。圖19殘差的QQ正態(tài)圖我們可以看出，殘差序列是正態(tài)分布，且相互獨(dú)立，于是可以認(rèn)為是高斯白噪聲，通過(guò)白噪聲檢驗(yàn)，建模就可以終止了。2.誤差分析2021年前90天預(yù)測(cè)的日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)均方根誤差RMSE為11.9371。表62021年邵陽(yáng)市日均值溫度的預(yù)測(cè)誤差預(yù)測(cè)值3真實(shí)值誤差35.412941.41297.78858-0.211512.56575.57.065713.05977.55.559713.38604.58.886011.83291.510.33296.5410-17.54101.80231.50.30232.08673.5-1.4133